惠州市2013届高三第三次调研考试理科数学答案

惠州市 2013 届高三第三次调研考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A C A B B 1. 【解析】

1 ? 3i ? ?1 ? 3i ? i = 3 + i .故选 D. i3

2. 【解析】 2 ? 6 ? 3x ? 0 ? x ? ?4 ? p ? q ? (2 , 3) ? (?4 , ? (?2 , ? 13 .故选 B. ? 6) 3) 3. 【解析】 a ? 0或1或 ?1 .故选D. 4. 【解析】由设 f ( x) ? x? ,图象过点 ( ,

1 2

1 2 1 1 1 2 ? ( )2 ? ? ? , ) 得 ( )? ? 2 2 2 2 2

1 .故选 A. 4 x2 y 2 1 1 2 2 ? ? 1 , m ? n ? 0 ? 0 ? ? ,即 p ? q .故选 C. 5. 【解析】 mx ? ny ? 1 ? 1 1 m n m n log 4 f (2) ? log 4 2 ?
6. 【解析】甲中位数为 19,甲中位数为 13.故选 A. 7. 【解析】最优解为 (?2.5 , 2.5) ? zmin ? ?15 .故选 B. ? 8. 【解析】 an?2 ? an ? (?1)n (2n ?1) ? (2n ? 1) , 取 n ? 1, 9 及 n ? 2 , , , 5, 6 10 结果相加可得 S12 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a11 ? a12 ? 78 .故选 B. 二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题, 每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

1 2

x2 ? y2 ? 1 2 12.④ 13. ?1,? 14. 7 15.3 9 1 ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 7 .答案: 7 . 9. 【解析】 Sn ? 127 ? 1? 2 10. 【解析】 n ? 5 , ? 1 ? n ? 16 , ? 1 ? n ? 49, ? 2 ? n ? 148 , ? 3 .答案:3. k k k k
9.7 10.3 11. 11. 【解析】抛线线 y ? 4 10x 的焦点 ( 10 , ) ? a2 ? b2 ? 10 . 0
2

e?
m?

n n n 12. 【解析】 m , 均为直线,其中 m , 平行 ? , m , 可以相交也可以异面,故①不正确;

x2 10 10 ? ? a ? 3 ? b ? 1.答案: ? y 2 ? 1. 9 a 3

? ,n⊥α 则同垂直于一个平面的两条直线平行;④正确 .答案④.
2

13. 【解析】 1 ?

1 a ? 2 ? 0 ? a ? 2 , a x ? a 是增函数,所以 a ? 1 2 ? 1 ? a ? 2 .答案: 1 ? a ? 2 .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. 【解析】∵PA 切 ? O 于点 A,B 为 PO 中点,∴AB=OB=OA,
第1页

∴ ?AOB ? 60? ,∴ ?POD ? 120? ,在△POD 中由余弦定理, 得: PD2 ? PO2 ? DO2 ? 2PO ? DO cos ?POD = 4 ? 1 ? 4 ? (? ) ? 7 . 解析 2:过点 D 作 DE⊥PC 垂足为 E,∵ ?POD ? 120? , ∴ ?DOB ? 60? ,

1 2

1 3 , DE ? ,在 Rt ?PED 中, 2 2 25 3 2 2 ? ? 7 .答案: 7 . ∴ PD ? PE ? DE ? 4 4
可得 OE ? 15. 【解析】 A 、 B 的极坐标分别为 (3 , ) , (4 , ) ,则 S? ABC ?

?

?

3 6 1 ? ? 3 ? 4 ? sin ? 3 (其中 O 为极点) .答案 3. 2 6

1 OA? OBsin?AOB ? 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (1)解:∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? ,……………………………………2分 ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? .……………………………………3分

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,……………………………………5分 4? 4 ? ? ? 又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? ( k ? Z ) ,………………………………6分 2 ? ? 令 2 x ? ? ? ? k? ? , 4 2 ? ? 将 x ? 代入,得 ? ? k? ? ( k ?Z ) . 6 12 11? ∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? .……………………………………7分 12 2? 2 2? 11? ? 2 )? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) ,…9分 (2)解: f (? ? 3 4 3 12 4 2 1 1 3 sin ? ? cos ? ? ? 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? ………12分 2 4 4
∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

17. (本小题满分12分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1.…………………………1 分 解得 a ? 0.03 .………………………………………………………………………2 分 (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 .……3 分 由于该校高一年级共有学生 640 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人.………………………………………5 分

第2页

(3)解:成绩在 40 , ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,……………… 6 分 50 成绩在 90,100 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,
2 若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法有 C6 ? 15

?

?

?

……………………………………7 分 ………………… 9分

如果两名学生的数学成绩都在 40 , ? 分数段内或都在 90 , 50 100 分数段内,那么这两名学生的数学 成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 40 , ? 分数段内,另一个成绩在 90 , 50 100 分数 段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10.………………… 2 2 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 分的取法数为 C2 ? C4 ? 7 所以所求概率为 P ? M ? ? 18. (本小题满分14分) (1)证明:如图,连接 D1B ,依题意有:在长方形 A ADD1 中, AD ? AA ? 1 , 1 1 10 分 ……11 分

?

?

?

?

?

?

7 .……………………………………………………………………13 分 15

四边形A1 ADD1 ?

A1 D ? AD1 ? ? ? A1 D ? 平面AD1 B ? 又AB ? 平面A1 ADD1 ? AB ? A1D ? ? ? A1D ? D1E .……… 4 分 D1 E ? 平面AD1 B ? AD ? AB ? A? ?

(2)解: AC ?

AB2 ? BC 2 ? 5 , AE ? AB / 2 ? 1 ,
A
1

D
1

EC ? BE 2 ? BC 2 ? 2 , 1? 2 ? 5 2 , cos ?AEC ? ?? 2 2 ?1? 2 2 . ? sin ?AEC ? 2 1 2 1 ∴ S?AEC ? ?1? 2 ? ? ,…………… 6 分 2 2 2

C
1

B
1

D A

450
F

C

E B 1 1 1 AD1 ? AA12 ? DA2 ? 2 , D1C ? D1C12 ? CC12 ? 5 , VD1 ? AEC ? ?1? ? . 3 2 6 1 5? 1 3 10 3 2 ? 3 10 .∴ S ? 2? 5? ? . ? sin ?D1 AC ? ?A1DC ? 2 10 2 10 5 1 3 1 1 设点 E 到平面 ACD1 的距离为 d ,∴ VD1 ? AEC ? VE ? AD1C ? d ? ? ? d ? . 3 2 6 3 1 ∴点 E 到平面 ACD1 的距离为 . ………………………………………………… 8 分 3 D 作 DF ? EC 交 EC 于 F ,连接 D1F .由三垂 线定理可 知, ?DFD1 为二面角 (3)解 : 过

D1 ? EC ? D的平面角. ? ? ∴ ?DFD1 ? , ?D1 DF ? , D1D ? 1 ? DF ? 1 . ……………………… 10 分 4 2

第3页

DF 1 ? ? ? ? ?DCF ? ,∴ ?BCF ? .…………………… 12 分 DC 2 6 3 ? BE ∴ tan ? ? BE ? 3 , AE ? AB ? BE ? 2 ? 3 . 3 BC sin ?DCF ?
故 AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的平面角为 19. (本小题满分14分) 解: (1) Q f ?1? ? a ?

? .…………………………… 14 分 4

1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

x

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 3 9 2 . a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 27 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; 2 a3 ? 3 3 27

a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3? 3?
Q Sn ? Sn?1 ?

n ?1

?

Sn ? Sn?1

??

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*

;……………………2 分

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列
n

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2
……………………………… 5 分

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;又其满足 b1 ? c ? 1,

?bn ? 2n ? 1( n ? N * );
?1? ? 3?
n

(2)? cn ? bn ? ? ? (2n ? 1) ? ? ,所以 Rn ? c1 ? c2 ? c3 ? L ? cn

?1? ? 3?
3

n

?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 1) ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
2 3 4

1

2

3


n n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 3) ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
①式减②式得:



n n ?1 ?? 1 ? 2 ? 1 ?3 ? 1 ? 4 2 1 ?1? ? ?1? Rn ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? …… 7 分 3 3 ?3? ? ?3? ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?

第4页

2 n ?1 ?1? ? ?1? ? ? ? ?1 ? ? ? ? n ?1 n ? 3? ? ? 3? ? 2 1 ? ? ? (2n ? 1) ? ? 1 ? ? 2 ? 2(n ? 1) ? ? 1 ? …… 9 分 化简: Rn ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 3 3 3 3 ?3? ? 3? 1? 3

n ?1 ………………………………………… 10 分 3n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? (3) Tn ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
所以所求 Rn ? 1 ?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? n ;w.w.w.k.s.5. …… 13 分 ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
u.c.o.m 由 Tn ?

……

12 分

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. ………… 14 分 2n ? 1 2009 9 2009

20. (本小题满分14分) 解: (1)由题设知, A(

a2 a ?2
2

, , F1 0)

?

a2 ? 2 , ,………………………………1 分 0

?

由 OF ? 2 AF ? 0 ,得 a 2 ? 2 ? 2? 1 1 解得 a ? 6 .
2

????

????

? a2 ? ? a 2 ? 2 ? ,…………………………3 分 ? ? 2 ? a ?2 ?

x2 y2 ? ? 1 .…………………………………………………………4 分 6 2 2 (2)方法 1:设圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的圆心为 N ,
所以椭圆 M 的方程为 M : 则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP ………………………………………………6 分

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?N F ? N P ? N F? N…………………………………………7 分 P ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? NP ? NF ? NP ?1 .………………………………………………………………8 分

?

?

??

??

?

?

从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值.……………………………………9 分
2 2

2

y 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P ? x0 ,0 ? ,………………………………………10 分
x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .………………………………………………11 分 6 2
因为点 N ?0,2? ,所以 NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12 .…………………12 分
2 2 2 2

因为 y0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12.…………………13 分

2

?

?

第5页

所以 PE ? PF 的最大值为 11.…………………………………………………………14 分 方法 2:设点 E( x1 ,1 ) , ( x2 ,2 ), P( x0 ,0 ) , y F y y 因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ?

所以 PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) …………………………………7 分

??? ??? ? ?

? x2 ? ? x1 , ………………………………………6 分 ? y2 ? 4 ? y1.

? ( x1 ? x0 ) (? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 ) ( 4? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x 12? y 0? y 12 4 y ? 4 y ? 1 2 0 2 0 2 1 2 1 0

? x ? y ? y0 ? x ? y ? y) 4 ( 4 .………………………………………9 分 1
2 2 2 因为点 E 在圆 N 上,所以 x1 ? ( y1 ? 2)2 ? 1 ,即 x1 ? y1 ? 4 y1 ? ?3 .………………10 分
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .…………………………11 分 6 2 ??? ??? ? ? 2 所以 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 11.……………………………………12 分 ??? ??? ? ? ? 11 .………………………14 分 因为 y0 ?[? 2 , 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF

因为点 P 在椭圆 M 上,所以

?

?

min

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,………………………6 分 由?

? y ? kx ? 2
2 2

k 2 ?1 y 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x0 ,0 ? ,
2 2

? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 x ? ?

1

.……………………………………………7 分

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .……………………………………………8 分 6 2 ? ??? ? 1 ? ? ? ??? ? 1 k k ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? ? x0 , ? 2 ? y0 ? , PF ? ? ? 2 所以 PE ? ? 2 k ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? ? ? k ?1 ?
…………………………………9 分 所以 PE ? PF ? x0 ?
2

1 k 2 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 2 ? x0 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 1 ? ?2( y 0 ? 1) 2 ? 11. k ?1 k ?1
2

2

……………………………………10 分 因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.……………11 分

?

?

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 ,由 ?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 y ? 1 或 y ? 3 .

3 1 不妨设, E ? 0 ,? , F ? 0 ,? .
2 2

…………………………………………12 分

y 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x0 ,0 ? ,
x0 y 2 2 ? 0 ? 1,即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2 ??? ? ??? ? 3 1 所以 PE ? ? ? x0 , ? y0 ? , PF ? ? ? x0 ,? y0 ? .
所以
第6页

所以 PE ? PF ? x02 ? y02 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ?1)2 ?11. 因为 y0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.……………13 分

??? ??? ? ?
?

?

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11.…………………………………………14 分 21. (本小题满分 14 分)

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? 4a 2 ? 2 ? 2a 2 ? .……1 分 解: (1) f ?( x) ? ? x ? 2 x ? 2a ? ? 2ax ? 1 2ax ? 1 ? ? 2? ? 0 .…………………………………2 分 因为 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,所以 f
2a …………………………………………3 分 ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 . 4a ? 1 又当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2为f ( x) 的极值点成立. ……………4 分
即 (2)因为 f ? x ? 在区间 3, ?? ? 上为增函数, 所以 f ? ? x ? ?

?

?

? 0 在区间 ?3, ?? ? 上恒成立.………5 分 2ax ? 1 ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 [3, ??) 上恒成立,所以 f ( x)在[3 , ?) 上为增函数,故 ? a ? 0 符合题意.…………………………………………6 分 ②当 a ? 0 时,由函数 f ? x ? 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能 a ? 0 ,
所以 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ? 0对x ?[3 , ?) 上恒成立. ? 令 g ( x) ? 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ,其对称轴为 x ? 1 ? 因为 a ? 0 所以 1 ? ……………………7 分 …………8 分

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ? ? ? ?

?

1 , 4a

1 ? 1 ,从而 g ( x) ? 0在[3 , ?) 上恒成立,只要 g (3) ? 0 即可, ? 4a 2 因为 g ? 3? ? ?4a ? 6a ? 1 ? 0 ,解得

3 ? 13 3 ? 13 ?a? . ……………………………………9 分 4 4 3 ? 13 因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? . 4 ? 3 ? 13 ? ?. 综上所述, a 的取值范围为 ?0 , 4 ……………………………10 分 ? ? (1 ? x)3 b 1 b a ? ? 时,方程 f (1 ? x) ? + 可化为, ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? . (3)若 2 x 3 x 2 2 3 ? 问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? x ln x ? x ? x 在 ? 0 , ? ? 上有解,
以下给出两种求函数 g ? x ? 值域的方法: 即求函数 g ( x) ? x ln x ? x ? x 的值域.
2 3

………………………………11 分

2 2 方法 1:因为 g ? x ? ? x ln x ? x ? x ,令 h( x) ? ln x ? x ? x ( x ? 0) ,

?

?

第7页

1 (2 x ? 1)(1 ? x) , ………………………………12 分 ? 1 ? 2x ? x x 所以当 0 ? x ? 1 , h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(0 , 上为增函数, 时 1) 当 x ?1 ………………13 分 时,?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(1,??) 上为减函数, h 因此 h( x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. ………………………………………14 分 2 方法 2:因为 g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x ? ,所以 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x 2 .
则 h?( x) ? 设 p( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x2 ,则 p?( x) ?

1 6 x2 ? 2 x ? 1 . ? 2 ? 6x ? ? x x 1? 7 1? 7 当0? x ? 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 (0 , ) 上单调递增; 6 6 1? 7 1? 7 当x? 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 ( , ?) 上单调递减; ? 6 6 ? 1? 7 ? 2 3 3 ?1? p? 因为 p ?1? ? 0 ,故必有 ? 6 ? ? 0 ,又 p ? 2 ? ? ?2 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 0 , ? e e e ? ? ?e ?

1 1? 7 , )使得 g '( x0 ) ? 0 , e2 6 ? ) 0 x ?当0 ? x ? x时,g ( x ? ,所以 g ( x)在? 0 ,0 ? 上单调递减; 0
因此必存在实数 x0 ?( 当 x0 ? x ? 1 时, ?( x) ? 0 ,所以 g ( x)在? x0 ,1? 上单调递增; g 当 x ?1 时, '( x) ? 0 , g( x)在?1, ?? 上单调递减; g 所以 ? 又因为 g ( x) ? x ln x ? x ? x ? x(ln x ? x ? x ) ? x(ln x ?
2 3 2

1 ), 4

ln 当 x ? 0时 , x ?

因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. …………………………………………14 分

1 ? 0 ,则 g ( x) ? 0 ,又 g (1) ? 0 . 4

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