山东省文登市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题


高二期末模块考试 文科数学
2015.6

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共 4 页.满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 考试结束,将试卷答题卡交上,试题不交回.

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内,超出该区域的答案无效. 参考公式:在独立性检验中 ? 2 ?

n(n11 n22 ? n12 n21 ) 2 n1? n2? n?1n? 2

n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ?b ? n ? 中, ? ? ? bx 在回归直线方程 ? y?a ? xi 2 ? nx 2 ? ? i ?1 ? ? ? ? y ? bx ? ?a

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1.否定“自然数 a, b, c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 A. a, b, c 都是奇数 C. a, b, c 至少有两个偶数 2.下列正确的是 A. ( x ? )? ? 1 ? B. a, b, c 都是偶数 D. a, b, c 至少有两个偶数或者都是奇数

1 x

1 x2

B. ( x cos x)? ? ?2 x sin x
2

C. (3x )? ? 3x log3 e

D. (log 2 x)? ?

1 x ln 2

3.在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a5 ? a7 ? 90 ,则 2a6 ? a7 等于 A. 30 B. 24 C. 20 D. 15

4.设 A 是 ?ABC 的最小内角,则 sin A ? 3 cos A 的取值范围为 A. ( 3, 2] B. [ 3, 2] C. ( 3, 2) D. (

3 ,1] 2

5.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 72, a3 ? a4 ? 18 ,那么 a4 ? a5 ?

A. 6

B. 9

C. ?6

D. ?9

6.在 ?ABC 中, B ? A.直角三角形

?
6

, c ? 150 , b ? 50 3 ,则 ?ABC 为
C.等边三角形 D.等腰三角形

B.等腰三角形或直角三角形

7.设数列 ?an ? 是等差数列, S n 是 ?an ? 的前 n 项和,且 S 7 ? S8 , S8 ? S9 ? S10 ,则下列结论 错误的是 A. d ? 0 8.若 f ( x) ? B. a9 ? 0 C. S8 , S9 均为 S n 的最小值 D. S11 ? S10

ln x , e ? b ? a ,则 x
B. f (a) ? f (b) C. f (a) ? f (b) D. f (a) f (b) ? 1

A. f (a) ? f (b)

9.已知数列 ?an ? 是首项为 1 的等比数列,S n 是 ?an ? 的前 n 项和, 且 前 5 项和为 A.

S4 1 1 , 则数列 { } 的 ? an S 8 17

31 11 或 16 16

B.

11 21 或 16 16

C.

11 16

D.

31 16

x 10.设 a ? R ,若函数 y ? e ? 2ax ( x ? R) 有大于 0 的极值点,则

A. a ? ?

1 e

B. a ? ?

1 e

C. a ? ?

1 2

D. a ? ?

1 2

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上. 11.函数 f ( x) ? 2sin x ? x, x ? (0, 2? ) 的单调增区间为 .

12.将长为 72cm 的铁丝截成 12 段, 搭成一个正四棱柱的模型, 以此为骨架做成一个容积最大 的容器,则此四棱柱的高应该是

cm .
2004 47 2005 45.5 2006 43.5 2007
41

13.某地区恩格尔系数(表示生活水平高低的一个指标) y (%) 与年份 x 的统计数据如下表: 年份 x 恩格尔系数 y (%)

? ? 4055.25 ,据此模型 ? ? bx 从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且可得回归直线方程为 y
可预测 2015 年该地区的恩格尔系数为 14.已知 f (n) ? 1 ?

%.

1 1 1 3 5 ? ? ? ? .经计算得 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , 2 3 n 2 2

f (16) ? 3, f (32) ?

7 ,由此可推得一般性结论为 2



15. 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若 角 A, B, C 依 次 成 等 差 数 列 , 且

a ? 2, b ? 3 ,则 S?ABC ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤. 16.(本题共 2 个小题,每小题 6 分,共 12 分) (1)某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,随机 抽取了 72 名员工进行调查,所得的数据如下表所示: 积极支持改革 工作积极 工作一般 合 计 不太支持改革 合 计

28

8

36

16
44

20 28

36 72

对于人力资源部的研究项目,根据上述数据你能得出什么结论? (友情提示:当 ? ? 3.841 时,有 95% 的把握说事件 A 与 B 有关;当 ? ? 6.635 时,有
2 2

99% 的把握说事件 A 与 B 有关; 当 ? 2 ? 3.841 时认为事件 A 与 B 无关.)

(2) 高中数学必修 3 第三章内容是概率.概率包括事件与概率, 古典概型, 概率的应用. 事件与概率又包括随机现象,事件与基本事件空间,频率与概率,概率的加法公式.请画出 它们之间的知识结构图.

17. (本小题满分12分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边,且 cos C ? 3 sin C ? (Ⅰ)求 ? A 的大小;

b?c . a

(Ⅱ)若 b ? c ? 5 ,且 b ? c , a ?

??? ? ??? ? 7 ,求 BA ? BC 的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知曲线 f ( x) ? ? x3 ? 2 x2 ? 2ax ? 8 在 (1, f (1)) 处切线与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直. (Ⅰ)求 f ( x ) 解析式; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间、极值并画出 y ? f ( x) 的大致图象.

19.(本小题满分 12 分) 当a ?

3 且 a ? 1 时,判断 log a (a ? 1) 与 log( a ?1) a 的大小,并给出证明. 4

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? 2an ? 2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , b1 ? 1 ,点 (Tn ?1 , Tn ) 在直线

x y 1 ? ? 上,若存在 n ?1 n 2

n ? N ? ,使不等式

2b 2b1 2b2 ? ? ? ? n ? m 成立,求实数 m 的最大值. a1 a2 an

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 2e ( x ? 1) (其中 e ? 2.71828.... ).
x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [t , t ? 1] (t ? ?3) 上的最小值; (Ⅲ)若 g ( x) ? x ? 4x ? 2 ,判断函数 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 零点个数.
2

高二文科数学试题参考答案
一、选择题 二、填空题 11. (0,

DDABD BDCAC

2? 4? ) 和 ( , 2? ) 3 3

12. 6 13. 25.25

14. f (2 ) ?
n

n?2 2

15.

3? 3 4

三、解答题

72 ? (28 ? 20 ? 8 ?16) 2 648 ? ? 8.416 16 解: (1)由公式得 ? ? 44 ? 28 ? 36 ? 36 77
2

???3 分

? 8.416 ? 6.635 ,所以有 99% 的把握说,员工“工作积极”与“积极支持改革”是有关
的. 随机现象 16(2)解: 概率 事件与概率 事件与基本事件空间 古典概型 频率与概率 概率的应用 17.解: (Ⅰ)? cos C ? 3 sin C ? 概率的加法公式 ?6 分(说明:部分正确 的得 3 分) ????6 分

b?C , a

?sin A cosC ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C ,

?sin A cosC ? 3 sin Asin C ? sin(A ? C) ? sin C ,
? 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C ,
? sin C ? 0 ,? 3 sin A ? cos A ? 1 ,
即 sin( A ? ???4 分

?
6 ?

)?

?A?

?
6

?
6

1 ? ? 5? ), ,? A ? (0, ? ) ,? A ? ? (? , 2 6 6 6

,? A ?

?

(Ⅱ)? A ?

?

3

.

??????6 分

3

,a ?

7 ,由余弦定理得:
3 , 2

7 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 2bc (1 ? cos A) ? 25 ? 2bc ?
? bc ? 6 ,? b ? c ? 5 , b ? c ,? b ? 3, c ? 2 .

???8 分

? cos B ?

7? 4?9 2? 2 7

?

7 , 14

???10 分

??? ? ??? ? 7 ? BA ? BC ? 2 ? 7 ? ? 1. 14
18 解: (Ⅰ)对 f ( x ) 求导 f ?( x) ? ?3x2 ? 4 x ? 2a , 由题意 f ?(1) ? ?3 ? 4 ? 2a ? ?3

???12 分

?????2 分 ??????4 分

? a ? 2 ,? f ( x) ? ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 8 .
(Ⅱ) f / ( x) ? ?3x2 ? 4x ? 4 ? ?(3x ? 2)( x ? 2)
/ 由 f ( x) ? 0 得 ?2 ? x ?

2 2 / ,由 f ( x) ? 0 得 x ? 或 x ? ?2 3 3 2

?????6 分

∴单调增区间为 ? ?2, ? ,单减区间为 (??, ?2) , ( , ??) 3 3

? ?

2? ?

?????8 分

f ( x) 极小值= f (?2) ? 0
2 13 f ( x) 极大值= f ( ) ? 9 3 27
大致图像如图 ??????10 分

13 9 27

y

?2

2 3

x

?????12 分 19 解:当 a ? 1 时, log a (a ? 1) ? log( a ?1) a ;????1 分 当

3 ? a ? 1 时, log a (a ? 1) ? log( a ?1) a .????3 分 4

证明如下: log a (a ? 1) ? log ( a ?1) a ?

lg(a ? 1) lg a lg 2 (a ? 1) ? lg 2 a ??4 分 ? ? lg a lg(a ? 1) lg a lg(a ? 1)

(1)当 a ? 1 时, lg a ? 0,lg(a ? 1) ? 0,lg(a ? 1) ? lg a .

所以 log a (a ? 1) ? log( a ?1) a ? 0 , log a (a ? 1) ? log( a ?1) a (2)当

???6 分

3 lg 2 (a ? 1) ? lg 2 a ? a ? 1 时, log a (a ? 1) ? log ( a ?1) a ? 4 lg a lg(a ? 1)
????7 分

?

(lg(a ? 1) ? lg a)(lg(a ? 1) ? lg a) (lg(a ? 1) ? lg a) lg(a 2 ? a) ? lg a lg(a ? 1) lg a lg(a ? 1)

3 ? ? a ? 1,? lg a ? 0, lg(a ? 1) ? 0, lg(a 2 ? a) ? lg1 ? 0 4

????9 分

?

(lg(a ? 1) ? lg a) lg(a 2 ? a) ?0 lg a lg(a ? 1)

????11 分

?loga (a ?1) ? log(a?1) a log( a ?1) a .
20.解: (Ⅰ)? S n ? 2an ? 2 (1)

????12 分

? S n?1 ? 2an?1 ? 2 (2)
???2 分

? (2)-(1)得 an?1 ? 2an?1 ? 2an (n ? 1)
?a n?1 ? 2an ,即
a n ?1 ? 2 ,?{an } 成等比数列,公比为 2 . an

???3 分

? an ? 2 n .
(Ⅱ)由题意得:

???4 分

Tn ?1 Tn 1 T 1 ? ? ,? { n } 成等差数列,公差为 . ???5 分 2 n ?1 n 2 n

首项

T T1 b1 n(n ? 1) 1 n ?1 ? ? 1 ,? n ? 1 ? (n ? 1) ? , Tn ? , ???6 分 2 1 1 n 2 2
n(n ? 1) n(n ? 1) ? ? n, 2 2
???7 分

当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn ?1 ?

当 n ? 1 时, b1 ? 1 成立,? bn ? n .

?

2bn 2n n 1 ? n ? n?1 ? n ? ( ) n?1 , an 2 2 2 2b 2b1 2b2 ? ? ? ? n ,只需 (M n ) max ? m . a1 a2 an

???8 分

令 Mn ?

? M n ? 1? 2?

1 1 1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? n ? ( ) n ?1 (3) 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 M n ? ? 2 ? ( ) ? 3? ( ) ? ? ? n ? ( )n (4) 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 M n ? 1 ? ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n 2 2 2 2 2 2 1 n 1? ( ) 2 ? n ? ( 1 ) n ? 2 ? (n ? 2)( 1 ) n ? 1 2 2 1? 2 1 ? M n ? 4 ? (n ? 2)( ) n ?1 . ???11 分 2 1 1 n ?1 ? M n ?1 ? M n ? 4 ? (n ? 3)( ) n ? 4 ? (n ? 2)( ) n ?1 ? n ? 0 2 2 2
(3)-(4)得:

?{M n } 为递增数列, ? M n ? 4 ,
? m ? 4 ,实数 m 的最大值为 4 .
21. 解:(Ⅰ) f ?( x) ? 2ex ( x ? 2) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 ,

???12 分 ???13 分 ???1分

? f ( x) 在 (?2, ??) 单调递增,在 (??, ?2) 单调递减. ? f ( x) 极小值 ? f (?2) ? ?2e?2 ,不存在极大值.
(Ⅱ)

???3 分 ?????4 分

由 (Ⅰ) 知 , f ( x ) 在 (?2, ??) 单 调 递 增 , 在 (??, ?2) 单 调 递 减 .

?t ? ?3,?t ? 1 ? ?2
① 当 ?3 ? t ? ?2 时, f ( x ) 在 [t , ?2] 单调递减, [?2, t ? 1] 单调递增, ∴ f ( x)min ? f (?2) ? ?2e?2 . ② 当 t ? ?2 时, f ( x ) 在 [t , t ? 1] 单调递增, ????6 分

? f ( x)min ? f (t ) ? 2et (t ?1) ;
?2 ? ??2e (?3 ? t ? ?2) ? f ( x) ? ? t ? ?2e (t ? 1) (t ? ?2)

????8 分

????9 分

(Ⅲ)由题意 F ( x) ? 4e ( x ? 1) ? x ? 4 x
x 2

求导得 F ?( x) ? 4e ( x ? 1) ? 4e ? 2 x ? 4 ? 2( x ? 2)(2e ?1) ,
x x x

???10 分

由 F ?( x) ? 0 得 x ? ? ln 2 或 x ? ?2 ,由 F ?( x) ? 0 得 ?2 ? x ? ? ln 2 所以 F ( x) 在 (??, ?2),(? ln 2, ??) 上单调递增,在 (?2, ? ln 2) 上单调递减???12 分

? F ( x)极小值 =F(-ln2)=2+2ln2-(ln2)2 ? 2 ? ln 2(2 ? ln 2) ? 0
当 x ? ?? 时, F ( x) ? 0 , 故函数 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 只有一个零点. ?????14 分


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