高中数学 第二章数列数列复习小结教案 新人教A版必修5

课 教学目的: 题:数列复习小结 2 课时 1.系统掌握数列的有关概念和公式。 2.了解数列的通项公式 an 与前 n 项和公式 S n 的关系。 3.能通过前 n 项和公式 S n 求出数列的通项公式 an 。 授课类型:复习课 课时安排:2 课时 教学过程: 一、本章知识结构 二、知识纲要 (1)数列的概念,通项公式,数列的分类,从函数的观点看数列. (2)等差、等比数列的定义. (3)等差、等比数列的通项公式. (4)等差中项、等比中项. (5)等差、等比数列的前 n 项和公式及其推导方法. 三、方法总结 1.数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知识去解决,体现了函数思想、数形结合的 思想. 2.等差、等比数列中,a 1 、 an 、n、d(q)、 S n “知三求二” ,体现了方程(组)的思想、 整体思想,有时用到换元法. 3.求等比数列的前 n 项和时要考虑公比是否等于 1,公比是字母时要进行讨论,体现了 分类讨论的思想. 4.数列求和的基本方法有:公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加 法,等价转化等. 四、知识精要: 1、数列 [数列的通项公式] a n ? ? ?a1 ? S1 (n ? 1) ?S n ? S n?1 (n ? 2) [数列的前 n 项和] S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。 [等差数列的判定方法] 1. 定义法:对于数列 ?an ? ,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?an ? 是等差数列。 2.等差中项:对于数列 ?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 是等差数列。 [等差数列的通项公式] 如果等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则等差数列的通项为 an ? a1 ? (n ? 1)d 。 [说明]该公式整理后是关于 n 的一次函数。 [等差数列的前 n 项和] 1. S n ? n(a1 ? a n ) 2 2. S n ? na1 ? n(n ? 1) d 2 [说明]对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数。 [等差中项] 如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。即: A ? a?b 或 2A ? a ? b 2 [说明]:在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前 一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 [等差数列的性质] 1.等差数列任意两项间的关系:如果 an 是等差数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公差为 d ,则有 an ? am ? (n ? m)d 2. 对于等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq 。 a1 ? an ????? ????? ? a , a , a , ? , a , a , 2? 3 n?2 n ?1 a n ? ?? ,如图所示: 1 ? ? ? ?? ?? ? a2 ? an ?1 也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2 3.若数列 ?an ? 是等差数列,S n 是其前 n 项的和,k ? N ,那么 S k ,S 2 k ? S k ,S 3k ? S 2 k 成 * 等差数列。如下图所示: S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k 3、等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示( q ? 0 ) 。 [等比中项] 如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ,使 a ,G ,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 也就是,如果是的等比中项,那么 [等比数列的判定方法] 1. 定义法:对于数列 ?an ? ,若 a n ?1 ? q ( q ? 0) ,则数列 an G b 2 ? ,即 G ? ab 。 a G ?an ?是等比数列。 2 2.等比中项:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an an ? 是等比数列。 ?1 ,则数列 ? [等比数列的通项公式] 如果等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则等比数列的通项为 an ? a1q n?1 。 [等比数列的前 n 项和] 1 Sn ? ○ a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q 2 Sn ? ○ a1 ? a n q (q ? 1) 1? q 3 当 q ? 1 时, S n ? na1 ○ [等比数列的性质] 1.等比数列任意两项间的关系:如果 an 是等比数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公比为 q ,则有 an ? am q n?m 3. 对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av a1?an ????? ?????? a , a , a , ? , a n?2 , a n?1 , a n 2 ?3 ? ?? 。如图所示: 1 ? ? ? ?? ?? ? a2 ?an ?1 也就是: a1

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