2019学年度高中数学 第一章 1.3.1 第一课时 函数的单调性练习 新人教A版必修1

第一课时 函数的单调性

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【选题明细表】

知识点、方法 函数单调性概念 函数单调性的判定、证明 函数单调性的应用

题号 1,2 3,7,9,12 4,5,6,8,10,11,13

1.函数 y=x2+x+1(x∈R)的单调递减区间是( C ) (A)[- ,+∞) (B)[-1,+∞)

(C)(-∞,- ] (D)(-∞,+∞)

解析:y=x2+x+1=(x+ )2+ ,其对称轴为 x=- ,在对称轴左侧单调递减,所以当 x≤- 时单调递减.故选 C. 2.如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),则下列关于函数 f(x)的说法错误的是( C )

(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增 (B)函数在区间[1,4]上单调递增 (C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减 (D)函数在区间[-5,5]上没有单调性 解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选 C. 3.在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C ) (A)y=2x+1 (B)y=3x2+1

(C)y=

(D)y=2x2+x+1

解析:由反比例函数的性质可得,y= 在区间(0,+∞)上是减函数,故满足条件.故选 C.
4.函数 f(x)=|x|-3 的单调增区间是( B ) (A)(-∞,0) (B)(0,+∞) (C)(-∞,3) (D)(3,+∞)

解析:根据题意,f(x)=|x|-3=
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其图象如图所示,则其单调增区间是(0,+∞).故选 B.

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5.已知函数 f(x)=2x2-ax+5 在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数 a 的取值范围是( A ) (A)(-∞,4] (B)(-∞,4) (C)[4,+∞) (D)(4,+∞)
解析:若使函数 f(x)=2x2-ax+5 在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则对称轴应满足 ≤1,所以 a≤4,选 A. 6.已知函数 f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,则满足 f(2x-1)<
f( )的 x 的取值范围是( D )

(A)( , ) (B)[ , )

(C)( , ) (D)[ , )

解析:因为函数 f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足 f(2x-1)<f( ),

所以 0≤2x-1< ,解得 ≤x< .故选 D.

7.已知函数 f(x)=

则 f(x)的单调递减区间是

.

解析:当 x≥1 时,f(x)是增函数;当 x<1 时,f(x)是减函数,所以 f(x)的单调递减区间为(-∞,1). 答案:(-∞,1) 8.函数 f(x)=x2-2mx-3 在区间[1,2]上单调,则 m 的取值范围是
. 解析:二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置,函数 f(x)= x2-2mx-3 的对称轴为 x=m,函数在区间[1,2]上单调,则 m≤1 或 m≥2. 答案:(-∞,1]∪[2,+∞)

9.已知 f(x)=

,试判断 f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.

解:f(x)=

在[1,+∞)上是增函数.

证明:任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2,

则 f(x2)-f(x1)=

-

=

=

.

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因为 1≤x1<x2,

所以 x2+x1>0,x2-x1>0,

+

>0.

所以 f(x2)-f(x1)>0, 即 f(x2)>f(x1). 故函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数.

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10.函数 y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且 f(2m)>f(-m+9),则实数 m 的取值范围是( B ) (A)(-∞,3) (B)(0,3) (C)(3,+∞) (D)(3,9)

解析:因为函数 y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2m)>f(-m+9),所以

解得 0<m<3,故选 B.

11.已知 f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且 f(x-2)<f(1-x),则 x 的取值范围是

.

解析:由题意,得

解得 1≤x< ,

故满足条件的 x 的取值范围是 1≤x< .

答案:[1, ) 12.已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞),且 f(x·y)=f(x)+f(y),当 x>1 时,f(x)>0. (1)求 f(1); (2)证明 f(x)在定义域上是增函数;
(3)如果 f( )=-1,求满足不等式 f(x)-f(x-2)≥2 的 x 的取值范围. (1)解:令 x=y=1,得 f(1)=2f(1),故 f(1)=0.
(2) 证 明 : 令 y= , 得 f(1)=f(x)+f( )=0, 故 f( )=-f(x). 任 取 x1,x2 ∈ (0,+ ∞ ), 且 x1<x2, 则

f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( ).
由于 >1,故 f( )>0,从而 f(x2)>f(x1). 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)解:由于 f( )=-1,而 f( )=-f(3),故 f(3)=1. 在 f(x·y)=f(x)+f(y)中,令 x=y=3,得 f(9)=f(3)+f(3)=2.
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故所给不等式可化为 f(x)-f(x-2)≥f(9),所以 f(x)≥f[9(x-2)],所以 x≤ .又 所以 2<x≤ . 所以 x 的取值范围是(2, ].

13.已知函数 f(x)=
解析:由题意得 解得-3≤a≤-2. 答案:[-3,-2]

是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是

.

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