推荐学习K12高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1指数与指数函数3.1.1有理指数幂及其运算课堂导学案

推荐学习 K12 资料 3.1.1 有理指数幂及其运算 三点剖析 一、有理指数幂的计算 课堂导学 【例 1】计算:( 2 7 )0.5+0.1-2+( 2 10 ) ? 2 3 -3π 0+ 37 , 9 27 48 解析:原式=( 25 ) 1 2 + 1 +( 64 ) ? 2 3 -3+ 37 9 0.12 27 48 = 5 +100+ 9 -3+ 37 =100. 3 16 48 温馨提示 利用分数指数幂的运算性质进行运算,需先化简,直至计算出最简结果,要在记准、记熟 运算性质的基础上,结合具体问题灵活地运用. 二、有理指数幂运算法则的应用 4 1 【例 2】化简: a 3 ? 8a 3b ÷(1 ? 23 b )× 3 a . 2 11 2 a 4b 3 ? 2a 3b 3 ? a 3 解析:原式= 1 1 1 a 3 (a ? 8b) ? a3 ? 2b 3 1 ?a3 2 11 2 1 4b 3 ? 2a 3b 3 ? a 3 a3 11 1 2 11 2 1 = a 3 (a 3 ? 2b 3 )(a 3 ? 2b 3 a 3 ? 4b 3 ) ? a 3 11 1 1 ?a3 =a3 ?a3 ?a3 ? a. 2 11 2 1 1 4b 3 ? 2a 3b 3 ? a 3 a 3 ? 2b 3 温馨提示 1 1 1 1 2 11 2 (1)本题化简的关键是 a-8b=(a 3 )3-(2b 3 )3=(a 3 -2b 3 )×(a 3 +2a 3 b 3 +4b 3 ). (2)在指数式运算中,根式的化简,一般先化为分数指数幂,利用幂的运算法则进行运算与化 简,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式. 三、有理指数幂运算法则的综合应用 【例 3】(1)比较 5 , 3 11 , 6 123 的大小; 1 (2)已知 a 2 3 +a ? 1 2 =3,求 a 2 ?3 ?a 2 的值. 1 ?1 a2 ?a 2 思路分析:(1)因根指数都不相同,应化成统一的根指数,再进行比较. (2)将所求式子化简,便可找到所求与条件的联系. 解:(1)∵ 5 = 6 53 = 6 125 , 3 11 = 6 112 = 6 121 , 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 又∵121<123<125,∴ 6 121 < 6 123 < 6 125 . ∴ 5 > 6 123 > 3 11 . 1 ?1 (2)∵ a 2 +a 2 =3, ∴平方得 a+a-1=7. 3 3 1 1 ∴ a2 ? ?a 2 = (a 2 ? a ? 2 )(a ? 1 ? a ?1 ) =a+a-1+1=8. 1 ?1 1 ?1 a2 ?a 2 a2 ?a 2 温馨提示 (1)根式比较大小,当根指数相同时,只需比较被开方数的大小,被开方数大的根式的值大;当 根指数不尽相同时,应先化成同次根式,再比较它们的大小. (2)分析所求与条件的关系,抓联系,消差异,促转化. 各个击破 类题演练 1 2 计算:(1) 3 (?8)3 ;(2) (?10)2 ;(3) 4 (a ? b)4 (a>b);(4)(0.027 3 )-1.5. 解析:(1) 3 (?8)3 =-8; (2) (?10)2 =10; (3) 4 (a ? b)4 =|a-b|=a-b(a>b); (4)(0.027 2 3 )-1.5=0.09 ?3 2 = 1 =1000 . 3 27 0.09 2 变式提升 1 计算:(0.064) ?1 3 -( ? 7 )0+[(-2)3] ?4 3 +16-0.75+0.01 1 2 . 8 解析:原式= 1 -1+(-2)-4+ 1 +0.1= 1 -1+ 1 + 1 +0.1= 5 -1+ 1 + 1 + 1 = 143 . 1 3 0.4 16 8 2 16 8 10 80 0.064 3 16 4 类题演练 2 化简: x ? y ? x ? y . 1 1 1 1 x3 ? y3 x3 ? y3 1 12 11 2 1 12 11 2 解析:原式= (x 3 ? y 3 )(x 3 ? x 3 y 3 ? y 3 ) ? (x 3 ? y 3 )(x 3 ? x 3 y 3 ? y 3 ) 1 1 1 1 x3 ? y3 x3 ? y3 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 2 11 2 2 11 2 =(x 3 +x 3 y 3 +y 3 )-(x 3 -x 3 y 3 +y 3 ) 11 =2x 3 y 3 . 变式提升 2 7 化简: 3 a 2 a ?3 ? 3 a ?8 3 a15 ? 3 a ?3 a ?1 . 解析:原式= 3 7 a2 ?3 ?a 2 ? ?8 a3 ? a5 3 ? ?3 a2 ?1 ?a 2 7 = 3 a2 ? a 3 ? 3 a?2 =a 2 3 ÷a ? 7 6 ÷a ? 2 3 =a 2?7 36 ÷a ? 2 3 ?1 =a 2 ÷a ? 2 3 12 ?? =a 2 3 =a 1 6 . 类题演练 3 33 1 ?1 已知 x 2 +x 2 =3,求 ? x 2 ? 2 ?3 的值. x2 ? x?2 ? 2 1 1 解析:由 x 2 +x ? 2 =3,两边平方得 x+x-1=7,再平方得 x2+x-2=47. 3 3 1 1 又 x ? 2 +x ? 2 =

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