精品K12学习高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1指数与指数函数3.1.1有理指数幂及其运算同步测控

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3.1.1 有理指数幂及其运算

同步测控

我夯基,我达标

1.把根式 ? 25 (a ? b)?2 改写成分数指数幂的形式为( )

?2
A.-2(a-b) 5
?2 ?2
D.-2(a 5 -b 5 )

?2
B.-2(a-b) 5

?2

?2

C.-2(a 5 -b 5 )

2 ?
解析:原式可化为-2(a-b) 5 . 答案:A 2.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是…( )

1
A. ? x =(-x) 2 (x≠0)

?1
B.x 3 = ? 3 x

C.(

x

?3
) 4=4

( y)3

(xy≠0)

y

x

1
D. 6 y 2 =y 3 (y<0)

解析:根据根式、分数指数幂的意义,可得选项 C 正确. 答案:C 3.当 a、b∈R,下列各式总能成立的是( )

A. (6 a ? 6 b ) =a-b

B. 8 (a 2 ? b2 )8 =a2+b2

C. 4 a4 ? 4 b4 =a-b

D.10 (a ? b)10 =a+b

解析:取 a=0,b=1,A 不成立;取 a=0,b=-1,C 不成立;取 a=-1,b=-1,D 不成立;因为 a2+b2≥0, 所以 B 正确. 答案:B 4.下列说法中正确的命题个数是( )

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精品 K12 学习资料 (1)-2 是 16 的四次方根 (2)正数的 n 次方根有两个
(3)a 的 n 次方根就是 n a

(4) n an =a(a≥0)

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:从 n 次方根和 n 次根式的概念入手,认清各概念与各符号之间的关系.此题主要目的 是分清 n 次方根是什么和有几个,进一步明确根式进行简单运算的依据.

(1)是正确的,由(-2)4=16 可验证.

(2)不正确,要对 n 分奇偶讨论.

(3)不正确,a 的 n 次方根可能有一个值,可能有两个值,而 n a 只表示一个确定的值,它叫
根式.

(4)正确,根据根式运算的依据,当 n 为奇数时,n an =a 是正确的,当 n 为偶数时,若 a≥0, 则有 n an =a,综上,当 a≥0 时,无论 n 为何值均有 n an =a 成立.
答案:B
3m?n
5.若 am=2,an=3,则 a 2 =__________.

解析:先求 a 3m , a3m?n ,

a 3m an

=8 3



3m?n
∴a 2 =

8=2 6 .

33

答案: 2 6 3
6.化简 a 2 ? 5 a3 (a>0)=________. a ? 10 a 7
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解析:先将根式化成分数指数幂再运算.原式= a 2

?1
?a 2

?7
? a 10

2?3? 7
? a 5 10

7
? a5 .

7
答案: a 5

?3
7.计算:(1)32 5

-(2

10

)

?2 3

+0.5-2;

27

?1
(2)1.5 3 ×( ?

7

)0+80.25× 4

2 +( 3

2?

6

3 )6 ?

(?

2

)

2 3

3

.

分析:指数为小数时化为分数的形式,底数为根式时,化为指数式,并根据运算法则的顺序 进行计算.

解:(1)原式=(25)

?

3 5

-(

64

?2
)3

+(

1

)-2

27

2

=2-3-[(

3

)3]

2 3

+22

4

= 1 ? 9 +4 8 16
= 57 . 16

(2)原式=(

2

)

1 3

×1+(23)

1 4

×2

1 4

+(2

1 3

)6×(3

1 2

)6-[(

2

)

2 3



1 2

3

3

=(

2

)

1 3

+(23×2)

1 4

+22×33-(

2

)

1 3

3

3

=2+4×27=110. 我综合,我发展
8.设 α 、β 是方程 5x2+10x+1=0 的两个根.则 2α ·2β =____________,(2α )β =_________. 解析:利用一元二次方程根与系数的关系得 α +β ,α β .

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由题意得 α



=-2,α

β

=1

,则

2α ·2β =2α +β

=2-2= 1

,(2α )β =2α β

1
=2 5 .

5

4

答案: 1

1
25

4

9.已知

x

1 3

+x

?1 3

=4,求(1)x+x-1,(2)x

1 2

+x

1 ?
2

的值.

分析:题中(1)x+x-1

是(x

1 3

)3+(x

?

1 3

)3

可以用立方和公式求解,同时知道

x

值是正数.求出

x+x-1

1 ?1
后再反用完全平方公式就能找到求 x 2 +x 2 的途径.

1

1

?

解:(1)∵x 3 +x 3 =4,

1

1

2

2

∴x+x-1=(x

3

+x

? 3

)(x

3

-1+x

? 3

)

1

1

1

1

=(x 3 +x ? 3 )[(x 3 +x ? 3 )2-3]

=4(42-3)

=52.

1 ?1
(2)∵x>0,∴x 2 +x 2 >0. ∵x+x-1=52,

1 ?1
∴x 2 +x 2 =

1
(x 2

?

x

?

1 2

)

2

=

x ? 2 ? x?1 =

52 ? 2 ?

54 ? 3 6 .

10.已知 a<b<0,n>1,n∈N*,化简 n (a ? b)n + n (a ? b)n .
分析:由 a 的 n 次方根的概念,对于根指数 n,要区分它为正偶数和正奇数的情况,增强分 类讨论的意识.特别是正偶数的情况,开方以后的结果要带有绝对值符号,再根据已知条件 去掉绝对值符号. 解:当 n 是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a; 当 n 是偶数时,原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a.

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所以 n (a ? b)n + n (a ? b)n

=

?2a, ??? 2a,

n为奇数, n为偶数.

1
11.已知 x 2

?1
+x 2

=3,求

3
x2

?

?3
x2

?3

的值.

x2 ? x?2 ? 2

1 ?1
分析:已知条件 x 2 +x 2 =3 较为复杂,需要整理后再使用,同时注意对平方差(和)、立方 差(和)等常用公式的识别.

1 ?1
解:∵x 2 +x 2 =3,

1

1

∴(x 2 +x ? 2 )2=9,即 x+x-1=7.

3

3

1

1

∵x

2

+x

? 2

=(x

2

+x

? 2

)(x-1+x-1),

3 ?3
∴x 2 +x 2 =3×(7-1)=18.

∵x2+x-2=(x+x-1)2-2=47,

∴原式= 18 ? 3 ? 15 ? 1 . 47 ? 2 45 3

我创新,我超越

12.如图 3-1-1,P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪出一个半径为 1 的半圆 2
形纸板 P2,然后依次剪出一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)形纸板 P3,
P4,…,Pn,则 Pn 的半径 rn 是__________.

图 3-1-1

解析:由已知可得 r1=( 1 )0,r2=( 1 )1,r3=( 1 )2,r4=( 1 )3,依次类推 rn=( 1 )

2

2

2

2

2

. n-1

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答案:( 1 )n-1 2
13.化简:
(1) 6 ? 4 2 ; (2) 4 ? 15 . 分析:(1)题中 6 ? 4 2 的小根号前是-4,化为-2 得 6 ? 2 8 ,容易找到 4+2=6,4×2=8; (2)中 4 ? 15 小的根号前没有 2,变出 2 得 4 ? 15 = 8 ? 2 15 ,而 5+3=8,5×3=15.
2 解:(1)原式= 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2)2 = (2 ? 2)2 ?| 2 ? 2 |? 2 ? 2 . (2)原式= 8 ? 2 15
2 = ( 5)2 ? 2 ? 5 ? 3 ? ( 3)2
2 = ( 5 ? 3)
2 =| 5? 3|
2 = 5? 3
2 = 10 ? 6 .
2
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1

?1

14.已知 2x=a 2 +a 2 (a>1),求

x 2 ? 1 的值.

x ? x2 ?1

分析:思路一是直接代入求值,比较烦琐,思路二是注意观察研究规

律:(x+ x2 ?1 )( x ? x2 ?1 )=1,先从化简表达式入手.在分数指数幂的运算中,还要注意

11
公式的变式使用,如 a 2 +b 2 =

a?b

11

2 11 2

,a+b=(a 3 +b 3 )(a 3 -a 3 b 3 +b 3 )等.

1

1

a2 ?b2

解法一:∵(2x)2=(a

1 2

+a

?1 2

)2=a+2+a-1,

∴x2= 1 a+ 1 + 1 a-1. 4 24

∴x2-1=

1

a?

1

+

1

a-1=

1

(a

1 2

1 ?
-a 2

)2.

4 24 4



x2

-1

=

1

(a

1 2

?1
-a 2

).

2

1

(a

1 2

1 ?
?a 2)

∴原式=

2

1

1
(a 2

?1
?a 2)?

1

(a

1 2

?1
?a 2)

2

2

1

?1

= a2 ? a 2 ? a ?1.

1 ?

2

2a 2

解法二: x 2 ?1 ?

x2 ?1(x ? x2 ?1)

x ? x2 ?1 (x ? x2 ?1)(x ? x2 ?1)

= x x 2 ? 1 ? (x 2 ? 1) 1

=

1

×

1

(a

1 2

?1
+a 2

)(a

1 2

?1
-a 2

)+

1

a?

1

+

1

a-1

22

4 24

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= 1 (a-a-1)+ 1 a ? 1 + 1 a-1

4

4 24

= a ?1 . 2

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