高中数学经典教案3.3几何概型

几何概型 一、教学目标: 1、 知识与技能: (1)正确理解几何概型的概念; (2)掌握几何概型的概率公式: P(A)= 构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积) (3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是 几何概型; (4)了解均匀随机数的概念; (5)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法; (6)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 2、 过程与方法: (1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形 成,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养 逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养 成动手、动脑的良好习惯。 3、 情感态度与价值观:本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学 严谨的学习习惯。 二、重点与难点: 1、几何概型的概念、公式及应用; 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中. 三、学法与教学用具:1、通过对本节知识的探究与学习,感知用图形解决概率 问题的方法,掌握数学思想与逻辑推理的数学方法;2、教学用具:投灯片,计 算机及多媒体教学. 四、教学设想: 1、创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个 等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例 如一个人到单位的时间可能是 8:00 至 9:00 之间的任何一个时刻;往一个方 格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点??这些试验可能出现的结 果都是无限多个。 2、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: P(A)= 构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积) (3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多 个;2)每个基本事件出现的可能性相等. 3、 例题分析: 课本例题略 例 1 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型, 还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏, 规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能 性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的, 因此属于古典概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影 部分” ,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关, 因此属于几何概型. 例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此 人等车时间不多于 10 分钟的概率. 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可 以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等 车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型 的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时 刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)= 即此人等车时间不多于 10 分钟的概率为 . 小结:在本例中, 到站等车的时刻 X 是随机的, 可以是 0 到 60 之间的任何一刻, 并且是等可能的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机 数. 练习:1.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘 上车的概率。 1 6 60 ? 50 1 = , 60 6 2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离 都大于 2m 的概率. 1 ; 11 2 1 2.记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A,则 P(A)= = . 6 3 解:1.由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)= 例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油, 假设在海域 中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千 米可看作构成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率。 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)= 答:钻到油层面的概率是 0.004. 例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子, 从中随机取出 10 毫升, 则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少? 分析:病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取得的 10 毫克种子可视作 构成事件的区域,1 升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比” 公式计算其概率。 解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A)= 取出的种子体积 10 = =0.01. 所有种子的体积 1000 储藏石油的大陆架面积 40 = =0.004. 所有海域的大陆架面积 10000 答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01. 例 5 取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不 小于 1m 的概率有多大? 分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意 数,并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结 果(基

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