配套K12高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第4节直线平面平行的判定与性质基丛点练理

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第 4 节 直线、平面平行的判定与性质

【选题明细表】

知识点、方法

题号

与平行有关的命题判断

1,2,3,5,7

直线与平面平行

6,8,10,11,14

平面与平面平行

9,11,15

综合问题

4,12,13,15

基础对点练(时间:30 分钟)

1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,与直线 CC1 平行的棱的条数是( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:与直线 CC1 平行的棱有 AA1,BB1,DD1,共 3 条. 2.设 l 表示直线,α ,β 表示平面.给出四个结论:

①如果 l∥α ,则α 内有无数条直线与 l 平行;

②如果 l∥α ,则α 内任意的直线与 l 平行;

③如果α ∥β ,则α 内任意的直线与β 平行;

④如果α ∥β ,对于α 内的一条确定的直线 a,在β 内仅有唯一的直线与 a 平行.

以上四个结论中,正确结论的个数为( C )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:②中α 内的直线与 l 可异面,④中可有无数条.

3.(2016 福建联考)设 l,m,n 表示不同的直线,α ,β ,γ 表示不同的平面,给出下列四个命题:

①若 m∥l,且 m⊥α ,则 l⊥α ;

②若 m∥l,且 m∥α ,则 l∥α ;

③若α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,则 l∥m∥n;

④若α ∩β =m,β ∩γ =l,γ ∩α =n,且 n∥β ,则 l∥m.

其中正确命题的个数是( B )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:对①,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故①正确;对②,

直线 l 可能在平面α 内,故②错误;对③,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故③错误;

对④,结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上①④正确.

4.(2015 揭阳一模)设平面α ,β ,直线 a,b,a? α ,b? α ,则“a∥β ,

b∥β ”是“α ∥β ”的( B )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:由平面与平面平行的判定定理可知,若直线 a,b 是平面α 内两条相交直线,且有“a∥

β ,b∥β ”,则有“α ∥β ”;当“α ∥β ”,若 a? α ,b? α ,则有“a∥β ,b∥β ”,因此“a

∥β ,b∥β ”是

“α ∥β ”的必要不充分条件.

5.(2016 温州模拟)已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的平面,下列命题中错

误的是( C )

(A)若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β

(B)若α ∥γ ,β ∥γ ,则α ∥β

(C)若 m? α ,n? β ,m∥n,则α ∥β

(D)若 m,n 是异面直线,m? α ,m∥β ,n? β ,n∥α ,则α ∥β

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解析:由线面垂直的性质可知 A 正确;由两个平面平行的性质可知 B 正确;由异面直线的性质 易知 D 也是正确的;对于选项 C,α ,β 可以相交、可以平行,故 C 错误. 6. 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,AD 上的点,且 AE∶EB=AF∶FD=1∶4, 又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则( B )

(A)BD∥平面 EFGH,且四边形 EFGH 是矩形

(B)EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形

(C)HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是菱形

(D)EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是平行四边形

解析:由 AE∶EB=AF∶FD=1∶4 知 EF BD,

所以 EF∥平面 BCD.

又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,

所以 HG BD.

所以 EF∥HG 且 EF≠HG,

所以四边形 EFGH 是梯形.

7.(2015 汕头质检)若 m,n 为两条不重合的直线,α ,β 为两个不重合的平面,则下列命题中真

命题的序号是

.

①若 m,n 都平行于平面α ,则 m,n 一定不是相交直线;

②若 m,n 都垂直于平面α ,则 m,n 一定是平行直线;

③已知α ,β 互相平行,m,n 互相平行,若 m∥α ,则 n∥β ;

④若 m,n 在平面α 内的射影互相平行,则 m,n 互相平行.

解析:①为假命题;②为真命题;在③中,n 可以平行于β ,也可以在β 内,故是假命题;在④

中,m,n 也可能异面,故为假命题.

答案:②

8. 如图所示,在四面体 ABCD 中,M,N 分别是△ACD,△BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN

平行的是

.

解析:连接 AM 并延长交 CD 于 E,连接 BN,并延长交 CD 于 F,由重心性质可知,E,F 重合为一点, 且该点为 CD 的中点 E,由 = =,得 MN∥AB.因此,MN∥平面 ABC 且 MN∥平面 ABD.

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答案:平面 ABC、平面 ABD

9.在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,则点

Q 满足条件

时,有平面 D1BQ∥平面 PAO.

解析: 假设 Q 为 CC1 的中点,因为 P 为 DD1 的中点,所以 QB∥PA.

连接 DB,因为 P,O 分别是 DD1,DB 的中点,所以 D1B∥PO,

又 D1B?平面 PAO,QB?平面 PAO, 所以 D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, 又 D1B∩QB=B, 所以平面 D1BQ∥平面 PAO. 故 Q 满足条件 Q 为 CC1 的中点时, 有平面 D1BQ∥平面 PAO. 答案:Q 为 CC1 的中点 10. 如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中, E,H 分别为棱 A1B1,D1C1 上的点,且 EH∥A1D1,过 EH 的平面 与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F,G,求证:FG∥平面 ADD1A1.
证明:因为 EH∥A1D1,A1D1∥B1C1, EH?平面 BCC1B1,B1C1? 平面 BCC1B1, 所以 EH∥平面 BCC1B1, 又平面 FGHE∩平面 BCC1B1=FG, 所以 EH∥FG,即 FG∥A1D1, 又 FG?平面 ADD1A1,A1D1? 平面 ADD1A1, 所以 FG∥平面 ADD1A1. 11. 如图,四边形 ABCD 与 ADEF 均为平行四边形,M,N,G 分别是 AB,AD,EF 的中点.

(1)求证:BE∥平面 DMF; (2)求证:平面 BDE∥平面 MNG. 证明: (1)连接 AE,则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O,

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连接 MO,则 MO 为△ABE 的中位线,所以 BE∥MO, 又 BE?平面 DMF,MO? 平面 DMF, 所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N,G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD,EF 的中点, 所以 DE∥GN, 又 DE?平面 MNG,GN? 平面 MNG, 所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 的中点, 所以 MN 为△ABD 的中位线, 所以 BD∥MN, 又 MN? 平面 MNG,BD?平面 MNG, 所以 BD∥平面 MNG, 又 DE,BD? 平面 BDE,DE∩BD=D, 所以平面 BDE∥平面 MNG.
能力提升练(时间:15 分钟) 12.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M 是棱 A1B1 的中点,点 P 是侧面 CDD1C1 上的动点,且 MP∥平面 AB1C, 则线段 MP 扫过的图形是( B ) (A)中心角为 30°的扇形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 解析: 取 CD 的中点 N,CC1 的中点 R,B1C1 的中点 H,连接 MH,MN,HR,NR,MR,则 MN∥B1C∥HR,MH ∥AC,故平面 MNRH∥平面 AB1C,故当点 P 在 NR 上运动时,MP∥平面 AB1C,所以线段 MP 扫过的 图形是△MNR.设 AB=2,则 MN=2 ,NR= ,MR= ,所以 MN2=NR2+MR2,所以△MNR 是直角三角形, 即线段 MP 扫过的图形是直角三角形.

13. (2016 温州模拟)如图,矩形 ABCD 中,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻转成△A1DE.

若 M 为线段 A1C 的中点,则在△ADE 翻转过程中,正确的命题是

.

①MB 是定值; ②点 M 在圆上运动; ③一定存在某个位置,使 DE⊥A1C; ④一定存在某个位置,使 MB∥平面 A1DE. 解析: 取 DC 中点 N,连接 MN,NB,则 MN∥A1D,NB∥DE,

所以平面 MNB∥平面 A1DE, 小学+初中+高中+努力=大学

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因为 MB? 平面 MNB, 所以 MB∥平面 A1DE,④正确; ∠A1DE=∠MNB,MN=A1D=定值,NB=DE=定值,根据余弦定理得 MB2=MN2+NB2-2MN·NB·cos ∠MNB, 所以 MB 是定值.①正确; B 是定点,所以 M 是在以 B 为圆心,MB 为半径的圆上,②正确; 当矩形 ABCD 满足 AC⊥DE 时存在,其他情况不存在,③不正确. 所以①②④正确. 答案: ①②④ 14. 如图,几何体 EABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.
(1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120°,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC. 证明: (1)如图所示,取 BD 的中点 O,连接 CO,EO.
由于 CB=CD,所以 CO⊥BD. 又 EC⊥BD,EC∩CO=C, CO,EC? 平面 EOC, 所以 BD⊥平面 EOC, 因此 BD⊥EO. 又 O 为 BD 的中点, 所以 BE=DE.
(2)法一 如图所示,取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN.
因为 M 是 AE 的中点, 所以 MN∥BE. 又 MN?平面 BEC, BE? 平面 BEC, 所以 MN∥平面 BEC. 又因为△ABD 为正三角形, 所以∠BDN=30°. 又 CB=CD,∠BCD=120°,
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因此∠CBD=30°,所以 DN∥BC. 又 DN?平面 BEC,BC? 平面 BEC, 所以 DN∥平面 BEC. 又 MN∩DN=N, 所以平面 DMN∥平面 BEC. 又 DM? 平面 DMN, 所以 DM∥平面 BEC. 法二 如图所示,延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF.
因为 CB=CD,∠BCD=120°, 所以∠CBD=30°. 因为△ABD 为正三角形, 所以∠BAD=∠ABD=60°,∠ABC=90°, 因此∠AFB=30°,所以 AB=AF. 又 AB=AD,所以 D 为线段 AF 的中点, 连接 DM,由点 M 是线段 AE 的中点,得 DM∥EF. 又 DM?平面 BEC,EF? 平面 BEC, 所以 DM∥平面 BEC. 15. 如图所示,棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 为菱形,平面 AA1C1C⊥平面 ABCD.
(1)证明:BD⊥AA1; (2)证明:平面 AB1C∥平面 DA1C1; (3)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP∥平面 DA1C1? (1)证明:因为底面 ABCD 为菱形, 所以 BD⊥AC. 由于平面 AA1C1C⊥平面 ABCD, 平面 AA1C1C∩平面 ABCD=AC, 所以 BD⊥平面 AA1C1C,故 BD⊥AA1. (2)证明:连接 B1C,AB1,由棱柱 ABCDA1B1C1D1 的性质知 AB1∥DC1,A1D∥B1C,又 AB1∩B1C=B1,A1D∩ DC1=D. 故平面 AB1C∥平面 DA1C1.
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(3)解:存在这样的点 P. 因为 A1B1ABDC, 所以四边形 A1B1CD 为平行四边形, 所以 A1D∥B1C. 在 C1C 的延长线上取点 P, 使 C1C=CP,连接 BP. 因为 B1BCC1, 所以 BB1CP, 所以四边形 BB1CP 为平行四边形, 则 BP∥B1C, 所以 BP∥A1D, 而 BP?平面 DA1C1,A1D? 平面 DA1C1, 所以 BP∥平面 DA1C1. 故在直线 C1C 上存在 C1C=CP 的点 P 符合题意.
精彩 5 分钟 1. (2015 天津滨海模拟)如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,且 PQ∥AC,则下列命题 中,错误的是( C )

(A)AC⊥BD

(B)AC∥截面 PQMN

(C)AC=BD

(D)异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°

解题关键:此题的关键是利用线线平行得到线面平行.

解析:由题意可知 QM∥BD,PQ⊥QM,所以 AC⊥BD,故 A 正确;由 PQ∥AC 可得 AC∥截面 PQMN,故

B 正确;由 PN∥BD 可知,异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 PN 所成的角,又四边形 PQMN

为正方形,所以∠MPN=45°,故 D 正确.

2. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,Q 是 CC1 的中点,F 是侧面 BCC1B1 内的动点且 A1F∥平面 D1AQ,则

A1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值的取值范围为

.

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解题关键:解此题的关键是确定动点 F 的位置,再确定 A1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值最大 值和最小值时的位置. 解析: 设平面 AD1Q 与直线 BC 交于点 G,连接 AG,QG,则 G 为 BC 的中点,分别取 B1B,B1C1 的中点 M,N,连接 A1M,MN,A1N,如图所示.

因为 A1M∥D1Q,A1M?平面 D1AQ,D1Q? 平面 D1AQ, 所以 A1M∥平面 D1AQ,同理可得 MN∥平面 D1AQ. 因为 A1M,MN 是平面 A1MN 内的两条相交直线, 所以平面 A1MN∥平面 D1AQ. 由此结合 A1F∥平面 D1AQ,可得直线 A1F? 平面 A1MN, 即点 F 是线段 MN 上的动点. 设直线 A1F 与平面 BCC1B1 所成角为θ , 移动点 F 并加以观察,可得当点 F 与 M(或 N)重合时,A1F 与平面 BCC1B1 所成角等于∠A1MB1,此 时所成角θ 达到最小值,满
足 tan θ = =2;当点 F 与 MN 中点重合时,A1F 与平面 BCC1B1 所成角达到最大值,满足 tan

θ=

=2 ,

所以 A1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值的取值范围为[2,2 ]. 答案:[2,2 ]

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