高等数学不定积分例题思路和答案超全



4











名称























内容概要
主要内容
设 f (x) , x ? I ,若存在函数 F(x) ,使得对任意 x ? I 均有 F?(x) ? f (x) 或 dF(x) ? f (x)dx ,则称 F(x) 为 f (x) 的一个原函数。 f (x) 的全部原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分,记为 注:(1)若 f (x) 连续,则必可积;(2)若 F (x), G(x) 均为 f (x) 的原函数,则

F (x) ? G(x) ? C 。故不定积分的表达式不唯一。

? ? 性


性质

1:

d dx

? ?

f (x)dx?? ? f (x) 或 d ??

f (x)dx?? ? f (x)dx ;

? ? 性质 2: F?(x)dx ? F(x) ? C 或 dF(x) ? F(x) ? C ;

? ? ? 性质 3: [? f (x) ? ? g(x)]dx ? ? f (x)dx ? ? g(x)dx ,?, ? 为非零常数。

计 第一换元 算 积分法

设 f (u) 的原函数为 F(u) , u ? ?(x) 可导,则有换元公式:

方 (凑微分法)

法 第二类 换元积

设 x ? ?(t) 单调、可导且导数不为零, f [?(t)]??(t) 有原函数 F(t) ,

分法

则 ? f (x)dx ? ? f (?(t))??(t)dt ? F(t) ? C ? F(??1(x)) ? C

本章 的地 位与 作用

分部积分法

有理函数积 若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和;对真分式的处



理按情况确定。

在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题,实质上是求被积函数的原函数问

题;后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最终的解决都归结为对定积

分的求解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲,不定积分在整个积分

学理论中起到了根基的作用,积分的问题会不会求解及求解的快慢程度,几乎完全取决于对这一

章掌握的好坏。这一点随着学习的深入,同学们会慢慢体会到!

课后习题全解

习题 4-1 1.求下列不定积分:

知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!

dx
? ★(1)
x2 x

思路:被积函数

1

?5
? x 2 ,由积分表中的公式(2)可解。

x2 x

? ? 解:

dx

?

?5
x 2 dx

?

?

2

?3
x2

?C

x2 x

3

? ★(2) ( 3 x ? 1 )dx
x

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

? ? ? ? 解:

(3 x ? 1 )dx ?

1

?1

(x3 ? x 2 )dx ?

1
x3dx ?

?1
x 2 dx

?

3

4
x3

1
? 2x2

?C

x

4

? ★(3) (2x ? x2)dx

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

? ? ? 解: (2x ? x2)dx ? 2x dx ? x2dx ? 2x ? 1 x3 ? C
ln 2 3
? ★(4) x(x ? 3)dx

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

? ? ? 解:

x(x ? 3)dx ?

3
x2 dx ? 3

1
x 2 dx

?

2

5
x2

3
? 2x2

?C

5

? ★★(5)

3x4 ? 3x2 ? 1dx x2 ?1

思路:观察到

3x4

? 3x2 x2 ?1

?1

?

3x2

?

1
后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
x2 ?1

? ? ? 解:

3x4

? 3x2 x2 ?1

?1

dx

?

3x2dx ?

1 1? x2

dx

?

x3

?

arctan

x

?

C

? ★★(6)

1

x ?

2
x2

dx

x2 x2 ?1?1

1

思路:注意到 1? x2 ? 1? x2

?1? 1?

x2

,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。

? ? ? 解:

1

x2 ? x2

dx

?

dx ?

1

1 ? x2

dx

?

x

?

arctan

x

?

C.

注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一

个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。

? ★(7)

(x 2

-

1 x

+

3 x3

-

4 x4

)dx

思路:分项积分。

? ? ? ? ? 解:

(x 2

-

1 x

+

3 x3

-

4 x4

)dx

?

1 2

xdx ?

1dx ? 3 x?3dx ? 4 x?4dx x

? ★(8)

(3 ? 1? x2

2 )dx 1? x2

思路:分项积分。

? ? ? 解:

( 1

3 ?x

2

?

2 )dx ? 3 1? x2

1 1? x2

dx

?

2

1 dx ? 3arctan x ? 2 arcsin x ? C. 1? x2

? ★★(9) x x x dx

1?1?1

7

思路: x x x ? ?看到 x x x ? x 2 4 8 ? x 8 ,直接积分。

? ? 解:

x

x

x dx ?

7
x8 dx ?

8

15
x8

? C.

15

1

? ★★(10)

dx x2 (1 ? x2 )

思路:裂项分项积分。

? ? ? ? 解:

1 dx ? x2 (1 ? x2 )

( 1 ? 1 )dx ? x2 1? x2

1 dx ? 1 dx ? ? 1 ? arctan x ? C.

x2

1? x2

x

? ★(11)

e2x ex

?1dx ?1

? ? ? 解:

e2x ex

?1dx ?1

?

(ex

?1)(ex ex ?1

? 1)dx

?

(ex ?1)dx ? ex ? x ? C.

? ★★(12) 3x ex dx

思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然 3x ex ?(3e)x 。

? ? 解:

3x

exdx

?

(3e)xdx

(3e)x ?

?

C.

ln(3e)

? ★★(13) cot2 xdx

思路:应用三角恒等式“ cot2 x ? csc2 x ?1 ”。

? ? 解: cot2xdx ? (csc2 x ?1)dx ? ? cot x ? x ? C

2 ? 3x ? 5 ? 2x

? ★★(14)

3x

dx

2 ?3x ? 5? 2x

思路:被积函数

3x

? 2 ?(5 2)x ,积分没困难。 3

? ? 解:

2

?

3x

? 3x

5

?

2

x

dx

?

(2

?

(5

2 3

)x)dx

?

2x

?

5

ln

(2)x 3 2 ? ln

3

?

C.

? ★★(15) cos2 x dx 2

思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。

? 解: cos2

x 2

d

?

?

1

?

cos 2

xdx

?

1 2

x

?

1 sin 2

x

? C.

1

? ★★(16)

dx

1 ? cos 2x

思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。

解:

?1?

1 cos

dx 2x

?

?

1 2 cos2

dx x

?

1 2

? sec2

xdx

?

1 2

tan

x

?

C.

? ★(17) cos 2x dx cos x ? sin x

思路:不难,关键知道“ cos 2x ? cos2 x ? sin2 x ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ”。

解:

?

cos 2x cos x ? sin

dx x

?

?

(cos

x

?

sin

x)dx

?

sin

x

?

cos

x

?

C.

? ★(18)

cos 2x cos2 x ? sin2

dx x

思路:同上题方法,应用“ cos 2x ? cos2 x ? sin2 x ”,分项积分。

? ? ? ? 解:

cos 2x dx ? cos2 x ?sin2 x

cos2 x ? sin2 xdx ? cos2 x ?sin2 x

1 dx ? sin2 x

1x cos2 x

? ★★(19) ( 1 ? x ? 1 ? x )dx
1? x 1? x

1? x 1? x 1? x 1? x

2

思路:注意到被积函数

?

?

?

?

,应用公式(5)即可。

1? x 1? x 1? x2 1? x2 1? x2

解: ? (

1? x ? 1? x

1 1

? ?

x x

)dx

?

2?

1 dx ? 2arcsin x ? C. 1? x2

? ★★(20)

1 ? cos2 x dx

1 ? cos 2x

1 ? cos2 x
思路:注意到被积函数
1 ? cos 2x

?

1 ? cos2 x 2 cos2 x

?

1 sec2 2

x

?

1 2

,则积分易得。

解:

?

1? 1?

cos2 xdx cos 2x

?

1 2

? sec2

xdx

?

1 2

?

dx

?

tan

x 2

?

x

?

C.

? ★2、设 xf (x)dx ? arccos x ? C ,求 f (x) 。

知识点:考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。
? 思路分析:直接利用不定积分的性质 1: d [ f (x)dx] ? f (x) 即可。 dx 解:等式两边对 x 求导数得:

★3、设 f (x) 的导函数为 sin x ,求 f (x) 的原函数全体。

知识点:仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。

思路分析:连续两次求不定积分即可。

? 解:由题意可知, f (x) ? sin xdx ? ? cos x ? C1 ? 所以 f (x) 的原函数全体为: (? cos x ? C1)dx ? ?sin x ? C1x ? C2 。

★4、证明函数

1 2

e2x

, ex shx



exchx 都是

ex chx-shx

的原函数

知识点:考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。

思路分析:只需验证即可。

解:

ex chx ?

shx

?

e2x

,而

d dx

[(

1 2

e2x )]

?

d [ex shx] dx

?

d [exchx] dx

?

e2x

★5、一曲线通过点 (e2 , 3) ,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。

知识点:属于第 12 章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关 系。

思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。

解:设曲线方程为 y ? f (x) ,由题意可知: d [ f (x)] ? 1 ,? f (x) ? ln | x | ?C ;

dx

x

又点 (e2 , 3) 在曲线上,适合方程,有 3 ? ln(e2 ) ? C,?C ? 1,

所以曲线的方程为 f (x) ? ln | x | ?1.

★★6、一物体由静止开始运动,经 t 秒后的速度是 3t 2 (m / s) ,问:
(1) 在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少? (2) 物体走完 360 米需要多少时间?
知识点:属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。

思路分析:求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。

解:设物体的位移方程为: y ? f (t) ,

则由速度和位移的关系可得:

d dt

[

f

(t)]

?

3t

2

?

f (t)

? t3

?C,

又因为物体是由静止开始运动的,? f (0) ? 0,?C ? 0,? f (t) ? t3 。

(1) 3 秒后物体离开出发点的距离为: f (3) ? 33 ? 27 米;

(2)令 t3 ? 360 ? t ? 3 360 秒。

习题 4-2

★1、填空是下列等式成立。 知识点:练习简单的凑微分。

思路分析:根据微分运算凑齐系数即可。

解: (1)dx ? 1 d (7x ? 3);(2)xdx ? ? 1 d (1? x2 );(3)x3dx ? 1 d (3x4 ? 2);

7

2

12

2、求下列不定积分。

知识点:(凑微分)第一换元积分法的练习。

思路分析:审题看看是否需要凑微分。直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一 个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法 对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍!
? ★(1) e3t dt

思路:凑微分。

? ? 解: e3t dt ? 1 e3t d (3t) ? 1 e3t ? C

3

3

3
? ★(2) (3 ? 5x) dx

思路:凑微分。

? ? 解:

(3

?

3
5x) dx

?

?

1

(3 ? 5x)3d(3 ? 5x) ? ? 1 (3 ? 5x)4 ? C

5

20

1

? ★(3)

dx

3? 2x

思路:凑微分。

解:

?

3

1 dx ? 2x

?

?

1 2

?

3

1 ?2

d x

(3

?

2x)

?

?

1 2

ln

|

3

?

2x

|

?C.

1

? ★(4)

dx

3 5 ? 3x

思路:凑微分。

? ? ? 解:

1 dx ? ? 1

1

d (5 ? 3x) ? ? 1

(5

?

?1
3x) 3d (5

?

3x)

?

?

1

(5

?

2
3x)3

?

C.

3 5 ? 3x

3 3 5 ? 3x

3

2

x
? ★(5) (sin ax ? eb )dx

思路:凑微分。

? ? ? 解:

(sin

ax

?

x
eb

)dx

?

1

sin axd (ax) ? b

e

x b

d

(

x

)

?

?

1

cos ax

x
? beb

?

C

a

ba

cos t

? ★★(6)

dt t

思路:如果你能看到 d ( t ) ? 1 dt ,凑出 d ( t ) 易解。 2t

解:

?

cos t

t dt

?

2? cos

td(

t ) ? 2sin

t ?C

? ★(7) tan10 x sec2 xdx

思路:凑微分。

? ? 解: tan10 x sec2 xdx ? tan10 xd (tan x) ? 1 tan11 x ? C. 11 dx
? ★★(8) x ln x ln ln x

思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。

解:

?

x ln

dx x ln ln

x

?

?

d(ln | ln x ln

x |) ln x

?

?

d(ln | ln x ln ln x

|)

?

ln

|

ln

ln

x

|

?C

? ★★(9) tan 1 ? x2 xdx
1? x2

思路:本题关键是能够看到 xdx 是什么,是什么呢?就是 d 1? x2 !这有一定难度! 1? x2

? ? 解: tan 1 ? x2 xdx ? tan 1 ? x2 d 1 ? x2 ? ? ln | cos 1 ? x2 | ?C
1? x2 dx
? ★★(10) sin x cos x
思路:凑微分。

解:

方法一:倍角公式 sin 2x ? 2sin x cos x。

方法二:将被积函数凑出 tan x 的函数和 tan x 的导数。

方法三:三角公式 sin2 x ? cos2 x ? 1,然后凑微分。

dx
? ★★(11) ex ? e?x

dx

exdx dex

dex

思路:凑微分:

?

?

?



ex ? e?x e2x ? 1 1 ? e2x 1 ? (ex )2

? ? ? 解:

dx ex ? e?x

?

exdx ? e2x ?1

dex ? arctan ex ? C 1 ? (ex )2

? ★(12) x cos(x2 )dx

思路:凑微分。

? ? 解: x cos(x2 )dx ? 1 cos x2dx2 ? 1 sin x2 ? C

2

2

? ★★(13)

xdx 2 ? 3x2

思路:由 xdx ? 1 dx2 ? ? 1 d (2 ? 3x2 ) 凑微分易解。 2 ? 3x2 2 2 ? 3x2 6 2 ? 3x2

? ? ? 解:

xdx

??1

d(2 ? 3x2) ? ? 1

(2

?

3x2

?
)

1 2

d

(2

?

3x2

)

?

?

1

2 ?3x2 ? C

2 ? 3x2 6 2 ? 3x2

6

3

? ★★(14) cos2 (?t)sin(?t)dt

思路:凑微分。

解:

? cos2 (?t)sin(?t)dt

?

1 ?

?

cos2 (?t)sin(?t)d?t

?

?

1 ?

? cos2 (?t)d

cos(?t)

3x3

? ★★(15)

dx

1? x4

思路:凑微分。

? ? ? ? 解:

3x3

3

dx ?

1? x4

4

4x3

3

dx ?

1? x4

4

1 dx4 ? ? 3

1? x4

4

1 d (1 ? x4 ) ? ? 3 ln | 1 ? x4 | ?C.

1? x4

4

? ★(16) csoins3xxdx

思路:凑微分。

? ? 解:

csoins3xxdx ? ?

1 cos3

d x

cos

x

?

1 2

1 cos2

x

?

C.

? ★★(17)

x9 dx 2 ? x20

思路:经过两步凑微分即可。

解: ?

? x9 dx ? 1

2 ? x20

10

? 1 dx10 ? 1

2 ? x20

10

1

d x10 ? 1 arcsin( x10 ) ? C

1 ? ( x10 )2

2 10

2

2

1? x

? ★★(18)

dx

9 ? 4x2

思路:分项后分别凑微分即可。

? ? ? 解: 1? x dx ?

1 dx ?

x dx

9 ? 4x2

9 ? 4x2

9 ? 4x2

dx
? ★★(19) 2x2 ?1

思路:裂项分项后分别凑微分即可。

解:

?

2

dx x2 ?

1

?

?

(

dx 2x ?1)(

2x

?1)

?

1 2

?

(

1? 2x ?1

1 )dx 2x ?1

xdx
? ★(20) (4 ? 5x)2

思路:分项后分别凑微分即可。

? ? ? 解:

xdx ? (4 ? 5x)2

? 1(4 ? 5x ? 4)dx ? 1 ( 1 ? 4 1 )d (4 ? 5x)

5 (4 ? 5x)2

25 4 ? 5x (4 ? 5x)2

x 2 dx
? ★(21) (x ?1)100

思路:分项后分别凑微分即可。

? ? ? 解:

x2dx (x ?1)100

?

(x ?1?1)2 dx (x ?1)100

?

(x ?1)2 ( (x ?1)100

?

(x ?1) 2 (x ?1)100

?

(x

1 ? 1)100

)dx

xdx
? ★★(22) x8 ?1

思路:裂项分项后分别凑微分即可。

? ? ? ? 解:

xdx ? x8 ?1

xdx

?

(x4 ?1)(x4 ? 1)

1 2

(

1 x4 ?1

?

1 x4 ?

)xdx 1

?

1 4

(

1 x4 ?1

?

x

1 4?

)dx 1

2

? ★(23) cos3 xdx

思路:凑微分。 cos xdx ? d sin x 。

? ? ? ? 解: cos3 xdx ? cos2 x ?cos xdx ? cos2 xd sin x ? (1? sin2 x)d sin x ? ★★(24) cos2 (?t ? ?)dt

思路:降幂后分项凑微分。

解:

?

cos2

(?t

?

?)dt

?

?

1

?

cos

2(?t 2

?

?)

dt

?

?

1dt 2

?

1 4?

?

cos

2(?t

?

?)d 2(?t

?

?)

? ★★★(25) sin 2x cos3xdx

思路:积化和差后分项凑微分。

解:

?

sin

2x

cos 3xdx

?

?

1 2

(sin

5x

?

sin

x)dx

?

1 10

?

sin

5xd 5x

?

1 2

?

sin

xdx

? ★★★(26) sin 5x sin 7xdx

思路:积化和差后分项凑微分。

解:

?

sin

5x sin

7xdx

?

?

1 2

(cos

2x

?

cos12x)dx

?

1 4

?

cos

2xd 2x

?

1 24

?

cos12 xd (12 x)

? ★★★(27) tan3 x sec xdx

思路:凑微分 tan xsec xdx ? d sec x 。

? ? ? ? 解: tan3 xsec xdx ? tan2 x ? tan xsec xdx ? tan2 xd sec x ? (sec2 x ?1)d sec x

10arccos x

? ★★(28)

dx

1? x2

思路:凑微分 1 dx ? d (? arccos x) 。 1? x2

? ? 解: 10arccos x dx ? ? 10arccos x d arccos x ? ? 10arccos x ? C.

1? x2

ln10

? dx
★★(29)
(arcsin x)2 1 ? x2

思路:凑微分 1 dx ? d (arcsin x) 。 1? x2

? ? 解:

dx

? d arcsin x ? ? 1 ? C

(arcsin x)2 1? x2 (arcsin x)2 arcsin x

arctan x

? ★★★★(30)

dx

x(1? x)

arctan
思路:凑微分

x dx ? 2arctan

xd

x ? 2arctan

xd (arctan

x)。

x(1? x)

1? ( x)2

解:

?

arctan x (1 ?

x x)

dx

?

?

2arctan x 1? ( x)2

d

x ? ? 2arctan

xd (arctan

x)

ln tan x

? ★★★★(31)

dx

cos x sin x

思路:被积函数中间变量为 tan x ,故须在微分中凑出 tan x ,即被积函数中凑出 sec2 x ,

解:

?

ln cos

tan x x sin

x

dx

?

?

ln cos2

tan x x tan

x

dx

?

?

ln tan x tan x

d

tan

x

?

?

ln

tan

xd

(ln

tan

x)

? ★★★★(32)

1 ? ln x (x ln x)2

dx

思路: d(x ln x) ? (1? ln x)dx

? ? 解:

1 ? ln x (x ln x)2

dx

?

1 (x ln x)2

d (x ln

x)

?

?

1 x ln

x

?

C

? dx
★★★★(33)
1? ex

解:方法一:

思路:将被积函数的分子分母同时除以 e x ,则凑微分易得。

方法二:

思路:分项后凑微分

方法三:
思路:将被积函数的分子分母同时乘以 e x ,裂项后凑微分。 dx
? ★★★★(34)
x(x6 ? 4)

解:方法一:

思路:分项后凑积分。

方法二:思路:利用第二类换元法的倒代换。

令 x ? 1 ,则 dx ? ? 1 dt 。

t

t2

dx
? ★★★★(35) x8 (1 ? x2 )

解:方法一:

思路:分项后凑积分。

方法二:思路:利用第二类换元法的倒代换。

令 x ? 1 ,则 dx ? ? 1 dt 。

t

t2

? ? ? ? ? ? (t6 ? t4 ? t2 ? 1)dt ? ( 1 )dt ? ? (t6 ? t4 ? t2 ? 1)dt ? 1 ( 1 ? 1 )dt

t2 ?1

2 t ?1 t ?1

3、求

?

? 1 t7 7

? 1 t5 5

? 1t3 3

?t

?

1 ln | 2

t t

?1 | ?C ?1

?

?1 7

1 x7

?1 5

1 x5

?1 3

1 x3

?

1 x

?

1 ln | 1 ? 2 1?

x x

| ?C

下列不定积分。

知识点:(真正的换元,主要是三角换元)第二种换元积分法的练习。

思路分析:题目特征是----被积函数中有二次根式,如何化无理式为有理式?三角函数中,下列二恒等式起到了
重要的作用。 为保证替换函数的单调性,通常将交的范围加以限制,以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围 内,得出新变量的表达式,再形式化地换回原变量即可。

? dx
★★★(1)
1? 1? x2

思路:令 x ? sin t, t ? ? ,先进行三角换元,分项后,再用三角函数的升降幂公式。 2
解:令 x ? sin t, t ? ? ,则 dx ? costdt 。 2

? t ? tan t ? C ? arcsin x ? x ? C. (或 ? arcsin x ? 1? 1? x2 ? C )

2

1? 1? x2

x

(万能公式 tan t ? sin t ? 1? cos t ,又 sin t ? x 时, cost ? 1? x2 ) 2 1? cos t sin t

x2 ? 9

? ★★★(2)

dx x

思路:令 x ? 3sec t,t ? (0, ? ) ,三角换元。 2
解:令 x ? 3sect,t ? (0, ? ) ,则 dx ? 3sect tantdt 。 2

( x ? 3sec x时, cos x ? 3 ,sin x ? x2 ? 9 , tan x ? x2 ? 9 )

x

x

3

dx
? ★★★(3)
(x2 ? 1)3

? 思路:令 x ? tan t, t ? ,三角换元。
2 解:令 x ? tan t, t ? ? ,则 dx ? sec2 tdt 。
2
dx
? ★★★(4)
(x2 ? a2 )3

思路:令 x ? a tan t, t ? ? ,三角换元。 2
解:令 x ? a tan t, t ? ? ,则 dx ? a sec2 tdt 。 2

x2 ?1

? ★★★★(5)

dx

x x4 ?1

思路:先令 u ? x2 ,进行第一次换元;然后令 u ? tan t, t ? ? ,进行第二次换元。 2

? ? 解:

x2 ? 1 dx ? 1 x2 ? 1 dx2 ,令 u ? x2 得:

x x4 ?1 2 x2 x4 ?1

? ? x2 ?1 dx ? 1 u ?1 du ,令 u ? tan t, t ? ? ,则 du ? sec2 tdt ,

x x4 ?1 2 u u2 ?1

2

(与课本后答案不同)

? ★★★(6) 5 ? 4x ? x2 dx

思路:三角换元,关键配方要正确。
解: 5 ? 4x ? x2 ? 9 ? (x ? 2)2 ,令 x ? 2 ? 3sin t, t ? ? ,则 dx ? 3costdt 。 2
★★4、求一个函数 f (x) ,满足 f ' (x) ? 1 ,且 f (0) ? 1。 1? x

思路:求出 1 的不定积分,由条件 f (0) ? 1确定出常数 C 的值即可。 1? x

解:

?

1 1?

x

dx

??

1 d (x ? 1) ?2 1 ? x ? C. 1? x

令 f (x) ? 2 1 ? x ? C ,又 f (0) ? 1,可知 C ? ?1,

? ? ★★★5、设 In ?

tann

xdx, ,求证:

In

?

1 tann?1 n ?1

x?

In-2 ,并求

tan5 xdx 。

思路:由目标式子可以看出应将被积函数 tann x 分开成 tann?2 x tan2 x ,进而写成:

tann?2 x(sec2 x ?1) ? tann?2 x sec2 x ? tann?2 x ,分项积分即可。

? ? ? ? 证明: In ? tann xdx ? (tann?2 x sec2 x ? tann?2 x)dx ? tann?2 x sec2 xdx ? tann?2 xdx

习题 4-3

1、 求下列不定积分:

知识点:基本的分部积分法的练习。

思路分析:严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序,越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分 部积分的练习。
? ★(1) arcsin xdx
思路:被积函数的形式看作 x0 arcsin x ,按照“反、对、幂、三、指”顺序,幂函数 x0 优先纳入到微分号下, 凑微分后仍为 dx 。

? ? ? 解: arcsin xdx ? x arcsin x ? x 1 dx ? x arcsin x ? 1 1 d (1? x2 )

1? x2

2 1? x2

? ★★(2) ln(1? x2 )dx

思路:同上题。

? ? ? 解: ln(1 ? x2 )dx ? x ln(1 ? x2 ) ? x 2x dx ? x ln(1 ? x2 ) ?

2x2 dx

1? x2

1? x2

? ★(3) arctan xdx

思路:同上题。

? ? ? 解:

arctan xdx ? x arctan x ?

x

1

dx ? x2

?

x arctan x ?

1 2

d (1? x2 ) 1? x2

? ★★(4) e?2x sin xdx 2

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? 解: e?2x sin xdx ? sin xd (? 1 e?2x ) ? ? 1 e?2x sin x ? 1 e?2x 1 cos x dx

2

22

2

22 2 2

? ★★(5) x2 arctan xdx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? 解:

x2 arctan xdx ?

arctan xd ( x3 ) ? 1 x3 arctan x ? 33

1 3

x3

1

1 ? x2

dx

x
? ★(6) x cos dx 2

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解:

?

x cos

xdx 2

?

2?

xd

sin

x 2

?

2x sin

x 2

?

2? sin

xdx 2

?

2x sin

x 2

?

4? sin

xd 2

x 2

? ★★(7) x tan2 xdx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解: ? x tan2 xdx ? ? x(sec2 x ?1)dx ? ? (xsec2 x ? x)dx ? ? xsec2 xdx ?? xdx ? ★★(8) ln2 xdx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? ? 解: ln2xdx ? x ln2 x ? x ? 2ln x ? 1dx ? x ln2 x ? 2 ln xdx ? x ln2 x ? 2x ln x ? 2 x ? 1 dx

x

x

? ★★(9) x ln(x ?1)dx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? 解: x ln(x ?1)dx ? ln(x ?1)d x2 ? 1 x2 ln(x ?1) ? 1 x2 dx

22

2 x ?1

ln2 x

? ★★(10)

dx

x2

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? ? 解:

ln2 x x2 dx ?

ln2 xd (? 1 ) ? ? 1 ln2 x ? xx

1 2 ln x ? 1 dx ? ? 1 ln2 x ? 2

x

x

x

ln x x2 dx

? ★★(11) cos ln xdx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解:

?

cos

ln

xdx

?

x

cos

ln

x

?

?

x

sin

ln

x

?

1dx x

?

x

cos

ln

x

?

?

sin

ln

xdx

ln x

? ★★(12)

dx

x2

思路:详见第(10)小题解答中间,解答略。

? ★★(13) xn ln xdx (n ? ?1)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? 解: xn ln xdx ? ln xd xn?1 ? 1 xn?1 ln x ? 1 xn?1 ? 1dx

n?1 n?1

n?1 x

? ★★(14) x2e?xdx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? 解: x2e?xdx ? ?x2e?x ? e?x 2xdx ? ?x2e?x ? 2xe?x ? 2 e?xdx ? ★★(15) x3 (ln x)2 dx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? 解: x3(ln x)2 dx ? (ln x)2d (1 x4 ) ? 1 x4 (ln x)2 ? 1 x4 ? 2 ln x ? 1 dx

44

4

x

? ★★(16) ln ln xdx x

思路:将积分表达式 ln ln x dx 写成 ln ln xd(ln x) ,将 ln x 看作一个整体变量积分即可。 x

解:

?

ln

ln x

x

dx

?

?

ln

ln

xd

(ln

x)

?

ln

x

ln

ln

x

?

?

ln

x

?

1 ln x

?

1 x

dx

?

ln

x

ln

ln

x

?

?

1 x

dx

? ★★★(17) x sin x cos xdx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解:

?

x

sin

x

cos

xdx

?

?

1 2

x

sin

2xdx

?

1 2

?

xd

(?

1 2

cos

2x)

?

?

1 4

x

cos

2x

?

1 4

?

cos

2xdx

? ★★(18) x2 cos2 x dx 2

思路:先将 cos2

x

1 ? cos x
降幂得

,然后分项积分;第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微

2

2

分即可。

? ? ? ? 解: x2 cos2 x dx ? (1 x2 ? 1 x2 cos x)dx ? 1 x2dx ? 1 x2 cos xdx

2

22

2

2

? ★★(19) (x2 ?1)sin 2xdx

思路:分项后对第一个积分分部积分。

解:

? (x2

? 1) sin

2xdx

?

?

x2

sin

2xdx

?

? sin

2xdx

?

?

x2d(?

1 2

cos

2x)

?

1 2

cos

2x

? ★★★(20) e3 x dx

思路:首先换元,后分部积分。

解:令 t ? 3 x ,则 x ? t3 , dx ? 3t 2dt,

? ★★★(21) (arcsin x)2dx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? 解: (arcsin x)2dx ? x(arcsin x)2 ? x ? 2 arcsin xdx
1? x2

? ? x(arcsin x)2 ? 2 1 ? x2 arcsin x ? 2 1? x2 ? 1 dx
1? x2

★★★

? ? x(arcsin x)2 ? 2 1 ? x2 arcsin x ? 2 dx ? x(arcsin x)2 ? 2 1 ? x2 arcsin x ? 2x ? C.

? (22) ex sin2 xdx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解:方法一:

方法二:

? ★★★(23) ln(1 ? x)dx
x

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解:

?

ln(1? x

x)dx

?

?

ln(1

?

x)d

(2

x )=2

x

ln(1?

x)

?

?

2 1?

x x

dx

令 t ? x ,则 dx ? 2tdt,

? 所以原积分 ln(1 ? x)dx ? 2 x ln(1 ? x) ? 4 x ? 4 arctan x ? C 。
x

ln(1 ? ex )

? ★★★(24)

dx ex

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? 解:

ln(1? ex ) ex dx ?

ln(1? ex )d (?e?x ) ? ?e?x ln(1? ex ) ?

e?

x

1

e ?

x
e

x

dx

1
? 注:该题中 1? ex dx 的其他计算方法可参照习题 4-2,2(33)。
1? x
? ★★★(25) x ln dx 1? x

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? 解:

x ln 1? xdx ? 1? x

ln 1? x d (1 x2 ) ? 1 x2 ln 1? x ? 1 1? x 2 2 1? x 2

x2 1? x ?1? x ?1? x dx 1? x (1? x)2

? ? 注:该题也可以化为 x ln 1? xdx ? x[ln(1? x) ? ln(1? x)]dx 再利用分部积分法计算。 1? x dx
? ★★★(26) sin 2x cos x

思路:将被积表达式

dx sin 2x cos

x

写成

2 sin

dx x cos2

x

?

sec2 xdx 2sin x

?

d tan x 2sin x

,然后分部积分即可。

解:

?

dx sin 2x cos

x

?

?

2 sin

dx x cos2

x

?

?

sec2 xdx 2sin x

?

?

d tan x 2sin x

2、 用列表法求下列不定积分。

知识点:仍是分部积分法的练习。

思路分析:审题看看是否需要分项,是否需要分部积分,是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍然用一般 方法解出,不用列表法。
? ★(1) xe3xdx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? ? 解: xe3xdx ? xd (1 e3x ) ? 1 xe3x ? 1 e3xdx ? 1 xe3x ? 1 e3xd3x ? 1 (x ? 1)e3x ? C.

3

3

3

3

9

33

? ★(2) (x ?1)exdx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
? ? ? 解: (x ?1)exdx ? (x ?1)dex ? (x ?1)ex ? exdx ? xex ? C 。 ? ★(3) x2 cos xdx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
? ? ? ? 解: x2 cos xdx ? x2d sin x ? x2 sin x ? 2 x sin xdx ? x2 sin x ? 2 xd cos x ? ★(4) (x2 ?1)e?xdx

思路:分项后分部积分即可。
? ? ? ? ? 解: (x2 ?1)e?xdx ? x2e?xdx ? e?xdx ? x2d(?e?x ) ? e?xdx ? ★(5) x ln(x ?1)dx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? 解: x ln(x ?1)dx ? ln(x ?1)d (1 x2 ) ? 1 x2 ln(x ?1) - 1 x2 dx

2

2

2 x ?1

? ★(6) e?x cos xdx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? ? ? 解: e?x cos xdx ? cos xd(?e?x ) ? ?e?x cos x ? e?x sin xdx ? ★3、已知 sin x 是 f (x) 的原函数,求 xf ?(x)dx 。
x

知识点:考察原函数的定义及分部积分法的练习。

? 思路分析:积分 xf ?(x)dx 中出现了 f ?(x) ,应马上知道积分应使用分部积分,条件告诉你 sin x 是 f (x) x
? 的原函数,应该知道 f (x)dx ? sin x ? C. x

解: ? xf ?(x)dx ? ? xd(f (x))=xf (x) ? ? f (x)dx

? 又

f

(x)dx

?

sin x

x

? C,?

f

(x)

?

x cos x ? sin x2

x

,? xf

(x)

?

x cos x ? sin x

x;

? ★★4、已知 f (x)= ex ,求 xf ??(x)dx 。 x

知识点:仍然是分部积分法的练习。

? 思路分析:积分 xf ??(x)dx 中出现了 f ??(x ),应马上知道积分应使用分部积分。

解: ? xf ??(x)dx ? ? xd( f ?(x)) ? xf ?(x) ? ? f ?(x)dx ?xf ?(x) ? f (x) ? C.

又 f (x)= ex ,? f ?(x)= xex ? ex ? ex (x ?1) ,? xf ?(x)= ex (x ?1) ;

x

x2

x2

x

? ★★★★5、设 In ?

dx sin n

x

, (n

?

2)

;证明:

In

?

?

1? n ?1

cos x sinn?1 x

?

n?2 n ?1

In?2



知识点:仍然是分部积分法的练习。

思路分析:要证明的目标表达式中出现了

In



cos x sinn?1 x



In?2

提示我们如何在被积函数的表达式

1 sinn

x

中变

cos x

1

出 sinn?1 x 和 sinn?2 x 呢?这里涉及到三角函数中1的变形应用,初等数学中有过专门的介绍,这里1可变为

sin2 x ? cos2 x 。

证明: 1=sin2 x ? cos2 x

dx

sin2 x ? cos2 x

cos2 x

sin2 x

cos2 x

1

? ? ? ? ? ? ?In ?

? sinn x

sinn x

dx ?

dx ? sinn x

dx ? sinn x

dx ? sinn x

sin n ?2

dx x

? ? ?

cos2 sin n

xdx x

?

In?2

?

cos sin n

xd x

sin

x

?

I

n?2

? ? cos x sin x ? sinn x

sin

x

?

?

sin

x

?

sin n

x?n sin 2 n

sin n ?1 x

x

cos2

xdx

?

In?2

? ? ?

cos x sinn-1 x

?

In?2

?

n

cos2 sin n

xdx x

?

In?2

?

cos x sinn?1 x

?

In?2

?

n

1

? sin sin n

2
x

xdx

?

I

n?2

★★★★

cos x

cos x

? sinn?1 x ? In?2 ? nIn ? nIn?2 ? In?2 ? sinn?1 x ? nIn ? (n ? 2)In?2

?In

?

?

1? n ?1

cos x sinn?1 x

?

n?2 n ?1

In?2

.

? 6、设 f(x)为单调连续函数, f -1(x)为其反函数,且 f (x)dx ? F(x) ? C ,

? 求: f ?1(x)dx 。

知识点:本题考察了一对互为反函数的函数间的关系,还有就是分部积分法的练习。

思路分析:要明白 x ? f ( f ?1(x)) 这一恒等式,在分部积分过程中适时替换。
? ? 解: f -1(x)dx=x f -1(x)- xd(f -1(x))
又 x ? f ( f ?1(x))

又 ? f (x)dx ? F(x) ? C

习题 4-4 1、 求下列不定积分 知识点:有理函数积分法的练习。

思路分析:被积函数为有理函数的形式时,要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式,若是假分式,通常将

被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后再具体问题具体分析。

? ★(1)

x3 dx

x?3

思路:被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分。

解: x3 ? x3 ? 27 ? 27 ? x2 ? 3x ? 9 ? 27

x?3

x?3

x?3

? ★★★(2)

x5 ? x4 ? 8 x3 ? x dx

思路:被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分。

解:

x5 ? x4 ? 8 ? (x5 ? x3) ? (x4 ? x2) ? (x3 ? x) ? x2 ? x ? 8 ? x2 ? x ?1? x2 ? x ? 8 ,

x3 ? x

x3 ? x

x3 ? x

而 x3 ? x ? x(x ? 1)(x ?1),

令 x2 ? x ? 8 ? A ? B ? C ,等式右边通分后比较两边分子 x 的同次项的系数得: x3 ? x x x ?1 x ?1

?A? B?C ?1

? A?8

? ?

C ?B ?1

解此方程组得:

? ?

B

?

?4

?? A ? 8

??C ? ?3

? ★★★(3)

3 x3 ?

dx 1

思路:将被积函数裂项后分项积分。

解: x3 ? 1 ? (x ? 1)(x2 ? x ? 1) ,令 3 ? A ? Bx ? C 等式右边通分后比较两边分子 x 的同 x3 ?1 x ?1 x2 ? x ?1
次项的系数得:

? A+B=0

? A?1

??B+C-A=0 解此方程组得: ??B ? ?1

?? A+C=3

?? C ? 2

? ★★★(4) x ? 1 dx
(x ?1)3

思路:将被积函数裂项后分项积分。

解:令

(

x ?1 x ?1)3

?

A? x ?1

B (x ?1)2

?

C (x ?1)3

,等式右边通分后比较两边分子 x 的同次项的系数得:

A ? 0, B ? 2A ? 1, A ? B ? C ? 1,解此方程组得: A ? 0, B ? 1, C ? 2 。
? ★★★(5) 3x ? 2 dx
x(x ? 1)3

思路:将被积函数裂项后分项积分。

解:

3x ? 2 ? 3 ? 2 ,令 2 ? A ? B ? C ? D x(x ? 1)3 (x ? 1)3 x(x ? 1)3 x(x ? 1)3 x x ? 1 (x ? 1)2 (x ? 1)3

等式右边通分后比较两边分子 x 的同次项的系数得:

? A?B ?0

? A?2

?? 3A ? 2B ? C ? 0 ??3A ? B ? C ? D ?

0

解此方程组得:

?? B ??C

? ?

?2 ?2



??

A?2

??D ? ?2

? ★★★(6)

xdx

(x ? 2)(x ? 3)2

思路:将被积函数裂项后分项积分。

解:

x

? x?2?2 ?

x?2

?

2

(x ? 2)(x ? 3)2 (x ? 2)(x ? 3)2 (x ? 2)(x ? 3)2 (x ? 2)(x ? 3)2

?

1 (x ? 3)2

?

(

x

?

2 2)( x

?

3)2

;令

2

(x ? 2)(x ? 3)2

?

A? x?2

x

B ?

3

?

(

x

C ? 3)2

,等式右边通分后比

较两边分子 x 的同次项的系数得:

? A?B ?0

? A?2

? ?

6A ? 5B ? C

?0

解此方程组得:

? ?

B

?

?2

??9A ? 6B ? 2C ? 2

??C ? ?2

?

2

(x ? 2)(x ? 3)2

? 2?2? 2 x ? 2 x ? 3 (x ? 3)2

? ★★★(7) 3x dx x3 ?1

思路:将被积函数裂项后分项积分。

解: 3x ? 3(x ?1) ? 3 ? 3 ? 3

x3 ?1

x3 ?1

x2 ? x ?1 x3 ?1

3

A Bx ? C



??

,等式右边通分后比较两边分子 x 的同次项的系数得:

x3 ?1 x ?1 x2 ? x ?1

? A?B ?0

? A?1

? ?

A

?

B

?

C

?

0

解此方程组得:

? ?

B

?

?1

?? A ? C ? 3

??C ? ?2



x?2 x2 ? x ?1

?

1 (2x ?1) ? 3

2

2

x2 ? x ?1

?

1 (2x ?1)

2 x2

?

x

?1

?

x2

3
2 ? x ?1

?

1 (2x ?1)

2 x2

?

x

?

1

?

x2

3
2 ? x?1

? ★★★(8)

1? x ? x2 dx

(x2 ? 1)2

思路:将被积函数裂项后分项积分。

解:

1? x ? x2 (x2 ?1)2

?

?

1 x2 ?

1

?

(

x2

x ? 1)2

?

(

x2

2 ?

1)2

? ? 又由分部积分法可知: 2

dx ? x ? (x2 ?1)2 x2 ?1

x

1 2?

1

dx

? ★★★(9)

xdx

(x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)

思路:将被积函数裂项后分项积分。

解:

x

?

x?3?3

?

1

?

3

(x ?1)(x ? 2)(x ? 3) (x ?1)(x ? 2)(x ? 3) (x ?1)(x ? 2) (x ?1)(x ? 2)(x ? 3)



3

? A? B ?C,

(x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) x ? 1 x ? 2 x ? 3

等式右边通分后比较两边分子 x 的同次项的系数得:

? ??5

A?B?C ? A ? 4B ? 3C

0 ?

0

解之得:

? ?

A

?

? ?B ?

3 2 ?3

??6A ? 3B ? 2C ? 3

? ?C

?

3

3

3

?

3

?2? 3? 2

(x ?1)(x ? 2)(x ? 3) x ?1 x ? 2 x ? 3

?2



1

? 1? 1

(x ? 1)(x ? 2) x ? 1 x ? 2

? ★★★(10)

x2 ?1 dx

(x ?1)2 (x ?1)

思路:将被积函数裂项后分项积分。

解:

x2 ?1 ? x2 ?1? 2 ? 1 ?

2

(x ?1)2 (x ?1) (x ?1)2 (x ?1) x ?1 (x ?1)2 (x ?1)



2

? A ? B ? C ,等式右边通分后比较两边分子 x 的同次项的系数得:

(x ? 1)2 (x ?1) x ?1 x ? 1 (x ? 1)2

A ? B ? 0, 2A ? C ? 0, A ? B ? C ? 2 ;解之得: A ? 1 , B ? ? 1 , C ? ?1。

2

2

? ★★★(11)

1 dx

x(x2 ? 1)

思路:将被积函数裂项后分项积分。

解:令

x(

1 x2

?

1)

?

A? x

Bx ? C x2 ?1

,等式右边通分后比较两边分子 x 的同次项的系数得:

?A? B ? 0

? A?1

? ?

C ?0

?? A ? 1

解之得: ??B ? ?1 ?? C ? 0

? 1 ?1? x x(x2 ?1) x x2 ?1

? ★★★(12)

dx

(x2 ? x)(x2 ? 1)

思路:将被积函数裂项后分项积分。

解:

(x2

?

1 x)( x 2

? 1)

?

x(x

1 ? 1)(x2

? 1)

1

A B Cx ? D



?? ?

,等式右边通分后比较两边分子 x 的同次项的系数得:

(x2 ? x)(x2 ? 1) x x ? 1 x2 ? 1

A ? B ? C ? 0, A ? C ? D ? 0, A ? B ? D ? 0, A ? 1,解之得:
? ★★★★★(13) dx x4 ?1
思路:将被积函数裂项后分项积分。

解: x4 ? 1 ? (x2 ? 1 ? 2x)(x2 ? 1 ? 2x)

1

Ax ? B

Cx ? D



?

?

,等式右边通分后比较两边分子 x 的同次项的系数得:

x4 ?1 x2 ?1? 2x x2 ?1? 2x

? ? ? ?

2A

?

A B

? ?

C?0 2C ?

D

?

0

解之得:

? ? ? ? ?? ?

A? B

? ?

2 4 1 2

?A ? 2B ? C ? 2D ? 0

??

B?D ?1

?
?
?
? ??

C? D?

2 4 1 2

注:由导数的性质可证 arctan( 2x ? 1) ? arctan( 2x ?1) ? arctan 2x 1? x2
本题的另一种解法:

注:由导数的性质可证 arctan x2 ?1 ? ? ? arctan

2x


2x 2

1? x2

? ★★★★★(14)

?x2 ? 2 dx

(x2 ? x ? 1)2

思路:将被积函数裂项后分项积分。

解: ?x2 ? 2 ? ? x2 ? x ?1? x ?1

(x2 ? x ?1)2

(x2 ? x ?1)2

? ? 3


1

dx ? 1 2x ? 1 ?

dx

2 (x2 ? x ? 1)2

2 x2 ? x ?1 x2 ? x ?1

注:本题再推到过程中用到如下性质:(本性质可由分部积分法导出。)

dx
? 若记 In ? (x2 ? a2 )n ,其中 n 为正整数, a ? 0 ,则必有:

In

?

1 2a2 (n

?1) [(x2

x ? a2 )n?1

?

(2n

? 3)In?1] 。

2、 求下列不定积分

知识点:三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习。

思路分析:求这两种积分的基本思路都是通过适当的变换化为有理函数积分去完成。

? ★★(1)

dx

3 ? sin2 x

思路:分子分母同除以sin2 x 变为 csc2 x 后凑微分。

? ? ? ? 解:

dx ? 3 ? sin2 x

csc2 xdx ? ? d cot x ? ? 3 3csc2 x ? 1 3cot2 x ? 4 6

d ( 3 cot x) 2
( 3 cot x)2 ? 1

2

? ★★(2)

dx

3 ? cos x

思路:万能代换!

解:令

t

?

tan

x 2

,则

cos

x

?

1? 1?

t2 t2

,

dx

?

2dt 1? t2

;

注:另一种解法是:

? ★★(3)

dx

2 ? sin x

思路:万能代换!

解:令 t ? tan x ,则 sin x ? 2t , dx ? 2dt ;

2

1? t2

1? t2

? ★★(4)

dx

1 ? tan x

思路:利用变换 t ? tan x !(万能代换也可,但较繁!)

解:令

t

?

tan

x

,则

x

?

arctan

t,

dx

?

1

dt ?t

2

;

? ★★(5)

dx

1 ? sin x ? cos x

思路:万能代换!

解:令

t

?

tan

x 2

,则 sin

x

?

2t 1? t2

, cos

x

?

1? 1?

t2 t2

, dx

?

2dt 1? t2

;

? ★★(6)

dx

5 ? 2sin x ? cos x

思路:万能代换!

解:令 t ? tan x ,则 sin x ? 2t , cos x ? 1 ? t2 , dx ? 2dt ;

2

1? t2

1? t2

1? t2

d (3t ? 1)

? ? ? 而

dt ? 1 3t2 ? 2t ? 2 3

dt (t ? 1)2 ? (

?1

5 )2

5

5 ? 1 arctan(3t ? 1) ? C

(3t ? 1)2 ? 1 5

5

3

3

5

? ★★★★(7)

dx

(5 ? 4sin x) cos x

思路一:万能代换!

解:令

t

?

tan

x 2

,则 sin

x

?

2t 1? t2

, cos

x

?

1? 1?

t2 t2

, dx

?

2dt 1? t2

;

4

4



?



(5t2 ? 8t ? 5)(t2 ?1) (5t2 ? 8t ? 5)(t ?1)(t ? 1)



4

? At ? B ? C ? D ,等式右边通分后比较两边分子 t 的同次项的

(5t2 ? 8t ? 5)(t ?1)(t ? 1) 5t2 ? 8t ? 5 t ?1 t ? 1

系数得:

? A ? 5C ? 5D ? 0 ?? B ? 13C ? 3D ? 0 ??? A ? 13C ? 3D ? 0

解之得:

???A= ? ?B=

5 2 7

,

?? B ? 5C ? 5D ? 4

?? 8

? ??

C

?1 16

? ???D

?

?

9 16

;

? 1 ? 1 ? 9 ? 1 ? 1 ? 10t ? 8 ? 9 ? 1 16 t ?1 16 t ?1 4 5t2 ? 8t ? 5 8 5t2 ? 8t ? 5

?

(5

?

dx 4sin x) cos

x

?

(? 1 16

?

t

1 ?1

?

9 16

?

t

1 ?1

?

1 4

?

10t ? 8 5t 2 ? 8t ?

5

?

7 8

?

5t 2

1 ? 8t

?

)dt 5

??

(5

?

dx 4sin x)

cos

x

?

?1 16

?

t

1 ?1

dt

?

9 16

?

t

1 ?1

dt

?

1 4

?

10t ? 8 5t2 ? 8t ?

5

dt

?

7 8

?

5t 2

1 ? 8t

?

5

dt

? ? 1 ln t ?1 ? 9 ln t ?1 ? 1 ln(5t2 ? 8t ? 5) ? 7 arctan(5t ? 4) ? C

16

16

4

24

3

??

1

ln

tan

x ?1 ?

9

ln

tan

x ?1 ? 1 ln(5 tan2

x ? 8 tan x ? 5) ?

7

5 tan x ? 4 arctan( 2 ) ? C

16

2 16

24

2

2

24

3

思路二:利用代换 t ? sin x !

解:令

t

?

sin

x,x

<

? 2

,则

dx

?

dt , cos x ? 1? t2

1? t2



(5

?

1 4t )(t 2

?1)

?

5

A ? 4t

?

t

B ?1

?

t

C ?1

,等式右边通分后比较两边分子 t 的同次项的系数得:

? A ? 4B ? 4C ? 0

? ? ?

A

?

16 9

? ? ???

9B ? C A ? 5B ?

?0 5C

?

1

解之得:

? ?

B

?

??? C

? ?

1 18 ?1
2

?

(5

?

1 4t )(t 2

?1)

?

16 9

?

5

1 ? 4t

?

1 18

?

t

1 ?1

?

1 2

?

t

1 ?1

注:比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单!

? ★★★★(8)

1 ? sin x dx

(1 ? cos x) sin x

思路:将被积函数分项得,对两个不定积分分别利用代换 t ? cos x 和万能代换!

解:

1 ? sin x ?

1

?1

(1 ? cos x) sin x (1 ? cos x) sin x 1 ? cos x

? 对积分

1

dx ,令 t ? cos x, x ? (0,? ) ,则 dx ? ? dt ,sin x ? 1 ? t2 ;

(1 ? cos x) sin x

1? t2



1

? A ? B ? C ,等式右边通分后比较两边分子 t 的同次项的系数得:

(1 ? t)2 (t ?1) t ?1 1 ? t (1 ? t)2

? A?B ?0

? ? ?

A?

1 4

? ? ??

2A?C ? 0 A?B?C ?1

解之得:

??B ? ??? C

? ?

? ?

1 4 1 2

?

1

?1? 1 ?1? 1 ?1? 1

(1 ? t)2 (t ?1) 4 t ?1 4 1 ? t 2 (1 ? t)2

? 对积分

1?

1 cos

x

dx

,令

t

?

tan

x 2

,

c

os

x

?

1? 1?

t2 t2

,

dx

?

2dt 1? t2

? ★★(9)

dx

1? 3 x ?1

思路:变无理式为有理式,变量替换 t ? 3 1? x 。 解:令 t ? 3 1? x,则1? x ? t3, dx ? 3t 2dt;

? ★★(10) 1 ? ( x)3 dx 1? x 思路:变无理式为有理式,变量替换 t ? x 。 解:令 t ? x,x ? t 2 , dx ? 2tdt;

? ★★(11) x ?1 ?1dx 1? x ?1 思路:变无理式为有理式,变量替换 t ? x ?1 。

解:令 t ? x ?1,则x ?1 ? t2 , dx ? 2tdt;

?

?

1

x ?

?1 ?1dx x ?1

?

?

t ?12tdt 1? t

?

2?

t2 ?t 1? t

dt

?

2?

t2 ?t dt
1? t

?

2?

(t

?

2

?

2 1?

t

)dt

★★★

?

2?

tdt

?

4?

dt

?

4?

1 1?

t

dt

?

t

2

?

4t

?

4

ln

t

?

1

?

C

?

x

?

4

x ?1 ? 4 ln(

x ?1 ?1) ? C

? (12)

dx

4x? x

思路:变无理式为有理式,变量替换 t ? 8 x 。

解:令 t ? 8 x, x ? t8, dx ? 8t7dt;

? ★★★(13)

x3dx 1? x2

思路:变无理式为有理式,三角换元。
解:令 x ? tan t, t ? ? ,则dx ? sec2 tdt. 2
? ★★★(14) a ? x dx
a?x

a?x

a?x

思路:将被积函数

变形为

后,三角换元。

a?x

a2 ? x2

解:令 x ? a sin t, t ? ? ; 则 dx ? a costdt ; 2

注:另一种解法,分项后凑微分。

? ★★★(15)

dx

3 (x ? 1)2 (x ?1)4

思路:换元。

解:令

x x

?1 ?1

?

t

,则

?2 (x ?1)2

dx

?

dt.

总习题四
★1、设 f (x) 的一个原函数是 e?2x ,则 f (x) ? ( ). (A) e?2x (B)-2 e?2x (C)-4 e?2x (D)4 e?2x

知识点:原函数的定义考察。

思路分析:略。

解:(B)。
? ? ★2、设 xf (x)dx ? arcsin x ? C ,则 dx ? 。 f (x)

知识点:原函数的定义性质考察。

思路分析:对条件两边求导数后解出 f (x) 后代入到要求的表达式中,积分即可。

? 解:对式子 xf (x)dx ? arcsin x ? C 两边求导数得:

? ★★3、设

f

(x2

? 1)

?

ln

x2 x2 ?

2

,且

f

(?(x))

?

ln

x

,求

?(x)dx 。

知识点:函数的定义考察。

思路分析:求出 f (x) 后解得?(x) ,积分即可。

解:

f (x2 ?1) ? ln x2 ? ln x2 ?1 ? 1,? f (t) ? ln t ? 1,? f (?(x)) ? ln ?(x) ? 1,

x2 ? 2 x2 ?1?1

t ?1

?(x) ?1

又 f (?(x)) ? ln x,? ?(x) ? 1 =x,??(x) ? x ? 1;

?(x) ?1

x ?1

★★★4、设 F(x) 为 f (x) 的原函数,当 x>0 时,有 f (x)F(x) ? sin2 2x ,且 F (0) ? 1, F (x) ? 0 试求 f (x) 。

知识点:原函数的定义性质考察。

思路分析:注意到 dF(x) ? f (x)dx ,先求出 F(x) ,再求 f (x) 即可。

? ? 解: f (x)F(x) ? sin2 2x;? f (x)F(x)dx ? sin2 2xdx ? ? ? 即 F(x)dF(x) ? sin2 2xdx, ? 1 (F(x))2 ? sin2 2xdx,
2 又 F(0) ? 1,?C ? 1;?(F(x))2 ? x ? 1 sin 4x ?1;(x ? 0.)
4
又 F (x) ? 0,? F (x) ? x ? 1 sin 4x ? 1, 4

又 f (x)F(x) ? sin2 2x,? f (x) ?

sin2 2x



x ? 1 sin 4x ?1 4

5、求下列不定积分。

知识点:求不定积分的综合考察。

思路分析:具体问题具体分析。

? ★★(1) x 2 ? 5xdx

思路:变无理式为有理式,变量替换 t ? 2 ? 5x 。

解:令 t ?

2 ? t2

2t

2 ? 5x ,则 x ?

, dx ? ? dt,

5

5

? ★(2)

dx (x ? 1)

x x2 ?1

思路:变无理式为有理式,变量替换 x ? sect 。

解:令 x ? sect, 0 ? t ? ? ,则 dx ? sect tan tdt 。 2

? ★★★(3)

9

2
x

x3x ?4

x

dx

2x3x 思路:将被积函数 9x ? 4x

2x 变为 3x
1? (2x )2

(2)x =3
1 ? [( 2)x ]2

后换元或凑微分。

3x

3

解:令 t ? ( 2)x ,则 dt ? ( 2)x ln 2 dx 。

3

33

? ★★(4)

x2 dx(a ? 0)

a6 ? x6

思路:凑微分。

? ? ? 解:

a6

x2 ?

x6

dx

?

1 3

a6

1 ?

x6 dx3

?

1 3

a6

1 ? (x3 )2

dx3 ,令t

?

x3 ,

? ★★(5)

dx x(1? x)

思路:将被积函数进行配方后换元或先凑微分再换元。

? ? 解:方法一:

dx ? x(1 ? x)

dx (x ? 1)2 ? (1)2

22

令 x ? 1 ? 1 sect, 0 ? t ? ? , ,则 dx ? 1 sect tan tdt;

22

2

2

方法二:

?

dx x(1 ? x)

? 2?

dx 1? x

? 2?

dx 1? ( x)2

令t ?

x,? ?

dx x(1 ?

x)

?

2?

dt ; 1? t2

再令 t ? tan z, z ? ? ,则 dt ? sec2 zdz, 2

? ★★★(6)

dx

x(2 ? x10 )

思路:倒代换!

解:令

x

?

1,,则 t

dx

?

?

1 t2

dt,

? ★★★★(7) 7 cos x ? 3sin x dx 5cos x ? 2sin x

思路:大凡被积函数的分子分母皆为同一个角的正余弦函数的线性组合的形式的积分,一般思路是将被积函数的 分子写成分母和分母的导数的线性组合的形式,然后分项分别积分即可。
解: 7 cos x ? 3sin x ? 5cos x ? 2sin x ? (5cos x ? 2sin x)?

? ★★★★(8) ex (1 ? sin x)dx
1 ? cos x

思路:分项积分后对前一积分采用分部积分,后一积分不动。

? ? ? 解: ex (1 ? sin x)dx ? ( ex ? ex sin x )dx ? ( ex ? ex tan x )dx

1 ? cos x

1 ? cos x 1 ? cos x

2 cos2 x

2

2

? ★★★★6、求不定积分:

[

f (x)

?

f

2 (x) f ??(x) ]dx

f ?(x) f ?3 (x)

知识点:分部积分法考察兼顾凑微分的灵活性。

思路分析:分项后,第二个积分显然可凑现成的微分,分部积分第二个积分,第一个积分不动,合并同种积分,

出现循环后解出加一个任意常数即可。

? ? ? 解: [ f (x) ? f 2 (x) f ??(x)]dx ? f (x) dx ? f 2 (x) f ??(x)dx

f ?(x) f ?3 (x)

f ?(x)

f ?3 (x)

? ? ? 而 f 2 (x) f ??(x)dx ? f 2 (x) df ?(x) ? f 2 (x) f ?(x) ? f ?(x)d ( f 2 (x) )

f ?3 (x)

f ?3 (x)

f ?3(x)

f ?3(x)

? ? ★★★★7、设 In ?

tann xdx,(n

? 1) ,求证: In

?

1 tann?1 n ?1

x ? In?2,,并求

tan5 xdx 。

知识点:分部积分法考察,三角恒等式的应用,凑微分等。

思路分析:由要证明的目标式子可知,应将 tann x 分解成 tann?2 x tan2 x ,进而写成

tann?2 x(sec2 x ? 1) ,分部积分后即可得到 In?2 。

? ? ? 证明: In ? tann xdx ? tann?2 x tan2 xdx ? tann?2 x(sec2 x ?1)dx

? ? ?

tann?2 xd tan x ?

tann?2 xdx

?

1 tann?1 n ?1

x

?

In?2 。

? ★★★8、 1 ? x dx ? (B).
1? x

思路:化无理式为有理式,三交换元。

解: 1 ? x ? 1 ? x ,令 x ? sin t, t ? ? ,则 dx ? costdt 。

1? x 1? x2

2

? ★★★9、设不定积分I1 ?

1? x(1 ?

x xex

dx )

,若

u

?

xex

,则有

(D)



思路: u=xex ,提示我们将被积函数的分子分母同乘以 e x 后再积分。

? ? 解:

I1 ?

1? x(1 ?

x xex

dx )

?

ex (1 ? x) ex x(1 ? xex

dx )

又 du ? (ex ? xex )dx ? ex (1 ? x)dx;

? ?I1 ?

du u(1 ? u) ? I2 , 选 (D) 。

10、求下列不定积分:

知识点:求无理函数的不定积分的综合考察。

思路分析:基本思路——将被积函数化为有理式。

? ★★★★(1)、

dx .

x 1? x4

思路:先进行倒代换,在进行三角换元。

解:令 x ? 1 ,则 dx ? ? 1 dt 。

t

t2

令 t2 ? tan u, 0 ? u ? ? ,则 dt2 ? sec2 udu 。 2

x ?1

? ★★★(2)、

dx.

x2 x2 ?1

思路:进行三角换元,化无理式为有理式。

? 解:令 x ? sect, 0 ? t ? ,则 dx ? sect tan tdt,
2

注: (arccos 1)? ? (? arcsin 1)?

x

x

x?2

? ★★★(3)、

dx.

x2 1? x2

思路:进行三角换元,化无理式为有理式。

解:令 x ? sin t, 0 ? t ? ? ,则 dx ? costdt; 2

? ★★★★★(4)、

dx

.

(1 ? x2 ) 1 ? x2

思路:进行三角换元,化无理式为有理式。

解:令 x ? sin t, 0 ? t ? ? ,则 dx ? costdt; 2

? ★★★(5)、

dx .

x 4 ? x2

思路:进行三角换元,化无理式为有理式。
解:令 x ? 2sin t, 0 ? t ? ? ,则 dx ? 2costdt; 2
11、求下列不定积分:
知识点:较复杂的分部积分法的考察。

思路分析:基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分。

? ★★★(1)、 ln(x ? 1 ? x2 )dx
思路:分部积分。

? ? 解: ln(x ? 1 ? x2 )dx ? x ln(x ? 1 ? x2 ) ?

x (1 ? x )dx

x ? 1? x2

1? x2

? ★★(2)、 ln(1? x2 )dx

思路:分部积分。

? ? ? 解:

ln(1 ? x2 )dx ? x ln(1 ? x2 ) ?

2x2 dx ? x ln(1 ? x2 ) ? 1? x2

2(x2 ? 1) ? 2 dx
1? x2

? ? ? x ln(1? x2 ) ? 2 dx ?2 1 dx ? x ln(1? x2 ) ? 2x ? 2arctan x ? C 。 1? x2

? ★★★★(3)、 x tan x sec4 xdx

思路:分部积分。

? ? ? 解: x tan xsec4xdx ? x sec3xd sec x ? x sec4 x ? sec x(sec3 x

x2

? ★★★(4)、

arctan xdx

1? x2

思路:分项后分部积分。

x2

x2 ?1?1

1

? ? 解:

arctan xdx ?

1? x2

1? x2

arctan xdx ? ? arctan xdx ?? 1 ? x2 arctan xdx

ln(1 ? x2 )

? ★★★★(5)、

x3

dx

思路:分部积分后倒代换。

? ? ? 解: ln(1 ? x2 )dx ? ln(1 ? x2 )d (? 1 x?2 ) ? ? 1 x?2 ln(1 ? x2 ) ? 1

x?2 2xdx

x3

2

2

2 1? x2

? 对于积分

dx x(1 ? x2 )

应用倒代换,令

x

?

1 ,则 dx t

?

?1 t2

dt



? ★★★(6)、

x dx

1 ? cos x

思路:将被积函数变形后分部积分。

x
解: ? 1? cos

dx x

?

?

x 2 cos2

dx x

?

1 2

?

x sec2

x 2

dx

??

x sec2

x 2

d

x 2

??

xd

tan

x 2

2

?

x tan

x 2

? ln

1? cos x 2

?C

?

x tan

x ? ln 1? cos x 2

? C1 。

? ★★★12、求不定积分: In ? xnex dx, n 为自然数。

知识点:较复杂的分部积分法的考察。

思路分析:基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分,推一个递推关系式。

解: I1 ? xex ? x ? C
? ★★★13、求不定积分: (x2 ? 2x ? 3) cos 2xdx.

知识点:较复杂的分部积分法的考察。

思路分析:基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分,分项后分别积分。
解: ? (x2 ? 2x ? 3)cos 2xdx ? ? x2 cos 2xdx ? 2? x cos 2xdx ? 3? cos 2xdx
14、求下列不定积分: 知识点:求解较复杂的有理函数和无理函数的不定积分。

思路分析:基本思路——有理式分项、无理式化为有理式。

? x11dx
★★★★(1)、
x8 ? 3x4 ? 2

思路:将被积函数化为一个整式加上一个真分式的形式,然后积分。

? ? ? ? 解:

x8

x11dx ? 3x4 ?

2

?

(x3

?

3x7 x8 ?

?2 3x4

x3 ?

2

)dx

?

x3dx ?

3x7 x8 ?

?2 3x4

x3 ?

dx 2

? ★★★★(2)、

1? x8 x(1? x8

dx )

思路:将被积函数化为一个整式加上一个真分式的形式,然后积分。

? ? ? ? ? 解: 1? x8 dx ?

dx ?

x8 dx ?

dx ? x7 dx

x(1? x8 )

x(1? x8 ) x(1 ? x8 )

x(1 ? x8 ) 1 ? x8

?对

dx x(1 ? x8

)

采用倒代换,令

x

?

1 t

,则

dx

?

?

1 t2

dt



? ? 而

x7 1? x8

dx

?

1 8

dx8 1? x8

?

1 8

ln(1

?

x8

)

?

C2

;

? ★★★★(3)、 x(3x??22x)1?001dx

思路:将被积函数分项后分部积分。

解: x3 ? 2x ? 1 ? (x ? 2)3 ? 6(x ? 2)2 ? 10(x ? 2) ? 5;

x

? ★★★(4)、

dx

(x2 ? 1)(x2 ? 4)

思路:将被积函数裂项分项后积分。

? ? ? ? 解:

(x2

x ? 1)( x 2

?

dx 4)

?

1 2

(x2

dx2 ? 1)( x 2

?

4)

?

1 6

[

dx2 x2 ?

1

?

dx2 x2 ? 4]

?

1 6

ln

x2 x2

?1 ?4

?

C.

dx
? ★★★★(5)、
(x2 ? 1)(x2 ? x ? 1)

思路:将被积函数分项后积分。

解:令

1

? Ax ? B ? Cx ? D ,等式右边通分后比较等式两边分子上 x 的同次幂项的

(x2 ? 1)(x2 ? x ? 1) x2 ? 1 x2 ? x ? 1

系数得: A ? C ? 0, A ? B ? D ? 0, A ? B ? C ? 0, B ? D ? 1;

解之得: A ? ?1, B ? 0,C ? D ? 1.

?

1

? ?x ? x ?1

(x2 ? 1)(x2 ? x ? 1) x2 ? 1 x2 ? x ? 1

? ? ? ? ? ?

dx

? ? x dx ? x ? 1 dx ? ? 1 dx2 dx ? 1 2x ? 2 dx

(x2 ? 1)(x2 ? x ? 1)

x2 ?1

x2 ? x ?1

2 x2 ?1 2 x2 ? x ?1

? ? ? ? ? ? 1 dx2 dx ? 1 2x ?1 dx ? 1

dx

? ? 1 ln(x2 ? 1) ? 1

d (x2 ? x ?1) ★★★

2 x2 ?1 2 x2 ? x ?1 2 x2 ? x ?1 2

2 x2 ? x ?1

2x ?1

d( )

? ? ? 1

dx

? ? 1 ln(x2 ? 1) ? 1 ln(x2 ? x ? 1) ? 1

3

2 (x ? 1)2 ? 3 2

2

3 ( 2x ? 1)2 ? 1

24

3

? ? 1 ln(x2 ? 1) ? 1 ln(x2 ? x ? 1) ? 1 arctan( 2x ? 1) ? C.

2

2

3

3

? (6)、

3 x dx

x( x ? 3 x)

思路:化无理式为有理式,第二类换元法。该题中欲同时去掉 3 x , x ,应令 t ? 6 x 。

解:令 t ? 6 x ,则 dx ? 6t5dt;

x(x ?1)

? ★★★★(7)、

dx

x ? x ?1

思路:分母有理化,换元。

x(x ?1)

解: ?

x?

x

?

dx 1

?

?

x(x ?1)( x ?1 ?

x)dx ? ? (x ?1) xdx ? ? x

x ?1dx

? 对于积分 (x ?1) xdx ,令 t ? x ,则 dx ? 2tdt;
? 对于积分 x x ?1dx ,令 u ? x ? 1 ,则 dx ? 2udu;
? dx
★★★★★(8)、
(x ?1) x2 ? 2

思路:换元倒代换。

解:令

x

?1

?

1 t

,则

dx

?

?

1 t2

dt;

(解题过程中涉及到开方,不妨设 t ? 1 ? 0 ,若小于零,不影响最后结果的形式。也就是:不论正负,结果 x -1

都一样。)

? dx
★★★(9)、
3 (x ? 1)2 (x ?1)4

解答详见习题 4-4 第 2 题的(15)题。
xdx
? ★★★★★(10)、
1 ? x2 ? (1 ? x2 )3

思路:“一路”换元。

? ? ? 解:

xdx

?1

dx2

?1

d(1? x2 )

1? x2 ? (1? x2 )3 2 1? x2 ? (1? x2 )3 2 1? x2 ? (1? x2 )3

令 t ? 1 ? x2 ,则

令 u ? t,则
15、求下列不定积分: 知识点:求解较复杂的三角函数有理式的不定积分。

思路分析:基本思路——三角代换等,具体问题具体分析。
dx
? ★★★(1)、 sin 2x ? 2sin x
思路:万能代换。

解:令 t

?

tan

x 2

,则

dx

?

2dt 1? t2

, sin

x

?

2t 1? t2

, cos

x

?

1? 1?

t2 t2

;

x

tan dx

? ★★★(2)、

2

1 ? sin x ? cos x

思路:万能代换。

解:令 t

?

tan

x 2

,则

dx

?

2dt 1? t2

, sin

x

?

2t 1? t2

, cos

x

?

1? 1?

t2 t2

;

dx
? ★★★★★(3)、 sin3 x cos x

思路:将被积函数的分子 1 变换一下,1 ? sin2 x ? cos2 x 。

1

sin2 x ? cos2 x

1

cos x sin2 x ? cos2 x cos x

解:

? sin3 x cos x sin3 x cos x

?

?

?

sin x cos x sin3 x

sin x cos x

? sin3 x

? tan x ? cot x ? csc2 x cot x ? tan x ? cot x ? csc2 x cot x

?

?

sin3

dx x cos

x

?

?

(tan

x

?

cot

x

?

csc2

x cot

x)dx

?

?

tan

xdx

?

? cot

xdx

?

? csc2

x

cot

xdx

?

? ln

cos

x

?

ln

sin

x

?

? csc

xd

csc x

?

? ln

cos x

? ln

sin

x

?

1 csc2 2

x

?

C

★★★

? ln tan x ? 1 csc2 x ? C. 2

sin x cos x

? ★★(4)、

dx

sin x ? cos x

思路:注意到 sin x cos x ? sin2 (x ? ? ) ? 1 , ,而 sin x ? cos x ? 42

解:

sin x cos x sin x ? cos x

?

sin2 (x ? ? ) ? 1 42
2 sin(x ? ? )

4

? 2 sin(x ? ) ,此题易解。
4

? ★★★★★(5)、 sin x sin 2x sin 3xdx

思路:将被积函数积化和差。

解: sin x sin 3x ? ? 1 (cos 4x ? cos 2x) 2

注:另一种解法是:

? ★★★★★(6)、

sin x cos x sin4 x ? cos4

dx x

思路:注意到被积函数的分子 sin x cos x ? 1 sin 2x ,分母 sin4 x ? cos4 x ? 1 ? 1 sin2 2x ,易解。

2

2

解: sin x cos x ? 1 sin 2x,sin4 x ? cos4 x ? 1 ? 1 sin2 2x,

2

2

? ★★★★★(7)、、 1
2

1? r2 1? 2r cos x

?

r2 dx(0

?

r

? 1, ??

?

x

??)

思路:万能代换。

解:令 t

?

tan

x ,则 dx 2

?

2dt 1? t2

, cos x

?

1? t2 1? t2

,代入得:

? ★★★★★(8)、 4sin x ? 3cos xdx sin x ? 2cos x

思路:非常典型的解题思路----将被积函数的分子 4sin x ? 3cos x 表示成分母 sin x ? 2cos x 和分母的导数

cos x ? 2sin x 的线性组合的形式。

解: 4sin x ? 3cos x ? 2(sin x ? 2cos x) ? (cos x ? 2sin x)

? ? ? ★★★★16、求 max 1, x dx

知识点:被积函数表现为一个分段函数,则不定积分也表现为一个分段函数。

思路分析:基本思路——讨论。
? ? ? ? 解: 当 x ? 1时, max 1, x ?1;而当 x ? ?1时, max 1, x ? ?x ; 当 x ? 1时, max?1, x ? ? x ;

? ? ? ? ?当 x ? ?1时,

max 1, x dx ? ?

xdx

?

?

x2 2

? C1;

当 x ? 1时, ? max?1, x ?dx ? ? dx ? x ? C2;



x

? 1时, ? max?1,

x ?dx

?

?

xdx

?

x2 2

?

C3 .

? ? ? 由

max

1,

x

dx 的连续性可知: C2

?

C1

?

1 2

, C3

?

C2

?

1 2

?

C1

?1,



C1

?

C,

? ★★★★17、设 y(x ? y)2 ? x, 求 dx
x ?3y

思路:变量替换。

解:令 t ? x ? y ,则 y ? x ? t, x ? t3 ; x ? 3y ? t3 ? 3t ; dx ? t4 ? 3t2 dt;

t2 ?1

t2 ?1

(t2 ?1)2

? ? ? ? dx ? t dt ? 1 d (t2 ?1) ? 1 ln t2 ?1 ? C ? 1 ln (x ? y)2 ?1 ? C 。

x ? 3y t2 ?1 2 t2 ?1 2

2

★★★★18、设 f (x) 定义在 (a, b) 上, c ? (a, b) ,又 f (x) 在 (a,b) \{c} 连续, c 为 f (x) 的第一类间断点,

问 f (x) 在 (a, b) 内是否存在原函数?为什么?

知识点:考察对原函数定义的理解。

思路分析:反证法。

解证:假设 F(x) 为 f (x) 的一个原函数,考察 F(x) 在点 c 的导数, 而 lim F(x) ? F(c) ? F?(c) ? f (c),? f (c ? 0) ? f (c ? 0) ? f (c)
x?c x ? c ? f (x) 在点 c 连续,这与 c 为 f (x) 的第一类间断点矛盾!

dx
? ★★★1、
x6 (1? x2 )

课外典型例题与习题解答

思路分析:此题属于有理函数的积分,且分母的次数大于分子的次数,可使用倒代换。下面的解答采用另一种方

法,仔细体会,你会收获不小!

? ? ? ? ? ? 解:

dx ? (1? x2 ) ? x2 dx ? dx ?

dx

?

dx ?

(1? x2 ) ? x2 dx

x6 (1 ? x2 )

x6 (1? x2 )

x6 x4 (1 ? x2 ) x6

x4 (1 ? x2 )

? ★★★2、 x5 dx
1? x

思路分析:此题属于有理函数的积分,且分子的次数大于分母的次数。经典的解法----将被积函数写成一个整式

加上一个真分式的形式,然后分项积分。

解: x5 ? x4 (1 ? x) ? x4 ? x4 ? x4 ? x4 ? x3 (1 ? x) ? x3 ? x4 ? x3 ? x3

1? x

1? x

1? x

1? x

1? x

? ★★★3、 cos5 xdx

思路分析:经典思路----若被积函数为弦函数的奇数次幂,则取其一次凑微分,余下部分化为余函数的形式积分 即可。
? ? ? 解: cos5 xdx ? cos4 xd(sin x) ? (1? sin2 x)2 d(sin x) ? ★★★4、 sin4 xdx

思路分析:经典思路----若被积函数为弦函数的偶数次幂,则将被积函数降幂,然后分项积分即可。

解: sin4 x ? (1? cos 2x)2 ? 1 (1 ? 2cos 2x ? cos2 2x) ? 1 ? 1 cos 2x ? 1 cos2 2x

2

4

42

4

? ★★★5、 ex sin 2xdx

思路分析:经典思路----大凡被积函数表现为反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数等五大类基

本初等函数中的某两类的乘积的形式,则使用分部积分法求解!且按照“反、对、幂、三、指”的顺序,顺序排 后者优先纳入到微分号下凑微分。其中“反、对、幂、三、指”依次代表“反三角函数、对数函数、幂函数、三 角函数、指数函数”五类函数。

? ? ? ? 解: ex sin 2xdx ? sin 2xdex ? ex sin 2x ? 2 ex cos 2xdx ? ex sin 2x ? 2 cos 2xdex

? 6、

1 1? x2

ln

1? 1?

x x

dx

思路分析:凑微分。

? ? 解:

1 x2 ?1

ln

1? 1?

x x

dx

?

1 2

ln 1? x d ln 1? x ? 1 ln2 1? x ? C 。 1? x 1? x 4 1? x

ln(x ? 1? x2 )

? 7、

dx 1? x2

思路分析:凑微分。

? ? 解:

ln(x ?

1? x2 ) dx ?

ln(x ?

1? x2 )d ln(x ?

1? x2 ) ? 1 ln2 (x ?

1? x2 ) ? C

1? x2

2

? ? 注:第一类换元法 f (?(x))??(x)dx ? f (?(x))d?(x) ? F(?(x)) ? C ,6、7 小题均为中间变量较复杂
的情形,这需要大家对第 3 章求导数过程比较熟悉,请大家好好体会!
1? ln x
? 8、 (x ? ln x)2 dx

解:方法一:凑微分。注意到被积函数中有1? ln

x

,而 d

ln x x

?

1? ln x2

x

dx ,这同样需要大家对经常出现的

求导过程比较熟悉。

方法二:分部积分法。先分项,再用分部积分法,注意到 d (x ? ln x) ? (1? 1 )dx 。 x

9、

?

sin 1

x ?

? cos xdx sin 2x

(0 ? x ? ? ) 4

思路:凑微分。三角函数1? sin 2x ? cos2 x ? 2sin x cos x ? sin2 x ? (cos x ? sin x)2 ,且

d(cos x ? sin x) ? ?(sin x ? cos x)dx 。

解:
? 10、设 f (ln x) ? ln(1? x) , 计算 f (x)dx. (2000 年数学二、三) x 思路:先求出 f (x) ,再根据分部积分法计算。

解:令 t ? ln x ,则 x ? et , 带入原式得: f (t) ? e?t ln(1? et ) ,故 f (x) ? e?x ln(1? ex )

? ?e?x ln(1? ex ) ? ln(e?x ?1) ? C 具体求解过程见习题 4-3,1(24)。

? 11、 x3ex2 dx (94 年数学二)

思路:分部积分法。 xex2 dx ? 1 dex2 。 2

? ? ? ? 解: x3ex2 dx ? x2xex2 dx ? 1 x2ex2 dx2 ? 1 x2dex2

2

2

ln sin x
? 12、 sin2 x dx (98 年数学二)

思路:分部积分法。

解:

?

ln sin x sin2 x

dx

?

?

ln

sin

xd

(?

cot

x)

?

?

cot

x

ln

sin

x

?

?

?

cot

x

?

cos sin

xdx x

13、已知 f ?(sin2 x) ? cos 2x ? tan2 x, 0 ? x ? ? ,求 f (x) 。 2

思路:先求 f ?(x) ,再积分求 f (x) 。

解:

? ? f (x) ? (?2x ? 1 )dx ? ?x2 ? ln(1? x) ? C 。 1? x

arctan ex

? 13、

e2x dx (01 年数学一)

思路:综合题。

? ? ? 解:

arctan e2x

e

x

dx

?

?

1 2

arctan exde?2x ? ? 1 e?2x arctan ex ? 1

2

2

1 e2x

? ex 1? e2x

dx

14、设 F(x) 是连续函数 f (x) 的一个原函数, "M ? N "是指 M 的充要条件是 N ,则下列说法正确的
是。(05 年数学二)
(A) F(x) 是偶函数 ? f (x) 是奇函数;(B) F(x) 是奇函数 ? f (x) 是偶函数;

(C) F(x) 是周期函数 ? f (x) 是周期函数;

(D) F(x) 是单调函数 ? f (x) 是单调函数;

? 思路: f (x)dx ? F(x) ? C ,用排除法。

解:对(B)令 f (x) ? x2 ,则 F (x) ? 1 x3 ? 2 为其一个原函数,但 F(x) 非奇非偶。 3

(C)令

f

(x)

?| sin

x | ,其周期为 ?



F ( x)

?

?? cos x ?1,sin ??cos x ?1.sin x

x?0
不是周期函数。
?0

(D)令 f (x) ? 2x ,单增函数。但 F (x) ? x2 不是单调函数。
故答案为 A。


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