山东省威海市文登市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年山东省威海市文登市高二(上)期末数学试卷(理 科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1.已知命题 p:? a∈R,函数 y=a 是单调函数,则¬p( x A.? a∈R,函数 y=a 不一定是单调函数 x B.? a∈R,函数 y=a 不是单调函数 x C.? a∈R,函数 y=a 不一定是单调函数 x D.? a∈R,函数 y=a 不是单调函数
x



2.△ABC 顶点 A(2,3) ,B(0,0) ,C(4,0) ,则“方程 x=2”是“BC 边上中线方程”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



3.已知数列{an}是等比数列,命题 p: “若公比 q>1,则数列{an}是递增数列” ,则在其逆命 题、否命题和逆否命题中,假命题的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.在相距 2km 的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 B、C 两点之间 的距离为( ) A. B. C. D.

5.已知{an}是首项为 32 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 项和为( ) A.58 B.56 C.50

,则数列{|log2an|}前 10

D.45

6. 已知双曲线 C:



=1 的焦距为 10, 点P (1, 2) 在 C 的渐近线上, 则 C 的方程为 (



A.

B.

C.

D.

7.已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为 0 的是(



A.

B.

C.

D.

8.若变量 x,y 满足约束条件

且 z=3x+y 的最小值为﹣8,则 k=(



A.2

B.﹣2 C.3

D.﹣3 )

9. 已知四面体 OABC 各棱长为 1, D 是棱 OA 的中点, 则异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值 ( A. B. C. D.

10.已知椭圆的左焦点为 F1,右焦点为 F2.若椭圆上存在一点 P,满足线段 PF2 相切于以椭圆 的短轴为直径的圆,切点为线段 PF2 的中点,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上. 11.不等式|2x+1|﹣|x﹣1|>2 的解集为 .

12.已知正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,设 = .

,则

13.已知等差数列{an}中,满足 S3=S10,且 a1>0,Sn 是其前 n 项和,若 Sn 取得最大值,则 n= . 14.在直三棱柱 ABC﹣A′B′C′中,底面是边长为 a 的正三角形,AA′= 侧面 AC′所成角的正切值为 . 15.下列四种说法: ①垂直于同一平面的所有向量一定共面; a,则直线 AB′与

②等差数列{an}中,a1,a3,a4 成等比数列,则公比为 ; ③已知 a>0,b>0,a+b=1,则 ④在△ABC 中,已知 正确的序号有 . 的最小值为 5+2 ;

,则∠A=60°.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤. 16. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b= ,a+c=4,求△ABC 的面积. .

17.已知命题 P:在 R 上定义运算? :x? y=(1﹣x)y.不等式 x? (1﹣a)x<1 对任意实数 x 恒成立;命题 Q:若不等式 为真命题,求实数 a 的取值范围. 18.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 O,对称轴为 x 轴,焦点为 F,抛物线上一点 A 的横坐标 为 2,且 . ≥2 对任意的 x∈N 恒成立.若 P∧Q 为假命题,P∨Q
*

(Ⅰ)求此抛物线 C 的方程; (Ⅱ)过点(4,0)做直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,求证:OA⊥OB. 19.如图,已知 AB⊥平面 BCE,CD∥AB,△BCE 是正三角形,AB=BC=2CD. (Ⅰ)在线段 BE 上是否存在一点 F,使 CF∥平面 ADE? (Ⅱ)求证:平面 ABE⊥平面 ADE; (Ⅲ)求二面角 B﹣DE﹣A 的余弦值.

20.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,满足 Sn=a(Sn﹣an+1) (a 为常数,且 a>0) ,且 4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=(2n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

21.已知椭圆

=1(a>b>0)上的点 P 到左、右两焦点 F1,F2 的距离之和为 2

,离

心率为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)若 y 轴上一点 满足|MA|=|MB|,求直线 l 斜率 k 的值; (其中 O 为坐标原点)?若存在,求直

(2)是否存在这样的直线 l,使 S△ABO 的最大值为 线 l 方程;若不存在,说明理由.

2014-2015 学年山东省威海市文登市高二(上)期末数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1.已知命题 p:? a∈R,函数 y=a 是单调函数,则¬p( x A.? a∈R,函数 y=a 不一定是单调函数 x B.? a∈R,函数 y=a 不是单调函数 x C.? a∈R,函数 y=a 不一定是单调函数 x D.? a∈R,函数 y=a 不是单调函数 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
x



解答: 解:已知命题是全称命题,所以命题 p:? a∈R,函数 y=a 是单调函数,则¬p:? a x ∈R,函数 y=a 不是单调函数. 故选:D. 点评: 本题开采煤炭的否定全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查. 2.△ABC 顶点 A(2,3) ,B(0,0) ,C(4,0) ,则“方程 x=2”是“BC 边上中线方程”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义解决直线方程的求解进行判断即可. 解答: 解:∵△ABC 顶点 A(2,3) ,B(0,0) ,C(4,0) , ∴B,C 的中点坐标为 D(2,0) , 则中线 AD 的方程为 x=2, 即“方程 x=2”是“BC 边上中线方程”充要条件, 故选:C 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. )

x

3.已知数列{an}是等比数列,命题 p: “若公比 q>1,则数列{an}是递增数列” ,则在其逆命 题、否命题和逆否命题中,假命题的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据题意,写出命题 p 与它的逆命题,否命题和逆否命题,再判定它们是否为真命题. 解答: 解:原命题 p: “在等比数列{an}中,若公比 q>1,则数列{an}是递增数列” ,例如, 当数列为,﹣2,﹣4,﹣8,…,q=2,但是数列为递减数列,故原命题为假命题;

逆命题是: “在等比数列{an}中,若数列{an}递增数列” ,则“公比 q>1” ,例如,当数列为, ﹣1,﹣ ,﹣ ,…,q= ,但是数列为递增数列,是假命题; 否命题是: “在等比数列{an}中,若公比 q≤1,则数列{an}不是递增数列,是假命题; 逆否命题是: “在等比数列{an}中,若数列{an}不是递增数列” ,则“公比 q≤1” ,是假命题; 综上,命题 p 及其逆命题,否命题和逆否命题中,假命题有 4 个. 故选:A 点评: 本题考查了四种命题的关系以及命题真假的判定问题,解题时应弄清楚四种命题的关 系是什么,根据递增数列的定义判断命题的真假,是基础题 4.在相距 2km 的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 B、C 两点之间 的距离为( ) A. B. 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;解三角形. C. D.

分析: 由题意,∠ACB=45°,则由正弦定理可得 BC= 解答: 解:由题意,∠ACB=45°,则 由正弦定理可得 BC= = +1(km) ,

,即可得出结论.

故选:B. 点评: 本题考查解三角形的实际应用,考查学生的计算能力,比较基础.

5.已知{an}是首项为 32 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 项和为( ) A.58 B.56 C.50 D.45 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由{an}是首项为 32 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且
7﹣2n

,则数列{|log2an|}前 10

,求出 q,可得

an=

=2

,再求数列{|log2an|}前 10 项和.

解答: 解:∵{an}是首项为 32 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且





=



∴1+q = ∴q= ∴an=

3



=2

7﹣2n



∴|log2an|=|7﹣2n|, ∴数列{|log2an|}前 10 项和为 5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58, 故选:A. 点评: 本题考查等比数列的通项与求和,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能 力,比较基础.

6. 已知双曲线 C:



=1 的焦距为 10, 点P (1, 2) 在 C 的渐近线上, 则 C 的方程为 (



A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意可得双曲线的 c=5,运用双曲线的渐近线方程可得 b=2a,再由 a,b,c 的关系, 即可解得 a,b,进而得到双曲线方程. 解答: 解:由题意可得双曲线的 c=5, 由双曲线的渐近线方程 y= 则 2= , 又 c =a +b , 解得 a= ,b=2 则双曲线的方程为
2 2 2

x,

. ﹣ =1.

故选 A. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查运算能力,属于基础题. 7.已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为 0 的是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 空间向量的数乘运算. 专题: 空间向量及应用. 分析: 根据长方体的性质以及向量垂直的性质解答.线段不垂直,对应的向量的数量积一定 不为 0. 解答: 解:对于 A,如果长方体为正方体,则线段 AD1⊥B1C,此时 对于 C,因为长方体中 AB⊥侧面 AD1,所以 ,所以 成立; 成立;

对于 D,如果长方体的底面 ABCD 是正方形,则 AC⊥BD,由三垂线定理可得 AC⊥BD1,所以此 时 ;

故选 B. 点评: 本题考查了长方体的性质以及向量垂直的性质.比较基础.

8.若变量 x,y 满足约束条件

且 z=3x+y 的最小值为﹣8,则 k=(



A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数 z=3x+y 的最小值为﹣8,建立条件关系 即可求出 k 的值. 解答: 解:目标函数 z=3x+y 的最小值为﹣8, ∴y=﹣3x+z,要使目标函数 z=3x+y 的最小值为﹣1, 则平面区域位于直线 y=﹣3x+z 的右上方,即 3x+y=﹣8, 作出不等式组对应的平面区域如图: 则目标函数经过点 A 时,目标函数 z=3x+y 的最小值为﹣8, 由 ,解得 ,

即 A(﹣2,2) ,同时 A 也在直线 x+k=0 时, 即﹣2+k=0, 解得 k=2,

故选:A

点评: 本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数 z=3x+y 的最小值为﹣8,确定平面区域 的位置,利用数形结合是解决本题的关键. 9. 已知四面体 OABC 各棱长为 1, D 是棱 OA 的中点, 则异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值 ( A. B. C. D. )

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 取 OC 中点 E,连结 DE,则 DE∥AC,从而∠BDE 是异面直线 BD 与 AC 所成角,由此能 求出异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值. 解答: 解:∵四面体 OABC 各棱长为 1,D 是棱 OA 的中点, 取 OC 中点 E,连结 DE, ∴DE∥AC, ∴∠BDE 是异面直线 BD 与 AC 所成角, ∵BD=BE= = ,DE= ,

∴cos∠BDE=

=

=



故选:C.

点评: 本题考查异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题, 注意余弦定理的合理运用. 10.已知椭圆的左焦点为 F1,右焦点为 F2.若椭圆上存在一点 P,满足线段 PF2 相切于以椭圆 的短轴为直径的圆,切点为线段 PF2 的中点,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设切点为 M,连接 OM、PF1,通过已知条件可得|PF1|=2b、PF1⊥PF2,进而可得 |PF2|=2 ,利用椭圆的定义便得到 2b+2 =2a,化简即可得到 b= ,根据离

心率的计算公式即可求得离心率 e. 解答: 解:如图,设以椭圆的短轴为直径的圆与线段 PF2 相切于 M 点, 连接 OM,PF2, ∵M,O 分别是 PF2,F1F2 的中点, ∴MO∥PF1,且|PF1|=2|MO|=2b, ∵OM⊥PF2,∴PF1⊥PF2,|F1F2|=2c, ∴|PF2|=2 ,

根据椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a, ∴2b+2 ∴a﹣b=
2

=2a, ,
2 2 2

两边平方得:a ﹣2ab+b =c ﹣b , 2 2 2 ∴c =a ﹣b ,并代入并化简得:2a=3b, ∴b= ,a=1,c= ∴e= = , = ,

即椭圆的离心率为 故选:D.



点评: 本题考查中位线的性质、圆心和切点的连线和切线的关系,以及椭圆的定义,c =a ﹣ 2 b ,椭圆离心率的计算公式,属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上. 11.不等式|2x+1|﹣|x﹣1|>2 的解集为 (﹣∞,﹣4)∪( ,+∞) .

2

2

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;分类讨论;不等式的解法及应用. 分析: 通过对 x 分类讨论①当 x>1 时,②当﹣ ≤x≤1 时,③当 x<﹣ 时,去掉绝对值符 号即可得出. 解答: 解:①当 x>1 时,|2x+1|﹣|x﹣1|=2x+1﹣(x﹣1)=x+2,∴x+2>2,解得 x>0,又 x>1,∴x>1; ②当﹣ ≤x≤1 时,原不等式可化为 2x+1+x﹣1>2,解得 x> ,又﹣ ≤x≤1,∴ <x≤1; ③当 x<﹣ 时,原不等式可化为﹣2x﹣1+x﹣1>2,解得 x<﹣4,又 x<﹣ ,∴x<﹣4. 综上可知:原不等式的解集为(﹣∞,﹣4)∪( ,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣4)∪( ,+∞) . 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,熟练掌握分类讨论思想方法是解含绝对值的不等式的 常用方法之一.

12.已知正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,设 = .

,则

考点: 空间向量的夹角与距离求解公式;空间向量的数量积运算. 专题: 空间向量及应用. 分析: 取 CC1 中点 E,连结 AC,AE,结合正方体的结构特征,利用向量加法三角形法则得到 = = ,再利用勾股定理能求出 的值.

解答: 解:取 CC1 中点 E,连结 AC,AE, ∵正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1, 设 则 ∴ = =| |= = , , = = .

故答案为: .

点评: 本题考查向量和的模的求法,是基础题,解题时要注意空间向量加法的三角形法则的 合理运用. 13.已知等差数列{an}中,满足 S3=S10,且 a1>0,Sn 是其前 n 项和,若 Sn 取得最大值,则 n= 6或7 . 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列.

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分析: 由题意易得 a7=0,进而可得数列{an}中,前 6 项为正数,第 7 项为 0,从第 8 项开始 为负数,易得结论. 解答: 解:∵等差数列{an}中,满足 S3=S10,且 a1>0, ∴S10﹣S3=7a7=0,∴a7=0, ∴递减的等差数列{an}中,前 6 项为正数,第 7 项为 0,从第 8 项开始为负数, ∴Sn 取得最大值,n=6 或 7

故答案为:6 或 7 点评: 本题考查等差数列前 n 项和的最值,从数列项的正负入手是解决问题的关键,属基础 题. 14.在直三棱柱 ABC﹣A′B′C′中,底面是边长为 a 的正三角形,AA′= 侧面 AC′所成角的正切值为 . a,则直线 AB′与

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题;空间角. 分析: 取 A'C'的中点 D,连接 B'D,AD,由线面垂直的性质和判定定理,得到 B'D⊥平面 AC', 则∠B'AD 即为直线 AB′与侧面 AC′所成的角,再由解直角三角形的知识,即可得到所成角的 正切值. 解答: 解:取 A'C'的中点 D,连接 B'D,AD, 则由底面边长为 a 的正三角形,得,B'D= a,B'D⊥A'C',

在直三棱柱中,AA'⊥底面 A'B'C', 则 AA'⊥B'D,即有 B'D⊥平面 AC', 则∠B'AD 即为直线 AB′与侧面 AC′所成的角, 在直角三角形 B'AD 中,B'D= 则 tan∠B'AD= . . a,AD= a,

故直线 AB′与侧面 AC′所成角的正切值为 故答案为: .

点评: 本题考查线面垂直的判定和性质定理及运用,考查空间直线与平面所成的角的求法, 考查运算能力,属于中档题. 15.下列四种说法: ①垂直于同一平面的所有向量一定共面; ②等差数列{an}中,a1,a3,a4 成等比数列,则公比为 ;

③已知 a>0,b>0,a+b=1,则 ④在△ABC 中,已知 正确的序号有 ①③④ .

的最小值为 5+2



,则∠A=60°.

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;解三角形;不等式的解法及应用. 分析: 运用线面垂直的性质定理,及平行向量共面,即可判断①; 运用等差数列的通项公式和等比数列的性质,即可求得公比,进而判断②; 运用 1 的代换,化简整理运用基本不等式即可求得最小值,即可判断③; 运用正弦定理和同角的商数关系,结合内角的范围,即可判断④. 解答: 解:对于①垂直于同一平面的所有向量一定平行,而平行向量共面,则①正确; 对于②等差数列{an}中,a1,a3,a4 成等比数列,则有 a3 =a1a4,即有(a1+2d) =a1(a1+3d) , 解得 a1=﹣4d 或 d=0,则公比为 =1 或 ,则②错误;
2 2

对于③,由于 a>0,b>0,a+b=1,则 当且仅当 b=

+ =(a+b) ( + )=5+ ,则③正确; = =

+

≥5+2

=5+2



a,取得最小值,且为 5+2 = = 即为

对于④,在△ABC 中,

,即 tanA=tanB=tanC,

由于 A,B,C 为三角形的内角,则有 A=B=C=60°,则④正确. 综上可得,正确的命题有①③④. 故答案为:①③④. 点评: 本题考查正弦定理的运用,考查等差数列和等比数列的通项和性质,考查基本不等式 的运用:求最值,考查运算能力,属于基础题和易错题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤. 16. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b= ,a+c=4,求△ABC 的面积. 考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (Ⅰ)由已知根据三角函数中的恒等变换应用可解得 从而得 即可求 B 的值. (Ⅱ)由余弦定理可得 ac=1,代入三角形面积公式即可得解. 解答: 解: (Ⅰ)由已知得 即有 ∵sinA≠0, ∴ ∵cosB≠0, , , ,…(2 分) , .

∴ …(4 分) ∵B∈(0,π) , ∴ .…(6 分)
2 2 2 2

(Ⅱ)由 b =a +c ﹣2accosB=(a+c) ﹣2ac(1+cosB) , ∴ ∴ac=1,…(10 分) ∴ .…(12 分) ,

点评: 本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式的应用,三角函数中的恒等变换的应用, 属于基础题. 17.已知命题 P:在 R 上定义运算? :x? y=(1﹣x)y.不等式 x? (1﹣a)x<1 对任意实数 x 恒成立;命题 Q:若不等式 为真命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)由题意知,x? (1﹣a)x=(1﹣x) (1﹣a)x,若命题 P 为真, (1﹣a)x ﹣(1 ﹣a)x+1>0 对任意实数 x 恒成立,对 1﹣a 分类讨论:当 1﹣a=0 时,直接验证;当 1﹣a≠0 时, ,解出即可.
2

≥2 对任意的 x∈N 恒成立.若 P∧Q 为假命题,P∨Q

*

(2)若命题 Q 为真,不等式 对任意的 x∈N 恒成立,即
*

≥2 对任意的 x∈N 恒成立,可得(x +ax+6)≥2(x+1) 对任意的 x∈N 恒成立,利用基本不等式的性质
*

*

2

即可得出.由于 P∧Q 为假命题,P∨Q 为真命题,可得 P,Q 中必有一个真命题,一个假命题. 解答: 解: (1)由题意知,x? (1﹣a)x=(1﹣x) (1﹣a)x, 若命题 P 为真, (1﹣a)x ﹣(1﹣a)x+1>0 对任意实数 x 恒成立, ∴①当 1﹣a=0 即 a=1 时,1>0 恒成立,∴a=1; ②当 1﹣a≠0 时, ∴﹣3<a<1, 综合①②得,﹣3<a≤1. 若命题 Q 为真,∵x>0,∴x+1>0, 则(x +ax+6)≥2(x+1)对任意的 x∈N 恒成立, 即 令 对任意的 x∈N 恒成立, ,只需 a≥f(x)max,
* 2 * 2





,当且仅当

,即 x=2 时取“=” .

∴a≥﹣2. ∵P∧Q 为假命题,P∨Q 为真命题, ∴P,Q 中必有一个真命题,一个假命题. 若 P 为真 Q 为假,则 ,﹣3<a<﹣2,

若 P 为假 Q 为真,则

,∴a>1,

综上可得 a 取值范围:﹣3<a<﹣2 或 a>1. 点评: 本题考查了简易逻辑的判定、不等式的解法、很残酷问题的等价转化方法、分类讨论 思想方法、基本不等式的性质、不等式的解集与判别式的关系,考查了推理能力与计算能力, 属于难题. 18.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 O,对称轴为 x 轴,焦点为 F,抛物线上一点 A 的横坐标 为 2,且 .

(Ⅰ)求此抛物线 C 的方程; (Ⅱ)过点(4,0)做直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,求证:OA⊥OB. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设抛物线 C:y =2px(p>0) ,点 A(2,y0) ,代入抛物线方程,运用向量的数 量积的坐标表示,计算即可求得 p=2,进而得到抛物线方程; (Ⅱ)讨论当直线 l 斜率不存在时,求出 A,B 坐标,可得 OA⊥OB;当直线 l 斜率存在时,设 l:y=k(x﹣4) ,联立抛物线方程,运用韦达定理,结合向量垂直的条件,化简整理即可得证. 解答: (Ⅰ)解:设抛物线 C:y =2px(p>0) ,点 A(2,y0) , 则有 ∵ ∴p=2, 所以抛物线 C 的方程为 y =4x; (Ⅱ)证明:当直线 l 斜率不存在时,此时 l:x=4, 解得 A(4,4) ,B(4,﹣4) , 满足 ,∴OA⊥OB;
2 2 2

, ,∴ ,

当直线 l 斜率存在时,设 l:y=k(x﹣4) , 联立方程 ,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则





?
2

=x1x2+y1y2=(1+k )x1x2﹣4k (x1+x2)+16k
2 2

2

2

2

=16(1+k )﹣32k ﹣16+16k =0, 即有 OA⊥OB. 综上,OA⊥OB 成立. 点评: 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的方程的运用,以及直线和抛物线方 程联立,运用韦达定理,同时考查向量数量积的坐标表示,和向量垂直的条件,属于中档题. 19.如图,已知 AB⊥平面 BCE,CD∥AB,△BCE 是正三角形,AB=BC=2CD. (Ⅰ)在线段 BE 上是否存在一点 F,使 CF∥平面 ADE? (Ⅱ)求证:平面 ABE⊥平面 ADE; (Ⅲ)求二面角 B﹣DE﹣A 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)取 BE 的中点 F、AE 的中点 G,连结 FG、GD、CF,利用三角形中位线定理即得 结论; (Ⅱ)通过线面垂直判定定理可得 DG⊥平面 ABE,进而由面面垂直判定定理即得结论; (Ⅲ)以 BC,BA 所在射线分别为 x,z 轴,以垂直于 BC 所在线为 y 轴建立直角坐标系.所求 值即为平面 BDE 的法向量与平面 ADE 的法向量的夹角的余弦值的绝对值. 解答: (Ⅰ)结论:当 F 为 BE 的中点时,CF∥平面 ADE. 理由如下: 取 BE 的中点 F、AE 的中点 G,连结 FG、GD、CF, ∴GF= AB,GF∥AB, ∵DC= AB,CD∥AB, ∴CD 平行且等于 GF,∴CFGD 是平行四边形,CF∥GD, 又 CF? 平面 ADE,DG? 平面 ADE, ∴CF∥平面 ADE; (Ⅱ)证明:∵CF⊥BF,CF⊥AB, ∴CF⊥平面 ABE,

∵CF∥DG,∴DG⊥平面 ABE, ∵DG? 平面 ADE,∴平面 ABE⊥平面 ADE; (Ⅲ)解:以 BC,BA 所在射线分别为 x,z 轴,以垂直于 BC 所在线为 y 轴建立直角坐标系, 如图. 设 AB=BC=2CD=2,B(0,0,0) ,D(2,0,1) ,A(0,0,2) , ∴ , 设平面 BDE 的法向量为 , , ,

∴ 设平面 ADE 的法向量 ,









,由图知,二面角 B﹣DE﹣A 的平面角为锐

角, ∴二面角 B﹣DE﹣A 的余弦值为 .

点评: 本题考查线面平行、面面垂直的判定以及二面角的余弦值,注意解题方法的积累,属 于中档题.

20.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,满足 Sn=a(Sn﹣an+1) (a 为常数,且 a>0) ,且 4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=(2n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知得 S1=a1=a(a1﹣a1+1) ,Sn﹣1=a(Sn﹣1﹣an﹣1+1) ,从而{an}是首项为 a 公 比为 a 的等比数列,进而 此能求出 an=( ) . (Ⅱ)由 bn=(2n+1)an=(2n+1) ?( ) ,利用错位相减法能求出 解答: 解: (Ⅰ)∵Sn=a(Sn﹣an+1) , ∴S1=a1=a(a1﹣a1+1) ,解得 a1=1, 当 n≥2 时,Sn=a(Sn﹣an+1) ,Sn﹣1=a(Sn﹣1﹣an﹣1+1) , 两式相减,得 an=a? an﹣1,∴ ,
n n

=a .由 4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项,得 8a =a+2a ,由

n

3

2



∴{an}是首项为 a 公比为 a 的等比数列, ∴ =a .
n

∵4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项, 3 2 ∴8a3=a1+2a2,即 8a =a+2a , 解得 a= ,或 a=0(舍) ,或 a=﹣ (舍) , ∴an=( ) . (Ⅱ)∵bn=(2n+1)an=(2n+1) ?( ) , ∴Tn= = ①﹣②得: +…+ ,① ,②
n n

=

=







点评: 本题主要考查数列的通项公式、前 n 项和公式的求法,考查等差数列、等比数列等基 础知识,考查抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与 方程思想,解题时要注意错位相减法的合理运用.

21.已知椭圆

=1(a>b>0)上的点 P 到左、右两焦点 F1,F2 的距离之和为 2

,离

心率为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)若 y 轴上一点 满足|MA|=|MB|,求直线 l 斜率 k 的值; (其中 O 为坐标原点)?若存在,求直

(2)是否存在这样的直线 l,使 S△ABO 的最大值为 线 l 方程;若不存在,说明理由.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用椭圆的定义求出 a,根据离心率,求出 c,可得 b,即可求椭圆的方程; (Ⅱ) (1)设直线的方程为 y=k(x﹣1) ,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理、中点坐标公 式,可得 AB 的中点坐标,分类讨论,利用|MA|=|MB|,可得方程,即可求直线 l 斜率 k 的值; (2)分类讨论,求出 S△ABO,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ) ∵
2 2 2

,∴ ,

…(1 分)

,∴

∴b =a ﹣c =2﹣1=1…(2 分) 椭圆的标准方程为 …(3 分)

(Ⅱ)已知 F2(1,0) ,设直线的方程为 y=k(x﹣1) ,A(x1,y1)B(x2,y2)
2 2 2 2

联立直线与椭圆方程

,化简得: (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0





…(4 分)

∴AB 的中点坐标为 (1)k=0 时,不满足条件;

…(5 分)

当 k≠0 时,∵|MA|=|MB|,∴



整理得 2k ﹣3k+1=0,解得 k=1 或

2

…(7 分) ,S△ABO= ,

(2)k=0 时,直线方程为 x=1,代入椭圆方程,此时 y=±

k≠0 时,S△ABO= |y1﹣y2|=| |

=

?

∵k∈R,k≠0,∴ 综上,

,∴

∴满足题意的直线存在,方程为 x=1.…(14 分) 点评: 本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查学生 分析解决问题的能力,有难度.


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