重庆市高三数学三模试卷(文科) Word版含解析

流过多少 汗,流 下多少 泪,只 为高考 这一天 ;付出 多少时 间,付 出多少 努力, 只为高 考这一 刻;高 考这条 路就算 布满荆 棘也要 披荆而 过,请 相信天 道酬勤 ,请相 信付出 一定会 有回报 ,对自 己充满 信心, 加油, 祝高考 成功顺 利。
2016 年重庆市高考数学三模试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x∈R|0<log2x<1},B={y∈R|y=2﹣x2},则 A∩B=( ) A.? B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] 2.已知(1+i) =1+3i,则复数 Z=( ) A.2﹣i B.﹣2+iC.﹣1+2i D.1﹣2i
3.已知 θ 是第一象限的角,若 sin4θ+cos4θ= ,则 sin2θ 等于( )

A. B. C.

D.

4.已知等比数列{an}的公比为 3,且 a1+a3+a5=9,则

(a5+a7+a9)=( )

A. B. C.6 D.﹣6
5.下列命题中为真命题的是( ) A.若命题 p:“? x∈R,x2﹣x﹣1>0,则命题 p 的否定为:“? x∈R,x2﹣x﹣1≤0” B.“a=1”是“直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”的充要条件
C.若 x≠0,则 x+ ≥2
D.直线 a,b,为异面直线的充要条件是直线 a,b 不相交

6.若 x、y 满足约束条件

,若 z=x+2y 的最大值是 6,则 z 的最小值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 7.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则( )

A.a=4 B.a=5 C.a=6 D.a=7 8.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2π+2 B.4π+2 C.2π+

D.4π+

9.设函数 f(x)=

,若 f(a)>f(﹣a)+2,则实数 a 的取值范围

是( ) A.(﹣ ,0)∪(0,2) B.(﹣∞,﹣ )∪(2,+∞) C.(﹣ ,0)∪(2,+∞)
D.(﹣∞,﹣ )∪(0,2) 10.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若关于 x 的方程(b﹣a)x2+ (a﹣c)x+(c﹣b)=0,有两个相等实根,则角 B 的取值范围是( ) A.[ , ) B.[ , ) C.(0, ] D.(0, ]

11.已知双曲线

的左右焦点分别为 F1,F2,若 E 上存在点

P 使△F1F2P 为等腰三角形,且其顶角为 ,则 的值是( )

A. B.

C. D.

12.已知函数 f(x)=e|xex|,若函数 y=[f(x)]2+bf(x)﹣2 恰有三个不同的零点,则实 数 b 的取值范围是( ) A.(2 ,+∞) B.(﹣1,2 ) C.(1,+∞) D.(﹣3,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.向量 , 满足| |=2,| |=1,( +2 )⊥(2 ﹣ ),则向量 与 的夹角





14.某人对一地区人均工资 x(千元)与该地区人均消费 y(千元)进行统计调查,y 与 x

有相关关系,得到回归直线方程 =0.66x+1.56.若该地区的人均消费水平为 7.5 千元,则该

地区的人均工资收入为

(千元).

15.曲线 y=1+

(|x|≤2)与直线 y=k(x﹣2)+4 只有一个公共点时,实数 k 的取

值范围是



16.已知关于 x 的方程 x2+2alog2(x2+2)+a2﹣2=0 有唯一解,则实数 a 的值为



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N* (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn. 18.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后贺车;在 80mg/100ml (含 80)以上时,属醉酒贺车,对于酒 后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚.某市公安局交通管理部门在某
路段的一次拦查行动中,依法检查了 250 辆机动车,查出酒后驾车和醉酒贺车的驾驶员 20 人,图是对这 20 人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图,求:此次抽查的 250 人中,醉酒驾车的人数; (2)从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中任取 2 人,求恰有 1 人属于醉酒驾车的 概率.

19.如图,已知 ABCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60°,E,F 分别 AC,AD 是上的动点,且 = =λ(0<λ<1). (Ⅰ)求证:不论 λ 为何值,总有 EF⊥平面 ABC; (Ⅱ)若三棱锥 A﹣BEF 的体积为 ,求此时 λ 的值.

20.已知椭圆两焦点 F1、F2 在 y 轴上,短轴长为 ,离心率为 ,P 是椭圆在第一象限

弧上一点,且

,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、

B 两点. (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值.

21.已知 f(x)=

(x∈R)在区间[﹣1,1]上是增函数.

(Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A;
(Ⅱ)设关于 x 的方程 f(x)= 的两个非零实根为 x1、x2.试问:是否存在实数 m,使得 不等式 m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意 a∈A 及 t∈[﹣1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范围; 若不存在,请说明理由.

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M. (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AM?MB=DF?DA.

[选修 4-4;坐标系与参数方程]

23.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数).在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的方程为 ρsin2θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(1,1),求|PA|+|PB|的值.
[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣4|+|x+5|. (Ⅰ)试求使等式 f(x)=|2x+1|成立的 x 的取值范围; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围.

2016 年重庆市高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x∈R|0<log2x<1},B={y∈R|y=2﹣x2},则 A∩B=( ) A.? B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] 【考点】交集及其运算.
【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,找出两集合的交 集即可.
【解答】解:由 A 中不等式变形得:log21=0<log2x<1=log22,即 1<x<2, ∴A=(1,2), 由 B 中 y=2﹣x2≤2,得到 B=(﹣∞,2], 则 A∩B=(1,2), 故选:C.

2.已知(1+i) =1+3i,则复数 Z=( ) A.2﹣i B.﹣2+iC.﹣1+2i D.1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】求出复数的共轭复数,然后求解复数即可. 【解答】解:(1+i) =1+3i,

可得 =

=

=

=2+i.

复数 Z=2﹣i. 故选:A.

3.已知 θ 是第一象限的角,若 sin4θ+cos4θ= ,则 sin2θ 等于( )

A. B. C.

D.

【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【分析】根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是 sin2θ,所以把正弦和余弦的 平方和等于 1 两边平方,又根据 θ 是第一象限的角,判断出要求结论的符号,得到结果. 【解答】解:∵sin2θ+cos2θ=1, ∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1,

∵sin4θ+cos4θ= ,

∴2sin2θcos2θ= , ∵θ 是第一象限的角, ∴sin2θ= ,

故选:C.

4.已知等比数列{an}的公比为 3,且 a1+a3+a5=9,则

(a5+a7+a9)=( )

A. B. C.6 D.﹣6

【考点】等比数列的通项公式.
【分析】根据等比数列的性质结合对数的运算法则进行求解即可.
【解答】解:∵等比数列{an}的公比为 3,且 a1+a3+a5=9, ∴a5+a7+a9=(a1+a3+a5)q4=9×34=36,



(a5+a7+a9)=

36=﹣log336=﹣6,

故选:D.

5.下列命题中为真命题的是( ) A.若命题 p:“? x∈R,x2﹣x﹣1>0,则命题 p 的否定为:“? x∈R,x2﹣x﹣1≤0” B.“a=1”是“直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”的充要条件
C.若 x≠0,则 x+ ≥2
D.直线 a,b,为异面直线的充要条件是直线 a,b 不相交 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】逐一分析四个答案的真假,可得结论. 【解答】解:若命题 p:“? x∈R,x2﹣x﹣1>0,则命题 p 的否定为:“? x∈R,x2﹣x﹣1 ≤0”,故 A 是真命题; “直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”?“a=±1”,故“a=1”是“直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”的充分不必要条件,故 B 为假命题;
若 x>0,则 x+ ≥2,或若 x<0,则 x+ ≤﹣2,故 C 为假命题.
直线 a,b,为异面直线的充要条件是直线 a,b 不相交且不平行, 故选 A

6.若 x、y 满足约束条件

,若 z=x+2y 的最大值是 6,则 z 的最小值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】简单线性规划.

【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划,我们可以先画出足约束条件

的平

面区域,再根据目标函数 z=x+2y 的最大值是 6,求出点的横坐标即可.

【解答】解:满足约束条件

的平面区域如下图:

∵目标函数 z=x+2y 的最大值是 6,

可得

,可得 A(2,2).

∴当 x=2,y=2 时,Z 取最大值 6, A(2,2)在直线 x=a 上,可得 a=2, 故选:A.

7.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则( )

A.a=4 B.a=5 C.a=6 D.a=7 【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算累加并输出满足条件的 S 值,模拟程序的运行结果,可得 a 满足的条件为 5≤a<6,结合选项即可得到答案. 【解答】解:模拟程序的运行,可得: S=1,k=1

不满足条件 k>a,执行循环体,S=1+

,k=2

不满足条件 k>a,执行循环体,S=1+

+

,k=3

不满足条件 k>a,执行循环体,S=1+

+

+

,k=4

不满足条件 k>a,执行循环体,S=1+

+

+

+

,k=5

不满足条件 k>a,执行循环体,S=1+

+

+

+

+

=1+(1﹣ )+



)+…+( ﹣ )=1+1﹣ = ,k=6

由题意,此时应该满足条件 k>a,退出循环,输出 S 的值为 .
故可得 5≤a<6, 故选:B.

8.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2π+2 B.4π+2 C.2π+

D.4π+

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图及题设条件知,此几何体为一个上部是四棱锥,下部是圆柱其高已知,底 面是半径为 1 的圆,故分别求出两个几何体的体积,再相加即得组合体的体积. 【解答】解:此几何体为一个上部是正四棱锥,下部是圆柱 由于圆柱的底面半径为 1,其高为 2,故其体积为 π×12×2=2π 棱锥底面是对角线为 2 的正方形,故其边长为 ,其底面积为 2,又母线长为 2,

故其高为

由此知其体积为

=

故组合体的体积为 2π+ 故选 C

9.设函数 f(x)=

,若 f(a)>f(﹣a)+2,则实数 a 的取值范围

是( ) A.(﹣ ,0)∪(0,2) B.(﹣∞,﹣ )∪(2,+∞) C.(﹣ ,0)∪(2,+∞)
D.(﹣∞,﹣ )∪(0,2) 【考点】分段函数的应用.

【分析】根据已知中函数 f(x)=

,结合对数的运算性质,分类讨

论满足 f(a)>f(﹣a)+2 的 a 值范围,综合可得答案. 【解答】解:若 a>0,则 f(a)>f(﹣a)+2 可化为:
即 log2a>1, 解得:a>2, 若 a<0,则 f(a)>f(﹣a)+2 可化为:

, ,





解得: <a<0,

综上实数 a 的取值范围是(﹣ ,0)∪(2,+∞),
故选:C
10.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若关于 x 的方程(b﹣a)x2+ (a﹣c)x+(c﹣b)=0,有两个相等实根,则角 B 的取值范围是( )
A.[ , ) B.[ , ) C.(0, ] D.(0, ]
【考点】余弦定理;二次函数的性质. 【分析】利用判别式等于 0,可得 a+c=2b,利用余弦定理,结合基本不等式,即可求出角 B 的取值范围. 【解答】解:∵方程(b﹣a)x2+(a﹣c)x+(c﹣b)=0,有两个相等实根, ∴△=(a﹣c)2﹣4(b﹣a)(c﹣b)=0, ∴(a+c)2﹣4b(a+c)+4b2=0 ∴(a+c﹣2b)2=0

∴a+c=2b,

cosB=

=

∴B 是△ABC 的内角, ∴0<B≤ . 故选:D.

=

﹣≥,

11.已知双曲线

的左右焦点分别为 F1,F2,若 E 上存在点

P 使△F1F2P 为等腰三角形,且其顶角为 ,则 的值是( )

A. B.

C. D.

【考点】双曲线的简单性质.

【分析】由题意,可得∠PF2x=60°,|PF2|=2c,P(2c, c),代入双曲线的方程可得

﹣ =1,即可求出 的值.
【解答】解:由题意,可得∠PF2x=60°,|PF2|=2c, ∴P(2c, c),
代入双曲线的方程可得 ﹣ =1,
∴4b4﹣3a4=0,
∴= .
故选:B.
12.已知函数 f(x)=e|xex|,若函数 y=[f(x)]2+bf(x)﹣2 恰有三个不同的零点,则实 数 b 的取值范围是( ) A.(2 ,+∞) B.(﹣1,2 ) C.(1,+∞) D.(﹣3,+∞) 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】函数 f(x)=e|xex|是分段函数,通过求导分析得到函数 f(x)在(0,+∞)上为 增函数,在(﹣∞,﹣1)上为增函数,在(﹣1,0)上为减函数,求得函数 f(x)在(﹣ ∞,0)上,当 x=﹣1 时有一个最大值 1,则要使函数 y=[f(x)]2+bf(x)﹣2 恰有三个不 同的零点,f(x)的值一个要在(0,1)内,一个在(﹣∞,0)内,然后运用二次函数的 图象及二次方程根的关系列式求解 b 的取值范围.

【解答】解:f(x)=e|xex|=



当 x≥0 时,f′(x)=ex+1(x+1)≥0 恒成立, ∴f(x)在[0,+∞)上为增函数; 当 x<0 时,f′(x)=﹣ex+1(x+1), 由 f′(x)=0,得 x=﹣1,当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)=﹣ex+1(x+1)>0,f(x)为增 函数, 当 x∈(﹣1,0)时,f′(x)=﹣ex+1(x+1)<0,f(x)为减函数, ∴函数 f(x)=e|xex|的极大值为 f(﹣1)=1.
极小值为 f(0)=0. 令 f(x)=m,则 m2+bm﹣2=0. 要使函数 y=[f(x)]2+bf(x)﹣2 恰有三个不同的零点, 则 m2+bm﹣2=0 一根小于 0,另一根大于 0 小于 1.





解得:b>1. ∴实数 b 的取值范围是(1,+∞). 故选:C.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.向量 , 满足| |=2,| |=1,( +2 )⊥(2 ﹣ ),则向量 与 的夹角为 π. 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量垂直得( +2 )?(2 ﹣ )=0,展开计算可求出 ,代入数量积 公式即可求出夹角. 【解答】解:∵( +2 )⊥(2 ﹣ ),

∴( +2 )?(2 ﹣ )=2 +3 即 8+3 ﹣2=0,∴ =﹣2.

﹣2 =0,

∴cos<

>=

=﹣1.

∴<

>=π.

故答案为:π.

14.某人对一地区人均工资 x(千元)与该地区人均消费 y(千元)进行统计调查,y 与 x
有相关关系,得到回归直线方程 =0.66x+1.56.若该地区的人均消费水平为 7.5 千元,则该
地区的人均工资收入为 9 (千元). 【考点】线性回归方程. 【分析】根据 y 与 x 具有线性相关关系,把消费水平的值代入线性回归方程,可以估计该地 区的人均工资收入.
【解答】解:∵y 与 x 具有线性相关关系,满足回归方 =0.66x+1.56.
该地区人均消费水平为 y=7.5, ∴可以估计地区的职工均工资水平 7.5=0.66x+1.56, ∴x=9. 故答案为:9.

15.曲线 y=1+

(|x|≤2)与直线 y=k(x﹣2)+4 只有一个公共点时,实数 k 的取

值范围是



【考点】函数的图象. 【分析】曲线表示一个半圆,直线经过定点 A(2,4).由圆心到直线的距离等于半径求得 k 的值,求出当直线经过点(﹣2,1),(2,1)时,实数 k 的取值,即可求得实数 k 的取值 范围.

【解答】解:曲线 y=1+

(|x|≤2)即 x2+(y﹣1)2=4,表示以 C(0,1)为圆心、

半径 r=2 的半圆(圆位于直线 y=1 的上方(含直线 y=1)). y=k(x﹣2)+4,经过定点 A(2,4).

由圆心到直线的距离等于半径可得

=2,求得 k= ,

当直线经过点(﹣2,1)时,直线的斜率为

当直线经过点(2,1)时,直线的斜率为不存在

综上所述,实数 k 的取值范围:



=,

故答案为:

16.已知关于 x 的方程 x2+2alog2(x2+2)+a2﹣2=0 有唯一解,则实数 a 的值为



【考点】根的存在性及根的个数判断.

【分析】构造函数,根据函数奇偶性的性质得到方程的根为 0,解方程即可得到结论. 【解答】解:设 f(x)=x2+2alog2(x2+2)+a2﹣2, 则函数 f(x)为偶函数,

若方程 x2+2alog2(x2+2)+a2﹣2=0 有唯一解, 则等价为 f(x)=0 有唯一的解 x=0,

则 2alog22+a2﹣2=2a+a2﹣2=0, 得 a=﹣1± ,

当 a=

时,f(x)=x2+2(

足条件.

)log2(x2+2)+2﹣2 在[0,+∞)上为增函数,满

当 a=﹣

时,f(x)=x2+2(﹣

)log2(x2+2)+2+2 ,

f(2)=﹣2 <0,f( )=20﹣10 >0,∴此时不止一个零点,不满足条件.

故答案为:



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N* (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(I)根据递推公式可得{an}为等比数列,从而得出通项公式; (II)求出 bn,利用分项求和得出 Tn. 【解答】解:(I)由题意得 an+1=3Sn+1,∴an=3Sn﹣1+1(n≥2), 两式相减得 an+1﹣an=3an(n≥2),即 an+1=4an, 又 a2=3a1+1=4=4a1, ∴{an}是以 1 为首项,4 为公比的等比数列.





(II)

,∴







18.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后贺车;在 80mg/100ml (含 80)以上时,属醉酒贺车,对于酒 后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚.某市公安局交通管理部门在某 路段的一次拦查行动中,依法检查了 250 辆机动车,查出酒后驾车和醉酒贺车的驾驶员 20 人,图是对这 20 人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图,求:此次抽查的 250 人中,醉酒驾车的人数; (2)从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中任取 2 人,求恰有 1 人属于醉酒驾车的 概率.

【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图.

【分析】(1)根据频率分步直方图制作频率分布表,求得这 20 人血液中酒精含量不低于

80mg/100ml 的人数,即得所求.

(2)因为血液酒精浓度在[70,80)内范围内应抽 3 人,,[80,90)范围内有 2 人,所有的

抽法 10 种,恰有一人的血液酒精浓度在[80,90)范围内的情况有 6 种,由此求得恰有 1

人属于醉酒驾车的概率.

【解答】解:(1)

酒精含量(单位:mg/100ml) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60)

人数

3

4

4

1

酒精含量(单位:mg/100ml) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]

人数

2

3

2

1

所以醉酒驾车的人数为 2+1=3 人…

故此次抽查的 250 人中,醉酒驾车的人数为 3 人.

(2)因为血液酒精浓度在[70,80)内范围内应抽 3 人,记为 a,b,c,[80,90)范围内

有 2 人,记为 d,e,

则从中任取 2 人的所有情况为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),

(c,d),(c,e),(d,e),共 10 种….

恰有一人的血液酒精浓度在[80,90)范围内的情况有(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),

(c,d),(c,e),共 6 种,….

设“恰有 1 人属于醉酒驾车”为事件 A,则 P(A)= = .….

19.如图,已知 ABCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60°,E,F 分别 AC,AD 是上的动点,且 = =λ(0<λ<1). (Ⅰ)求证:不论 λ 为何值,总有 EF⊥平面 ABC; (Ⅱ)若三棱锥 A﹣BEF 的体积为 ,求此时 λ 的值.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【分析】(1)要证不论 λ 为何值,总有 EF⊥平面 ABC,只需证 CD⊥平面 ABC,在△BCD 中,根据∠BCD=90°得证.

(2)根据

,即可求此时 λ 的值.

【解答】(I)证明:因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥CD, 又在△BCD 中,∠BCD=90°,所以,BC⊥CD,又 AB∩BC=B, 所以,CD⊥平面 ABC,

又在△ACD,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且 = =λ(0<λ<1)

所以,不论 λ 为何值,总有 EF⊥平面 ABC…

(II)解:







,h=|EF|=λ?|CD|=λ,

所以

解之得



20.已知椭圆两焦点 F1、F2 在 y 轴上,短轴长为 ,离心率为 ,P 是椭圆在第一象限

弧上一点,且

,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、

B 两点. (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值.

【考点】椭圆的应用. 【分析】(1)设出椭圆的标准方程,根据题意可知 b,进而根据离心率和 a,b 和 c 的关系
求得 a 和 c,则椭圆的方程可得.进而求得焦点的坐标,设出点 P 的坐标,分别表示出



,进而根据

求得 x0 和 y0 的关系式,把点 P 的坐标代入椭圆方程求和

另一个关系式,联立方程求得 x0 和 y0 即 P 的坐标. (2)根据(1)可知 PF1∥x 轴,设 PB 的斜率为 k,根据点斜式表示出直线的方程,与椭圆 的方程联立消去 y,设出 B 的坐标,根据题意可求得 xB 的表达式,同理求得 xA 的表达式,

进而可知 xA﹣xB 的表达式,根据直线方程求得 yA﹣yB,进而根据斜率公式求得直线 AB 的 斜率,结果为定值.
【解答】解:(1)设椭圆的方程为 + =1,由题意可得 b= ,
= ,即 a= c, ∵a2﹣c2=2 ∴c= ,a=2
∴椭圆方程为 + =1
∴焦点坐标为(0, ),(0,﹣ ),设 p(x0,y0)(x0>0,y0>0) 则 =(﹣x0, ﹣y0), =(﹣x0,﹣ ﹣y0), ∴ ? =x02﹣(2﹣y02)=1
∵点 P 在曲线上,则 + =1

∴x02=



从而

﹣(2﹣y02)=1,得 y0= ,则点 P 的坐标为(1, )

(2)由(1)知 PF1∥x 轴,直线 PA,PB 斜率互为相反数,设 PB 的斜率为 k(k>0),

则 PB 的直线方程为 y﹣ =k(x﹣1),由



(2+k2)x2+2k( ﹣k)x+( ﹣k2)﹣4=0

设 B(xB,yB),则 xB=

﹣1=



同理可得

,则



yA﹣yB=﹣k(xA﹣1)﹣k(xB﹣1)=

所以 AB 的斜率 kAB=

= 为定值.

21.已知 f(x)=

(x∈R)在区间[﹣1,1]上是增函数.

(Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A;
(Ⅱ)设关于 x 的方程 f(x)= 的两个非零实根为 x1、x2.试问:是否存在实数 m,使得
不等式 m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意 a∈A 及 t∈[﹣1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范围; 若不存在,请说明理由. 【考点】函数的单调性与导数的关系. 【分析】(Ⅰ)函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之 (Ⅱ)根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于 a 的不等式恒成立再看成关 于 t 的一次不等式恒成立,让两端点大等于零

【解答】解:(Ⅰ)f'(x)=

=



∵f(x)在[﹣1,1]上是增函数,
∴f'(x)≥0 对 x∈[﹣1,1]恒成立, 即 x2﹣ax﹣2≤0 对 x∈[﹣1,1]恒成立.① 设 φ(x)=x2﹣ax﹣2, 方法一:φ

①?

?﹣1≤a≤1,

∵对 x∈[﹣1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(﹣1)=0 以及当 a=﹣1 时,f' (1)=0 ∴A={a|﹣1≤a≤1}.方法二:

①?



?0≤a≤1 或﹣1≤a≤0 ?﹣1≤a≤1. ∵对 x∈[﹣1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(﹣1)=0 以及当 a=﹣1 时,f' (1)=0 ∴A={a|﹣1≤a≤1}.

(Ⅱ)由

,得 x2﹣ax﹣2=0,∵△=a2+8>0

∴x1,x2 是方程 x2﹣ax﹣2=0 的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=﹣2,

从而|x1﹣x2|=

=



∵﹣1≤a≤1,∴|x1﹣x2|=

≤3.

要使不等式 m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意 a∈A 及 t∈[﹣1,1]恒成立,

当且仅当 m2+tm+1≥3 对任意 t∈[﹣1,1]恒成立, 即 m2+tm﹣2≥0 对任意 t∈[﹣1,1]恒成立.② 设 g(t)=m2+tm﹣2=mt+(m2﹣2), 方法一: ②?g(﹣1)=m2﹣m﹣2≥0,g(1)=m2+m﹣2≥0, ?m≥2 或 m≤﹣2. 所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意 a∈A 及 t∈[﹣1,1]恒成立,其取 值范围是{m|m≥2,或 m≤﹣2}. 方法二: 当 m=0 时,②显然不成立; 当 m≠0 时, ②?m>0,g(﹣1)=m2﹣m﹣2≥0 或 m<0,g(1)=m2+m﹣2≥0 ?m≥2 或 m≤﹣2. 所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意 a∈A 及 t∈[﹣1,1]恒成立,其取 值范围是{m|m≥2,或 m≤﹣2}.
[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M. (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AM?MB=DF?DA.
【考点】与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明;圆的切线的性质定理的证明. 【分析】(1)证明 DC 是⊙O 的切线,就是要证明 CD⊥OC,根据 CD⊥AF,我们只要证明 OC∥AD; (2)首先,我们可以利用射影定理得到 CM2=AM?MB,再利用切割线定理得到 DC2=DF?DA, 根据证明的结论,只要证明 DC=CM. 【解答】证明:(1)连接 OC,∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA, ∵CA 是∠BAF 的角平分线, ∴∠OAC=∠FAC ∴∠FAC=∠OCA, ∴OC∥AD.… ∵CD⊥AF, ∴CD⊥OC,即 DC 是⊙O 的切线.… (2)连接 BC,在 Rt△ACB 中,CM⊥AB,∴CM2=AM?MB. 又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC2=DF?DA. ∵∠MAC=∠DAC,∠D=∠AMC,AC=AC ∴△AMC≌△ADC,∴DC=CM,

∴AM?MB=DF?DA…

[选修 4-4;坐标系与参数方程]

23.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数).在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的方程为 ρsin2θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(1,1),求|PA|+|PB|的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.

【分析】(Ⅰ)曲线 C 的方程为 ρsin2θ=4cosθ,即 ρ2sin2θ=4ρcosθ.把

代入上

述方程即可化为直角坐标方程. (Ⅱ)直线 l 经过点 P(1,1)(t=0 时),把直线 l 的参数方程代入抛物线方程可得:t2+6

t﹣6=0,利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=

即可得出.

【解答】解:(Ⅰ)曲线 C 的方程为 ρsin2θ=4cosθ,即 ρ2sin2θ=4ρcosθ.化为直角坐标方程: y2=4x. (Ⅱ)直线 l 经过点 P(1,1)(t=0 时),

把直线 l 的参数方程

(t 为参数),代入抛物线方程可得:t2+6 t﹣6=0,

∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=

=4 .

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣4|+|x+5|. (Ⅰ)试求使等式 f(x)=|2x+1|成立的 x 的取值范围; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】(Ⅰ)f(x)=|x﹣4|+|x+5|和 f(x)=|2x+1|,根据绝对值不等式,对|x﹣4|+|x+5| 放缩,注意等号成立的条件, (Ⅱ)把关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集不是空集,转化为关于 x 的不等式 f(x)<a 的 解集非空,求函数 f(x)的最小值. 【解答】解:(Ⅰ)因为 f(x)=|x﹣4|+|x+5|≥|(x﹣4)+(x+5)|=|2x+1|,

当且仅当(x﹣4)(x+5)≥0,即 x≤﹣5 或 x≥4 时取等号. 所以若 f(x)=|2x+1|成立,则 x 的取值范围是(﹣∞,﹣5]∪[4,+∞). (Ⅱ)因为 f(x)=|x﹣4|+|x+5|≥|(x﹣4)﹣(x+5)|=9, 所以若关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集非空,则 a>f(x)min=9, 即 a 的取值范围是(9,+∞).

2016 年 7 月 29 日


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