2019年年数学高中学业水平测试课件:专题十三第46讲简单的逻辑联结词、合称量词与存在量词语文_图文

专题 十三 常用逻辑用语

第 46 讲 简单的逻辑联结 词、全称量词与存在量词

1.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断 p q p∧q p∨q 綈 p
真真 真 真 假 真假 假 真 假 假真 假 真 真 假假 假 假 真

2.全称量词和存在量词

量词名称

常见量词

表示符号

所有、一切、任意、全部、

全称量词

?

每一个、任给等

存在一个、至少有一个、

存在量词 有一个、某个、有些、某 ?

些等

3.全称命题和特称命题

命题 名称

命题结构

命题简记

全称 对 M 中任意一个 ?x∈M,p(x)
命题 x,有 p(x)成立

特称 存在 M 中的一个 ?x0∈M,p(x0)
命题 x0,使 p(x0)成立

4.含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

?x∈M,p(x) ?x0∈M,綈 p(x0)

?x0∈M,p(x0) ?x∈M,綈 p(x)

1.含有逻辑联结词的命题的真假判断 【例 1】 命题“若 x>1,则 x>0”的否命题是( ) A.若 x>1,则 x≤0 B.若 x≤1,则 x>0 C.若 x≤1,则 x≤0 D.若 x<1,则 x<0 解析:命题“若 x>1,则 x>0”的否命题是:若 x ≤1, 则 x≤0,故选 C. 答案:C

2.含有一个量词的命题 【例 2】 (1)下列命题中的真命题是( ) A.?x∈R,使得 sin x+cos x=32 B.?x∈(0,+∞),ex>x+1 C.?x∈(-∞,0),2x<3x D.?x∈(0,π),sin x>cos x

(2)(2015·课标全国Ⅰ卷)设命题 p:?n∈N,n2>2n,则 綈 p 为( )
A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2n C.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n 解析:(1)∵sin x+cos x= 2sin???x+π4???≤ 2<32,故 A 错误;当 x<0 时,y=2x 的图象在 y=3x 的图象上方,故 C
错误;∵x∈???0,π4???时有 sin x<cos x,故 D 错误.∴选 B.

(2)将命题 p 的量词“?”改为“?”,“n2>2n”改为 “n2≤2n”.
答案:(1)B (2)C

剖析:(1)判定全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题, 需要对集合 M 中的每一个元素 x,证明 p(x)成立;要判 断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个 x =x0,使 p(x0)成立.
(2)对全(特)称命题进行否定的方法: ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含 义先加上量词,再改变量词. ②对原命题的结论进行否定.

3.由命题的真假求参数的取值范围 【例 3】 (1) ? x∈R,x2-ax+1≤0 为假命题, 则 a 的取值范围为( ) A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) (2)命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实 数 a 的取值范围为________.

解析:(1)因为?x∈R,x2-ax+1≤0 为假命题,所 以?x∈R,x2-ax+1>0 为真命题,即 Δ<0,即 a2-4 <0,解得-2<x<2,即 a 的取值范围为(-2,2),所以 选 A.
(2)因题中的命题为假命题,则它的否定“?x∈R, 2x2-3ax+9≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立”问 题,因此只需 Δ=9a2-4×2×9≤0,即-2 2≤a≤2 2.
答案:(1)A (2)[-2 2,2 2]

剖析:剖析根据命题真假求参数的方法步骤: (1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不 一定只有一种情况); (2) 然 后 再 求 出 每 个 命 题 是 真 命 题 时 参 数 的 取 值 范 围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值 范围.

1.已知命题 p:所有有理数都是实数;命题 q:正数 的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )

A.(綈 p)∨q

B.p∧q

C.(綈 p)∧(綈 q)

D.(綈 p)∨(綈 q)

解析:不难判断命题 p 为真命题,命题 q 为假命题, 从而上述叙述中只有(?p)∨(?q)为真命题.
答案:D

2.已知命题 p,q,“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由“綈 p 为真”可得 p 为假,故 p∧q 为假;
反之不成立. 答案:A

3.命题 p:?x∈R,x2+1≥1,则?p 是( ) A.?x∈R,x2+1<1 B.?x∈R,x2+1≤1 C.?x∈R,x2+1<1 D.?x∈R,x2+1≥1 解析:因为命题 p:? x∈R,x2+1≥1 含有量词, 所以命题的否定要把量词一块进行否定,即?x∈R,x2 +1<1,选择 C. 答案:C

4.下列命题中的假命题是( ) A.?x∈R,2x-1>0 B.?x∈N*,(x-1)2>0 C.?x0∈R,lg x0<1 D.?x0∈R,tan????x0+π4 ????=5

解析:A 项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得 2x-1>0;B 项,∵x∈N*,∴当 x=1 时,(x-1)2=0 与(x-1)2 >0 矛盾;C 项,当 x0=110时,lg 110=-1<1;D 项,当 x∈R 时,tan x∈R,∴?x0∈R,tan???x0+π4???=5.
答案:B

5.已知命题 p:若 a>1,则 ax>logax 恒成立;命题 q: 在等差数列{an}中,m+n=p+q 是 an+am=ap+aq 的充分 不必要条件(m,n,p,q∈N*).则下面选项中真命题是 ()

A.(綈 p)∧(綈 q)

B.(綈 p)∨(綈 q)

C.p∨(綈 q)

D.p∧q

解析:当 a=1.1,x=2 时, ax=1.12=1.21,logax=log1.12>log1.11.21=2, 此时,ax<logax,故 p 为假命题. 命题 q,由等差数列的性质, 当 m+n=p+q 时,an+am=ap+aq 成立, 当公差 d=0 时,由 am+an=ap+aq 不能推出 m+n =p+q 成立,故 q 是真命题.

故綈 p 是真命题,綈 q 是假命题, 所以 p∧q 为假命题,p∨(綈 q)为假命题,(綈 p)∧(綈 q)为假命题,(綈 p)∨(綈 q)为真命题. 答案:B

6.命题 p:?x∈R,sin x<1,命题 q:?x∈R,cos x ≤-1,则下列结论是真命题的是( )

A.p∧q

B.(綈 p)∧q

C.p∨(綈 q) D.(綈 p)∧(綈 q) 解析:p 是假命题,q 是真命题,所以 B 正确. 答案:B

7.已知命题 p:所有指数函数都是单调函数,则綈 p
为( ) A.所有的指数函数都不是单调函数 B.所有的单调函数都不是指数函数 C.存在一个指数函数,它不是单调函数 D.存在一个单调函数,它不是指数函数

解析:命题 p:所有指数函数都是单调函数,则綈 p:
存在一个指数函数,它不是单调函数. 答案:C

8.已知命题 p:?x0∈R,ex0-mx0=0,q:?x∈R, x2+mx+1≥0,若 p∨(綈 q)为假命题,则实数 m 的取值

范围是( ) A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.[0,2]

C.R

D.?

解析:若 p∨(綈 q)为假命题,则 p 假 q 真.命题 p

为假命题时,有 0≤m<e;命题 q 为真命题时,有 Δ=m2 -4≤0,即-2≤m≤2.所以当 p∨(綈 q)为假命题时,m

的取值范围是 0≤m≤2. 答案:B

9.命题“?x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是 ________.
解析:否定为全称命题:“?x∈R,x2+2x+5≠0”. 答案:?x∈R,x2+2x+5≠0

10.已知命题 p:“存在 x∈R,使 4x+2x+1+m=0”, 若“非 p”是假命题,则实数 m 的取值范围是________.
解析:“非 p”是假命题,则 p 为真命题,原题转化 为等式有解问题,分离参数 m=-(4x+2x+1),m 的取值 范围为函数 y=-(4x+2x+1)的值域,利用换元法可求得其 值域为(-∞,0).
答案:(-∞,0)

11.已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q:3-1 x>1, 若“綈 q∧p”为真,则 x 的取值范围是________.
解析:∵“綈 p∧p”为真,即 q 假 p 真,而 q 为真 x-2
命题时, <0,得 2<x<3,∴q 假时有 x≥3 或 x≤2; x-3
p 为真命题时,

由 x2 + 2x - 3 > 0 , 解 得 x > 1 或 x < - 3 , 由 ??x>1或x<-3, ? ??x≥3或x≤2,
解得 x<-3 或 1<x≤2 或 x≥3, ∴x 取值范围是 x<-3 或 1<x≤2 或 x≥3. 答案:(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)

12.下列结论: ①若命题 p:?x∈R,tan x=1;命题 q:?x∈R,x2 -x+1>0.则命题“p∧(綈 q)”是假命题;
②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是ab=-3;

③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题: “若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为 ________.
解析:①中命题 p 为真命题,命题 q 为真命题:
∴p∧(綈 q)为假命题,故①正确;

②当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,故②不正确; ③正确,∴正确结论的序号为①③. 答案:①③


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