[配套K12]2016-2017学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 极大值与极小值课时作

配套 K12 内容资料 3.3.2 极大值与极小值 课时目标 1.了解极大(小)值的概念.2.结合图象,了解函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件.3.能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值. 1.若函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小, f′(a)=0,而且在点 x=a 附近的左侧__________,右侧__________.类似地,函数 y =f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大,f′(b)=0, 而且在点 x=b 附近的左侧__________,右侧________. 我们把 f(a)叫做函数的__________;f(b)叫做函数的__________.极大值和极小值统 称 为 ________. 极值 反映 了函 数在 ______________ 的大 小情 况, 刻画的是 函数 的 ________性质. 2.函数的极值点是______________的点,导数为零的点__________(填“一定”或“不 一定”)是函数的极值点. 3.一般地,求函数 f(x)的极值的方法是: 解方程 f′(x)=0.当 f′(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧________,右侧________,那么 f(x0)是__________; (2)如果在 x0 附近的左侧________,右侧________,那么 f(x0)是__________; (3)如果 f′(x)在点 x0 的左右两侧符号不变,则 f(x0)____________. 一、填空题 1.已知函数 f(x),x∈R,且在 x=1 处 f(x)存在极小值,则成立的结论为________.(填 序号) ①当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0, 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0; ②当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0, 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0; ③当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0, 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0; ④当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0, 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 2.已知函数 y=x3+ax2+bx+27 在 x=-1 处有极大值,在 x=3 处有极小值,则 a= ______,b=______. 3.函数 f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则 b 的取值范围为________. 4.函数 f(x)=x+1x在 x>0 时有________.(填序号) ①极小值; ②极大值; ③既有极大值又有极小值; ④极值不存在. 5.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为________. 6.若函数 f(x)=xx2++1a在 x=1 处取极值,则 a=______. 7.函数 f(x)=ax3+bx 在 x=1 处有极值-2,则 a、b 的值分别为________、________. 8.函数 f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围是 ________. 配套 K12 内容资料 配套 K12 内容资料 二、解答题 9.求下列函数的极值. (1)f(x)=x3-12x;(2)f(x)=xe-x. 10.设函数 f(x)=x3-92x2+6x-a. (1)对于任意实数 x,f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 能力提升 11.已知函数 f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b). (1)当 a=1,b=2 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)设 x1,x2 是 f(x)的两个极值点,x3 是 f(x)的一个零点,且 x3≠x1,x3≠x2. 证明:存在实数 x4,使得 x1,x2,x3,x4 按某种顺序排列后构成等差数列,并求 x4. 配套 K12 内容资料 配套 K12 内容资料 1.求函数的极值问题要考虑极值取到的条件,极值点两侧的导数值异号. 2.极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用,以及与单调性问题的综合,利 用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题. 3.3.2 极大值与极小值 知识梳理 1.f′(x)<0 f′(x)>0 f′(x)>0 f′(x)<0 极小值 极大值 极值 某一点附近 局部 2.导数为零 不一定 3.(1)f′(x0)>0 f′(x0)<0 极大值 (2)f′(x0)<0 f′(x0)>0 极小值 (3)不是极 值 作业设计 1.③ 解析 ∵f(x)在 x=1 处存在极小值, ∴x<1 时,f′(x)<0,x>1 时,f′(x)>0, 故③成立. 2.-3 -9 解析 由题意 y′=3x2+2ax+b=0 的两根为-1 和 3,∴由根与系数的关系得, -1+3=-23a,-1×3=b3,∴a=-3,b=-9. 3.(0,1) 解析 f′(x) = 3x2- 3b, 要 使 f(x) 在 (0,1) 内 有 极 小 值 , 则 ?? f ???f ,即 ??-3b<0 ???3-3b>0 ,解得 0<b<1. 4.① 解析 ∵f′(x)=1-x12, 由?????fx>0 x , 得 x>1,即在(1,+∞)内 f′(x)>0, 由?????fx>0 x , 得 0<x<1,即在(0,1)内 f′(x)<0, ∴f(x)在(0,+∞)有极小值. 5.(-∞,-3),(6,+∞) 解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+a+6, ∴f′(x)的图象是开口向上的抛物线,只有当 Δ =4a2-12(a+6)>0 时,图象与 x 轴的 左交点两侧 f′(x)的值分别大于零、小于零,右交点左右两侧 f′(x)的值分别小于零、

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