高二文科数学函数及导数试题及答案


恩施市一中 2017 年春季高二周考试题
文科数学
一、选择题(共 12 小题,每小题 5.0 分,共 60 分) 1.“lgx>lgy”是“ > ”的( ) 2017 年 2 月 26 日

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

2.命题“? x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是( A. ? x∈(-∞,0),x3+x<0 C. ? x0∈[0,+∞),x +x0<0

B. ? x∈(-∞,0),x3+x≥0 D. ? x0∈[0,+∞),x +x0≥0 )

3.抛物线 y=4x2 上一点到直线 y=4x-5 的距离最短,则该点坐标为( A. (1,2) B. (0,0) C. D. (1,4)

4.设 f(x)为可导函数,且满足 线的斜率是( A. 1 ) C. D. -2

=-1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切

B. -1

5.命题甲:对任意 x∈(a,b),有 f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙 的( ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 6.已知点 P 在曲线 y= ( ) B. [ , )

A. [0, )

C. ( , )

]

D. [

,π)

7.函数 f(x)=x3-3x(|x|<1)( A. 有最大值,但无最小值 C. 无最大值,但有最小值

B. 有最大值,也有最小值 D. 既无最大值,也无最小值

8.已知 f ′(x)是 f(x)的导函数,f ′(x)的图象如图所示,则 f(x)的图象只可能是(

)

9.已知 f(x)= x2+2xf ′(2014)+2014lnx,则 f ′(2014)=( A. 2015 B. -2015 C. 2014 D. -2014

)

10.若函数 f(x)=

在[-2,2]上的最大值为 2,则 a 的取值范围是(

)

A. 11.已知 a≤ A. 0

B. +lnx 对任意 x∈ B. 1 C. 2

C. (-∞,0]

D. )

恒成立,则 a 的最大值为( D. 3

12.函数 f (x)的定义域为 R,f (-1)=2,对任意 x∈R,f ′(x)>2,则 f (x)>2x+4 的解集为 ( ) B. (-1,+∞) C. (-∞,-1) D. (-∞,+∞)

A. (-1,1)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5.0 分,共 20 分) 13.已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________.

14.函数 f(x)= ex(sinx+cosx)在区间

上的值域为________.

15.如果函数 f(x)=2x2-lnx 在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数

k 的取值范围是________.
16.已知 f(x)=x3+x2f ′(1)+3xf ′(-1),则 f ′(1)+f ′(-1)的值为________. 三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分) 17.(满分 10 分)(1)求过曲线 y=sinx 上点 P 且与过这点的切线垂直的直线方程.

(2)已知点 P (-1,1),点 Q (2,4)是曲线 y=x2 上的两点,求与直线 PQ 平行的曲线 y=x2 的 切线方程.

18. (满分 12 分)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12 =0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为 定值,并求此定值.

19. (满分 12 分)已知函数 f(x)= x2+lnx. (1)求函数 f(x)在[1,e]上的最大、最小值; (2)求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的图象的下方.

20. (满分 12 分)已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5),且 f(x)在区间[-1,4]上 的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在自然数 m,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实

数根?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由.

21. (满分 12 分)某商品每件成本 9 元,售价 30 元,每星期卖出 432 件.如果降低价格,销 售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位:元,0≤x≤30)的平 方成正比,已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

22. (满分 12 分)已知函数 f(x)=x2-alnx 在(1,2]上是增函数,g(x)=x-a 函数. (1)求 f(x),g(x)的表达式; (2)求证:当 x>0 时,方程 f(x)=g(x)+2 有唯一解; (3)当 b>-1 时,若 f(x)≥2bx- 在 x∈(0,1]内恒成立,求 b 的取值范围.

在(0,1]上为减

答案解析
1.【答案】A 【解析】若 lgx>lgy 成立,则 此时 lgx>lgy 不成立. 2.【答案】C 【解析】“? x∈[0,+∞),x3+x≥0”是含有全称量词的命题,其否定是“? x0∈[0,+∞),x +x0<0”, 3.【答案】C 【解析】因为 y=4x2 与 y=4x-5 不相交,设与 y=4x-5 平行的直线方程为 y=4x+m. 则 ?4x2-4x-m=0.① > 一定成立;而当 > 成立时,例如 x=1,y=0,

设此直线与抛物线相切有 Δ=0, 即 Δ=16+16m=0,∴m=-1. 将 m=-1 代入①式,x= ,y=1, 所求点的坐标为 4.【答案】B 【解析】∵ ∴ ∴f′(1)=-1. 5.【答案】A 【解析】f(x)=x3 在(-1,1)内是单调递增的,但 f′(x)=3x2≥0(-1<x<1),故甲是乙的充分不 必要条件,选 A. 6.【答案】D 【解析】∵y= ,∴y′= . =-1, =-1, .

令 ex+1=t,则 ex=t-1 且 t>1, ∴y′= = - .

再令 =m,则 0<m<1, ∴y′=4m2-4m=4(m- )2-1,m∈(0,1). 容易求得-1≤y′<0,∴-1≤tanα<0,得 π≤α<π. 7.【答案】D 【解析】f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以 f(x)在(-1,1)上是单 调递减函数,无最大值和最小值,故选 D. 8.【答案】D 【解析】从 f′(x)的图象可以看出,在区间 内,导数递减.即函数 f(x)的图象在 缓. 9.【答案】B 【解析】f′(x)=x+2f′(2014)+ -(2014+1)=-2015. 10.【答案】D 【解析】当 x≤0 时,f′(x)=6x2+6x,易知函数 f(x)在(-∞,0]上的极大值点是 x=-1,且 ,所以 f′(2014)=2014+2f′(2014)+ ,即 f′(2014)= 内,导数递增;在区间 内越来越陡峭,在 内越来越平

f(-1)=2,故只要在(0,2]上,eax≤2 即可,即 ax≤ln 2 在(0,2]上恒成立,即 a≤
恒成立,故 a≤ ln 2. 11.【答案】A 【解析】设 f(x) = + lnx ,则 f′(x) = + = . 当 x∈

在(0,2]上

时,

f′(x)<0,

故函数 f(x)在

上单调递减;当 x∈(1,2]时,f′(x)>0,故函数 f(x)在(1,2]上单调递增,

∴f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即 a 的最大值为 0. 12.【答案】B 【解析】设 m(x)=f(x)-(2x+4),则 m′(x)=f′(x)-2>0,∴m(x)在 R 上是增函数. ∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0, ∴m(x)>0 的解集为{x|x>-1},即 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+∞). 13.【答案】(-∞,2ln 2-2] 【解析】函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,即方程 ex-2x+a=0 有实根,即函数 g(x)=2x- ex,y=a 有交点,而 g′(x)=2-ex,易知函数 g(x)=2x-ex 在(-∞,ln 2)上递增,在(ln 2, +∞)上递减,因而 g(x)=2x-ex 的值域为(-∞,2ln 2-2],所以要使函数 g(x)=2x-ex,y =a 有交点,只需 a≤2ln 2-2 即可. 14.【答案】 【解析】∵x∈ ∴f(0)≤f(x)≤f ,∴f′(x)=excosx≥0, ,即 ≤f(x)≤ e .

15.【答案】1≤k< 【解析】显然函数 f(x)的定义域为(0,+∞),y′=4x- = 由 y′>0,得函数 f(x)的单调递增区间为 由 y′<0,得函数 f(x)的单调递减区间为 , ; .

由于函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,

所以

解得 1≤k< .

16.【答案】-

【解析】∵f′(x)=3x2+2f′(1)x+3f′(-1), ∴ 由①②得 f′(-1)=- ,f′(1)= . ∴f′(-1)+f′(1)=- . 17.【答案】(1) 2x+

y-

- =0. (2) 4x-4y-1=0

【解析】(1)∵y=sinx,∴y′=cosx, 曲线在点 P 处的切线斜率是: . ,

y′|x= =cos =

∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为- 故所求的直线方程为 y- =- 即 2x+



y-

- =0.

(2)∵y′=(x2)′=2x,设切点为 M(x0,y0), 则 y′|x=x0=2x0, 又∵PQ 的斜率为 k= ∴k=2x0=1,即 x0= , 所以切点为 M . =1,而切线平行于 PQ,

∴所求的切线方程为 y- =x- ,即 4x-4y-1=0. 18.【答案】(1)由 7x-4y-12=0 得 y= x-3. 当 x=2 时,y= ,∴f(2)= ,① 又 f′(x)=a+ ,∴f′(2)= ,②

由①,②得

解之得

.

故 f(x)=x- . (2)证明 设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 知

y-y0=(1+
即 y-(x0-

)(x-x0), )=(1+ )(x-x0). ).

令 x=0 得 y=-

,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为(0,-

令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 |- ||2x0|=6.

故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定 值为 6. 【解析】 19. 【答案】(1) 由 f(x)= x2+lnx 得 f′(x)= 所以函数 f(x)是增函数. 所以 f(x)max=f(e)= e2+1; ′=x+ ,在[1,e]上,f′(x)>0,

f(x)min=f(1)= .
(2)证明 设 F(x)=f(x)-g(x)= x2+lnx- x3, 则 F′(x)=x+ -2x2= 因为 x>1,所以 F′(x)<0. ,

所以函数 F(x)在[1,+∞)上是减函数. 又 F(1)=- , 所以在[1,+∞)上,有 F(x)<0,即 f(x)<g(x). 所以在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的图象的下方. 【解析】 20.【答案】(1)f(x)=2x2-10x(x∈R). (2) 存在唯一的自然数 m=3,使得方程 f(x)+ 等的实数根 【解析】(1)∵f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5), ∴可设 f(x)=ax(x-5)(a>0). ∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 f(-1)=6a. 由已知,得 6a=12,∴a=2, ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). (2)方程 f(x)+ =0 等价于方程 2x3-10x2+37=0 =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不

设 h(x)=2x3-10x2+37, 则 h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10). 当 x∈ 当 x∈ ∵h(3)=1>0,h 时,h′(x)<0,h(x)是减函数; 时,h′(x)>0,h(x)是增函数. =- <0,h(4)=5>0, , 内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+∞)

∴方程 h(x)=0 在区间 内没有实数根,

∴存在唯一的自然数 m=3,使得方程 f(x)+ 的实数根.

=0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等

21.【答案】(1)f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,30]. (2)定价为 18 元能使一个星期的商品销售利润最大 【解析】(1)设商品降低 x 元时,多卖出的商品件数为 kx2, 若记商品在一个星期的销售利润为 f(x), (432+kx2) 则依题意有 f(x)=(30-x-9)· (432+kx2), =(21-x)· 22,于是有 k=6, 又由已知条件 24=k· 所以 f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,30]. (2)根据(1),有 f′(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12). 当 x 变化时,f(x)与 f′(x)的变化情况如下表:

故 x=12 时,f(x)达到极大值. 因为 f(0)=9 072,f(12)=11 664, 所以定价为 30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大. 22. 【答案】 (1)f′(x) = 2x - (x>0) .令 f′(x)≥0 ,解得 a≤2x2 , ∴a≤2.g′(x) = 1 - . .令

g′(x)≤0,解得 a≥2

,∴a≥2,∴a=2.∴f(x)=x2-2lnx,g(x)=x-2

(2)当 x>0 时,方程 f(x)=g(x)+2 即为 x2-2lnx-x+2 2 -2,则 h′(x)=2x- -1+ = (x-1)(x+1)-

-2=0.设 h(x)=x2-2lnx-x+ = · [2( +1)(x+1)



]=

(2x

+2x+

+2).

令 h′(x)>0,解得 x>1.令 h′(x)<0,解得 0<x<1.当 x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:

∴h(x)在 x=1 处取最小值 0,∴h(x)=0 只有一个解,即当 x>0 时,方程 f(x)=g(x)+2 有唯 一解. (3)∴f′(x)=2x- = ,

∴当 x∈(0,1]时,f(x)为减函数,其最小值为 f(1)=1. 令 h(x)=2bx- ,则 h′(x)=2b+ .

∵b>-1,x∈(0,1],∴h′(x)>0 在(0,1]上恒成立, ∴函数 h(x)=2bx- 在 x∈(0,1]上为增函数,其最大值为 h(1)=2b-1.

故 f(x)-h(x)在(0,1]上为减函数,其最小值为 2-2b.依题意,得 解得-1<b≤1. 【解析】


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