高三文科数学综合练习卷一


2013 年鹏峰中学高三文科(数学)综合练习卷一
1.命题“ ?x ? R , x 3 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R , x3 ≤ 0 B. ?x ? R , x3 ≤ 0 )
3 C. ?x ? R , x0 ? 0

D. ?x ? R , x 3 ? 0

2.集合 M ? {x ? N* x( x ? 3) ? 0} 的子集个数为( A.1 B.2 C.3

) D.4

3.从一堆苹果中任取 20 粒,称得各粒苹果的质量(单位:克)数据分布如下表所示: 分组 频数
[100,110] (110,120] (120,130] (130,140] (140,150] (150,160]

1

3

4

6

a

2

根据频数分布表,可以估计在这堆苹果中,质量大于 140 克的苹果数约占苹果总数的 ( )A.10% B.30% C.70% D.80% ) D. ?2 4.执行如下程序框图后,若输出结果为 ?1 ,则输入 x 的值不可能是( ... A.2 B.1 C. ?1

第 5 题图

第 6 题图

5.如图,水平放置的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 平面 A1B1C1,其正视图是边长为 a 的正方形,俯视图是边长为 a 的正三角形,则该三棱柱的侧视图的面积为( A. a 2 B. )
3a 2

1 2 a 2

C.

3 2 a 2

D.

6.已知 m, n 是不重合的直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题正确的是( A.若 m ? ? , n // ? ,则 m // n C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? B.若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? ? n, m // n ,则 m // ? 且 m // ? ) D.



7.在区间 (0, ) 上随机取一个数 x ,使得 0 ? tan x ? 1 成立的概率是( 2 A.

?

1 8

B.

1 3
1

C.

1 2

2 ?

? x ≥ 1, y ? 8.若 x, y ? R ,且 ? y ≥ x, 则 k ? 的最大值等于( x ? x ? 2 y ? 3 ≥ 0, ?



A.3

B.2

C.1

D.

1 2

???? ??? ? ???? 9.在 ?ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若 AO ? xAB ? (1 ? x) AC ,

则实数 x 的取值范围是( A. ? ??,0 ? 10.若双曲线

) C. ? ?1,0? D.

B. ? 0, ?? ?

? 0,1?

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的渐近线与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 相交,则此双曲线 a 2 b2
) C. (1, 2) D. ( 2, ??)

的离心率的取值范围是( A. (2, ??) B. (1, 2)

11.函数 f ( x) ? 2cos(? x ? ?) ( ? ? 0,0 ? ? ? ? )为奇函数,该函数的部分图 象如图所示,点 A、 B 分别为该部分图象的最高点与最低点,且 | AB | ? 4 2 , 则函数 f ( x) 图象的一条对称轴的方程为( A. x ? 2 B. x ? 2? C. x ? ) D. x ?

1 2

?
2
第 11 题图 图

12.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,其导函数 f ?( x) 的图象如图所示,则对于任意 x1 , x2 ? R ( x1 ? x2 ) ,下列结论中正确的是( ① ② ③ ④ ⑤
f ( x) ? 0 恒成立;



( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ; ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ;

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; )? 2 2 x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) . f( 1 2)? 2 2 f(
B. ①③④ C. ②④ 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)

第 12 题图

A. ①③

D. ②⑤

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在题后的横线上. )
2

13.已知 i 是虚数单位,则复数

1? i ? 1? i


14.已知函数 f ( x) ? 2 x 满足 f (m) ? f (n) ? 2 ,则 mn 的最大值为

15. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、 b、 c .若 a ? 2 , b ? 2 3 , B ? 60? , 则 sin C ? . 16. 对一块边长为 1 的正方形进行如下操作: 第一步, 将它分割成 3? 3 方格,接着用中心和四个角的 5 个小正方形,构成如图①所示的几何图

5 ;第二步,将图①的 5 个小正方形中的每个小正方形 9 都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推,到第 n 步,所得图
形,其面积 S1 ?

5 形的面积 Sn ? ( )n . 若将以上操作类比推广到棱长为 1 的正方体中, 则到第 n 步, 9
所得几何体的体积 Vn ? .

第 16 题图

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.) 17. (本小题满分 12 分)在数列 ?an ? 中, a1 ?

1 1 ,点 (an , an?1 ) ( n ? N* )在直线 y ? x ? 上. 2 2
1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an ? an ?1

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ?

18. (本小题满分 12 分)某游艇制造厂研发了一种新游艇,今年前 5 个月的产量如下: 月份 x 游艇数 y (艘) 1 2 2 3 3 5 4 7 5 8

? ? ? ? (Ⅰ)设 y 关于 x 的回归直线方程为 y ? bx ? a .现根据表中数据已经正确计算出了 b 的

值为 1.6 ,试求 a 的值,并估计该厂 6 月份的产量(计算结果精确到个位). (Ⅱ)质检部门发现该厂 1 月份生产的游艇存在质量问题,要求厂家召回;现有一旅游 公司曾向该厂购买了今年前两个月生产的游艇 2 艘,求该旅游公司有游艇被召回的概 .... 率.

3

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

cos 2 x 2 sin(

?
4

. (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 12 ? x)

?

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递减区间.

20. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 )与 x 轴 a2 9

??? ???? ? 的正半轴交于点 P .点 Q 的坐标为 (3,3) , OP ? OQ ? 6 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)

过点 Q 且斜率为

3 的直线交椭圆 C 于 A 、 B 两点,求 ?AOB 的面积. 2

21. (本小题满分 12 分)如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60? .点 E、 F 分别 在边 CD、CB 上,点 E 与点 C 、 D 不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O .沿 EF 将 ?CEF 折 起到 ?PEF 的位置,使得平面 PEF ⊥平面 ABFED . (Ⅰ)求证: BD ? 平面 POA ; (Ⅱ) 记三棱锥 P ? ABD 体积为 V1 ,四棱锥 P ? BDEF 体积为 V 2 .求当 PB 取得最小值时 V1 : V2 的 值.
D E D A O F B C A B F O E C P

第 21 题图 22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 2ln x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 与 g ( x) ? x ? (ⅰ)求实数 a 的值;

a 有相同极值点, x

f ( x ) ? g ( x2 ) 1 (ⅱ)若 于? x1 , x2 ?[ ,3] , 等 对 不 式 1 成 , 实 取 范 . ≤ 1 恒 立 求 数k 的 值 围 e k ?1

4

2013 年鹏峰中学高三文(数学)综合练习卷一答题卡
… … … … … … … … … … … … … … … … … …

一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13、 ;14、 ; 15、 ;16、 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

姓名 座号 班级





线





要 答

题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

5

18. (本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 12 分)

6

20. (本小题满分 12 分)

21. (本小题满分 12 分)

7

22. (本小题满分 14 分)

8

2013 年鹏峰中学高三文科(数学)综合练习卷一答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分.) 1.B 7.C 2.D 8.B 3.B 9.A 4.D 10.C 5.C 11.A 6.C 12.D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13. i 14.

1 4

15.1

1 16. ( )n 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分. ) 17.解: (Ⅰ)由已知得 an?1 ? an ? ∴ ∵ ∴

1 1 ,即 an?1 ? an ? . ·········· 1 分 2 2

1 1 数列 ?an ? 是以 为首项,以 d ? 为公差的等差数列. ········· 2 分 2 2

an ? a1 ? (n ? 1)d , ························· 3 分

an ?

1 1 n . ? (n ? 1) ? ( n ? N * ) ·················· 6 分 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ?

1 4 , ·············· 7 分 ? n n ? 1 n(n ? 1) ? 2 2
······················· 9 分

∴ ∴

1 1 bn ? 4( ? ). n n ?1

1 4n 1 1 1 1 1 . ····· 12 分 )? Tn ? 4[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 4(1 ? n ?1 2 2 3 n n ?1 n ?1 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 2?3?5? 7 ?8 18.解: (Ⅰ) x ? ? 3, y ? ? 5 ??????2 分 5 5 ? ? ? ? 回归直线 y ? bx ? a 过点 ( x , y ) , ? ? ? a ? y ? bx ? 5 ?1.6?3 ? 0.2 ?????????????3 分

? ? y ? 1.6 x ? 0.2

? 当 x ? 6 时, y ? 1.6 ? 6 ? 0.2 ? 9.8 ? 10 ? 估计该厂 6 月份的产量为 10 艘.???????????5 分 (Ⅱ)设一月份生产的 2 艘游艇为 a1 , a2 ,二月份生产的 3 艘游艇为 b1 ,b2 , b3 旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有: ?a1 , a2 ? , ?a1 , b1? , ?a1 , b2 ? , ?a1 , b3 ? , ?a2 , b1? , ?a2 , b2 ? , ?a2 , b3 ? , ?b1 , b2 ? ,

?b1 , b3? , ?b2 , b3 ? 共 10 种

????????????????9 分

其中,两艘游艇中至少一艘为一月份生产的结果有: ?a1 , a2 ? , ?a1 , b1? , ?a1 , b2 ? , ?a1 , b3 ? , ?a2 , b1? , ?a2 , b2 ? , ?a2 , b3 ? 共 7 种??10 分

? 两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为 P ?
9

7 10

即该旅游公司有游艇被召回的概率为

7 .????????????12 分 10

19.由 sin( ? x) ? 0 ,得 x ? ? k? ( k ? Z ) ,即 x ? k? ? ( k ? Z ) , 4 4 4 ∴ 函数 f ( x) 定义域为 {x | x ? k? ?
cos 2 x 2 sin(

?

?

?

?
4

, k ?Z} . ·············· 2 分

∵ f ( x) ?

?
4

,

? x)

? f ( x) ?

cos2 x ? sin 2 x ? ? cos x ? sin x ? 2 sin( x ? ) , ··········· 5 分 cos x ? sin x 4

? ? ? ? 3 6 ? (Ⅰ) f ( ) ? 2 sin( ? ) ? 2 sin ? 2 ? ; ········· 8 分 12 12 4 3 2 2
(Ⅱ)令 2k? ?

?
2

? x?

?
4

? 2 k? ?

3? (k ? Z) , ············ 10 分 2

得 2 k? ?

?
4

? x ? 2k? ?

5? (k ? Z), ················· 11 分 4



函数 f ( x) 的单调递减区间为 (2k? ?

?
4

, 2 k? ?

5? ) (k ? Z) . ····· 12 分 4

20.解: (Ⅰ)依题意,点 P 坐标为 (a, 0) . ∵ ∴ ∴

·············· 1 分

??? ???? ? OP ? OQ ? 6 ,点 Q 坐标为 (3,3) ,
3a ? 3 ? 0 ? 6 ,解得 a ? 2 . ···················· 3 分

x2 y 2 ? ? 1 . ··················· 4 分 4 9 3 3 (Ⅱ)过点 Q (3,3) 且斜率为 的直线 AB 方程为 y ? 3 ? ( x ? 3) , 2 2
椭圆 C 的方程为 即 3x ? 2 y ? 3 ? 0 . ·························· 5 分 方法一:设点 A 、 B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ,
? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 消去 x 并整理得, 8 y 2 ? 12 y ? 27 ? 0 . ·········· 6 分 9 ?3x ? 2 y ? 3 ? 0, ?



3 27 y1 ? y2 ? ? , y1 y2 ? ? , ···················· 7 分 2 8
10

∴ ∴ ∵ ∴

( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ?
| y1 ? y2 | ?

9 54 63 , ? ? 4 4 4

3 7 .························· 9 分 2

直线 AB 与 x 轴的交点为 M (1, 0) ,

?AOB 的面积 S?AOB ? S?OMA ? S?OMB
? 1 1 3 7 | OM | ?(| y1 | ? | y2 |) ? ? 1? | y1 ? y2 |? . 2 2 4

·· 12 分

方法 二:设点 A 、 B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ,
? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 消去 y 并整理得 2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , ············ 6 分 9 ?3x ? 2 y ? 3 ? 0, ?

∴ ∴

3 x1 ? x2 ? 1, x1 ? x2 ? ? , ······················ 7 分 2
9 13 13 3 91 AB ? 1 ? ? | x1 ? x2 |? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? ? 12 ? 4 ? (? ) ? , 4 2 2 2 2

·································· 9 分 ∵ 点 O 到直线 AB 的距离 d ?
3 9?4 ? 3 13 ? 3 13 , ········· 10 分 13



?AOB 的面积 S?AOB ? ? AB ? d ? ?

1 2

1 2

91 3 3 7 ? ? . ······· 12 分 2 4 13

21. (Ⅰ)证明:在菱形 ABCD 中,∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵

BD ? AC ,

BD ? AO . ··························· 1 分 EF ? AC ,∴ PO ? EF ,

平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF ? 平面 ABFED ? EF ,且 PO ? 平面 PEF ,
PO ? 平面 ABFED ,

······················

2分

BD ? 平面 ABFED ,
PO ? BD . ··························· 3 分

AO ? PO ? O ,所以 BD ? 平面 POA . ················ 4 分

(Ⅱ)连结 OB ,设 AO ? BD ? H . 由(Ⅰ)知, AC ? BD .
11

∵ ∴

?DAB ? 60? , BC ? 4 ,

BH ? 2 , CH ? 2 3 . ······················ 5 分

设 OH ? x ( 0 ? x ? 2 3 ) . 由(Ⅰ)知, PO ? 平面 ABFED ,故 ?POB 为直角三角形. ∴ ∴
PB2 ? OB2 ? PO2 ? (BH 2 ? OH 2 ) ? PO2 ,

PB2 ? 4 ? x2 ? (2 3 ? x)2 ? 2x2 ? 4 3x ? 16 ? 2( x ? 3)2 ? 10 . ······ 7 分

当 x ? 3 时, PB 取得最小值,此时 O 为 CH 中点. ············ 8 分 ∴ ∴ ∴ ∴

1 S?CEF ? S?BCD , ························· 9 分 4
3 3 S梯形BFED ? S?BCD ? S?ABD , ··················· 10 分 4 4

1 1 V1 ? S?ABD ? PO , V2 ? S梯形BFED ? PO . ·············· 11 分 3 3 V1 S ?ABD 4 ? ? . ∴ 当 PB 取得最小值时, V1 : V2 的值为 4 : 3 . ·· 12 分 V2 S梯形BFED 3 2 2( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 0 ) ········· 1 分 , ?? x x

22.解: (Ⅰ) f ?( x) ? ?2 x ?

? f ?( x) ? 0, ? f ?( x) ? 0, 由? 得, 0 ? x ? 1 ;由 ? 得, x ? 1 . ?x ? 0 ?x ? 0

∴ ∴

f ( x) 在 (0,1) 上为增函数,在 (1, ??) 上为减函数. ··········· 3 分

函数 f ( x) 的最大值为 f (1) ? ?1 . ·················· 4 分

(Ⅱ)∵

g ( x) ? x ?

a , ∴ x

g ?( x) ? 1 ?

a . x2

(ⅰ)由(Ⅰ)知, x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点, 又∵ 函数 f ( x) 与 g ( x) ? x ? ∴ ∴

a 有相同极值点, x

x ? 1 是函数 g ( x) 的极值点,

g ?(1) ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 . ···················· 7 分

经检验,当 a ? 1 时,函数 g ( x) 取到极小值,符合题意. ·········· 8 分 (ⅱ)∵

1 1 f ( ) ? ? 2 ? 2 , f (1) ? ?1 , f (3) ? ?9 ? 2ln 3 , e e
12

∵ ∴

?9 ? 2ln 3 ? ?

1 ? 2 ? ?1 , 即 e2

1 f (3) ? f ( ) ? f (1) , e

1 ?x1 ?[ ,3] , f ( x1 )min ? f (3) ? ?9 ? 2ln 3 , f ( x1 )max ? f (1) ? ?1 . ····· 9 分 e 1 1 ,∴ g ?( x) ? 1 ? 2 . x x

由(ⅰ)知 g ( x) ? x ?

1 当 x ?[ ,1) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? (1,3] 时, g ?( x) ? 0 . e

1 故 g ( x) 在 [ ,1) 为减函数,在 (1,3] 上为增函数. e
∵ 而 ∴ ①

1 1 1 10 g ( ) ? e ? , g (1) ? 2, g (3) ? 3 ? ? , e e 3 3 1 10 2?e? ? , e 3 1 ? g (1) ? g ( ) ? g (3), e

1 10 ?x2 ?[ , e] , g ( x2 )min ? g (1) ? 2 , g ( x2 )max ? g (3) ? . ········ 10 分 e 3
当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 对于 ? x1 , x2 ?[ , e] ,不等式 ? 1 恒成立 e k ?1
? k ? 1 ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? k ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? 1

?
∴ ②

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f (1) ? g (1) ? ?1 ? 2 ? ?3 ,
k ? ?3 ? 1 ? ?2 ,又∵ k ? 1 ,



k ? 1 .?????????????12 分

当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 对于 ? x1 , x2 ?[ , e] ,不等式 ?1 e k ?1
? k ? 1 ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]min ? k ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]min ? 1 .

∵ ∴

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f (3) ? g (3) ? ?9 ? 2ln3 ?
k ?? 34 ? 2ln 3 . 3 k ?? 34 ? 2ln 3 . 3

10 37 ? ? ? 2ln3 , 3 3

又∵ k ? 1 ,∴

综上,所求的实数 k 的取值范围为 (??, ?

34 ? 2ln 3] ? (1, ??) . ······ 14 分 3

13


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