【配套Word版文档】第四章4.4


§ 4.4
2014 高考会这样考

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
1.考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;2.结合三角恒等变换考查

y=Asin(ωx+φ)的性质和应用;3.考查给出图象的解析式. 复习备考要这样做 1.掌握“五点法”作图,抓住函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的特征;

2.理解三种图象变换,从整体思想和数形结合思想确定函数 y=Asin(ωx+φ)的性质.

1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点. 如下表所示. x 0-φ ω 0 0 π -φ 2 ω π 2 A π-φ ω π 0 3π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+ φ)

2.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤如下:

3.图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+ , k∈Z)成轴对称图 2 形. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形. [难点正本 疑点清源] 1.作图时应注意的两点 (1)作函数的图象时,首先要确定函数的定义域. (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就

可根据周期性作出整个函数的图象. 2.图象变换的两种方法的区别 由 y=sin x 的图象,利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) (x∈R)的图象, 要特别注意: 当周期变换和相位变换的先后顺序不同时, 原图象沿 x 轴的伸缩量的区 别.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位,而先周期变换(伸缩变 |φ| 换)再平移变换,平移的量是 个单位. ω

π π ? 1.已知简谐运动 f(x)=2sin? ?3x+φ? (|φ|<2)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周 期 T 和初相 φ 分别为__________. π 答案 6, 6 1 π 解析 由题意知 1=2sin φ,得 sin φ= ,又|φ|< , 2 2 π? π 得 φ= ;而此函数的最小正周期为 T=2π÷? ?3?=6. 6 2.(2012· 浙江)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 不变 ) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是 ( )

答案 A 解析 y=cos 2x+1― ― ― ― ― → 纵坐标不变 y=cos x+1― ― ― ― ― ― ― ― → y=cos(x+1)+1― ― ― ― ― ― ― ― →y=cos(x+1). 结合选项可知应选 A. π 3. (2011· 大纲全国)设函数 f(x)=cos ωx (ω>0), 将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后, 3 所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于 ( )
向下平移1个单位长度 向左平移1个单位长度 横坐标伸长2倍

1 A. 3 答案 C

B.3

C .6

D.9

π 2π π 解析 由题意可知,nT= (n∈N*),∴n· = (n∈N*),∴ω=6n (n∈N*),∴当 n 3 ω 3 =1 时,ω 取得最小值 6. π? π 4.把函数 y=sin? ?5x-2?的图象向右平移4个单位,再把所得函数图象上各点的横坐标缩 1 短为原来的 ,所得的函数解析式为 2 3π? A.y=sin? ?10x- 4 ? 3π? C.y=sin? ?10x- 2 ? 答案 D π π 7π π x- ?- ?=sin?5x- ? 解析 将原函数的图象向右平移 个单位, 得到函数 y=sin?5? 4 ? ? 4? 2 ? 4 ? ? 1 的图象;再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,得到函数 y= 2 7π 10x- ?的图象. sin? 4? ? π 5.已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ) (|φ|< )的部分图象如图所示,则该 2 简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为 π A.T=6π,φ= 6 π C.T=6,φ= 6 答案 C π 解析 由图象易知 A=2,T=6,∴ω= , 3 π ? 又图象过(1,2)点,∴sin? ?3×1+φ?=1, π π π π ∴φ+ =2kπ+ ,k∈Z,又|φ|< ,∴φ= . 3 2 2 6 π B.T=6π,φ= 3 π D.T=6,φ= 3 ( ) 7π? B.y=sin? ?10x- 2 ? 7π? D.y=sin? ?10x- 4 ? ( )

题型一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

例1

π? 已知函数 y=2sin? ?2x+3?,

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? (3)说明 y=2sin? ?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 思维启迪:(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决. (2)五点法作图,关键是找出与 x 相对应的五个点. (3)只要看清由谁变换得到谁即可. 解 π 2π 2x+ ?的振幅 A=2,周期 T= =π, (1)y=2sin? 3 ? ? 2

π 初相 φ= . 3 π π 2x+ ?=2sin X. (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin? 3? ? 3 列表,并描点画出图象: x X y=sin X π? y=2sin? ?2x+3? - 0 0 0 π 6 π 12 π 2 1 2 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -2 5π 6 2π 0 0

π? π (3)方法一 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位,得到 y=sin? ?x+3?的图 3 π? 1 象,再把 y=sin? ?x+3?的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得到 y π? π? ? =sin? ?2x+3?的图象,最后把 y=sin?2x+3?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横 π? 坐标不变),即可得到 y=2sin? ?2x+3?的图象. 1 方法二 将 y=sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得 2 π? π 到 y=sin 2x 的图象;再将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到 y=sin 2? ?x+6?= 6

π? π? ? sin? ?2x+3?的图象;再将 y=sin?2x+3?的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸 π? 长为原来的 2 倍,得到 y=2sin? ?2x+3?的图象. 探究提高 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法,此法注意在作出一个周期上

的简图后,应向两端伸展一下,以示整个定义域上的图象; (2)变换法作图象的关键 φ? 是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用 ωx+φ=ω? ?x+ω?来 确定平移单位. 1 π? 已知函数 f(x)=3sin? ?2x-4?,x∈R. (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象? 解 (1)列表取值: x 1 π x- 2 4 f(x) π 2 0 0 3 π 2 π 2 3 5 π 2 π 0 7 π 2 3 π 2 -3 9 π 2 2π 0

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移 个单位,然后把所有的点的横坐标扩大为原来的 2 4 倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象. 题型二 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 例2 (1)(2011· 江苏)已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,

A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是______. π (2)(2011· 辽宁)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y=f(x) 2 π 的部分图象如图所示,则 f( )等于 24 A.2+ 3 C. 3 3 B. 3 D.2- 3 ( )

思维启迪:(1)由最高点和相邻最低点间的相对位置,确定周期;根据待定系数法求

φ. (2)将“ωx+φ”看作一个整体放在一个单调区间内求解. 答案 解析 (1) 6 2 (2)B

T 7π π π (1)由题图知 A= 2, = - = , 4 12 3 4

2π ∴T=π,ω= =2. π π π ∴2× +φ=2kπ+π,k∈Z,∴φ=2kπ+ (k∈Z). 3 3 π 令 k=0,得 φ= . 3 π? ∴函数解析式为 f(x)= 2sin? ?2x+3?, ∴f(0)= 2sin π 6 = . 3 2

π 3 π π (2)由图形知,T= =2( π- )= ,∴ω=2. ω 8 8 2 3 3 由 2× π+φ=kπ,k∈Z,得 φ=kπ- π,k∈Z. 8 4 π π π 又∵|φ|< ,∴φ= .由 Atan(2×0+ )=1, 2 4 4 π 知 A=1,∴f(x)=tan(2x+ ), 4 π π π π ∴f( )=tan(2× + )=tan = 3. 24 24 4 3 探究提高 根据 y=Asin(ωx+φ)+k 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面 来考虑: 最高点-最低点 (1)A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 A= ; 2 最高点+最低点 (2)k 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 k= ; 2 2π (3)ω 的确定:结合图象,先求出周期 T,然后由 T= (ω>0)来确定 ω; ω (4)φ 的确定:由函数 y=Asin(ωx+φ)+k 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标 φ φ 为- (即令 ωx+φ=0,x=- )确定 φ. ω ω π 已知函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,|φ|< ,ω>0)的图象 2 的一部分如图所示,则该函数的解析式为____________.

答案

π? f(x)=2sin? ?2x+6?

解析 观察图象可知:A=2 且点(0,1)在图象上, 1 π π 11 ∴1=2sin(ω· 0+φ),即 sin φ= .∵|φ|< ,∴φ= .又∵ π 是函数的一个零点,且是图 2 2 6 12 π? 11π π 象递增穿过 x 轴形成的零点,∴ ω+ =2π,∴ω=2.∴f(x)=2sin? ?2x+6?. 12 6 题型三 三角函数模型的应用 例3 如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8 米,圆上最低点

与地面的距离为 0.8 米,且每 60 秒转动一圈,图中 OA 与地面 垂 直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面间的 距 离为 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒到达 OB,求 h 与 t 之间的函数关系式,并求该缆车 首次到达最高点时所用的时间. 解 ON 于点 M(如图), π π 当 θ> 时,∠BOM=θ- , 2 2 h=OA+BM+0.8 π? =5.6+4.8sin? ?θ-2?. π 当 0≤θ≤ 时,上式也成立. 2 π? ∴h 与 θ 间的函数关系式为 h=5.6+4.8sin? ?θ-2?. π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 弧度/秒, 30 π ∴t 秒转过的弧度数为 t, 30 π π? ∴h=5.6+4.8sin? ?30t-2?,t∈[0,+∞). 首次到达最高点时,h=10.4 米, π π? π π π 即 sin? ?30t-2?=1,30t-2=2, 即 t=30 秒时,该缆车首次到达最高点. (1)过点 O 作地面的平行线 ON, 过点 B 作 ON 的垂线 BM 交

探究提高 本题属三角函数模型的应用,通常的解决方法:转化为 y=sin x,y=cos x 等函数解决图象、最值、单调性等问题,体现了化归的思想方法;用三角函数模型解 决实际问题主要有两种: 一种是用已知的模型去分析解决实际问题, 另一种是需要建 立精确的或者数据拟合的模型去解决问题, 尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问 题,充分体现了新课标中“数学建模”的本质. 如图所示,某地夏天从 8~14 时用电量变化曲线 近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b,φ∈(0,π). (1)求这一天的最大用电量及最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解 (1)最大用电量为 50 万度,最小用电量为 30 万度.

(2)观察图象,可知从 8~14 时的图象是 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象. 1 1 ∴A= ×(50-30)=10,b= ×(50+30)=40. 2 2 π T 1 2π π ? ∴ =14-8= · ,∴ω= ,∴y=10sin? ?6x+φ?+40. 2 2ω 6 π 将 x=8,y=30 代入上式,解得 φ= , 6 π π? ∴所求解析式为 y=10sin? ?6x+6?+40,x∈[8,14].

利用三角函数的性质求解析式

典例:(12 分)如图为 y=Asin(ωx+φ)的图象的一段. (1)求其解析式; π (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位后得 y=f(x), 求 6 f(x)的对称轴方程. 审题视角 (1)图象是 y=Asin(ωx+φ)的图象.(2)根据“五点法”作图的原则,M 可

5π ? 以看作第一个零点;? ? 6 ,0?可以看作第二个零点. 规范解答 解 (1)由图象知 A= 3, [2 分]

π ? 5π ,0 为第一个零点,N? ,0?为第二个零点. 以 M? 3 ? ? ?6 ?

+φ=0, ?ω· 3 列方程组? 5π ?ω·6 +φ=π,

π

ω=2, ? ? 解之得? 2π φ=- . ? 3 ?

[4 分]

2π? ∴所求解析式为 y= 3sin? ?2x- 3 ?. π 2π? x+ ? (2)f(x)= 3sin?2? ? ? 6?- 3 ? π? = 3sin? ?2x-3?, π π 令 2x- = +kπ(k∈Z), 3 2 5 kπ 则 x= π+ (k∈Z), 12 2 5 kπ ∴f(x)的对称轴方程为 x= π+ (k∈Z). 12 2

[6 分]

[8 分]

[10 分] [12 分]

第一步:根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点. 第二步:将“ωx+φ”作为一个整体,找到对应的值. 第三步:列方程组求解. 第四步:写出所求的函数解析式. 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点及答题规范.

温馨提醒

(1)求函数解析式要找准图象中的“五点”,利用方程求解 ω,φ;(2)讨论

性质时将 ωx+φ 视为一个整体.

方法与技巧 1.五点法作函数图象及函数图象变换问题 (1)当明确了函数图象基本特征后,“描点法”是作函数图象的快捷方式.运用“五 点法”作正、余弦型函数图象时,应取好五个特殊点,并注意曲线的凹凸方向. (2)在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移” 也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是 对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少. 2.由图象确定函数解析式 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A、ω、φ 的题型,常常以“五点法”中的第一零

φ ? 点? ?-ω,0?作为突破口,要从图象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特 殊量和特殊点. 3.对称问题 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心, 经过该图象上坐标 为(x,± A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横 坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离). 失误与防范 1.由函数 y=sin x(x∈R)的图象经过变换得到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,在具体问题 中,可先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但要注意:先伸缩, 后平移时要把 x 前面的系数提取出来. 2.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质是本节考查的重点,也是高考热点,复习时尽可能 使用数形结合的思想方法,如求解对称轴、对称中心和单调区间等. 3.注意复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调 区间的确定,基本思想是把 ωx+φ 看做一个整体.在单调性应用方面,比较大小是 一类常见的题目,依据是同一区间内函数的单调性.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) π? 1. 将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ (0≤φ<2π)个单位后, 得到函数 y=sin? ?x-6?的图象, 则 φ 等于 π A. 6 答案 D 解析 将函数 y=sin x 向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位得到函数 y=sin(x+φ). 只有 φ= 11 ? ? π? π 时有 y=sin? ?x+ 6 π?=sin?x-6?. π? ?π ? 2.(2012· 课标全国)已知 ω>0,函数 f(x)=sin? ?ωx+4?在?2,π?上单调递减,则 ω 的取值 范围是 ( ) 1 3? B.? ?2,4? 11 6 5π B. 6 7π C. 6 11π D. 6 ( )

1 5? A.? ?2,4?

1? C.? ?0,2? 答案 A

D.(0,2]

5 π? 5 解析 取 ω= ,f(x)=sin? ?4x+4?, 4 8 π 8 ? 其减区间为? ?5kπ+5,5kπ+π?,k∈Z, π ? ?8 π 8 ? 显然? ?2,π???5kπ+5,5kπ+π?,k∈Z,排除 B,C. π? 取 ω=2,f(x)=sin? ?2x+4?, π 5 ? 其减区间为? ?kπ+8,kπ+8π?,k∈Z, π ? ? π 5 ? 显然? ?2,π???kπ+8,kπ+8π?,k∈Z,排除 D. π 3.将函数 y=sin(x+φ)的图象 F 向左平移 个单位长度后得到图象 F′,若 F′的一个对 6 π ? 称中心为? ?4,0?,则 φ 的一个可能取值是 π A. 12 答案 D π x+ +φ?, 解析 图象 F′对应的函数 y′=sin? ? 6 ? π π 5π 则 + +φ=kπ,k∈Z,即 φ=kπ- ,k∈Z, 4 6 12 7π 令 k=1 时,φ= ,故选 D. 12 π 4.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中 ω>0,|φ|< )的最小正周期是 π,且 f(0)= 3, 2 则 ( 1 π A.ω= ,φ= 2 6 π C.ω=2,φ= 6 答案 D 解析 ∵T=π,∴ω=2. π π 又 2sin φ= 3,|φ|< ,∴φ= . 2 3 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 π B.ω= ,φ= 2 3 π D.ω=2,φ= 3 ) π B. 6 5π C. 6 7π D. 12 ( )

5.函数 y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所 示,则 ω=________.

答案 3 3 2 2π 解析 由图象可以看出 T=π,∴T= π= ,因此 ω=3. 2 3 ω π? ?π? ?π? ?π π? 6.已知 f(x)=sin? ?ωx+3? (ω>0),f?6?=f?3?,且 f(x)在区间?6,3?上有最小值,无最大 值,则 ω=______________. 答案 14 3

π π + 6 3 π 解析 依题意,x= = 时,y 有最小值, 2 4 π π π π 3π ω+ ?=-1,∴ ω+ =2kπ+ ∴sin? (k∈Z). 3? ?4· 4 3 2 π π? 14 π π π , 上有最小值无最大值. ∴ω=8k+ (k∈Z), ∴f(x)在区间? ∴ - < , 即 ω<12. 6 3 ? ? 3 3 4 ω 14 令 k=0,得 ω= . 3 7.设函数 f(x)=sin x-cos x,若 0≤x≤2 011π,则函数 f(x)的各极值之和为________. 答案 解析 2 π? π f′(x)=cos x+sin x= 2sin? 令 f′(x)=0, 得 x=- +kπ (k∈Z), ∵f(x) ?x+4?, 4

π? = 2sin? ?x-4?, π π? ? ? π ∴f? ?-4+kπ?= 2sin?-4+kπ-4? π? = 2sin? cos kπ, ?kπ-2?=- 2· 当 k 为奇数时,函数取得极大值 2; 当 k 为偶数时,函数取得极小值- 2, 1 8 045 ∵0≤x≤2 011π,∴ ≤k≤ , 4 4 ∴此函数在此区间上各极值的和为 2. 三、解答题(共 22 分)

π? 8.(10 分)(2012· 陕西)函数 f(x)=Asin? ?ωx-6?+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图象相邻 π 两条对称轴之间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式; π? ?α? (2)设 α∈? ?0,2?,f?2?=2,求 α 的值. 解 (1)∵函数 f(x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2.

π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 ∴最小正周期 T=π,∴ω=2, π? ∴函数 f(x)的解析式为 y=2sin? ?2x-6?+1. α? ? π? (2)∵f? ?2?=2sin?α-6?+1=2, π? 1 ∴sin? ?α-6?=2. π π π π ∵0<α< ,∴- <α- < , 2 6 6 3 π π π ∴α- = ,∴α= . 6 6 3 x π? ?x π? 9.(12 分)已知函数 f(x)=2 3sin? ?2+4?cos?2+4?-sin(x+π). (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π] 6 上的最大值和最小值. 解 π x+ ?+sin x (1)因为 f(x)= 3sin? 2 ? ? 3 1 ? ? 2 cos x+2sin x?

= 3cos x+sin x=2? π? =2sin? ?x+3?,

所以 f(x)的最小正周期为 2π. π (2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6 π? ? π? π ∴g(x)=f? ?x-6?=2sin[?x-6?+3] π? =2sin? ?x+6?. π π 7π? , , ∵x∈[0,π],∴x+ ∈? 6 ?6 6 ?

π? π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时,sin? ?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. 6 2 3 π? π 7π 1 当 x+ = ,即 x=π 时,sin? ?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. 6 6

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) π 1.函数 y=sin 2x 的图象向右平移 φ (φ>0)个单位,得到的图象恰好关于 x= 对称,则 φ 6 的最小值为 ( 5 A. π 12 答案 A π 解析 y=sin 2x 的图象向右平移 φ 个单位得到 y=sin 2(x-φ)的图象,又关于 x= 对 6 π π π 5 ? 称,则 2? ?6-φ?=kπ+2 (k∈Z),2φ=-kπ-6 (k∈Z),取 k=-1,得 φ=12π. π 4π 2.设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 的 3 3 最小值是 2 A. 3 答案 C 4π 解析 由函数向右平移 个单位后与原图象重合, 3 得 ∴ 4π 是此函数周期的整数倍.又 ω>0, 3 2π 4π 3 3 · k= ,∴ω= k(k∈Z),∴ωmin= . ω 3 2 2 4 B. 3 3 C. 2 D.3 ( ) ) 11 B. π 6 11 C. π 12 D.以上都不对

3.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0, π 1 0<φ< )的图象如右图所示,则当 t= 秒时,电流强度是 2 100 ( A.-5 安 答案 A T 4 1 1 解析 由图象知 A=10, = - = , 2 300 300 100 2π ∴ω= =100π.∴I=10sin(100πt+φ). T B.5 安 C.5 3安 D.10 安 )

? 1 ,10?为五点中的第二个点,∴100π× 1 +φ=π. ?300 ? 300 2
π π 1 100πt+ ?,当 t= 秒时,I=-5 安. ∴φ= .∴I=10sin? 6 ? ? 6 100

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π ? ?π ? ?π? 4.若 f(x)=2sin(ωx+φ)+m 对任意实数 t 都有 f? ?8+t?=f?8-t?,且 f?8?=-3,则实数 m 的值等于________. 答案 -1 或-5 π π 解析 依题意得,函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,于是当 x= 时,函数 f(x)取得 8 8 最值,因此有± 2+m=-3,解得 m=-5 或 m=-1. π π 5.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,- ≤φ≤ )的图象上的两个相邻的最高点和最低点 2 2 1? 的距离为 2 2,且过点? ?2,-2?,则函数解析式 f(x)=______________. 答案 πx π? sin? ? 2 +6?

解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为 2 2,可得

?T?2+?1+1?2=2 2,解得 ?2 ?

πx 1? 2π π ? ? T=4,故 ω= = ,即 f(x)=sin? ? 2 +φ?,又函数图象过点?2,-2?,故 f(2)=sin(π T 2 πx π? 1 π π π +φ)=-sin φ=- ,又- ≤φ≤ ,解得 φ= ,故 f(x)=sin? ? 2 +6?. 2 2 2 6 6 .某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + π ? Acos? ?6?x-6?? (x=1,2,3,?,12,A>0)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,12 月份的月平均气温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5
?a+A=28, ? 解析 由题意得? ?a-A=18, ? ?a=23, ? ∴? ?A=5, ?

π ? ∴y=23+5cos? ?6?x-6??, 1 - ?=20.5. x=10 时,y=23+5×? ? 2? 三、解答题 π 7.(13 分)(2012· 湖南)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ< ) 2 的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; π? ? π? (2)求函数 g(x)=f? ?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. 解 11π 5π? (1)由题设图象知,周期 T=2? ? 12 -12?=π,

5π ? 2π 所以 ω= =2.因为点? ?12,0?在函数图象上, T 5π ? ?5π ? 所以 Asin? ?2×12+φ?=0,即 sin? 6 +φ?=0. π 5π 5π 4π 又因为 0<φ< ,所以 < +φ< . 2 6 6 3 5π π 从而 +φ=π,即 φ= . 6 6 π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin =1,解得 A=2. 6 π? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin? ?2x+6?. π ? π? ? ? π ? π? (2)g(x)=2sin?2? ?x-12?+6 -2sin 2?x+12?+6

?

?

?

?

π? =2sin 2x-2sin? ?2x+3? 1 3 =2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2x? 2 ?2 ? π 2x- ?. =sin 2x- 3cos 2x=2sin? 3? ? π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π 5π kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 所以函数 g(x)的单调递增区间是? 12 12? ?


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