高中数学必修2-4.2.2《圆与圆的位置关系》同步练习

4.2.2 《圆与圆的位置关系》同步练习
一、选择题 1.圆 C1:x2+y2+4x+8y-5=0 与圆 C2:x2+y2+4x+4y-1=0 的位置关系为( A.相交 C.内切 [答案] C [解析] 由已知,得 C1(-2,-4),r1=5,C2(-2,-2),r2=3,则 d=|C1C2|=2,∴d=|r1-r2|.∴两 圆内切. 2.已知圆 C1:(x+1)2+(y-3)2=25,圆 C2 与圆 C1 关于点(2,1)对称,则圆 C2 的方程是( A.(x-3)2+(y-5)2=25 C.(x-1)2+(y-4)2=25 [答案] B [解析] 设⊙C2 上任一点 P(x,y),它关于(2,1)的对称点(4-x,2-y)在⊙C1 上,∴(x-5)2+(y+1)2=25. 3. 若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1 始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4 的周长, 则 a、 b 应满足的关系式是( A.a2-2a-2b-3=0 C.a2+2b2+2a+2b+1=0 [答案] B [解析] 利用公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4 的圆心即可求得.两圆的公共弦所在直线方程为: (2a+2)x+(2b+2)y-a2-1=0,它过圆心(-1,-1),代入得 a2+2a+2b+5=0. 4.两圆 x2+y2=16 与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点处的切线互相垂直,则 r=( A.5 C.3 [答案] C
2 2 2 2 2 [解析] 设一个交点 P(x0,y0),则 x2 0+y0=16,(x0-4) +(y0+3) =r ,∴r =41-8x0+6y0,

)

B.外切 D.外离

)

B.(x-5)2+(y+1)2=25 D.(x-3)2+(y+2)2=25

)

B.a2+2a+2b+5=0 D.3a2+2b2+2a+2b+1=0

)

B.4 D.2 2

∵两切线互相垂直, y0 y0+3 ∴ · =-1,∴3y0-4x0=-16. x0 x0-4 ∴r2=41+2(3y0-4x0)=9,∴r=3. 5. 若集合 A={(x, y)|x2+y2≤16|, B={(x, y)|x2+(y-2)2≤a-1}, 且 A∩B=B, 则 a 的取值范围是( A.a≤1 C.1≤a≤5 [答案] D [解析] A∩B=B 等价于 B?A.当 a>1 时, 集合 A 和 B 分别代表圆 x2+y2=16 和圆 x2+(y-2)2 =a-1 上及内部的点,容易得出当 B 对应的圆的半径长小于等于 2 时符合题意.由 0<a-1≤4,得 1<a≤5;当 a =1 时,集合 B 中只有一个元素(0,2),满足 B?A;当 a<1 时,集合 B 为空集,也满足 B?A.综上可知,当 B.a≥5 D.a≤5 )

1

a≤5 时符合题意. 6. 若圆(x-a)2+(y-a)2=4 上, 总存在不同的两点到原点的距离等于 1, 则实数 a 的取值范围是( A.? 2 3 2? ?2, 2 ? 3 2 2? B.?- ? 2 ,- 2 ? D.?- )

3 2 2? ? 2 3 2? C.?- ∪ ? 2 ,- 2 ? ? 2 , 2 ? [答案] C

?

2 2? , 2 2?

[解析] 圆(x-a)2+(y-a)2=4 的圆心 C(a,a),半径 r=2,到原点的距离等于 1 的点的集合构成一个 圆,这个圆的圆心是原点 O,半径 R=1,则这两个圆相交,圆心距 d= a2+a2= 2|a|,则|r-R|<d<r+R, 则 1< 2|a|<3,所以 2 3 2 <|a|< , 2 2

3 2 2 2 3 2 所以- <a<- 或 <a< . 2 2 2 2 二、填空题 7.若点 A(a,b)在圆 x2+y2=4 上,则圆(x-a)2+y2=1 与圆 x2+(y-b)2=1 的位置关系是________. [答案] 外切 [解析] ∵点 A(a,b)在圆 x2+y2=4 上, ∴a2+b2=4. 又圆 x2+(y-b)2=1 的圆心 C1(0,b),半径 r1=1, 圆(x-a)2+y2=1 的圆心 C2(a,0),半径 r2=1, 则 d=|C1C2|= a2+b2= 4=2, ∴d=r1+r2.∴两圆外切. 8.与直线 x+y-2=0 和圆 x2+y2-12x-12y+54=0 都相切的半径最小的圆的标准方程是________. [答案] (x-2)2+(y-2)2=2 [解析] 已知圆的标准方程为(x-6)2+(y-6)2=18,则过圆心(6,6)且与直线 x+y-2=0 垂直的方程为 x-y=0.方程 x-y=0 分别与直线 x+y-2=0 和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(-3, -3). 由 题意知所求圆在已知直线和已知圆之间,故所求圆的圆心为 (2,2),半径为 2,即圆的标准方程为 (x-2)2 +(y-2)2=2. 9.已知点 P 在圆 x2+y2-8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 x2+y2+4x+2y+1=0 上,则|PQ|的最小值是 ________. [答案] 3 5-5 [解析] 两圆的圆心和半径分别为 C1(4,2),r1=3,C2(-2,-1),r2=2, ∴d=|C1C2|= 45>r1+r2=5.∴两圆外离. ∴|PQ|min=|C1C2|-r1-r2=3 5-3-2=3 5-5. 三、解答题 10.已知圆 M:(x+1)2+y2=1.圆 N:(x-1)2+y2 =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P

2

的轨迹为曲线 C 求 C 的方程. [分析] 根据动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切得|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=4, 再根据两点

间距离公式求得 C 的方程. [解析] 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径长 r1=1,圆 N 的圆心为 N(1,0),半径长 r2=3. 设动圆 P 的圆心为 P(x,y),半径长为 R,∵圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|=(R+r1) +(r2-R)=r1+r2=4. 由两点间距离公式得 ?x+1?2+y2+ ?x-1?2+y2=4,即 ?x+1? 2+y2=4- ?x-1?2+y2,两边平方 x2 x2 化简得 C 的方程为 + =1(x≠-2). 4 3 11.求以圆 C1:x2+y2-12x-2y-13=0 和圆 C2:x2+y2+12x+16y-25=0 的公共弦为直径的圆 C 的方程. [解析] 方法 1:联立两圆方程
2 2 ? ?x +y -12x-2y-13=0, ? 2 2 ?x +y +12x+16y-25=0, ?

相减得公共弦所在直线方程为 4x+3y-2=0.
? ?4x+3y-2=0, 再由? 2 2 ?x +y -12x-2y-13=0, ?

联立得两圆交点坐标(-1,2),(5,-6). ∵所求圆以公共弦为直径, ∴圆心 C 是公共弦的中点(2,-2),半径为 1 ?5+1?2+?-6-2?2=5. 2 ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y+2)2=25. 方法 2:由方法 1 可知公共弦所在直线方程为 4x+3y-2=0.设所求圆的方程为 x2+y2-12x-2y-13 +λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ 为参数). 12λ-12 16λ-2 可求得圆心 C(- ,- ). 2?1+λ? 2?1+λ? ∵圆心 C 在公共弦所在直线上, -?12λ-12? -?16λ-2? ∴4· +3· -2=0, 2?1+λ? 2?1+λ? 1 解得 λ= . 2 ∴圆 C 的方程为 x2+y2-4x+4y-17=0. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆 C2:(x-4)2+(y-5)2=4

3

(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点 P 的坐标. [解析] (1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-4),圆 |1-k?-3-4?| C1 的圆心 C1(-3,1)到直线 l 的距离为 d= , 1+k2 因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3, ∴4=( 3)2+d2,∴k(24k+7)=0, 7 即 k=0 或 k=- , 24 所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0 (2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0,则直线 l2 的方程为 y-b=- 1 (x-a),因为 C1 和 C2 的半径相等,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,所以 k 圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等, |1-k?-3-a?-b| ? 即 = 1+k2

?5+1?4-a?-b? k ?
1 1+ 2 k

整理得:|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, ∴1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5. 因为 k 的取值有无穷多个,所以
? ? ?a+b-2=0 ?a-b+8=0 ? ,或? , ?b-a+3=0 ? ? ?a+b-5=0

?a=2 解得? 1 ?b=-2

5

?a=-2 或? 13 ?b= 2

3

5 1? ? 3 13? 这样点 P 只可能是点 P1? ?2,-2?或点 P2?-2, 2 ?. 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件.

4

5


相关文档

高中数学人教A版必修2同步练习:4.2.2圆与圆的位置关系
高中数学人教B版必修2同步练习:2.3.4圆与圆的位置关系
新北师大版高中数学必修二同步练习:2.2.3.2直线与圆、圆与圆的位置关系(二)(含答案)
高中数学北师大版必修2同步练习:2.2.3 第2课时圆与圆的位置关系2(含答案)
湖北省宜昌市葛洲坝中学高中数学必修二同步练习:4-2-2 圆与圆的位置关系 精品
高中数学第二章平面解析几何初步2.3.4圆与圆的位置关系同步练习(含解析)新人教B版必修2
2017年春季学期新人教B版高中数学必修2同步练习:2.3.4-圆与圆的位置关系
高中数学北师大版必修2同步练习:2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)(含答案解析)
2018-2019学年最新高中数学人教A版必修二4.2.2《圆与圆的位置关系》同步练习-精编试题
电脑版