【湘教版】高中数学必修一、必修二学业水平测试试题(6)(教师)

知识经梳理方能轻巧有序

能力需锤炼方能炉火纯青

【湘教版】高中数学(必修一、必修二)学业水平测试试题(6)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中) ...............
1.设 b 是 a 的相反向量,则下列说法一定错误的是( ) A.a 与 b 的长度相等 B.a∥b C.a 与 b 一定不相等 D.a 与 b 互为相反向量 答案:C

2. 记符号 A ? B ? x x ? A, 且x ? B , A ? ? x 若
A ? ? 1, ? 3

?

?

? ? ? 1 ? ? ? 则 ? 2 x ? 2 ? ,B ? ? x log 1 x ? 1? , A ? B ?( ? ? ? 2 ? 3 ? ?
?1 ?
D ? 0, ? 3



? ?

1? ?

B ? ? 1, ?

? ?

1? 3?

C ? ,?? ? ?2 ?

? ?

1? ?

答案:A

3.若 f(x) cos

?x 是周期为 2 的奇函数,则 f(x)可以是( 2 ?x ?x A.sin B.cos C.sinπx 2 2
1 3

) D.cosπx

答案:A

4.函数 f ? x ? ? x ? x ? 4 的零点所在的区间是(

A ?2,3? B ?1,2 ? C ?0,1? D ?3,4 ? 答案:A 5.方程 sinx = lgx 的实根有( ) A.1 个 B.3 个 C.2 个 D. 无穷多个 答案:B 6.已知函数 y=f(x),将 f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所得到图



象沿 x 轴向左平移

? 个单位,这样得到的曲线与 y=3sinx 的图象相同,那 y=f(x)的解析式为( ) 4 x ? ? x ? ? A.f(x)=3sin( ? ) B.f(x)=3sin(2x+ ) C.f(x)=3sin( ? ) D.f(x)=3sin(2x- ) 2 4 2 4 4 4
1
的定义域是 R ,则实数 m 的取值范围是( C ?0,4? D ?0,4 ? )

答案:D

7.已知函数 y ?

mx 2 ? mx ? 1 A ?? ?,0? ? ?4,?? ? B ?0,4?
答案:D

8.y= log 1 sin(2x +
2

? )的单调递减区间是( 4



? ,kπ](k∈ Z) 4 3? ? C.[kπ- ,kπ+ ] (k∈ Z) 8 8
A.[kπ-

? ? ,kπ+ )(k∈ Z) 8 8 ? 3? D. (kπ- , kπ+ )(k∈ Z) 8 8
B.(kπ-

答案:B 9.已知函数 y ? f (x) 为 R 上的偶函数,若对于 x ? 0 时,都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当 x ? ?0,2 ? 时,

f ( x) ? log 2 ( x ? 1), 则 f (?11) ? f (12) 等于(



不积跬步

无以致千里

- 1 -

不积小流

无以成江海

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A log 2 6

B log 2

3 2

C 1

D ?1

答案:D 10.函数 f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数 g ( x) ? f (loga x) (0<a<1)的单调减区间是( A.[0,

)

1 ] 2

B.(-∞,0)∪[

1 ,+∞) 2

C.[ a ,1] D.[ , ] 答案:C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填入答题卡中) ............

11.设 x, y ? R,向量 a ? ( x,1), b ? (1, y), c ? (2, ?4) 且 a ? c, b // c ,则 a ? b = 答案:因为 a ? c, b // c ,所以有 2 x ? 4 ? 0 且 2 y ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 , y ? ?2 ,即

a ? (2,1),b ? (1,?2) ,所以 a ? b ? (3,?1) , a ? b ? 10 ,
12.计算 (0.001 ) 答案:2
? 1 3

? log2 16 ? 21?log2 3 ? sin

?
2

? tan45? =

.

3? ? x) 2 y ?| | 最小正周期是 13.函数 cos( 3? ? x ) cos(
答案: ?



14.设 f ( x) ?

1? x , 又记: f1 ( x) ? f ( x), f k ?1 ( x) ? f ( f k ( x)), k ? 1,2,? , 则 f 2012 (2012) ? 1? x
(写出所有正确结论的序号)

答案:2012 15.以下结论正确的有 ①函数 y ?

1 在 ?? ?,0 ? ? ?0,?? ? 上是减函数; x
2

②对于函数 f ? x ? ? ? x ? 1 ,当 x1 ? x 2 时,都有

f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x ? x2 ? ? f? 1 ?; 2 ? 2 ?

3 ? 5? ? 2,2 ? ,则当 x ? 1 时,该函数的图象始终在直线 y ? x 的下方; ③已知幂函数的图象过点 ? ? ? ?

④奇函数的图像必过坐标原点; ⑤函数 f (x) 对任意实数 x, y ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 1, 且当 x ? 0时,f ( x) ? 1, 则 f (x) 在 R 上为增函数。 答案:②⑤ ③

【湘教版】高中数学(必修一、必修二)学业水平测试试题(6)答题卡
班级 题号 答案 题号 答案
不积跬步 无以致千里 - 2 不积小流 无以成江海

姓名 2 3 4 5

目标分数 6 7 8

实际得分 9 10
选填题 得分 解答题 得分

1

11

12

13

14

15

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 要求写出必要的文字说明、重要演算步骤,有数值计算的 要明确写出数值和单位,只有最终结果的不得分) ........

16.(本小题满分 13 分)
已知 a>0,函数 y=-acos2x- 3 asin2x+2a+b,x∈ [0,

? ].若函数的值域为[-5,1], 求常数 a,b 的值. 2

答案:y ? ?a cos2 x ? 3a sin 2 x ? 2a ? b ? ?2a sin(2 x ?

?
6

) ? 2a ? b

? ? ? 7? 1 ? ? x ? [0, ],? ? 2 x ? ? ,? ? ? sin(2 x ? ) ? 1,? a ? 0 2 6 6 6 2 6
? 有b ? ?2a sin(2 x ?

?

?3a ? b ? 1 ? 2a ? b ? 3a ? b,?函数的值域为?5,1],? ? [ ? a ? 2, b ? ?5 6 ?b ? ?5

17.(本小题满分 13 分)
设两个非零向量为 b ? (
?
? ? ? x 1 , ), c ? ( x ? a ? 1, 4 ? a) . 解关于 x 的不等式 b ? c ? ?2 (其中 a>-1). x?2 x?2

18.(本小题满分 13 分)定义在 ?1,64? 上的函数 f ?x ? ? log 2 x ? 1 ,函数 g ?x ? ? ? f 2 ?x ? ? f ?x 3 ?
(1)求函数 g ? x ? 的定义域;(2)求函数 g ? x ? 的最值以及取最值时相应的 x 的值。 答案:(1)由已知有 ?

? 1 ? x ? 64 ? 1 ? x ? 4 ,故函数 g ? x ? 的定义域为 ?1,4? 3 ?1 ? x ? 64
2

(2) g ? x ? ? ??log 2 x ? 1? ? log 2 x 3 ? 1 ? ? log 2 x ? 5 log 2 x ? 2 2

5 ? 17 ? ? ?u ? 5u ? 2 ? ?? u ? ? ? ? ? ?u ? 2? 4 ?
2

2

x ? ?1,4? , u ? log 2 x ? ?0,2? ,? ? ?u ? 在 ?0,2? 上单调递增
当 u ? log 2 x ? 0 即 x ? 1 时, g min ? x ? ? ? ?0 ? ? ?2 ;
不积跬步 无以致千里 - 3 不积小流 无以成江海

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当 u ? log 2 x ? 2 即 x ? 4 时, g min ? x ? ? ? ?2 ? ? 4 。

19.(本小题满分 12 分)
《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 3500 元的部分不必纳税, 超过 3500 元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算: 全月应纳税所得额 不超过 1500 元的部分 超过 1500 元至 4500 元的部分 超过 4500 元至 9000 元的部分 税率(%) 3 10 20

(1)若某人全月工资、薪金所得为 x ( 0 ? x ? 12500 )元,应纳税为 y 元,写出 y 与 x 的函数关系 式; (2)若某人一月份纳税 145 元,那么他当月的工资、薪金所得是多少元。

0,0 ? x ? 3500 ? ? 0.03? x ? 3500 ?,3500 ? x ? 5000 ? 答案:(1)根据题意有 y ? ? ? 45 ? 0.1? x ? 5000 ?,5000 ? x ? 8000 ?345 ? 0.2? x ? 8000 ?,8000 ? x ? 12500 ?
(2)由(1)知 y ? 145 时, 3500 ? x ? 8000 ,故 45 ? 0.1? x ? 5000 ? ? 145 ? x ? 6000 故该人当月的工资、薪金所得是 6000 元。

20.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? x ? 2ax , x ? ?? 1,1?
2

(1)若函数 f (x) 的最小值为 g ?a ? ,求 g ?a ? ; (2)判断并证明函数 g ? x ? 的奇偶性; 答案:(1) f ? x ? ? x 2 ? 2ax ? ? x ? a ? ? a 2 , x ? ?? 1,1?
2

当 a ? ?1 时, f ? x ? 在 ?? 1,1? 上单调递增,故 g ?a ? ? f min ? x ? ? f ?? 1? ? 1 ? 2a ; 当 ? 1 ? a ? 1 时, g ?a ? ? f min ? x ? ? f ?a ? ? ? a ;
2

当 a ? 1 时, f ? x ? 在 ?? 1,1? 上单调递减,故 g ?a ? ? f min ? x ? ? f ?1? ? 1 ? 2a

? 1 ? 2a, a ? ?1 ? 2 故 g ?a ? ? ?? a ,?1 ? a ? 1 ? 1 ? 2a, a ? 1 ?

不积跬步

无以致千里

- 4 -

不积小流

无以成江海

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? 1 ? 2 x, x ? ?1 ? 2 (2)由(1)知 g ? x ? ? ?? x ,?1 ? x ? 1 , g ? x ? 是偶函数,证明如下: ? 1 ? 2 x, x ? 1 ?

g ?x ? 的定义域为 R 关于原点对称
当 x ? ?1 时, g ? x ? ? 1 ? 2 x , ? x ? 1 ,则 g ?? x ? ? 1 ? 2?? x ? ? 1 ? 2 x ? g ? x ? 当 ? 1 ? x ? 1 时, g ? x ? ? ? x , ? 1 ? ? x ? 1 ,则 g ?? x ? ? ??? x ? ? ? x 2 ? g ? x ?
2
2

当 x ? 1 时, g ? x ? ? 1 ? 2 x , ? x ? ?1 ,则 g ?? x ? ? 1 ? 2?? x ? ? 1 ? 2 x ? g ? x ? 故对任意 x ? R 都有 g ?? x ? ? g ? x ? ,所以 g ? x ? 是偶函数

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x ? ? ax ?

b ? 5? (其中 a , b 为常数)的图象经过 ?1,2 ? , ? 2, ? 两点。 x ? 2?

(1)求函数 f ? x ? 的解析式;(2)证明函数在 ?1,?? ? 上是增函数; (3)若不等式

4a ?1 ? ? 2 a ? f ? x ? 对任意的 x ? ? ,3? 恒成立,求实数 a 的取值集合。 3 ?2 ?

答案:(1)由已知有 ?

? a?b ? 2 ?a ? 1 1 ? b 5?? ? f ?x ? ? x ? 2a ? ? x ?b ? 1 ? 2 2 ?

…..3 分

(2)设 x 2 ? x1 ? 1 ,则 f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? x 2 ?

x ? x2 1 1 ? x1 ? ? x 2 ? x1 ? 1 x2 x1 x1 x 2

? 1 ? ? x 2 ? x1 ?? x1 x 2 ? 1? ? ? x 2 ? x1 ??1 ? ? x x ?? ? x1 x 2 1 2 ? ?
? x 2 ? x1 ? 1

? x1 x 2 ? 0, x 2 ? x1 ? 0, x1 x 2 ? 1 ? x1 x 2 ? 1 ? 0
……6 分

故 f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? 0 即 f ? x 2 ? ? f ? x1 ? , f ? x ? 在 ?1,?? ? 上是增函数。

4a 4a ?1 ? ?1 ? a ? 2 ? f ? x ? 对任意的 x ? ? ,3? 恒成立,只需 ? 2 a ? f max ? x ? , x ? ? ,3? (3)要使不等式 3 3 ?2 ? ?2 ?
由(2)知 f ? x ? 在 ?1,?? ? 上单调递增,同理可证 f ? x ? 在 ?0,1? 上单调递减。 当 x ? ? ,3? 时, f ? x ? 在 ? ,1? 上单调递减, f ? x ? 在 ?1,3?上单调递增。 2 2

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

不积跬步

无以致千里

- 5 -

不积小流

无以成江海

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又 f? ??

?1? ?2?

10 10 5 ?1 ? , f ?3? ? ,? 当 x ? ? ,3? 时, f max ? x ? ? f ?3? ? 3 3 2 ?2 ?

?

4a 10 ? 2a ? ? 4 a ? 3 ? 2 a ? 10 ? 0 ? 2 a ? 2 2 a ? 5 ? 0 ? 2 a ? 5 ? a ? log 2 5 3 3

?

??

?

? a ? ?log 2 5,?? ?

不积跬步

无以致千里

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不积小流

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