北京市2013届高三数学一模试题(2013石景山一模)文 新人教B版

北京市石景山区 2013 届高三统一测试 数学(文)试题
本试卷共 150 分, 考试时长 120 分钟, 请务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效. 考 试结束后上交答题卡. 第Ⅰ卷 (选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.设集合 M= {x|x2≤4) ,N={x|log2 x≥1},则 M ? N 等于( ) )

A. [-2,2] B.{2} C.[2,+ ? ) D. [-2,+ ? ) 2.若复数(a-i)2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是( A. 1 B.-1 C. 2 D.- 2

3.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为

?? ? ?? ? p= q= n, 向量 (m, , (3, , n) 6) 则向量 p 与 q 共线的概率为 (
1 A. 3 1 C. 6 1 B. 4 1 D. 12




4.执行右面的框图,输出的结果 s 的值为( A.-3 B.2

1 1 C. 2 D. 3 ?
5.设 a∈R,则“a=l”是“直线 l1:ax+2y=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

x?
6.函数 y= 2sin( A.0 C.-1

?
3) (0≤x≤ ? )的最大值与最小值之和为(


B.2 ? 3 D.-l ? 3 )

7.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是( A. 13 B. 2 2

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C.5

D. 29

8.若直角坐标平面内的两点 p、Q 满足条件:①p、Q 都在函数 y=f(x)的图像上;②p、Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P,Q]与[Q,P] 看作同一对“友好点对”) .

?1og 2 x( x ? 0) ? 2 ? x ? 4 x( x ? 0) ,则此函数的“友好点对”有( 已知函数 f(x)= ?
A. 0 B. 1 C.2 第Ⅱ卷 (非选择题共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.函数 f(x)=(x-a) (x+2)为偶函数,则实数 a=

)对.

D. 3



? 10.在△ABC 中,若∠B= 4 ,b= 2a ,则∠C=



S12 S10 ? S 11.在等差数列{an}中,al=-2013,其前 n 项和为 Sn,若 12 10 =2,则 2013 的值等
于 。 12.设抛物线 y2= 4x 的焦点为 F,其准线与 x 轴的交点为 Q,过点 F 作直线 l 交 抛 物 线 于 A 、 B 两 点 , 若 ∠ AQB=90o , 则 直 线 l 的 方 程 为 。 13.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2, BC =2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AB ·AF = 2 ,则 AE ·BF 的值是____ 上,若



14.观察下列算式: l3 =1, 23 =3+5, 33 = 7+9+11, 43 =13 +15 +17 +19 , ………… 若某数 n3 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2013”这个数,则 n= 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分)



? 已知函数 f(x)=sin(2x+ 6 )+cos 2x.
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间。

? 3 (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 f(A)= 2 ,a=2,B= 3 ,
求△ABC 的面积.

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16. (本小题满分 13 分) PM2.5 指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5 日 均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级:在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空 气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 I5 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ)计算这 10 天 PM2.5 数据的平均值并判断其是否超标: (Ⅱ) 小陈在此期间的某天曾经来此地旅游, 求当天 PM2. 日均监测数据未超标的概率: 5 (III)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计算 出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率.

17. (本小题满分 14 分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90o,PD⊥平面 ABCD, AD =1,AB= 3 ,BC =4。 (I)求证:BD⊥PC; (II)设 AC 与 BD 相交于点 D,在棱 PC 上是否存在点 E,使得 OE∥平面 PAB? 若存在, 确定点 E 位置。

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ax-1-1n x,a ? R. (I)讨论函数 f(x)的单调区间: (II)若函数 f(x)在 x=l 处取得极值,对 ? x∈(0,+ ? ) ,f(x)≥bx-2 恒成立,求实
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数 b 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分)

1 x2 y 2 ? 2 2 b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 2 ,左焦点 F1 设椭圆 C: a
到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的距离等于长半轴长. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,线段 MN 的中垂线与 x 轴相交于点 P(m,O) ,求实数 m 的取值范围。

20. (本小题满分 13 分) 给定有限单调递增数列{xn}(n∈N*,n≥2)且 xi≠0(1≤ i ≤n) ,定义集合 A={(xi,xj)|1≤i, j≤n,且 i,j∈N*}.若对任意点 A1∈A,存在点 A2∈A 使得 OA1⊥OA2(O 为坐标原点) ,则称 数列{xn}具有性质 P。 (I)判断数列{xn}:-2,2 和数列{yn}:-2,-l,1,3 是否具有性质 P,简述理由。 (II)若数列{xn}具有性质 P,求证: ①数列{xn}中一定存在两项 xi,xj 使得 xi+xj =0: ②若 x1=-1, xn>0 且 xn>1,则 x2=l。

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