谈高考数学中的得分策略


谈高考数学中的得分策略
------关于山东高考数学得分策略
对于山东高考数学题,特点是压轴题,有很多同学抱着“回避”的态度,这种“回避” 必然导致“起评分”降低----别人从“150 分”的试题中得分,而你只能从“120 分”的试 题中得分。因此,从某种意义上说,这种“回避”增加了考试的难度!因为,假如有些基础 题你思维“短路”,立刻导致考试“溃败”。其实,只要我们了解高考数学题的特点,并且 掌握一定的答题技巧,注意评分的细则,相信同学们还是能够取得高分的。下面,我谈一谈 我的几点认识,供同学们参考。

1.评分标准
对于所有认真复习迎考的同学而言, 通过训练都能获得六道解答题的解题思路, 但如何 得全分,却需要下一定的功夫。如果想得到全分,就需要对标分标准,特别是最近几年的阅 卷的评分细则有一个大致的了解。 下面通过 2015 年高考的两道试题的评分细则做一下解读, 通过细则的解读,希望同学们能减少失误,做到“一分不浪费。 ”

1

2

3

4

2015 年山东高考第 18 题评分细则 (18)(本小题满分 12 分) 设数列{an }的前 n 项和为 S n . 已知 2S n ? 3n ? 3. (1)求{an }的通项公式. (2)若数列{bn }满足 an bn ? log 3 an ,求{bn }的前 n 和Tn . 省标答案. 18. 解:(1) 因为 2Sn ? 3n ? 3 , 所以 2a1 ? 3 ? 3 ,故 a1 ? 3 . 当 n ? 1 时, 2Sn?1 ? 3n?1 ? 3 此时 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 即 an ? 3n?1 , ..........................(5 分)
5

.........................(1 分)

所以 an ? ?

?3, n ? 1 n ?1 ?3 , n ? 1
1 3

.........................(6 分)

(2) 因为 anbn ? log3an ,所以 b1 ? . 当 n ? 1 时, bn ? 31?n log3 3n?1 ? (n ? 1)31?n ,.........................(8 分) 所以 T1 ? b1 ? ; 当 n ? 1 时,
Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn ? 1 ? (1 ? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ... ? (n ? 1) ? 31?n ) 3
1 3

所以 3Tn ? 1 ? (1? 30 ? 2 ? 3?1 ? ... ? (n ? 1) ? 32?n ) , 两式相减,得
2Tn ?

……. ...........(10 分)

2 ? (30 ? 3?1 ? 3?2 ? ... ? 32?n ) ? (n ? 1) ? 31?n 3 2 1 ? 31?n ? ? ? (n ? 1) ? 31?n ?1 3 1? 3 13 6n ? 3 ? ? , 6 2 ? 3n
13 6n ? 3 ? . 12 4 ? 3n

所以 Tn ?

经检验, n ? 1 时也适合. 综上可得 Tn ?
13 6n ? 3 ? . 12 4 ? 3n

.............(12 分)

18.(1)解法一: 因为 2Sn ? 3n ? 3 , 所以 2a1 ? 3 ? 3 ,故 a1 ? 3 . 当 n ? 1 时, 2Sn?1 ? 3n?1 ? 3 此时 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 . .......................(3 分) 即 an ? 3n?1 ?
3n 3n?1 ? 2 2

.........................(1 分)



..........................(5 分)
6

所以 an ? ? 解法二:

?3, n ? 1 n ?1 ?3 , n ? 1

.........................(6 分)

因为 2Sn ? 3n ? 3 , 所以 2a1 ? 3 ? 3 ,故 a1 ? 3 . 当 n ? 1 时, 2Sn?1 ? 3n?1 ? 3 , 即
Sn ?1 ? 3n ?1 3 ? 2 2 3n 3n ?1 ? 2 2

.........................(1 分)

此时 an ? Sn ? Sn?1 ?
an ? 3n?1

............................(3)

即 an ? 3n?1 , 所以 an ? ? 解法三: 因为 2Sn ? 3n ? 3 , 所以 2a1 ? 3 ? 3 ,故 a1 ? 3 . 当 n ? 2 时,?2S2 ? 32 ? 3, 当 n ? 3 时,?2S3 ? 33 ? 3, 当 n ? 4 时,?2S4 ? 34 ? 3, 所以猜想 an ? ?
?3, n ? 1 , n ?1 ?3 , n ? 1 ?3, n ? 1 n ?1 ?3 , n ? 1

..........................(5 分) .........................(6 分)

.........................(1 分)
?2(a1 ? a2 ) ? 12, ?a2 ? 3 ,

?2(a1 ? a2 ? a3 ) ? 30, ?2(a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? 84,

?a3 ? 9 , ?a4 ? 27 ,

............................(2 分)

验证猜想:当 n ? 1 时,结论成立; .......... ..................(3 分)

当 n ? 2 时,结论成立, ...........................(4 分)
7

假设 n ? k ( k ? 2) 时,结论成立,即 ak ? 3k ?1 , 则当 n ? k ? 1 时,
ak ?1 ? S k ?1 ? S k ?
1 k ?1 (3 ? 3) ? (a1 ? a 2 ? ? ? a k ) ? 3k , 2

………………………………………………………..(6 分) 解法四: 因为 2Sn ? 3n ? 3 , 所以 2a1 ? 3 ? 3 ,故 a1 ? 3 . 当 n ? 2 时,?2S2 ? 32 ? 3, 当 n ? 3 时,?2S3 ? 33 ? 3, 当 n ? 4 时,?2S4 ? 34 ? 3, 所以猜想 an ? ?
?3, n ? 1 , n ?1 ?3 , n ? 1

.........................(1 分)
?2(a1 ? a2 ) ? 12, ?a2 ? 3 ,

?2(a1 ? a2 ? a3 ) ? 30, ?2(a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? 84,

?a3 ? 9 , ?a4 ? 27 ,

............................(2 分)

则当 n ? k ? 1 时,
1 1 ak ?1 ? S k ?1 ? Sk ? (3k ?1 ? 3) ? (3k ?1 ? 3) ,……………..(4 2 2

分)

ak ?1 ? 3k

,

……………………………………………………..(6 分)
n 解法五 (1)? 2Sn ? 3 ? 3

? 2Sn-1 ? 3n-1 ? ( 3 n ? 2)

①-

②:

2an ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 (n ? 2) ...............................(2 分)

? an ? 3n?1 (n ? 2) ............................................ …....(4 分)
8

又: 2S1 ? 3 ? 3 ? 6

? 2a1 ? 6

n ?1 ? a1 ? 3 不适合 an ? 3 .................................(5 分)

n ?1 ?3, ? a n ? ? n ?1 ?3 , n ? 2 ................................................... (6 分)

(2)解法一: 因为 anbn ? log3an ,所以 b1 ? .
1 3

..........................(7 分)

当 n ? 1 时, bn ? 31?n log3 3n?1 ? (n ? 1)31?n ,.........................(8 分) 所以 T1 ? b1 ? ; 当 n ? 1 时,
Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn ? 1 ? (1 ? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ... ? (n ? 1) ? 31?n ) .....(9 分) 3
1 3

所以 3Tn ? 1 ? (1? 30 ? 2 ? 3?1 ? ... ? (n ? 1) ? 32?n ) , 两式相减,得
2Tn ? 2 ? (30 ? 3?1 ? 3?2 ? ... ? 32?n ) ? (n ? 1) ? 31?n 3

...........(10 分)

...........(11 分)
? 2 1 ? 31? n ? ? (n ? 1) ? 31? n ?1 3 1? 3 13 6n ? 3 ? ? , 6 2 ? 3n
13 6n ? 3 ? . 12 4 ? 3n

所以 Tn ?

经检验, n ? 1 时也适合. 综上可得 Tn ? 解法二: 因为 anbn ? log3an , 所以 b1 ? . 当 n ? 1 时, bn ? 31?n log3 3n?1 ? (n ? 1)31?n ,
1 3

13 6n ? 3 ? . 12 4 ? 3n

.............(12 分)

..........................(7 分) .........................(8 分)
9

所以 T1 ? b1 ? ; 当 n ? 1 时,
Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn ? 1 ? (1 ? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ... ? (n ? 1) ? 31?n ) .....(9 分) 3

1 3

所以 Tn ? ? (1 ? 3?2 ? 2 ? 3?3 ? ... ? (n ? 1) ? 3?n ) , 两式相减,得
2 2 Tn ? ? (3?1 ? 3?2 ? ... ? 31?n ) ? (n ? 1) ? 3? n 3 9

1 3

1 9

..........(10 分)

.............(11 分)
2 3?1 ? (1 ? 31? n ) ? ? ? (n ? 1) ? 3? n ?1 9 1? 3 13 2n ? 1 ? ? , 18 2 ? 3n

所以 Tn ?

13 6n ? 3 ? . 12 4 ? 3n

经检验, n ? 1 时也适合. 综上可得 Tn ?
13 6n ? 3 ? . 12 4 ? 3n

.............(12 分)

注:1、等价的结果:
3n 3n ?1 3n ? 3n ?1 an ? ? ? . 2 2 2
Tn ? 13 6n ? 3 13 n 1 13 n 1 ? ? ? ? ? ?( ? ). n n ?1 n ?1 n ?1 12 4 ? 3 12 2 ? 3 4?3 12 2 ? 3 4 ? 3n ?1

2. 从某一处错误,扣掉错误分数;后边得分不超过为错误处后 边全部得分的一半。 3、若第二小题,结果对,符号错误,扣 1 分。 4、若第二小题 bn 错,且不是等差数列与等比数列乘积的形式, 后边不得分。

10

2.评卷流程
先看结果是否正确,按步得分,踩点得分,有点即给分,无点不给分。只看对的,不看 错的,只加分不减分。

3.核定给分

4.注意事项
一、要正确认识压轴题 纵观历年高考试题,压轴题主要在函数、解几、数列三部分内容设置,小题主要在选 择题第 10 题,填空题第 15 题,压轴大题一般有二到三问,第一小问通常比较容易,第二问 通常是中等难度,第三小问是整张试卷中最难的问题!对于第一问要争取做对! 第二问要争 取拿分! 第三问也争取拿分!(尖子生必须突破这一关才能拿到足够高的分数) 其实对于所有认真复习迎考的同学来说,都有能力与实力在压轴题上拿到一半左右的 分数,要获取这一半左右的分数,不需要大量针对性训练,也不需要复杂艰深的思考,只需 要你有正确的心态!信心很重要,勇气不可少。请同学们记住:心理素质高者胜! 例如 2015 年的山东高考数学卷的压轴题: (10)设函数 f ( x ) ? ? A. [ ,1]

?3 x ? 1, x ? 1 ?2 , x ? 1
x

,则满足 f ( f (a)) ? 2 f ( a ) 的实数 a 的取值范围是( D. [1, ??)



2 3

B. [0,1]

C. [ , ??)

2 3

【简析】尽管本题为“创新题型”问题,但题目涉及的“分段函数”以及“不等式的解 法及应用” ,都是考生非常熟悉的,因此,只需“照章办事” ,按照题目中所给条件,令

f (a) ? t , 则 f () t ? 2

t

, 讨论 t ? 1 , 运用导数判断单调性, 进而得到方程无解; 讨论 t ? 1 ,

以及 a ? 1 与 a ? 1 两种情况, 由分段函数的解析式, 解不等式即可得到所求的范围.但本 题由于解题的环节多,并且有些学生基础不牢固,则很可能做不对该题。
t 【解答】令 f (a) ? t ,则 f (t ) ? 2
t t t 当 t ? 1 时,3t ?1 ? 2 ,由于 g (t ) ? 3t ? 1 ? 2 的导数为 g ?(t ) ? 3 ? 2 ln 2 ? 0 ,所以 g (t ) 在

(??,1) 单调递增,即有 g (t ) ? g (1) ? 0 ,所以方程 3t ? 1 ? 2t 无解;
t t 当 t ? 1 时, 2 ? 2 显然成立,由 f (a) ? 1 ,即 3a ? 1 ? 1 ,解得 a ?

2 ,且 a ? 1 ; 3

11

若由 a ? 1 , 2 ? 1 ,解得 a ? 0 ,即 a ? 1.
a

综上可得 a 的取值范围是 a ?

2 . 3

特别提醒: 数学选择题是知识的灵活运用,解题要求是只要结果,不要过程。因此,逆代法、估算法、 特例法、排除法、数形结合法??尽显威力。10 个选择题,如果把握地好,容易题是 1 分 钟一道,难题也不会超过 5 分钟。由于选择题的特殊性,由此提出的解题要求是“快、准、 巧” ,忌讳“小题大做” 。

x2 y 2 (15)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )渐近线与抛物线 a b

C2 : x2 ? 2 py ( p ? 0 )交于点 O, A, B ,若 ?OAB 的垂心是 C2 的焦点,则 C1 的离心率为
. 【简析】注意到抛物线与双曲线的方程特点,根据双曲线与双曲线的 a 、 b 、 c 的关系,按 照题目条件求出点 A 的坐标,可得 k AC2 ,利用 ?OAB 的垂心是 C2 的焦点,可得 C1 的离心 率。多数学生这个题应该得分。

b x2 y 2 【解答】双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的渐近线方程为 y ? ? x ,与抛物线 a a b

C2 : x2 ? 2 py ( p ? 0 )联立,可得 x ? 0 或 x ? ?
取点 A(

2 pb . a

2 pb 2 pb 2 4b 2 ? a 2 , 2 ) ,则 k AC2 ? . a a 4ab 4b2 ? a 2 b ? (? ) ? ?1. 所以 5a 2 ? 4b2 . 4ab a

因为 ?OAB 的垂心是 C2 的焦点,所以 所以 5a ? 4(c ? a ) ,所以 e ?
2 2 2

c 3 ? . a 2

特别提醒: 填空绝大多数时计算型(尤其是推理计算型)和概念(或性质)判断型的试题,解答时 必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断。 填空题作答的结果必须数值准确, 形 式规范,例如集合形式的表示、函数表达式的完整等,结果稍有毛病便是零分。下面给出 2015 年高考阅卷的填空题的评分细则: 2015 高考理科填空题评分标准 本题共五个小题,每小题答案正确计 5 分,答案错误计 0 分;各小题答案如下: (11) 4 n ?1 或 4( n ?1) (12)1 (13) T ? 或 mmin ? 1

11 11 5 、 或等价形式,如 1 6 6 6
12

(14) ? (15)

3 2

或其等价形式,如 -1.5 、-1

1 2

3 3 1 、 e = 或 1.5 、1 2 2 2 2015 高考文科填空题评分标准

本题共五个小题,每小题答案正确计 5 分,答案错误计 0 分;各小题答案如下: (11)13 或 y=13 (12)7 (13) 或 z max = 7

3 1 或其等价形式,如 1.5 、1 2 2

(14) 2 (15)2+ 3 或 e = 2+ 3

2015 年高考数学理科 20 题:评分标准
x2 y 2 20.(本小题满分 13 分)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 a b
离心率为

3 ,左、右焦点分别是 F 1, F 2 .以 F 1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心 1 为 2

半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上. (I)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 (II)设椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 , P 为椭圆 C 上的任意一点.过点 P 的直线 y ? kx ? m 交 4a 4b
椭圆 E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q .

(i)求

OQ OP

的值; (ii)求 ?ABQ 面积的最大值.

解: (I)友情提醒:①本问满分 3 分,基本解法有三种;②求出 a, b 为 2 分,写

出方程 1 分;③无过程只有结果 1 分,不影响后续得分)
方法一(省标) :由题意知 2a ? 4 ,则 a ? 2 . 又 ----------------1 ----------------2

c 3 2 2 ? , a ? c ? b 2 ,可得 b ? 1 , a 2

13

所以 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

-------------(3 分)

方法二:设 F 1 (?c,0), F2 (c,0) . 则 圆F 1 :( x ? c) ? y ? 9 ,圆 F 2 :( x ? c) ? y ? 1 ,
2 2 2 2

2 ? x ? ? ?( x ? c ) ? y ? 9 ? c 由? ,解得 , ? 2 2 2 ( x ? c ) ? y ? 1 2 2 ? y ? 1 ? ( ? c) ? ? c ?
2 2

----------------1

2 1 ? ( ? c) 2 4 c 所以 2 2 ? ?1 , ac b2


c 3 2 2 ? , a ? c ? b2 , a 2
----------------2

解得 a ? 2, b ? 1 ,

所以 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

-------------(3 分)

方法三:设圆 F 1 与圆 F2 交点为 ( x0 , y0 ) ,则由椭圆第二定义(或利用两点间的距离公式推导)

? a ? ex0 ? 3 ? ,解得 a ? 2 ? a ? ex0 ? 1


----------------1

c 3 2 2 ? , a ? c ? b 2 , 解得 a ? 2, b ? 1 , a 2

----------------2

所以 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

-------------(3 分)

(II)由(I)知椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 4

(i) (友情提醒:①本问满分 3 分,基本解法有五种;②无过程只有结果 1 分, 不影响后续得分;③方法三利用斜率解决问题时,没讨论斜率不存在情况,扣 去 1 分)
方法一:设 P( x0 , y0 ), OQ ? ?OP(? ? 0) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,

????

??? ?

----------------4

14

2 ? x0 2 ? y0 ?1 ? ? 4 由题意得 ? 2 2 , ? (? x0 ) ? (? y0 ) ? 1 ? 4 ? 16

----------------5

? ? ?2, ? ? 2 (舍) 解得


所以 OQ ? ?2OP -------------(6 分)

????

??? ?

OQ OP

? 2.

方法二(省标):设 P( x0 , y0 ),
2 x0 2 ? y0 ? 1, 4

OQ OP

? ? ,由题意知 Q(?? x0 , ?? y0 ) .----------------4

因为



2 2 (?? x0 ) (?? y0 ) ? 2 x2 2 ? ? 1 ,即 ( 0 ? y0 ) ? 1, 16 4 4 4

----------------5

所以 ? ? 2 ,即

OQ OP

? 2.

-------------(6 分)

方法三: (本方法也可考虑斜率为零和不为零的情况、也可设出 P 或 Q 的坐标,利用点的坐 标写出直线方程,要注意纵坐标为零的情况) 当直线 PO 斜率不存在时,由椭圆几何意义可得 PO ? 1, OQ ? 2 , 即

OQ OP

? 2.

----------------4

当直线 PO 斜率存在时,设 PO : y ? ? x , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) .

? y1 ? ? x1 ? , 则 ? x2 2 1 ? ? y1 ? 1 ?4

? y2 ? ? x2 ? 2 2 ? x2 y2 , ? ?1 ? ?16 4

4 16 ? 2 ? 2 x1 ? x ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 4? ? 1 ? 4? 2 , ? 解得 ? , 2 2 ? y 2 ? 4? ? y 2 ? 16? ? 1 1 ? 4? 2 ? ? 2 1 ? 4? 2 ?
2 2 所以 OQ ? x2 ? y2 ? 2

----------------5

4 4? 2 ? ? 2 x12 ? y12 ? 2 OP , 2 2 1 ? 4? 1 ? 4?
15



OQ OP

? 2.

-------------(6 分)

方法四:设 P(2cos ? ,sin ? ) , 则 Q(4cos(? ? ? ), 2sin(? ? ? )) ,即 Q(?4cos ? , ?2sin ? ) , 所以 OQ ? 16 cos ? ? 4sin ? ? 2 4 cos ? ? sin ? ? 2 OP ,
2 2 2 2

----------------4 ----------------5



OQ OP

? 2.

-------------(6 分)

方法五:设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )

? ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? 2 ? x1 ? y12 ? 1 , 由条件得 ? ? 4 2 2 ? x2 y2 ? ?1 ? ? 16 4
2 ? x2 ? 4 x12 ? 解得 2 2 , ? y2 ? 4 y1

----------------4

----------------5

所以 OQ ? 故

2 2 x2 ? y2 ? 2 x12 ? y12 ? 2 OP ,

OQ OP

? 2.

------------(6 分)

(ii) (友情提醒:①本问满分 7 分,基本解法有三种;②第三问得分要点:第

一个判别式 1 分,弦长公式 1 分,点到直线的距离 1 分,三角形面积公式 1 分, 第二个判别式 1 分,换元求最值 2 分;③求出三角形面积公式求最值时常见有 三种解法;④求出 ?OAB 的面积最大值后,直接写出 ?ABQ 面积的最大值,不扣
y

分)
A P :方法一:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 将 y ? kx ? m 代入椭圆 E 的方程, Q B O x

16

可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?16 ? 0 , 由 ? ? 0 ,可得 m2 ? 4 ? 16k 2 . 则有 x1 ? x2 ? ? ① ----------------7

8km 4m2 ? 16 , x x ? . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

x1 ? x2 ?

4 16k 2 ? 4 ? m2 1 ? 4k 2
-------------(8 分)

4 1 ? k 2 16k 2 ? 4 ? m2 . 1 ? 4k 2 ??? ? 1 ???? 设 Q( x0 , y0 ) ,由(i)知 OP ? ? OQ , 2 1 1 1 1 所以 P(? x0 , ? y0 ) ,且 ? y0 ? k (? x0 ) ? m , 2 2 2 2
所以 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 则点 Q 到直线 y ? kx ? m 的距离

d?

kx0 ? y0 ? m 1? k 2

?

3m 1? k 2



-------------9

6 16k 2 ? 4 ? m2 m 1 所以 ?QAB 的面积 S ? d AB ? 2 1 ? 4k 2
6 (16k 2 ? 4 ? m 2 ) m 2 ? 1 ? 4k 2 m2 m2 ? 6 (4 ? ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
以下求最值常见有三种方法: 方法①:设

-------------(10 分)

m2 ? t .将 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程, 1 ? 4k 2
2 2 2

可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 ,
2 2 由 ? ? 0 ,可得 m ? 1 ? 4k .



----------------11

2 由①②可知 0 ? t ? 1 , 因此 S ? 6 (4 ? t )t ? 6 ?t +4t .

故 S ?6 3,
2 2 当且仅当 t ? 1 ,即 m ? 1 ? 4k 时取得最大值 6 3 .

17

所以 ?ABQ 面积的最大值为 6 3 .

-------------(13 分)

方法②:设 1+4k 2 ? t .将 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程, 可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , 由 ? ? 0 ,可得 m2 ? 1 ? 4k 2 . ② ----------------11

m2 由①②可知 0 ? m ? t,0< ? 1, , t
2

因此 S ? 6

(4t ? m2 )m2 m2 2 4m2 . ? 6 ?( ) ? t2 t t

故 S ?6 3, 当且仅当

m2 ? 1, ,即 m2 ? t ? 1 ? 4k 2 时取得最大值 6 3 . t
-------------(13 分)

所以 ?ABQ 面积的最大值为 6 3 .

方法③:设 16k 2 ? 4 ? m2 ? t 将 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程, 可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 ,
2 2 2
2 2 由 ? ? 0 ,可得 m ? 1 ? 4k .



----------------11

由①②可知 3m2 ? t 2, ? 3 ,

t m

因此 S ?

24t m 24 . ? 2 2 m m ?t t ? m t

故 S ?6 3, 当且仅当

t ? 3, ,即 m2 ? 1 ? 4k 2 时取得最大值 6 3 . m
-------------(13 分)

所以 ?ABQ 面积的最大值为 6 3 . 方法二:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 将 y ? kx ? m 代入椭圆 E 的方程,

18

可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?16 ? 0 , 由 ? ? 0 ,可得 m2 ? 4 ? 16k 2 . 则有 x1 ? x2 ? ? ① ----------------7

8km 4m2 ? 16 , x x ? . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

以下求 ?OAB 的面积常见有两种解法:

方法①:

x1 ? x2 ?

4 16k 2 ? 4 ? m2 -------------(8 分) 1 ? 4k 2

因为 直线 y ? kx ? m 与 y 轴交点的坐标为 (0, m) , 所以 ?OAB 的面积 S ?

1 m x1 ? x2 2

--------9

?

2 16k 2 ? 4 ? m2 m 1 ? 4k 2
2 (16k 2 ? 4 ? m 2 )m 2 1 ? 4k 2

-------------(10 分)

?

? 2 (4 ?

m2 m2 ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

方法②: AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 则点 O 到直线 y ? kx ? m 的距离

4 1 ? k 2 16k 2 ? 4 ? m2 .-------------(8 分) 1 ? 4k 2

d?

m 1? k 2



--------9

所以 ?OAB 的面积 S ?

1 d AB 2

?

2 16k 2 ? 4 ? m2 m 1 ? 4k 2

-------------(10 分)

m2 m2 ? 2 (4 ? ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
以下求最值方法与方法一相同:

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只写一种解法(省标) :设

m2 ?t. 1 ? 4k 2

将 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程, 可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , 由 ? ? 0 ,可得 m2 ? 1 ? 4k 2 . 由①②可知 0 ? t ? 1 ,
2 因此 S ? 2 (4 ? t )t ? 2 ?t +4t .



----------------11

故 S ? 2 3, 由①②可知 0 ? t ? 1 ,
2 2 当且仅当 t ? 1 ,即 m ? 1 ? 4k 时取得最大值 2 3 .

----------------12

由(i)知, ?ABQ 面积为 3S , 所以 ?ABQ 面积的最大值为 6 3 . -------------(13 分)

正常情况下, 拿到其中一半左右分数是多数同学能够做到的, 如果有好的心态和好 的方法,拿到更多的分数也绝非空谈,下面我就简单谈一下技巧性与快速得分的问题。

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(II) (i)由(I)知 C :

x2 x2 y 2 ?1. ? y2 ? 1, E : ? 16 4 4
P?

? ? x ?x ? , 作变换: ? 2 ,从而上述两个椭圆变为圆 ? ? y? ? y

O?

C? : x?2 ? y?2 ? 1 , E? : x?2 ? y?2 ? 4.
如右图,

Q?

| OQ | | O?Q? | ? ? 2. | OP | | O?P? |

(ii) 根据图形, 及问题 (i) 可知 S?ABQ ? 3S?AOB . 由(i)中的变换,变换后的图形如下图所示:

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A?

P?

B?

O?

Q?

由 S ?A?O?B? ?

1 | O?A? || O?B? | sin ?A?O?B? ? 2sin ?A?O?B?. 2

当 A?B ? 与圆 C? : x?2 ? y?2 ? 1 相切时, sin ?A?O?B? 最大为 所以 S?A?O?B? ? 3. 由仿射变换,则 S?AOB ? 2S?A?O?B? ? 2 3. 所以 S?ABQ ? 3S?AOB ? 6 3.

3 . 2

注: 性质 1:直线仍变为直线;
a ; b 性质 3:点分线段所成的比例不变,特别是中点仍为为中点; 性质 4:两曲线的位置关系不变,即公共点的个数不会发生变化; 1 性质 5:三角形变成三角形,面积为原来的 . ab

性质 2:两直线的平行关系不变,斜率变为原来的

二、专心 做压轴题时,心态非常重要,千万不要分心! 其实高考的时候怎么可能分心呢? 这里的分心,不是指你做题目的时候想着考好去哪里玩。高考时,你是不可能这么 想的。 回顾以往考试,问一下自己:在做最后一道题目的时候,你有没有想“最后一道题 目难不难?不知道能不能做出来”、“我要不要赶快看看最后一题,做不出就去检查前 面题目”、 “前面不知道做的怎样, 会不会粗心错”??这就是影响你解题的“分心”, 这些就使你不专心。
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专心于现在做的题目,现在做的步骤。现在做哪道题目,脑子里就只有做好这道题 目。现在做哪个步骤,脑子里就只有做好这个步骤,不去想这步之前对不对,这步之后 怎么做,做好当下! 三、重视审题 你的心态就是珍惜题目中给你的条件。 数学题目中的条件都是不多也不少的, 不会 有用不到的条件。 而另一方面, 你要相信给出的条件一定是可以做到正确答案的。 所以, 解题时,一切都必须从题目条件出发,只有这样,一切才都有可能。 在数学家波利亚的四个解题步骤中,第一步审题格外重要,审题步骤中,又有这样 一个技巧:当你对整道题目没有思路时,步骤(1)将题目条件推导出“新条件”,步骤 (2)将题目结论“后退”到“新结论”. 步骤(1)就是不要理会题目中你不理解的部分,只要你根据题目条件把能做的先做 出来,能推导的先推导出来,从而得到“新条件”。 步骤(2)就是想要得到题目的结论,我需要先得到什么结论,这就是所谓的“新结 论”。然后在“新条件”与“新结论”之间再寻找关系。 一道难题, 难就难在题目条件与结论的关系难以建立, 而你自己推出的“新条件” 与“新结论”之间的关系往往比原题更容易建立, 这也意味着解出题目的可能性也就越 大!
最高境界就是任何一道题目,在你心中没有难易之分,心中只有根据题目条件推出新 条件,一直推到最终的结论。解题心态也应当是宠辱不惊,不以题目易而喜,不以题目难而 悲,平常心解题。

最后还有一点要提醒的是,司马迁曾在《史记》中说“且彊弩之极,力不能穿鲁縞; 冲风之末,力不能漂鸿毛。非初不劲,末力衰也。”,虽然我们认为最后一题有相当分 值的易得分部分,但是毕竟已是整场考试的最后阶段,疲劳不可避免,因此所有同学在 做最后一题时,都要格外小心谨慎,避免易得分部分因为疲劳出错,导致失分的遗憾结 果出现。

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