南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学答案


南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视 影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.{1,2} 2.-3 8. 3 3 9.必要不充分 2 3. 3 4.55 26 5. 5 1 12.[ ,e] e 6.y=± 3x 13.{ 10} 7.6 59 14. 72

2 10.x+y-3=0 11.-. 3

二、解答题: 15.解: (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4. 1 因为△ABC 的面积等于 3,所以 absinC= 3,即 ab=4. 2
?a2+b2-ab=4, 解方程组? 得 a=2,b=2. ?ab=4,

?????2 分 ?????4 分 ?????7 分

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 所以 sinBcosA=2sinAcosA. π π 当 cosA=0 时,A= .所以 B= . 2 6 4 3 2 3 所以 a= ,b= . 3 3 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,所以 b=2a.
?a2+b2-ab=4, 2 3 4 3 解方程组? 得 a= ,b= . 3 3 b = 2 a , ?

?????10 分

?????13 分 ?????14 分

1 2 3 所以△ABC 的面积 S= absinC= . 2 3 16.证: (1)连结 AC1 交 A1C 于点 O,连结 OE,OF. 因为正三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱,所以 OA1=OC. 1 1 因为 F 为 AC 中点,所以 OF∥AA1∥CC1,OF= AA1= CC1. 2 2
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1 因为 E 为 BB1 中点,所以 BE∥CC1,BE= CC1. 2 所以 OF=BE,OF∥BE.所以 BEOF 是平行四边形.所以 BF∥OE. 因为 BF? / 平面 A1EC,OE?平面 A1EC,所以 BF∥平面 A1EC. (2) 因为 AB=CB,F 为 AC 中点,所以 BF⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABC,BF?平面 ABC,所以 AA1⊥BF. 由(1)知 BF∥OE. 所以 OE⊥AC,OE⊥AA1. 而 AC,AA1?平面 ACC1A1,AC∩AA1=A, 所以 OE⊥平面 ACC1A1. 因为 OE?平面 A1EC,所以平面 A1EC⊥平面 ACC1A1.
≥9, ?x 100-2x≥60, 17.解: (1)由题意得,? 1 ?100 2-2x-2×5x ≥20,
2

??????4 分 ??????7 分

??????9 分

??????12 分 ??????14 分

??????4 分

解得 9≤x≤15. 所以 x 的取值范围是[9,15] . (2)记“环岛”的整体造价为 y 元.则由题意得 1 4 12a 1 y=a×π×( x2)2+ ax×πx2+ [104-π×( x2)2-πx2] 5 33 11 5 a 1 4 = [π(- x4+ x3-12x2)+12×104] . 11 25 3 1 4 4 令 f(x)=- x4+ x3-12x2.则 f′(x)=- x3+4x2-24x. 25 3 25 由 f′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=10 或 x=15. 列表如下: x f′(x) f(x) 所以当 x=10,y 取最小值. 答:当 x=10 m 时,可使“环岛”的整体造价最低. 18.解: (1)由题意,得 2a= 因为 c=1,所以 b2=3.
高三数学答案 第 2 页 共 7 页

??????7 分

??????10 分

??????12 分

9

(9,10) - ↘

10 0 极小值

(10,15) + ↗

15 0

??????14 分

3 (1-1)2+( -0)2+ 2

3 (1+1)2+( -0)2=4,即 a=2.??????2 分 2

x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 8 3 3 8 3 3 (2)因为 F(1,0),B( , ),所以 P(- ,- ). 5 5 5 5 所以直线 AB 的斜率为 3. 所以直线 AB 的方程为 y= 3(x-1). x y ? ? + =1, 解方程组? 4 3 得点 A 的坐标为(0,- 3). ? y= 3(x-1), ? 所以直线 PA 的方程为 y=- 3 x- 3. 4
2 2

??????5 分

??????7 分 ???????9 分

???????10 分

(3)当直线 AB 的斜率 k 不存在时,易得 yM·yN=-9. 当直线 AB 的斜率 k 存在时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 B(-x2,-y2).
2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 所以 + =1, + =1. 4 3 4 3

(x2+x1)(x2-x1) (y2+y1)(y2-y1) 两式相减, 得 + =0. 4 3 (y2+y1)(y2-y1) 3 所以 =- =kPAk. 4 (x2+x1)(x2-x1) 3 所以 kPA=- . 4k 3 所以直线 PA 的方程为 y+y2=- (x+x2). 4k 3(x2+4)(x2-1) 3 所以 yM=- (4+x2)-y2=- -y2. 4k 4y2 y2 4y2 直线 PB 的方程为 y= x,所以 yN= . x2 x2
2 3(x2+4)(x2-1) 4y2 所以 yM·yN=- - . x2 x2 2 2 x2 y2 2 2 因为 + =1,所以 4y2 =12-3x2 . 4 3 2 -3(x2+4)(x2-1)-12+3x2 所以 yM·yN= =-9. x2

???????12 分

???????14 分

所以 yM·yN 为定值-9. 19.解: (1)因为 f′(x)=ex,所以 f′(0)=1. 又 f(0)=1,所以 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=x+1. 因为 g′(x)=2ax+b,所以 g′(0)=b. 又 g(0)=1,所以 y=g(x)在 x=0 处的切线方程为 y=bx+1.

???????16 分

???????2 分

所以当 a∈R 且 b=1 时,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处总有相同的切线.???????4 分 x2+bx+1 (2)当 a=1 时,h(x)= , ex
高三数学答案 第 3 页 共 7 页

-x2+(2-b)x+b-1 (x-1)[x-(1-b)] h′(x)= =- . ex ex 由 h′(x)=0,得 x=1 或 x=1-b. 所以当 b>0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1-b),(1,+∞). 当 b=0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,+∞). 当 b<0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1),(1-b,+∞). (3)当 a=0 时,则 φ(x)=f(x)-g(x)=ex-bx-1,φ′(x)=ex-b. ①当 b≤0 时,φ′(x)≥0,函数 φ(x)在 R 上是增函数. 因为 φ(0)=0,所以 x<0 时,φ(x)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. ②当 b>0 时,由 φ′(x)>0,得 x>lnb,φ′(x)<0,得 x<lnb, 所以函数 φ(x)在(-∞,lnb)上是减函数,在(lnb,+∞)上是增函数.

???????7 分

???????10 分

???????12 分

(Ⅰ)当 0<b<1 时,lnb<0,φ(0)=0,所以 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. (Ⅱ)当 b>1 时,同理 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. (Ⅲ)当 b=1 时,lnb=0,所以函数 φ(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. 所以 φ(x)≥φ(0)=0.故 b=1 满足题意. 综上所述,b 的取值的集合为{1}. ???????16 分

2 20.解: (1)设等差数列的公差为 d,则 S6=6a1+15d=22,a1=2,所以 d=3.??????2 分 n(n+5) 2 所以 Sn= 3 .an=3(n+2) (2)因为数列{an}是正项递增等差数列,所以数列{ a k n} 的公比 q>1. 要使 q 最小,只需要 k2 最小即可. 8 4 32 / {an}, 若 k2=2,则由 a2=3,得 q=3,此时 a k 3= 9 ∈ 所以 k2>2,同理 k2>3. 若 k2=4,则由 a4=4,得 q=2,此时 a k n=2 . 2 n-1 因为 a k n=3(kn+2),所以 kn=3×2 -2. 2 - - (3)因为 a k n= (kn+2)=2qn 1,所以 kn=3qn 1-2(q>1). 3 当 q 不是自然数时,kn 不全是正整数,不合题意,所以 q≥2,q∈N*.. 2n(n+5)+2 不等式 6Sn>kn+1 有解,即 >1 有解. 3 qn 2n(n+5)+2 经检验,当 q=2,3,4 时,n=1 都是 >1 的解,适合题意. 3 qn ???????12 分 ??????10 分
n

??????4 分

??????6 分

高三数学答案 第 4 页 共 7 页

以下证明当 q≥5 时,不等式 2n(n+5)+2 设 bn= . 3 qn

2n(n+5)+2 ≤1 恒成立. 3 qn

2(n+1)(n+6)+2 + 3 qn 1 bn+1 n2+7n+7 则 = = bn 2n(n+5)+2 3q(n2+5n+1) n 3q 2n+6 2(n+3) 1 1 = (1+ 2 )= (1+ ) 3q n +5n+1 3q (n+3)2-(n+3)-5 1 2 = (1+ ). 3q 5 (n+3)- -1 n+3 因为 f(n)=(n+3)- 5 -1 在 n∈N*上是增函数, n+3

7 所以 f(1)≤f(n)<+∞,即 ≤f(n)<+∞. 4 1 bn+1 5 所以 < ≤ . 3q bn 7q bn+1 因为 q≥5,所以 <1.所以数列{bn}是递减数列. bn 14 所以 bn≤b1= <1. 3q 综上所述,q 的取值为 2,3,4. ????????16 分 ????????14 分

高三数学答案 第 5 页 共 7 页

南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2014.01
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视 影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷 纸 指定区域 . . . .... 内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.选修 4—1:几何证明选讲 解:因为 P 为 AB 中点,所以 OP⊥AB.所以 PB= r2-OP2= 9 因为 PC·PD=PA·PB=PB2,PC= , 8 2 所以 PD= . 3 B.选修 4—2:矩阵与变换 解:设曲线 C 上一点(x′,y′)对应于曲线 C′上一点(x,y). ??????10 分 3 . 2 ??????5 分

? 22 由? 2 ?2



? x′ x ? ?=? ?,得 2x′- 2y′=x, 2x′+ 2y′=y. ? 2 2 2 2 ?y′? ?y? 2 2 ?
2 2

???????5 分

所以 x′=

2 2 (x+y),y′= (y-x). 2 2

因为 x′y′=1,所以 y2-x2=2. 所以曲线 C′的方程为 y2-x2=2. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:直线 l 的普通方程为 4x-3y-2=0,圆 C 的直角坐标方程为(x-a)2+y2=a2. 由题意,得 |4a-2|
2

???????10 分

???????5 分 ??????10 分

4 +(-3)

2=|a|,解得

2 a=-2 或 a= . 9

D.选修 4—5:不等式选讲 证: 因为 x1,x2,x3 为正实数,
2 2 2 x2 x3 x1 所以 +x1+ +x2+ +x3≥2 x1 x2 x3 2 x2 ·x +2 x1 1 2 x3 ·x +2 x2 2 2 x1 ·x =2(x1+x2+x3)=2. x3 3

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2 2 2 x2 x3 x1 即 + + ≥1. x1 x2 x3

???????10 分

22. (本小题满分 10 分) 解: (1)由点 A(1,2)在抛物线 M∶y2=2px 上,得 p=2. 所以抛物线 M 的方程为 y2=4x.
2 2 y1 y2 设 B( ,y1),C( ,y2). 4 4 2 2 2 2 y1 y2 y1 y2 -1 - -1 4 4 4 y1+2 y2+y1 y2+2 1 1 1 4 所以 - + = - + = - + =1. k1 k2 k3 y1-2 y2-y1 y2-2 4 4 4 2 y3 (2)设 D( ,y3). 4

???????3 分

???????7 分

1 1 1 1 y1+2 y2+y1 y3+y2 y3+2 则 - + - = - + - =0. k1 k2 k3 k4 4 4 4 4

???????10 分

23.设 m 是给定的正整数,有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)中,ai=2 或-2(1≤i≤2m). a2k-1 (1)求满足“对任意的 1≤k≤m,都有 =-1”的有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 A; a2k
2l

(2)若对任意的 1≤k≤l≤m,都有| ∑ ai|≤4 成立,求满足“存在 1≤k≤m,使得
i=2k-1

a2k-1 ≠-1”的有序 a2k

数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 B. a2k-1 解: (1)因为对任意的 1≤k≤m,都有 a2k =-1, 所以(a2k-1,a2k)=(2,-2)或(a2k-1,a2k)=(-2,2).共有 2 种情况.
m 由乘法原理,得序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 A=2 .
1 (2)当存在一个 k 时,那么这一组有 2Cm 种,其余的由(1)知有 2m
-1

???????5 分
1 m 种,所有共有 2Cm 2
-1

种.

2 当存在二个 k 时,因为对任意的 1≤k≤l≤m,都有| ∑ ai|≤4 成立,所以这两组共有 2Cm 种,

2l

i=2k-1

其余的由(1)知有 2 ?

m-2

种,所有共有 2Cm2

2 m-2

种.

1 m 1 2 m 2 m 依次类推得:B=2Cm 2 +2Cm 2 +?+2Cm =2(3m-2m).
- -

???????10 分

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