数学:1.2.1《映射的概念》教案(新人教A版必修1)


1.2.1 映射的概念
教学目标: 1.知识与技能 了解映射的概念,掌握象、原象等概念及其简单应用。 2.过程与方法 学会用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.情感、态度与价值观 树立数学应用的观点,培养学习良好的思维品质。 教学重点:映射的概念。 教学难点:映射的概念。 教学过程: 一、复习引入: 1、在初中我们已学过一些对应的例子: (学生思考、讨论、回答) ①看电影时,电影票与座位之间存在者一一对应的关系 ②对任意实数 a,数轴上都有唯一的一点 A 与此相对应 ③坐标平面内任意一点 A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应 2、函数的概念 本节我们将学习一种特殊的对应—映射。 二、讲解新课: 看下面的例子:设 A,B 分别是两个集合,为简明起见,设 A,B 分别是两个 有限集
A 9 4 1 (1) A 1 -1 2 -2 3 -3 (3) 求平方 B 1 4 9 A 1 2 3 (4) 开平方 B 3 -3 2 -2 1 -1 A 求正弦 B

30 0 45 0 60 0 90 0
(2) 乘以2

1 2 2 32

2

1

B 1 2 3 4 5 6

说明: (3) (2) (4)这三个对应的共同特点是:对于左边集合 A 中的任何一个

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元素,在右边集合 B 中都有唯一的元素和它对应 映射:设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的任何 一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,这样的对应(包括集合 A、B 以 及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射 记作: f : A ? B 象、原象:给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B ,如果元素 a 和元 素 b 对应,则元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 关键字词: (学生思考、讨论、回答,教师整理、强调) ①“A 到 B” :映射是有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个 映射,A 到 B 是求平方,B 到 A 则是开平方,因此映射是有序的; ②“任一” :就是说对集合 A 中任何一个元素,集合 B 中都有元素和它对应, 这是映射的存在性; ③“唯一” :对于集合 A 中的任何一个元素,集合 B 中都是唯一的元素和它对 应,这是映射的唯一性; ④“在集合 B 中” :也就是说 A 中元素的象必在集合 B 中,这是映射的封闭性. 指出:根据定义, (2) (3) (4)这三个对应都是集合 A 到集合 B 的映射;注 意到其中(2) (4)是一对一, (3)是多对一 思考: (1)为什么不是集合 A 到集合 B 的映射? 回答:对于(1) ,在集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有两个元素与之 相对应,因此, (1)不是集合 A 到集合 B 的映射 思考:如果从对应来说,什么样的对应才是一个映射? 一对一,多对一是映射但一对多显然不是映射 辨析: ①任意性:映射中的两个集合 A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等; ②有序性:映射是有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个 映射; ③存在性:映射中集合 A 的每一个元素在集合 B 中都有它的象; ④唯一性:映射中集合 A 的任一元素在集合 B 中的象是唯一的; ⑤封闭性:映射中集合 A 的任一元素的象都必须是 B 中的元素,不要求 B 中 的每一个元素都有原象,即 A 中元素的象集是 B 的子集. 映射三要素:集合 A、B 以及对应法则 f ,缺一不可; 三、例题讲解 例 1 判断下列对应是否映射?有没有对应法则? a b e f a b e f a b e f

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c (是)

g

c d

g (不是)

c

g d (是)

是映射的有对应法则,对应法则是用图形表示出来的 例 2 下列各组映射是否同一映射? a b c e f g a b c e f g d b c e f g

例 3 判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射? (1) A={1, 3, B={3, 5, 7, 9}, 设 2, 4}, 4, 6, 8, 对应法则 f : x ? 2 x ? 1 (2)设 A ? N * , B ? {0,1} ,对应法则 f : x ? x除以2得的余数 (3) A ? N , B ? {0,1,2} , f : x ? x被3除所得的余数
1 1 1 (4)设 X ? {1,2,3,4}, Y ? {1, , , } f : x ? x取倒数 2 3 4

(5) A ? {x | x ? 2, x ? N}, B ? N , f : x ? 小于x的最大质数 四、练习: 1.设 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},集合 A 中的元素 x 按照对应法则 “乘 2 加 1”和集合 B 中的元素 2x+1 对应.这个对应是不是映射?(是) 2.设 A=N*,B={0,1},集合 A 中的元素 x 按照对应法则“x 除以 2 得的余 数”和集合 B 中的元素对应.这个对应是不是映射?(不是(A 中没有象) ) 3.A=Z,B=N*,集合 A 中的元素 x 按照对应法则“求绝对值”和集合 B 中的 元素对应.这个对应是不是映射? (是) 4.A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},集合 A 中的元素 x 按照对应法则“f : a? b=(a?1)2”和集合 B 中的元素对应.这个对应是不是映射? (是) 5.在从集合 A 到集合 B 的映射中,下列说法哪一个是正确的? (A)B 中的某一个元素 b 的原象可能不止一个; (B)A 中的某一个元素 a 的象 可能不止一个(C)A 中的两个不同元素所对应的象必不相同; (D)B 中的两个不同元素的原象可能相同 6.下面哪一个说法正确? (A)对于任意两个集合 A 与 B,都可以建立一个从集合 A 到集合 B 的映射 (B)对于两个无限集合 A 与 B,一定不能建立一个从集合 A 到集合 B 的映射 (C)如果集合 A 中只有一个元素,B 为任一非空集合,那么从集合 A 到集合 B 只能建立一个映射

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(D)如果集合 B 只有一个元素,A 为任一非空集合,则从集合 A 到集合 B 只 能建立一个映射 7.集合 A=N,B={m|m= f 作用下,象
2n ? 1 2x ? 1 ,n∈N},f:x→y= ,x∈A,y∈B.请计算在 2n ? 1 2x ? 1

9 11 , 的原象分别是多少.( 5,6 ) 11 13

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