【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第五章 第四节 数列求和演练知能检测 文


第四节

数 列 求 和

[全盘巩固] * 1. (2014·慈溪模拟)设等差数列{an} 的前 n 项和是 Sn, 若-am<a1<-am+1(m∈N , 且 m≥2), 则必定有( )

A.Sm>0,且 Sm+1<0 B.Sm<0,且 Sm+1>0 C.Sm>0,且 Sm+1>0 D.Sm<0,且 Sm+1<0 解析:选 A ∵-am<a1<-am+1,∴a1+am>0,a1+am+1<0,∴Sm>0,且 Sm+1<0.
?1? 2.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列? ?的前 ?an?

5 项和为( ) 15 A. 或 5 8

31 B. 或 5 16

C.

31 16

15 D. 8 -q 1-q
3 6

1-q 3 = ,所以 1+q 1-q ?1?5 1-? ? ?1? 1 ?2? 31 =9,得 q=2,所 以? ?是首项为 1,公比为 的等比数列,前 5 项和为 = . a 2 1 16 ? n? 1- 2 n-1 3.数列{1+2 }的前 n 项和为( ) n n A.1+2 B.2+2 n n C.n+2 -1 D.n+2+2 n 1-2 n-1 n 解析:选 C 由题意得 an=1+2 ,所以 Sn=n+ =n+2 -1. 1-2 1 1 1 4.若数列{an}为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn= + +?+ 的结果可化 解析:选 C 设{an}的公比为 q,显然 q≠1,由题意得

a1a2 a2a3

anan+1

为(

) 1 n 4 1? 2? C. ?1- n? 4? 3? A.1- 1 B.1- n 2 1? 2? D. ?1- n? 3? 2 ? 1 ?1?2n-1 n-1 解析:选 C an=2 ,设 bn= =? ? , anan+1 ?2? 1 ?1?3 ?1?2n-1 2? 1 ? 则 Tn=b1+b2+b3+?+bn= +? ? +?+? ? = ?1- n?. 2 ?2? 3? 4 ? ?2?

5.已知数列{an}的通项公式为 an=n cos nπ (n∈N ),Sn 为它的前 n 项和,则 等 2 013 于( ) A.1 005 B.1 006 C.2 011 D.2 012 n * n 2 2 2 解析:选 B 注意到 cos nπ =(-1) (n∈N ),故 an=(-1) n .因此有 S2 012=(-1 +2 ) 2 2 2 2 + ( - 3 + 4 ) + ? + ( - 2 011 + 2 012 ) = 1 + 2 + 3 + ? + 2 011 + 2 012 = + S2 012 =1 006×2 013,所以 =1 006. 2 2 013 n * 6.已知数列{an}满足 a1=1,an+1·an=2 (n∈N ),设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S2 014
1

2

*

S2 012

=(

) 2 014 1 007 A.2 -1 B.3×2 -3 1 007 1 007 C.3×2 -1 D.3×2 -2 解析: 选B 由

an+2an+1 an+2 2n+1 = = n = 2, 且 a2=2, 得数列{an}的奇数项构成以 1 为首项, an+1an an 2
1 007

2 为公比的等比数列,偶数项构成以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故 S2 014=(a1+a3+a5 1-2 +?+a2 013)+(a2+a4+a6+?+a2 014)= + 1-2 -2 1-2
1 007

=3×2

1 007

-3.

1 7.在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+|a2|+?+|an| 2 =________. 3 3 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q ,代入数据解得 q =-8,所以 q=-2; 1 1 n-1 等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|= ×2 ,所以|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|= (1 2 2 1 1 2 n-1 n n-1 +2+2 +?+2 )= (2 -1)=2 - . 2 2 1 n-1 答案:-2 2 - 2 8.(2014·衢州模拟)对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. n 解析:∵an+1-an=2 , ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 n-1 n- 2 2 =2 +2 +?+2 +2+2 n 2-2 n n = +2=2 -2+2=2 . 1-2 n+1 2-2 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 n+1 答案:2 -2 n * 9.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1) (n∈N ),则 S100= ________. n 解析:由 an+2-an=1+(-1) ,知 a2k+2-a2k=2,a2k+1-a2k-1=0,∴a1=a3=a5=?=a2n -1=1,数列{a2k}是等差数列,a2k=2k. ∴S100=(a1+a3+a5+?+a99)+(a2 +a4+a6+?+a100) =50+(2+4+6+?+100) + =50+ =2 600. 2 答案:2 600 1 * 10.(2014·杭州模拟)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=1- ,其中 n∈N . 4an 2 (1)设 bn= ,求证:数列{bn}是等差数列 ,并求出{an}的通项公式; 2an-1 (2)设 cn= 4an 1 ,数列{cncn+2}的前 n 项和为 Tn,是 否存在正整数 m,使得 Tn< 对于 n+1 cmcm+1

n∈N*恒成立?若存在,求出 m 的最小值;若不存在,请说明理由.
2 2 解: (1)证明:∵bn+1-bn= - = 2an+1-1 2an-1

2

2 2 4an 2 - = - =2(常数), 1 2 a - 1 2 a - 1 2 a -1 n n n ? ? 2?1- ?-1 ? 4an? ∴数列{bn}是等差数列. ∵a1=1, ∴b1=2,因此 bn=2+(n-1)×2=2n, 由 bn= 2 n+1 得 an= . 2an-1 2n 4

2 (2)cn= ,cncn+2=

n

n n+

1 ? ?1 =2? - ?, ?n n+2?

1 1 ? ? 1 - ∴Tn=2?1+ - ?<3, ? 2 n+1 n+2? 依题意要 使 Tn< 只需 1

cmcm+1

对于 n∈N 恒成立,

*

m m+
4

≥3,

解得 m≥3 或 m≤-4,所以 m 的最小值为 3. 11.已知数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数 a1,a2, a4,a7,?构成等差数列{bn},Sn 是{bn}的前 n 项和,且 b1=a1=1,S5=15.

a1 a2 a4 a7 a8 a5 a3 a6 a9 a10

? (1)若数阵中从第 3 行开始 每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数 列,且公比相等,已知 a9=16,求 a50 的值; 1 1 1 (2)设 Tn= + +?+ ,求 Tn.

Sn+1 Sn+2

S2n

解:(1)设等差数列{bn}的公差为 d. ∵b1=1,S5=15, ∴S5=5+10d=15,d=1, ∴bn=1+(n-1)×1=n. 2 2 设从第 3 行起,每行的公比都是 q,且 q>0,则 a9=b4q ,即 4q =16,q=2, 4 4 又 1+2+3+?+9=45,故 a50 是数阵中第 10 行的第 5 个数,a50=b10q =10×2 =160. n n+ (2)∵Sn=1+2+?+n= , 2 1 1 1 ∴Tn= + +?+

Sn+1 Sn+2
2

S2n

= =2?

n+

n+



2

n+

n+

+?+

2 2n

n+

? 1 - 1 + 1 - 1 +?+ 1 - 1 ? 2n 2n+1? ?n+1 n+2 n+2 n+3 ? ? 1 - 1 ? =2? ? ?n+1 2n+1?
= 2n

n+

n+

.
2

12. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n .设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 且 Tn+

an+1
2
n

=λ (λ
3

为常数).令 cn=b2n(n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Rn. 解:当 n=1 时,a1=S1=1. 2 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n -(n-1) =2n-1. 当 n=1 时,a1=1 满足上式. * ∴an=2n-1(n∈N ). 故 Tn=λ -

*

n
2

n-1



所以 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=-

n
2

n-1



n-1 n-2
2
n-2



2

n-1

.

2n-2 ?1?n-1 * 故 cn=b2n= 2n-1 =(n-1)? ? ,n∈N , 2 ?4? ?1?0 ?1?1 ?1?2 ?1?3 ?1?n-1 所以 Rn=0×? ? +1×? ? +2×? ? + 3×? ? +?+(n-1)×? ? , ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 1 ?1?1 ?1?2 ?1?3 ?1?n-1 ?1?n 则 Rn=0×? ? +1×? ? +2×? ? +?+(n-2)×? ? +(n-1)×? ? , 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 两式相减,得 3 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn=? ?1+? ?2+? ?3+?+? ?n-1-(n-1)×? ?n 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 1 ?1?n -? ? 4 ?4? ?1?n = -(n-1)×? ? 1 ?4? 1- 4 1 1+3n?1?n = - ? ?, 3 3 ?4? 1? 3n+1? 整理,得 Rn= ?4- n-1 ?. 4 ? 9? 1? 3n+1? 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn= ?4- n-1 ?. 4 9? ? [冲击名校] n 1.数列{an}满足 an+1+(-1) an=2n-1,则{an}的前 60 项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 解析:选 D 当 n=2k 时,a2k+1+a2k=4k-1, 当 n=2k-1 时,a 2k-a2k-1=4k-3, ∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3, ∴a1=a5=?=a61. ∴a1+a2+a3+?+a60 =(a2+a3)+(a4+a5)+?+(a60+a61) =3+7+11+?+(2×60-1) 30× 3+119 = =30×61=1 830. 2 2.设{an}是首项为 a,公差为 d 的等差数列(d≠0),Sn 是其前 n 项的和.记 bn=

nSn

n2+c



n∈N*,其中 c 为实数. 2 * (1)若 c=0,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明:Snk=n Sk(k,n∈N ); (2)若{bn}是等差数列,证明:c=0. n n- 证明:由题设,Sn=na+ d.
2 Sn n-1 (1)由 c=0,得 bn= =a+ d. n 2

4

又 b1,b2,b4 成等比数列,

? d?2 ? 3 ? 2 所以 b2=b1b4,即?a+ ? =a?a+ d?, ? 2? ? 2 ? 2 化简得 d -2ad=0.因为 d≠0,所以 d=2a. * 2 因此,对于所有的 m∈N ,有 Sm=m a. * 2 2 2 2 从而对于所有的 k,n∈N ,有 Snk=(nk) a=n k a=n Sk.
(2)设数列{bn}的公差是 d1,则 bn=b1+(n-1)d1,即

nSn * =b1+(n-1)d1,n∈N ,代入 n2+c
2 ?

1 ? 3 ? 1 ? 2 ? * Sn 的表达式, 整理得, 对于所有的 n∈N , 有?d1- d?n +?b1-d1-a+ d?n +cd1n=c(d1-b1).

?

2 ?

?

1 1 令 A=d1- d,B=b 1-d1-a+ d,D=c(d1-b1), 2 2 * 3 2 则对于所有的 n∈N ,有 An +Bn +cd1n=D.(*) 在(*)式中分别取 n=1,2,3,4,得 A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1 =64A+16B+4cd1, 7A+3B+cd1=0, ? ? 从而有?19A+5B+cd1=0, ? ?21A+5B+cd1=0, ① ② ③

1 由②③,得 A=0,cd1=-5B,代入方程①,得 B=0,从而 cd1=0.即 d1- d=0,b1- 2 1 d1-a+ d=0,cd1=0. 2 1 若 d1=0,则由 d1- d=0,得 d=0,与题设矛盾,所以 d1≠0. 2 又 cd1=0,所以 c=0. [高频滚动] 1.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项 和.若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项 5 为 ,则 S5=( ) 4 A.35 B.33 C.31 D.29 解析:选 C 设数列{an}的公比为 q,则由等比数列的性质知,a2·a3=a1·a4=2a1,即 a4=2. 5 5 由 a4 与 2a7 的等差中项为 知,a4+2a7=2× , 4 4 5 1? ? 1 ∴a7= ?2× -a4?= . 4 2? ? 4 a7 1 1 3 ∴q = = ,即 q= . a4 8 2 1 3 ∴a4=a1q =a1× =2, 8 ? 1? 16?1- 5? ? 2? ∴ a1=16,∴S5= =31. 1 1- 2 1 2.已知数列{an}是等比数列,若 a2=2,a5= ,则 a1a2+a2a3+?+anan+1=( ) 4 -n -n A.16(1-4 ) B.16(1-2 )

5

32 32 -n -n (1-4 ) D. (1-2 ) 3 3 解析:选 C 设等比数列{an}的公比为 q. 1 a5 1 3 ∵a2=2,a5= ,∴q = = , 4 a2 8 1 ?1?n-1 ?1?n-3 ∴a1=4,q= ,∴an=4·? ? =? ? , 2 ?2? ?2? ?1?2n-5 ?1?n-1 ∴anan+1=? ? =8×? ? , 2 ? ? ?4? ? ?1?n? 8?1-? ? ? ? ?4? ? 32 -n a1a2+a2a3+?+anan+1= = (1-4 ). 1 3 1- 4 C.

6


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