《直线与圆的位置关系》教案

? 教案主题:直线和圆的位置关系

? 系科:计算机与信息科学学院

? 专业班级:计算机科学与技术(师范)

? 姓名:伍冬莉

? 学号:20100514649

? 任课教师:郑志华

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完成时间:2012 年 12 月 24 日

数学教案
伍冬莉

一、科目 数学 二、课题 直线和圆的位置关系 三、课型及课时安排 课堂教学类型:新授课。 课时安排:一节课。 四、教学对象分析 学习能力方面:九年级的学生已具备了较强的逻辑推理能力以及对知识 的归纳提炼能力,因此在进行直线与圆的位置关系的归纳时应该有学生讨论 归纳完成; 思想认识方面:由于本节的内容是学习圆与圆位置关系,它体现了运动 的观点,是研究有关性质的基础,也为高中继续学习几何知识作铺垫。 知识技能目标:通过本节课的教学,使学生掌握判断直线与圆的位置关系 的位置关系的方法;了解切线的概念及性质。 五、教学目标分析 知识与技能:使学生理解直线与圆的三种位置关系,掌握直线与圆的各 位置关系所表现的数量特征;掌握判断直线与圆的位置关系的位置关系的方 法;了解切线的概念及性质; 过程与方法:指导学生从观察直线与圆的相对运动中归纳直线与圆的位 置关系,培养学生分类思想。通过点与圆的位置关系类比研究直线与圆位置 关系中的数量问题, 培养学生联想、类比、推理能力以及化归,数形结合等 数学思想。 情感态度与方法:通过探索直线与圆的位置关系的过程,让学生体验数 学活动中那些充满着探索与创造的知识点, 创设问题情景, 激发学生好奇心, 增强学生的自信心以及对数学的喜爱。 六、教学重点分析 本节课的知识内容是使学生理解直线与圆的三种位置关系,掌握直线与 圆的各位置关系所表现的数量特征;掌握判断直线与圆的位置关系的位置关 系的方法;了解切线的概念及性质。而理解直线与圆的相交、相离、相切三 种位置关系,了解切线的概念及性质是学习后面内容的关键,所以本节课的 教学重点是理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系了解切线的概念 及性质。 七、教学难点分析 众所周知,圆的有关性质,被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方 面,所涉及的数学知识较为广泛,因此学好本章内容,能提高解题的综合能 第
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力。而本节的内容的难点是灵活的运用圆的切线解决实际问题。 八、教学关键点分析 本节课所学的内容是选自人教版九年级数学上册第二十四章的第 2 小节 的第 2 个知识点,本节课的重要内容是使学生了解切线的概念;理解直线与 圆的三种位置关系,掌握直线与圆的各位置关系所表现的数量特征;掌握判 断直线与圆的位置关系的位置关系的方法。另一方面,圆的有关性质,被广 泛地应用于工农业生产、交通运输等方面,所涉及的数学知识较为广泛,因 此学好本章内容,能提高解题的综合能力。而本节的内容的关键是理解直线 与圆的三种位置关系。 九、教学方法选择 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的基础学科。在教学过程中, 不仅要对学生传授数学知识,更重要的应该是对他们传授数学思想、数学方 法。 初三学生虽然有一定的理解力, 但在某种程度上特别是平面几何问题上, 学生还是依靠事物的具体直观形象,所以我以参与式探究教学法为主,整堂 课紧紧围绕“情景问题——学生体验——合作交流”的模式,并发挥微机的 直观、形象功能辅助演示直线与圆的位置关系,激励学生积极参与、观察、 发现其知识的内在联系,使每个学生都能积极思维。这样,一方面可激发学 生学习的兴趣,提高学生的学习效率,另一方面拓展学生的思维空间,培养 学生用创造性思维去学会学习。 十、教学媒体选择 由于是数学课堂,需要教师亲自演算的情况比较多,所以在本堂课的教 学过程中主要采用的是板书讲解和多媒体相结合。 十一、教学过程 1)教学环节安排 第一环节:复习并导入 第二环节:探索直线与圆的三种位置关系 第三环节:切线概念以及性质 第四环节:总结本堂课的内容 第五环节:家庭作业的布置 2)教学内容的详细安排

第一环节:复习并导入
师:同学们,大家好!我们在上节课学习了点和圆的位置关系,请大家回忆 点和圆的位置关系有哪些? (学生思考) 生:圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。圆上的点到圆 心的距离等于半径,内部到圆心的距离小于半径,的外部到圆心的距离大于 半径。因此点和圆的位置关系有三种,即点在圆上、点在圆内和点在圆外。 判断点与圆的位置关系的方法是,把点与圆心的距离与圆的半径进行比较, 距离大于半径在圆 第
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师:嗯,同学回答得非常具体,我再问大家一个问题,点到直线的距离的定 义是什么? 生:从已知点向已知直线作垂线,已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个 点到这条直线的距离. C 为直线 AB 外一点,从 C 向 AB 引垂线,D 为垂足,则线段 CD 即为点 C 到直 线 AB 的距离. 师:刚才某某同学回答得很好,既然同学们对我们以前学习的内容都很熟悉 了,那么现在我们开始学习今天的新内容:直线与圆的位置关系。 (板书标题)

第二环节:探索直线与圆的三种位置关系
师:直线和圆的位置关系的例子呢,我们大家在现实生活中是随处可见的, 只要大家注意观察,这样的例子是很多的。 提问:请同学们举出现实生活中直线与圆相的位置关系的例子? (学生讨论) 师:一只筷子放在碗上,把碗看作圆,筷子看作直线,这时直线与圆相交; 自行车的轮胎在地面上滚动,车轮为圆,地平线为直线, 这时直线与圆相切; 杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆,地平线为直线,这时直线与 圆相离...... 如大家请看课本 105 页,观察图中的照片,地平线和太阳的位置关系怎样? 先画一个圆,把它当作太阳,把书的边缘看成一条直线,固定圆,平移直尺, 直线和圆有几种位置关系如下图:

它们分别是相交、相切、相离. 当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点),这条直线叫做圆的切线. 当直线与圆有一个公共点时,叫做直线和圆相切.此时这条直线叫做圆的切 线。 当直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.此时这条直线叫做圆的割 线。 当直线与圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。 师:能否根据点和圆的位置关系的方法,用点到圆心的距离 d 和半径 r 作比 较,类似地推导出如何用点到直线的距离 d 和半径 r 之间的关系来确定三种 位置关系呢? 如图(1)中,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,圆的半径为 r, 第
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当直线与圆相交时,d<r; 当直线与圆相切时,d=r; 当直线与圆相离时,d>r, 由此可知:判断直线与圆的位置关系有两种方法. 方法一:从直线与圆的公共点的个数来断定; 方法二:用 d 与 r 的大小关系来断定. 如下表所示: 直线与圆的 相离 相切 位置关系 从公共点的 0 1 个数 圆心到直线 的距离 d 与 d>r d=r 圆的半径 r 的关系
表1

相交 2

d<r

师:下面我们来看一个例题。 例 1、已知 Rt△ABC 的斜边 AB=8cm,AC=4cm. (1)以点 C 为圆心作圆,当半径为多长时,AB 与⊙C 相切? (2)以点 C 为圆心,分别以 2cm 和 4cm 的长为半径作两个圆,这两个圆与 AB 分别有怎样的位置关系? 分析:根据 d 与 r 间的数量关系可知: d=r 时,相切;d<r 时,相交;d>r 时,相离.

图(2)

解:(1)如上图,过点 C 作 AB 的垂线段 CD. ∵AC=4cm,AB=8cm; ∴cosA=
AC 1 ? , AB 2

∴∠A=60°. ∴CD=ACsinA=4sin60°=2 3 (cm). 因此,当半径长为 2 3 cm 时,AB 与⊙C 相切. (2)由(1)可知,圆心 C 到 AB 的距离 d=2 3 cm,所以,当 r=2cm 时,d >r,⊙C 与 AB 相离; 当 r=4cm 时,d<r,⊙C 与 AB 相交.



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第三环节:切线概念以及性质
定义:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 性质:圆的切线垂直于过切点的半径。 例2:直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,求证直线 AB 是⊙O 的 切线。 证明: 连接 OC. 因为 OA=OB,CA=CB, 所以 三角形 OAB 是等腰三角形,OC 是底边 AB 上的中线. 所以 OC AB. 所以 直线 AB 是⊙O 的切线。 师:根据上面的判定定理,如果你要证明一条直线是⊙O 的切线,你应该如 何证明?

应分为两步: (1)说明这个点是圆上的点, (2)?过这点的半径垂直于 直线.
例3:如下图,A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向300千米的 B 处,并 以每小时10 7 千米的速度向北偏东60°的 BF 方向移动, 距台风中心200千米 的范围是受台风影响的区域.

图(3)

(1)A 城是否会受到这次台风的影响?为什么? (2)若 A 城受到这次台风的影响, 试计算 A 城遭受这次台风影响的时间有 多长? 分析:因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心,半径为 200 千 米的圆,A 城能否受到影响,即比较 A 到直线 BF 的距离 d 与半径 200 千米的 大小.若 d>200,则无影响,若 d≤200,则有影响. 解:(1)过 A 作 AC⊥BF 于 C. 在 Rt△ABC 中,∵∠CBA=30°,BA=300, ∴AC=ABsin30°=300× =150(千米). ∵AC<200,∴A 城受到这次台风的影响. (2)设 BF 上 D、E 两点到 A 的距离为 200 千米,则台风中心在线段 DE 上 时,对 A 城均有影响,而在 DE 以外时,对 A 城没有影响. 第
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∵AC=150,AD=AE=200, ∴DC= 2002 ?1502 ? 50 7 . ∴DE=2DC=100 7 . ∴t = ?
s v 100 7 =10(小时). 10 7

答:A 城受影响的时间为 10 小时. 第四环节:总结本堂课的内容 师:本节课学习了如下内容: 1.直线与圆的三种位置关系. (1)从公共点数来判断. (2)从 d 与 r 间的数量关系来判断. 2.切线:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。圆的切 线垂直于经过切点的半径。 第五环节:家庭作业的布置 师:下面布置今天的家庭作业。 1、复习本节课内容. 2、课后作业: P111 练习第 1 小题、第 2 小题。 3)教学方法具体应用 为了能够更好的使学生学好本节课的内容,主要采取以下教学方法: (1)恰当的利用多媒体课件,通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,拉 近数学与现实的距离,激发学生的问题意识和求知欲,调动学生主体参与的 积极性。 (2)采用“启发式”问题教学法,用环环相扣的问题将探究活动层层深入, 站在学生思维的最近发展区上启发诱导。 (3)在整个数学教学过程中,既要体现学生的主体地位,更要强调教师的 主导地位,在科学讲授的同时教会学生清晰的思维和严谨的推理。 4)教学时间具体分配 第一环节:复习并导入 5分钟 第二环节:探索直线与圆的三种位置关系 15分钟 第三环节:切线概念以及性质 15分钟 第四环节:总结本堂课的内容 3 分钟 第五环节:家庭作业的布置 2 分钟 十二、教学评价 整堂课紧紧围绕“情景问题——学生体验——合作交流”的模式,并发 挥微机的直观、 形象功能辅助演示直线与圆的位置关系, 激励学生积极参与、 第
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观察、发现其知识的内在联系,使每个学生都能积极思维。这节课设计的主 要目的是让学生参与讨论探究直线与圆的位置关系的活动中来。从教学的过 程来看,学生回答问题很积极、主动,课堂气氛较好。通过把数学问题实例 化的教学过程中来看,这激发学生的学习兴趣。

*授课日期:2012 年 11 月 23 日 *授课者姓名:伍冬莉

附:板书设计

直线和圆的位置关系

一、直线和圆的位置关系

1、定义 2、性质 四、典型例子讲解

复习: 1 、点与圆的位 置关系 2: 点到直线的

1.相交 2.相切 3.相离 二、判断方法
直线和圆的位置关系 从公共点的个数 圆心到直线的距离 d 与 d>r 圆的半径 r 的关系 d=r d<r 相离 0 相切 1 相交 2

例 1. 例 2. 例 3.

距离的定义

三、切线的定义和性质



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