全国新课标2017年高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题四数列第二讲数列求和及综合应用适考素能特训文

专题四 数列 第二讲 数列求和及综合应用适考素能特训 文
一、选择题 1.[2016·重庆测试]在数列{an}中,若 a1=2,且对任意正整数 m,k,总有 am+k=am+

ak,则{an}的前 n 项和 Sn=(
A.n(3n-1) C.n(n+1) 答案 C

) B. D.

n?n+3?
2

n?3n+1?
2

解析 依题意得 an+1=an+a1,即有 an+1-an=a1=2,所以数列{an}是以 2 为首项、2 为 公差的等差数列,an=2+2(n-1)=2n,Sn=

n?2+2n?
2

=n(n+1),选 C.

1 2. [2016·郑州质检]正项等比数列{an}中的 a1、 a4031 是函数 f(x)= x3-4x2+6x-3 的极 3 值点,则 log
6

a2016=(

) B.2 D.-1
2 2

A.1 C. 2 答案 A

解析 因为 f′(x)=x -8x+6,且 a1、a4031 是方程 x -8x+6=0 的两根,所以 a1·a4031 =a2016=6,即 a2016= 6,所以 log
6 2

a2016=1,故选 A.
n

3.[2016·太原一模]已知数列{an}的通项公式为 an=(-1) (2n-1)·cos N ),其前 n 项和为 Sn,则 S60=( A.-30 C.90 答案 D
* *


2

+1(n∈

) B.-60 D.120
*

解析 由题意可得,当 n=4k-3(k∈N )时,an=a4k-3=1;当 n=4k-2(k∈N )时,an=

a4k-2=6-8k;当 n=4k-1(k∈N*)时,an=a4k-1=1;当 n=4k(k∈N*)时,an=a4k=8k.∴a4k-3
+a4k-2+a4k-1+a4k=8,∴S60=8×15=120.故选 D. 4.某年“十一”期间,北京十家重点公园举行免费游园活动,北海公园免费开放一天, 早晨 6 时 30 分有 2 人进入公园,接下来的第一个 30 分钟内有 4 人进去 1 人出来,第二个 30 分钟内有 8 人进去 2 人出来,第三个 30 分钟内有 16 人进去 3 人出来,第四个 30 分钟内有 32 人进去 4 人出来??按照这种规律进行下去,到上午 11 时 30 分公园内的人数是( A.2 -47 C.2 -68 答案 B 解析 由题意,可知从早晨 6 时 30 分开始,接下来的每个 30 分钟内进入的人数构成以 4 为首项,2 为公比的等比数列,出来的人数构成以 1 为首项,1 为公差的等差数列,记第 n
1
13 11

)

B.2 -57 D.2 -80
14

12

个 30 分钟内进入公园的人数为 an,第 n 个 30 分钟内出来的人数为 bn 则 an=4×2 4?1-2 ? 10?1+10? 12 则上午 11 时 30 分公园内的人数为 S=2+ - =2 -57. 1-2 2
10

n-1

,bn=n,

1 5.已知曲线 C:y= (x>0)及两点 A1(x1,0)和 A2(x2,0),其中 x2>x1>0.过 A1,A2 分别作 x

x

轴的垂线,交曲线 C 于 B1,B2 两点,直线 B1B2 与 x 轴交于点 A3(x3,0),那么( A.x1, ,x2 成等差数列 2 C.x1,x3,x2 成等差数列 答案 A 1? ? 1? ? 解析 由题意,得 B1,B2 两点的坐标分别为?x1, ?,?x2, ?. x x

)

x3

B.x1, ,x2 成等比数列 2 D.x1,x3,x2 成等比数列

x3

?

1

? ?

2

?

所以直线 B1B2 的方程为 y=- 令 y=0,得 x=x1+x2, 所以 x3=x1+x2,

1

x1x2

1 (x-x1)+ ,

x1

因此,x1, ,x2 成等差数列. 2 6. [2016·江西南昌模拟]设无穷数列{an}, 如果存在常数 A, 对于任意给定的正数 ε (无 论多小),总存在正整数 N,使得 n>N 时,恒有|an-A|<ε 成立,就称数列{an}的极限为 A. 则四个无穷数列:①{(-1) ×2}; ②?
? 1 ? 1 1 1 ?; + + +?+ ?2n-1??2n+1?? ?1×3 3×5 5×7
n

x3

? 1 1 1 1 ? ③?1+ + 2+ 3+?+ n-1?; 2 2 2 2 ? ?

④{1×2+2×2 +3×2 +?+n×2 },其中极限为 2 的共有( A.4 个 C.2 个 答案 D B.3 个 D.1 个
n n

2

3

n

)

解析 对于①,|an-2|=|(-1) ×2-2|=2×|(-1) -1|,当 n 是偶数时,|an-2|= 0; 当 n 是奇数时,|an-2|=4, 所以数列{(-1) ×2}没有极限,所以 2 不是数列{(-1) ×2} 的极限. 对于②,|an-2| =? 1 ? 1 + 1 + 1 +?+ -2? 1×3 3×5 5×7 ?2 n - 1 ??2 n+1? ? ? ?
n n

1?? 1? ?1 1? ?1 1? = ??1- ?+? - ?+? - ?+?+ 3? ?3 5? ?5 7? 2??

? 1 - 1 ?-4?=3+ 1 >1, 所以对于正数 ε 0=1, 不存在正整数 N, 使得 n>N ?2n-1 2n+1? ? 2 4n+2 ? ? ?
时,恒有|an-2|<ε 0 成立,即 2 不是数列

2

? 1 ? 1 1 1 ? ?的极限. + + +?+ ?2n-1??2n+1?? ?1×3 3×5 5×7

1 ? 1 1 1 对于③,|an-2|=?1+ + 2+ 3+?+ n-1 2 2 2 2 ?

? 1? 1×?1- ? ? ? ? 2? 2 2 -2? -2?= ,令 <ε ? =? 1 2 2 ? ? 1-2 ?
n n n

,得

n>1-log2ε ,所以对于任意给定的正数 ε (无论多小),总存在正整数 N,使得 n>N 时,恒有
|an-2|<ε 成立,所以 2 是数列
? 1 1 1 1 ? ?1+ + 2+ 3+?+ n-1? 的极限. 2 2 2 2 ? ?

对于④, 当 n≥2 时, |an-2|=|1×2+2×2 +3×2 +?+n×2 -2|=2×2 +3×2 +? +n×2 >1,所以对于正数 ε 0=1,不存在正整数 N,使得 n>N 时,恒有|an-2|<ε 0 成立,即 2 不是数列{1×2+2×2 +3×2 +?+n×2 }的极限. 综上所述,极限为 2 的数列共有 1 个. 二、填空题 7.[2016·陕西质检二]已知正项数列{an}满足 an+1-6an=an+1an,若 a1=2,则数列{an} 的前 n 项和为________. 答案 3 -1 解析 ∵an+1-6an=an+1an,∴(an+1-3an)(an+1+2an)=0,∵an>0,∴an+1=3an,∴{an}
n
2 2 2 2 2 3

2

3

n

2

3

n

n

n

为等比数列,且公比为 3,∴Sn=3 -1. 8.[2016·唐山统考]Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 2S4=S2+2,则 S6 的最小值为 ________. 答案 解析 3 由题意得 2(a1+a1q+a1q +a1q )=a1+a1q+2,整理,得(a1+a1q)(1+2q )=2,
2 3 2

1 2 2 即 S2·(1+2q )=2.因为 1+2q >0,所以 S2>0.又由 2S4=S2+2,得 S4= S2+1.由等比数列的 2 ?S4-S2? 2 性质,得 S2,S4-S2,S6-S4 成等比数列,所以(S4-S2) =S2(S6-S4),所以 S6= +
2

S2

S4=

?1-1S2?2 ? 2 ? ? ? 1
S2

3 1 + S2+1= S2+ ≥2 2 4 S2

3 1 3 1 2 3 S2· = 3,当且仅当 S2= ,即 S2= 时等号成 4 S2 4 S2 3

立,所以 S6 的最小值为 3. 1 n * 9.[2016·武昌调研]设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn+ n=(-1) an(n∈N ),则数列{Sn} 2 的前 9 项和为________. 341 答案 - 1024 1 1 n n-1 解析 因为 Sn+ n=(-1) an,所以 Sn-1+ n-1=(-1) an-1(n≥2),两式相减得 Sn-Sn- 2 2
1

1 1 n n-1 + n- n-1=(-1) an-(-1) an-1, 2 2

3

1 n n 即 an- n=(-1) an+(-1) an-1(n≥2), 2 1 1 当 n 为偶数时,an- n=an+an-1,即 an-1=- n, 2 2 1 此时 n-1 为奇数,所以若 n 为奇数,则 an=- n+1; 2 1 1 1 当 n 为奇数时,an- n=-an-an-1,即 2an- n=-an-1,所以 an-1= n-1,此时 n-1 为偶 2 2 2 1 数,所以若 n 为偶数,则 an= n. 2 1 ? ?-2 ,n为奇数 所以数列{a }的通项公式为 a =? 1 ? ?2 ,n为偶数
n+1 n n n

所以数列{Sn}的前 9 项和为 S1+S2+S3+?+S9=9a1+8a2+7a3+6a4+?+3a7+2a8+a9 1 ? ?1?5? 2×?1-? ? ? 2 ? ?4? ? 1 1 1 1 1 =(9a1+8a2)+(7a3+6a4)+?+(3a7+2a8)+a9=- 2- 4- 6- 8- 10=- = 2 2 2 2 2 1 1- 4 - 341 . 1024 三、解答题 1 n+1 * 10.[2016·合肥质检]在数列{an}中,a1= ,an+1= ·an,n∈N . 2 2n (1)求证:数列? ?为等比数列;
?n? ?an?

(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解 (1)证明:由 an+1=

n+1 an+1 1 an an 知 = · , 2n n+1 2 n

?an? 1 1 ∴? ?是以 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 ?n? ?an? 1 1 (2)由(1)知? ?是首项为 ,公比为 的等比数列, 2 2 ?n?

an ?1?n n ∴ =? ? ,∴an= n, n ?2? 2
1 2 n ∴Sn= 1+ 2+?+ n,① 2 2 2 1 1 2 n 则 Sn= 2+ 3+?+ n+1,② 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n n+ 2 ①-②得 Sn= + 2+ 3+?+ n- n+1=1- n+1 , 2 2 2 2 2 2 2

4

∴Sn=2-

n+2
2
n

.
* 2n+2

11.[2015·安徽高考]设 n∈N ,xn 是曲线 y=x 横坐标. (1)求数列{xn}的通项公式; 1 2 2 2 (2)记 Tn=x1x3?x2n-1,证明:Tn≥ . 4n 解 2n+2, 从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1). (1)y′=(x
2n+2

+1 在点(1,2)处的切线与 x 轴交点的

+1)′=(2n+2)x

2n+1

,曲线 y=x

2n+2

+1 在点(1,2)处的切线斜率为

令 y=0,解得切线与 x 轴交点的横坐标 xn=1- (2)证明:由题设和(1)中的计算结果知

1 n = . n+1 n+1

?1?2?3?2 ?2n-1?2. 2 2 Tn=x2 1x3?x2n-1=? ? ? ? ?? ? ?2? ?4? ? 2n ?
1 当 n=1 时,T1= . 4 当 n≥2 时,因为 x
2 2n-1

?2n-1?2=?2n-1? >?2n-1? -1=2n-2=n-1, =? ? 2 2 ?2n? ?2n? 2n n ? 2n ?

2

2

n-1 1 ?1?2 1 2 所以 Tn>? ? × × ×?× = . n 4n ?2? 2 3
1 * 综上可得对任意的 n∈N ,均有 Tn≥ . 4n 1 * 12.[2016·河南开封质检]已知数列{an}满足 a1=1,an+1=1- ,其中 n∈N . 4an 2 (1)设 bn= ,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式; 2an-1 (2)设 cn=
*

4an 1 ,数列{cncn+2}的前 n 项和为 Tn,是否存在正整数 m,使得 Tn< 对于 n n+1 cmcm+1

∈N 恒成立?若存在,求出 m 的最小值;若不存在,请说明理由. 解 = 2 2 (1)∵bn+1-bn= - 2an+1-1 2an-1 2 2 - 1 2 a -1 n ? ? 2?1- ?-1 ? 4an? 4an 2 - =2(常数), 2an-1 2an-1



∴数列{bn}是等差数列. ∵a1=1,∴b1=2, 因此 bn=2+(n-1)×2=2n, 由 bn= 2 n+1 得 an= . 2an-1 2n
5

(2)由 cn= ∴cncn+2=

4an n+1 2 ,an= 得 cn= , n+1 2n n

1 ? 4 ?1 =2? - ?, n?n+2? ?n n+2?

1 1 ? 1 1 ? ? 1 1 1 1 1 ? 1 - ∴Tn=2?1- + - + - +?+ - =2?1+ - <3, ? n n+2? ? 2 n+1 n+2? ? 3 2 4 3 5 ? 依题意要使 Tn< 1

cmcm+1

对于 n∈N 恒成立,只需

*

1

cmcm+1

≥3,即

m?m+1?
4

≥3,

解得 m≥3 或 m≤-4,又 m 为正整数,所以 m 的最小值为 3.

典题例证 [2016·山东高考]已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n +8n,{bn}是等差数列,且 an=bn+
2

bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式; ?an+1? (2)令 cn= n .求数列{cn}的前 n 项和 Tn. ?bn+2? 审题过程 切入点 依据 an 与 Sn 的关系可求 an,进而求出 bn 的通项. 关注点 先化简数列 cn, 然后依据其结构特征采取错位相减求和.
n+1

[规范解答] (1)由题意知当 n≥2 时,

an=Sn-Sn-1=6n+5,
当 n=1 时,a1=S1=11, 所以 an=6n+5. 设数列{bn}的公差为 d, 由?
? ?a1=b1+b2, ?a2=b2+b3, ?

? ?11=2b1+d, 得? ?17=2b1+3d, ?

可解得 b1=4,d=3. 所以 bn=3n+1. ?6n+6? n+1 (2)由(1)知 cn= . n =3(n+1)·2 ?3n+3? 又 Tn=c1+c2+?+cn, 所以 Tn=3×[2×2 +3×2 +?+(n+1)×2 2Tn=3×[2×2 +3×2 +?+(n+1)×2
2 3 4 2 3

n+1

n+1

],
4

n+2

],
n + 1

两 式 作 差 , 得 - Tn = 3×[2×2 + 2 + 2 + ? + 2

3

- (n + 1)×2

n + 2

]=
6

? 4?1-2 ?-?n+1?×2n+2?=-3n·2n+2,所以 T =3n·2n+2. 3×?4+ ? n 1-2 ? ?
模型归纳 求数列的通项公式及前 n 项和的模型示意图如下:

n

7


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