【创新设计】2013-2014版高中数学 1-1-2-1集合间的基本关系课件 新人教A版必修1_图文

1.1.2 集合间的基本关系

【课标要求】

1.理解集合之间包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集、真子集,能判定集合间关系. 3.在具体情境中了解空集的含义. 【核心扫描】 1.集合间关系的判断.(重、难点)

2.元素与集合及集合与集合关系的表示.(易混点)
3.0,{0},?的区别.(易错点)

新知导学
1.子集及其相关概念

温馨提示:元素与集合之间的关系是从属关系;集合与集合 之间是包含关系.

(1)“∈” 是 表 示 元 素 与 集 合 之 间 的 关 系 , 比 如 有 1∈N ,
-1?N. (2)“?” 是 表 示 集 合 与 集 合 之 间 的 关 系 , 比 如 有 N?R , {1,2,3}?{3,2,1}. (3)“∈”的左边是元素,右边是集合,而“?”的两边均为

集合.

2.空集
(1)定义: 不含任何 元素的集合叫做空集. (2)符号表示为: ? . (3)规定:空集是任何集合的 子集 . 3.子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的 子集 ,即 A?A . (2)对于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么 A?C.

互动探究 探究点1 能否把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集 合”? 提示 不能.这是因为当A=?时,A?B,但A中不含任何元

素;又当 A=B时,也有A?B,但A中含有 B中的所有元素,
这两种情况都有A?B成立,所以上述理解是错误的. 探究点2 如何判断集合A与集合B相等? 提示 判断集合A与集合B相等的方法有二: 方法一:依据两个集合中的元素是否完全相同进行判定; 方法二:判定是否同时满足A?B,且B?A.

探究点3 ?就是0,或?就是{0},这两种说法正确吗?

提示

两种说法均是错误的,?是不含任何元素的集合,概

念中强调了两点:“不含任何元素”、“集合”:(1)0是一 个数,而非集合,故?不是0;(2){0}表示集合,但集合中有 且仅有一个元素0是非空集合,故{0}与?含义不同,所以?不 是{0}.

类型一

子集、真子集的概念问题

【例1】 已知集合M={x|x<2且x∈N},N={x|-2<x<2且
x∈Z}. (1)试判断集合M、N间的关系. (2)写出集合M的子集、集合N的真子集. [思路探索] 把用描述法表示的集合用列举法表示出来,

以便于观察集合的关系和写子集与真子集.



M={x|x<2且x∈N}={0,1},

N={x|-2<x<2,且x∈Z}={-1,0,1}. (1)M? N. (2)M的子集为:?,{0},{1},{0,1},N的真子集为:?,{- 1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1}. [ 规律方法 ] 1. 写有限集合的所有子集,首先要注意两个特 殊的子集:?和自身;其次按含一个元素的子集,含两个元

素的子集?依次写出,以免重复或遗漏.
2.若集合 A含 n个元素,那么它子集个数为 2n;真子集个数 为2n-1,非空真子集个数为2n-2.

【活学活用1】 已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R}.B=

{x|0<x<5,x∈N},则满足条件A?C?B的集合C的个数为
( A.1 B.2 C.3 D.4 解析 易知A={1,2},B={1,2,3,4},又A?C?B. ).

∴集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.

答案

D

类型二 【例 2】 为(

集合的相等问题
? b? ? ? 2 2 013 2 014 ? 集合?1,a,a? = {0 , a , a + b } ,则 a + b 的值 ? ? ?

).

A.0 B.1 C.-1 D.± 1 [思路探索] 集合相等?集合的元素相同?a≠0?b=0,a2 =1?a2013+b2014=-1.

解析

? b? ? ? ? ∵ 1,a,a?={0,a2,a+b}, ? ? ? ?

b 又 a≠0,∴a=0,∴b=0. ∴a2=1,∴a=± 1. 又 a≠1,∴a=-1, ∴a2 013+b2 014=(-1)2 013+02 014=-1. 答案 C

[规律方法]

1.本题以“0”为着眼点,中a不为0为突破口.

2.两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但
要 注 意 检验 , 排 除与 集 合 元素 互 异 性或 与 已 知矛 盾 的 情 形.例如本题中a=1不满足互异性,否则会错选D.

【活学活用 2】 设集合 A={1, -2, a2-1}, B={1, a2-3a,0}, 若 A=B,求实数 a 的值. 解 由 A=B 及两集合元素特征,

2 ? ?a -1=0, ∴? 2 ? ?a -3a=-2,

? 1, ?a=± ∴? ? ?a=1或a=2.

因此 a=1,代入检验满足互异性.∴a=1.

类型三

由集合间的关系求参数范围问题

【例3】 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1}, 且B?A.求实数m的取值范围. [思路探索]


借助数轴分析,注意B是否为空集.

∵B?A,

(1)当 B=?时,m+1≤2m-1,解得 m≥2. ?-3≤2m-1, ? (2)当 B≠?时,有?m+1≤4, ?2m-1<m+1, ? 解得-1≤m<2,综上得 m≥-1.

[ 规律方法 ]

1.(1) 分析集合间的关系时,首先要分析、简化

每个集合.(2)借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数
轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确 无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表 示. 2.此类问题要注意对空集的讨论.

【 活 学 活 用 3】 已 知 集 合 A = {x|1≤x≤2} , B = {x|1≤x≤a ,
a≥1}. (1)若A? B,求a的取值范围; (2)若B?A,求a的取值范围. 解 (1)若A? B,由图可知a>2.

(2)若B?A,由图可知1≤a≤2.

方法技巧

分类讨论思想在集合关系中的应用

所谓分类讨论,就是当问题所涉及的对象不能统一解决 时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类 分别研究得出每一类结论,最后综合各类结果得到整个问题 的答案.在集合包含关系或涉及集合的元素含有参数时,常 借助分类讨论思想转化求解.

【示例】 (2013·济南高一检测)已知集合A={x|x2-4x+3=

0},B={x|mx-3=0},且B?A,求实数m的集合.
[思路分析]



由 x2-4x+3=0,得 x=1 或 x=3.

∴集合 A={1,3}. (1)当 B=?时,此时 m=0,满足 B?A. (2)当 B≠?时,则
? ?3? ? ? m≠0,B={x|mx-3=0}=?m? . ? ? ?

3 3 ∵B?A,∴m=1 或m=3,解之得 m=3 或 m=1. 综上可知,所求实数 m 的集合为{0,1,3}.

[题后反思] 1.解答诸如含有集合包含关系的题目时,一定要

警惕“?”这一陷阱,考虑不周而漏掉对空集的讨论,往往
造成不应有的失分,初学者要切记. 2.在方程或不等式中,当一次项或二次项系数含参数时, 在参数取值范围不确定的情况下要注意分类讨论.

课堂达标

1.集合{0}与?的关系是
( A.{0}? ? C.{0}=? B.{0}∈? D.{0}?? ).

解析

空集是任何非空集合的真子集,故A正确.集合与

集合之间无属于关系,故 B 错;空集不含任何元素, {0}

含有一个元素0,故C、D均错.
答案 A

2.已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<a},若A? 则实数a满足

B,

(
A.a<4 C.a>4 解析 答案 B.a≤4 D.a≥4

).

由A? B,结合数轴,得a≥4. D

3.已知集合A={2,9},集合B={1-m,9},且A=B,则实数

m=________.
解析 答案 ∵A=B,∴1-m=2,∴m=-1. -1

4 .已知集合 A = { - 1,3,2m - 1} ,集合 B = {3 , m2} ,若 B?A ,

则实数m=________.
解析 ∵B={3,m2},A={-1,3,2m-1},且B?A, ∴m2∈{-1,3,2m-1},又m2≠3, ∴m2=2m-1,解得m=1,经检验合题意. 答案 1

5.已知集合 A= {(x , y)|x+ y = 2, x , y∈N} ,试写出 A的所 有子集. 解 ∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},

∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
∴ A 的 子 集 有 : ? , {(0,2)} , {(1,1)} , {(2,0)} , {(0,2) , (1,1)} , {(0,2) , (2,0)} , {(1,1) , (2,0)} , {(0,2) , (1,1) , (2,0)}.

课堂小结
1.子集和真子集 (1)A?B包含两种情况:A=B和A?B.当A是B的子集时, 不要漏掉A=B的情况. (2) 在真子集的定义中, A?B 首先要满足 A?B ,其次至 少有一个x∈B,但x?A. (3)集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系,其中

包含关系有:包含于(?)、包含(?),真包含于(?)、真包
含(?)等,用这些符号时要注意方向.

2.空集

(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
(2)若利用“A?B”或“A?B”解题,要讨论A=?和A≠? 两种情况. 3.涉及字母参数的集合关系时,注意数形结合思想与分类 讨论思想的应用.


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