【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学选修2-1课时作业:2.2.1]


§ 2.2 2.2.1

椭圆

椭圆的标准方程

课时目标 1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.理解椭圆的定义,明确焦点、 焦距的概念.3.能由椭圆定义推导椭圆的方程,初步学会求简单的椭圆的标准方程.

1.椭圆的概念:平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨 迹 叫 做 ________ . 这 两个 定 点 叫 做 椭 圆 的 ________ , 两 焦 点 间 的 距 离叫做 椭 圆 的 ________.设平面内一点 P,当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,轨迹是____________;当|PF1|+ |PF2|<|F1F2|时__________轨迹. 2 .椭圆的方程:焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 ________________ ,焦点坐标为 ________________ , 焦 距 为 ____________ ; 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ________________.

一、选择题 1.设 F1,F2 为定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则动点 M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 x2 y2 2.椭圆 + =1 的左右焦点为 F1,F2,一直线过 F1 交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 的 16 7 周长为( ) A.32 B.16 C.8 D.4 3.椭圆 2x2+3y2=1 的焦点坐标是( ) 6 A.?0,± ? B.(0,± 1) 6? ? 6 C.(± 1,0) D.?± ,0? ? 6 ? x2 y2 4.方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是( ) |a|-1 a+3 A.(-3,-1) B.(-3,-2) C.(1,+∞) D.(-3,1) 5 3 ,- ?,则该椭圆的方程是( 5.若椭圆的两焦点为(-2,0),(2,0),且该椭圆过点? ) 2 2? ? 2 2 2 2 y x y x A. + =1 B. + =1 8 4 10 6 y2 x2 y2 x2 C. + =1 D. + =1 4 8 6 10 x2 y2 6.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且 P 到两个焦点的距离之 16 12 差为 2,则△PF1F2 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.直角三角形 二、填空题 x2 y2 7.椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=________,∠ 9 2 F1PF2 的大小为________.

x2 y2 8. P 是椭圆 + =1 上的点, F1 和 F2 是该椭圆的焦点, 则 k=|PF1|· |PF2|的最大值是______, 4 3 最小值是______. 9.“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,设其近地点 距地面 n 千米,远地点距地面 m 千米,地球半径为 R,那么这个椭圆的焦距为________ 千米. 三、解答题 10.根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10; 3 5? (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点? ?-2,2?.

11.已知点 A(0, 3)和圆 O1:x2+(y+ 3)2=16,点 M 在圆 O1 上运动,点 P 在半径 O1M 上,且|PM|=|PA|,求动点 P 的轨迹方程.

能力提升

y 12.若点 O 和点 F 分别为椭圆 x ?
2

2

4

3

? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,

→ 则 OP · FP的最大值为( A.2 B.3 13.

) C.6 D .8

如图△ABC 中底边 BC=12,其它两边 AB 和 AC 上中线的和为 30,求此三角形重心 G 的 轨迹方程,并求顶点 A 的轨迹方程.

1.椭圆的定义中只有当距离之和 2a>|F1F2|时轨迹才是椭圆;如果 2a=|F1F2|,轨迹是线 段 F1F2;如果 2a<|F1F2|,则不存在轨迹. 2.椭圆的标准方程有两种表达式,但总有 a>b>0,因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要 看方程中的分母,焦点在分母大的对应轴上. 3.求椭圆的标准方程常用待定系数法,一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的 标准方程,然后再计算;如果不能确定焦点的位置,有两种方法求解,一是分类讨论, 二是设椭圆方程的一般形式,即 mx2+ny2=1 (m,n 为不相等的正数).

§ 2.2 2.2.1
知识梳理 1.常数 椭圆 焦点 焦距





椭圆的标准方程
不存在

线段 F1F2

x2 y2 y2 x2 2. 2 + 2=1 (a>b>0) F1(-c,0),F2(c,0) 2c 2 + 2=1 (a>b>0) a b a b 作业设计 1.D [∵|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|, ∴动点 M 的轨迹是线段.] 2.B [由椭圆方程知 2a=8, 由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=2a=8, |BF1|+|BF2|=2a=8,所以△ABF2 的周长为 16.] 3.D 4.B [|a|-1>a+3>0?-3<a<-2.] 5 3 ,- ?验证即可.] 5.D [椭圆的焦点在 x 轴上,排除 A、B,又过点? 2 2? ? 6.D [由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8. 由题可得||PF1|-|PF2||=2, 则|PF1|=5 或 3,|PF2|=3 或 5. 又|F1F2|=2c=4,∴△PF1F2 为直角三角形.] 7.2 120° 解析

∵|PF1|+|PF2| =2a=6, ∴|PF2|=6-|PF1|=2. 在△F1PF2 中, cos∠F1PF2= |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1|· |PF2| 16+4-28 1 = =- ,∴∠F1PF2=120° . 2 2×4×2 8.4 3 解析 设|PF1|=x,则 k=x(2a-x), 因 a-c≤|PF1|≤a+c,即 1≤x≤3. ∴k=-x2+2ax=-x2+4x=-(x-2)2+4, ∴kmax=4,kmin=3. 9.m-n
? ?a+c=m+R 解析 设 a,c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距,则? ,则 2c=m-n. ?a-c=n+R ? x2 y2 10.解 (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,∴设椭圆的标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b ∵2a=10,∴a=5,又∵c=4. ∴b2=a2-c2=52-42=9. x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 9 (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设椭圆的标准方程为 2 + 2=1 (a>b>0). a b ?-3?2+?5+2?2+ 由椭圆的定义知,2a= ? 2? ?2 ?

?-3?2+?5-2?2=3 10+ 10=2 10, ? 2? ?2 ? 2 2
∴a= 10. 又∵c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6. y2 x2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 10 6 11.解 ∵|PM|=|PA|,|PM|+|PO1|=4, ∴|PO1|+|PA|=4,又∵|O1A|=2 3<4, ∴点 P 的轨迹是以 A、O1 为焦点的椭圆, ∴c= 3,a=2,b=1, y2 ∴动点 P 的轨迹方程为 x2+ =1. 4 12.C [由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0), → → 2 则OP· FP=(x0,y0)· (x0+1,y0)=x2 0+x0+y0. 2 2 x0 y0 ∵P 为椭圆上一点,∴ + =1. 4 3 x2 → → 0 ∴OP· FP=x2 0+x0+3(1- ) 4 x2 1 0 = +x0+3= (x0+2)2+2. 4 4 ∵-2≤x0≤2, → → ∴· OP· FP的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于 6.] 13.解 以 BC 边所在直线为 x 轴,BC 边中点为原点,建立如图所示坐标系,则 B(6,0), C(-6,0),CE、BD 分别为 AB、AC 边上的中线, 则|BD|+|CE|=30. 由重心性质可知

|GB|+|GC| 2 = (|BD|+|CE|)=20. 3 ∵B、C 是两个定点,G 点到 B、C 距离和等于定值 20,且 20>12, ∴G 点的轨迹是椭圆,B、C 是椭圆焦点. ∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10, b2=a2-c2=102-62=64, x2 y2 故 G 点的轨迹方程为 + =1, 100 64 去掉(10,0)、(-10,0)两点. x′2 y′2 又设 G(x′,y′),A(x,y),则有 + =1. 100 64 x x′= , 3 由重心坐标公式知 y y′= . 3 x2 y2 ? ? ? ? 3 3 故 A 点轨迹方程为 + =1. 100 64

? ? ?



x2 y2 + =1,去掉(-30,0)、(30,0)两点. 900 576


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