【高考调研】2013届高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第2课时 参数方程课件 理 新人教版选修4-4

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

选考部分

选修系列4
提示:选修部分请根据 教学要求选用!

选修4-4

坐标系与参数方程
参数方程

第2课时

2012· 考纲下载
1.了解参数方程,了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参 数方程. 3.了解圆的平摆线、渐开线的形成过程,并能推导 出它们的参数方程.

请注意!

对本部分的考查,主要是参数方程与普通方程的互 化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用,题目难 度的设置以中档题型为主,预测 2013 年高考中,在难度, 知识点方面变化不大.

1.参数方程的概念 如果曲线 C 上任意一点 P 的坐标 x 和 y 都可以表示为 某个变量 t
? ?x=f?t? 的函数.? ? ?y=g?t?



反过来,对于 t

? ?x=f?t? 的每个允许值,由函数式? ? ?y=g?t?



所 确 定 的 点 P(x , y) 都 在 曲 线 C 上 , 那 么 方 程
? ?x=f?t? ? ? ?y=g?t?

,叫做曲线 C 的参数方程,变量 t 是参数.

2.圆锥曲线的参数方程 (1)圆心为(a,b),半径为 r 的圆的参数方程为
? ?x=a+rcosθ ? ? ?y=b+rsinθ _______________

? ?x=acosθ ? x2 y2 ? ?y=bsinθ (2) 椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0) 的参数方程为 __________

(θ 为参数).

a

b

(θ 为参数).

x2 y2 (3)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的参数方程为 a b a ? ?x= ? cosθ ? ?y=btanθ ______________( t 为参数). (4)抛物线 参数).
2 ? x = 2 pt ? y2=2px(p>0)的参数方程为? ? ?y=2pt

(t 为

3.直线的参数方程 过点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
? ?x=x0+tcosα ? ? y=y0+tsinα t ? ____________(

为参数),其中 t 表示直线上以定点 M0 为

→ 数量. 起点, 任意一点 M(x, y)为终点的有向线段M0M的____ 当 → → t>0 时,M0M的方向向上;当 t<0 时,M0M的方向向下; 当 t=0 时,M 与 M0 重合.

? ?x=1+2t, 1.若直线的参数方程为? ? ?y=2-3t

(t 为参数),则

直线的斜率为( 2 A.3 3 C.2

) 2 B.-3 3 D.-2

答案 D

2 ? ?x=cos θ, 2.参数方程? ? ?y=sinθ

(θ 为参数)所表示的曲线为

(

) A.抛物线的一部分 B.一条抛物线 C.双曲线的一部分 D.一条双曲线
答案 A

3. 把方程 xy=1 化为以 t 为参数的参数方程是(
1 ? ?x=t2 A.? 1 - ? ?y=t 2

)

x=sint ? ? B.? 1 y= ? ? sint x=tant ? ? D.? 1 y=tant ? ?

x=cost ? ? C.? 1 y=cost ? ?
答案 D

4 . (2011· 广东文)已知两曲线参数方程分别为
? ?x= 5cosθ ? ? ?y=sinθ

5 ? ?x= t2 (0≤θ<π)? 4 (t∈R), 它们的交点坐标为 ? ?y=t

________.
2 5 (1, ) 5

答案

解析

? ?x= 5cosθ ? ? ?y=sinθ

x2 2 表示椭圆 5 +y =1(- 5<x≤ 5

52 ? ?x= t 4 2 4 且 0≤y≤1),? 表示抛物线 y =5x,联立方程得 ? ?y=t
2 x ? 2 + y =1 ?5 ? ?y2=4x 5 ?

(- 5<x≤ 5且 0≤y≤1)?x2+4x-5=0?x=1 或 x=- 2 5 5(舍去), 又因为 0<y≤1, 所以它们的交点坐标为(1, 5 ).

5 . (2010·安 徽 ) 设 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
? ?x=2+3cosθ ? ? ?y=-1+3sinθ

(θ 为参数), 直线 l 的方程为 x-3y+2=0, )

7 10 则曲线 C 上到直线 l 距离为 10 的点的个数为( A.1 C.3
答案 B

B .2 D.4

解析 曲线 C 的标准方程为:(x-2)2+(y+1)2=9, 它表示以(2,-1)为圆心,半径为 3 的圆,因为圆心(2, |2+3+2| 7 10 -1)到直线 x-3y+2=0 的距离 d= = 且3 10 10 7 10 7 10 - 10 < 10 ,故过圆心且与 l 平行的直线与圆相交的 两点为满足题意的点.

题型一
例1

参数方程化为普通方程

把下列参数方程化为普通方程.

1 ? ?x=1+2t, (1)? ?y=5+ 3t 2 ?

(t 为参数);

? ?x=sinθ, (2)? 2 ? y = cos θ ?

(θ 为参数,θ∈[0,2π]).

【思路】 (1)用代入法消去参数 t;(2)利用 sin2θ+cos2θ =1 消参.

【解析】

3 (1)由已知得 t=2x-2,代入 y=5+ t 2

3 中得 y=5+ 2 (2x-2), 即它的普通方程为 3x-y+5- 3=0. (2)∵sin2θ+cos2θ=1,∴x2+y=1,即 y=1-x2. 又∵|sinθ|≤1, ∴其普通方程为 y=1-x2(|x|≤1).

思考题 1 将下列参数方程化成普通方程. ? ?x=t+1 ? t-1 (1)? ?y= 2t 3 ? ? t -1 ? P 2 x = + pt 2 ? t (2)? ?y=p-pt t ?

t+1 x+1 2t 【解析】 (1)由 x= 得 t= 代入 y= 3 化简 t-1 x-1 t -1 ?x+1??x-1?2 得 y= (x≠1). 3x2+1 p (2)将 y= t -pt 的两边平方得:
2 p p 2 2 2 2 y = 2 +p t -2p =p( 2+pt2)-2p2, t t

p 以 x=t2+pt2 代入上式,得 y2=p(x-2p).

题型二

直线的参数方程

π 例 2 已知直线 l 经过点 A(1,2),倾斜角为3. (1)求直线 l 的参数方程; (2)求直线 l 和圆 x2+y2=9 的两个交点到点 A 的距离之积. 【思路】 根据直线参数方程中参数 t 的几何意义,运用 一元二次方程根与系数的关系求解.

t ? ?x=1+2, 【解析】 (1)直线 l 的参数方程为? ?y=2+ 3t 2 ? 为参数). t ? ?x=1+2 (2)将? ?y=2+ 3t 2 ?

,(t

代入 x2+y2=9,

得:t2+(1+2 3)t-4=0,∴t1t2=-4. 由参数 t 的几何意义得直线 l 和圆 x2+y2=9 的两个 交点到点 A 的距离之积为|t1t2|=4.

探究 1

涉及过定点的线段长度或距离常选用直线

的参数方程.直线的点斜式方程为 y-y0=k(x-x0).其中 k = tanα(α≠90° ) , α 为直线的倾斜角,则参数方程为
? ?x=x0+tcosα, ? ? ?y=y0+tsinα,

(t 为参数).

思考题 2 (1)下列参数方程与方程 y2=x 表示同一曲 线的是( ) (t 为参数)

? ?x=t, A.? 2 ? ?y=t

2 ? ?x=sin t, B.? ? ?y=sin t

(t 为参数)

? ?x=t, C.? ? ?y= |t|

(t 为参数)

? 1-cos 2t ?x= , 1+cos2t D.? ? ?y=tan t

(t 为参数)

【解析】 考查四个选项:对于 A,消去 t 后所得方 程为 x2=y,不符合 y2=x; 对于 B, 消去 t 后所得方程为 y2=x, 但要求 0≤x≤1, 也不符合 y2=x; 对于 C, 消去 t 得方程为 y2=|x|, 但要求 y≥0, x∈R, 也不符合 y2=x;

1-cos 2t 2sin2 t 2 2 2 对于 D,x= = 2 =tan t=y 即符合 y 1+cos 2t 2cos t =x. 因此 D 是正确的,故选 D.
【答案】 D

(2)已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴 分别交于 A、B 两点.求|PA|· |PB|的值为最小时的直线 l 的方程. 【思路】 本题可以使用直线的普通方程来解, 也可 以使用参数方程来解, 但是使用普通方程解, 运算较为麻 烦.如果设出直线的倾斜角,写出直线的参数方程来解, 就可以把问题转化为三角函数的最小值问题,便于计算.

【解析】 设直线的倾斜角为 α,显然 90° <α<180° ,
? ?x=3+tcosα, 则它的方程为? ? ?y=2+tsinα

(t 为参数).

由 A、B 是坐标轴上的点知 yA=0,xB=0, 2 ∴0=2+tsinα, 即|PA|=|t|= , 0=3+tcosα, 即|PB| sinα 3 2 3 12 =|t|=-cosα.故|PA|· |PB|=sinα· (-cosα)=-sin2α.

∵90° <α<180° , ∴当 2α=270° , 即 α=135° 时, |PA|· |PB| 有最小值. ? ?x=3- ? ∴直线方程为? ? y=2+ ? ? 方程即 x+y-5=0. 2 2 t, 2 2t

(t 为参数),化为普通

题型三

参数方程的应用

?x-1?2 ?y+2?2 例 3 实数 x,y 满足 16 + 9 =1,试求 x-y 的最 大值与最小值,并指出何时取得最大值与最小值. 【思路】 转化为椭圆的参数方程,应用三角函数知识求 解.

【解析】

? ?x-1=cosθ, ? 4 由已知可设? ?y+2 =sinθ, ? ? 3 (θ 为参数).



? ?x=4cosθ+1, ? ? ?y=3sinθ-2

则 x-y=(4cosθ+1)-(3sinθ-2)=(4cosθ-3sinθ)+3 4 3 =5cos(θ+α)+3,其中 cosα=5,sinα=5.

当 cos(θ+α)=1,即 θ+α=2kπ,k∈Z 时, 4 cosθ=cos(2kπ-α)=cosα= , 5 3 sinθ=sin(2kπ-α)=-sinα=- , 5 4 21 3 19 当 x=4×5+1= 5 ,y=3×(-5)-2=- 5 时,x-y 的最大值为 8. 11 1 同理,当 x=- ,y=- 时,x-y 的最小值为-2. 5 5

探究 2

本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解

决相关问题的优越性. 运用参数方程显得很简单, 运算更 简便. 本题易错点主要有两点:(1)对于椭圆的参数方程不 会转化而直接使用普通方程;(2)在使用参数方程运算时 不考虑 α 的实际取值.

思考题 3 (1)已知点 P(x,y)是圆 x2+y2=2y 上的动 点, ①求 2x+y 的取值范围; ②若 x+y+a≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

【解析】

? ?x=cosθ, ①设圆的参数方程为? ? ?y=1+sinθ.

2x+y=2cosθ+sinθ+1= 5sin(θ+φ)+1, ∴- 5+1≤2x+y≤ 5+1. ②x+y+a=cosθ+sinθ+1+a≥0, π ∴a≥-(cosθ+sinθ)-1=- 2sin(θ+4)-1. ∴a≥ 2-1.

(2)在圆 x2+y2-4x-2y-20=0 上求两点 A 和 B,使 它们到直线 4x+3y+19=0 的距离分别最短和最长. 【思路】 利用圆的参数方程求解.

【解析】

? ?x=2+5cosθ ? 将圆的方程化为参数方程: ? ?y=1+5sinθ

(θ 为参数),则圆上点 P 坐标为(2+5cosθ,1+5sinθ),它 到所给直线的距离 |20cosθ+15sinθ+30| d= =|5cos(φ-θ)+6|, 其中 cosφ 2 2 4 +3 4 3 =5,sinφ=5.

故当 cos(φ-θ)=1,即 θ=φ 时,d 最长,这时点 A 坐标为(6,4); 当 cos(φ-θ)=-1,即 θ=φ-π 时,d 最短,这时点 B 坐标为(-2,2).

题型四

参数方程与极坐标的综合

例 4 (2010· 福建卷)坐标系与参数方程 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? ?x=3- 2t, 2 ? ? 2 ? y= 5+ 2 t ? ?

(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取

相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sinθ.

①求圆 C 的直角坐标方程; ②设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|.

【解析】 解法一 ①由 ρ=2 5sinθ, 得 x2+y2-2 5 y=0,即 x2+(y- 5)2=5. ②将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 得(3- 2 2 2 2 2 t ) + ( t ) = 5 ,即 t -3 2t+4=0. 2 2 由于 Δ=(3 2)2-4×4=2>0,故可设 t1,t2 是上述 方程的两实根,

? ?t1+t2=3 所以? ? t2=4. ? t1 ·

2,

又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+ t2=3 2.

解法二 ①同解法一. ②因为圆 C 的圆心为(0, 5),半径 r= 5,直线 l 的普通方程为:y=-x+3+ 5.
2 2 ? ?x +?y- 5? =5, 由? ? ?y=-x+3+ 5

得 x2-3x+2=0.

? ?x=1. 解得:? ? ?y=2+

5

? ?x=2, 或? ? ?y=1+

5

.

不妨设 A(1,2+ 5), B(2,1+ 5), 又点 P 的坐标为(3, 5), 故|PA|+|PB|= 8+ 2=3 2.

探究 3

本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通

方程, 然后去解决问题, 这是考生在解决参数方程和极坐 标方程相互交织问题时的一个重要的思路.

思考题 4 (1)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ, 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ?x= ? ? ? y= ? ? 2 t+1, 2 2 2 t,

求直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长.

【思路】 先将极坐标方程和参数方程都转化为普通 方程,然后再求解.

【解析】

曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,化为

直角坐标方程为 x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4. ? ?x= ? 直线 l 的参数方程? ? y= ? ? 2 2 t+1, 2 2 t.

化为普通方程为 x-y-1=0. 1 2 曲线 C 的圆心(2,0)到直线 l 的距离为 = 2 , 2

所以直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长为 2 = 14.

1 4- 2

(2)(2011· 合肥质检)在直角坐标系中圆 C 的参数方程
? ?x=2cosα, 为? ? ?y=2+2sinα

(α 为参数),若以原点 O 为极点,以 x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的极坐标方程为 ________.

【解析】 由参数方程消去 α 得圆的方程为 x2+(y -2)2=4,将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入得(ρcosθ)2+(ρsinθ -2)2=4,整理得 ρ=4sinθ.
【答案】 ρ=4sinθ

直线与圆锥曲线的参数方程的应用 (1)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有 如下常用结论: ①直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1, t2,则弦长 l=|t1-t2|; ②定点 M0 是弦 M1M2 的中点?t1+t2=0;

③设弦 M1M2 中点为 M,则点 M 对应的参数值 tM= t1+t2 2 (由此可求|M2M|及中点坐标). (2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的 点,从而讨论最值或距离等问题.


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