2019学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数练习新人教A版必修1

2.3 幂函数

【选题明细表】 知识点、方法 幂函数的定义 幂函数的图象 幂函数的性质

题号 2,4,6,12 3,7,10,14,15 1,5,8,9,11,12,13

1.(2018·郑州外国语学校期中)已知α ∈{-1,1,2,3},则使函数 y=xα 的值域为 R,且为奇函 数的所有α 的值为( A ) (A)1,3 (B)-1,1 (C)-1,3 (D)-1,1,3 解析:依据幂函数性质判断. 2.下列结论中,正确的是( C ) (A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) (B)幂函数的图象可以出现在第四象限
(C)当幂指数α 取 1,3, 时,幂函数 y=xα 是增函数
(D)当幂指数α =-1 时,幂函数 y=xα 在定义域上是减函数 解析:当幂指数α =-1 时,幂函数 y=x-1 的图象不通过原点,故选项 A 不正确;因为所有的幂函 数在区间(0,+∞)上都有定义,且 y=xα (α ∈R), y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项 B 不正确;当α =-1 时,y=x-1 在区间(∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项 D 不正确.
3.在下列四个图形中,y= 的图象大致是( D )

解析:函数 y= 的定义域为(0,+∞),是减函数.故选 D. 4.若幂函数 f(x)=(m2-m-1)x1-m 是偶函数,则实数 m 等于( A ) (A)-1 (B)2 (C)3 (D)-1 或 2 解析:因为幂函数 f(x)=(m2-m-1)x1-m 是偶函数,
所以 解得 m=-1.故选 A.
1

5.设 a=( ) ,b=( ) ,c=( ) ,则 a,b,c 的大小关系是( C )

(A)a>b>c (C)a<b<c

(B)c>a>b (D)b>c>a

解析:因为函数 y=( )x 在 R 上是减函数,又 > ,所以( ) <( ) ,即 a<b.又因为函数 y= 在

R 上是增函数,且 > ,所以( ) >( ) ,即 c>b.所以 a<b<c.

6.已知幂函数 f(x)=xα 的图象经过点(2, ),则 f(4)的值等于 .
解析:由 f(x)=xα 的图象经过点(2, ),得 =2α ,所以α =- ,则 f(4)= =2-1= .

答案:

7.函数 y=xα +2(x>0)的图象恒过定点

.

解析:由 x=1,y=3 得图象过定点(1,3).

答案:(1,3)

8.已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)

(n∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,

则 n 的值为

.

解析:由于 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1,

解得 n=1 或 n=-3,经检验只有 n=1 适合题意.

答案:1

9.已知函数 f(x)= +1.
(1)判断函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明; (2)求 f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值. 解:(1)函数 f(x)在区间(0,+∞)上是减函数. 证明如下: 设 x1,x2 是 区 间 (0,+ ∞ ) 上 任 意 两 个 实 数 , 且

x1<x2, 则

f(x1)-f(x2)=( +1)-( +1)=

,

因为 x2>x1>0, 所以 x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0,

所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),

2

所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是减函数. (2)由(1)知函数 f(x)在区间[1,3]上是减函数, 所以当 x=1 时,取最大值,最大值为 f(1)=2, 当 x=3 时,取最小值,最小值为 f(3)= .
10.已知幂函数 f(x)=k·xα 的图象经过点( , ),则 k-α 等于( A )
(A) (B)1 (C) (D)2 解析:由题意,根据幂函数的定义,可得 k=1, 函数 f(x)=k·xα 的图象经过点( , ),
可得 =( )α ,
解得α = ,
那么 k-α =1- = .故选 A.
11.(2018·六安市一中高一上期末)设幂函数 f(x)的图象过点( , ),设 0<a<1,则 f(a)与 f(a-1)的大小关系是( A ) (A)f(a-1)<f(a) (B)f(a-1)>f(a) (C)f(a-1)=f(a) (D)不确定 解析:设 f(x)=xα ,则 =( )α ,
即 =3-α ,所以α =- . 所以 f(x)= . 因为 0<a<1,所以 a-1= >1.
3

又 f(x)= 在(0,+∞)上是减函数, 所以 f(a-1)<f(a).

12.(2018·广东高一月考)已知幂函数 y=(m2-m-1)

m=

.

在区间(0,+∞)上单调递减,则

解析:因为 y=(m2-m-1)

是幂函数,

所以 m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1, 当 m=2 时,函数为 y=x-3,满足在(0,+∞)上单调递减,符合题意; 当 m=-1 时,函数为 y=x0,不满足在(0,+∞)上单调递减,不符合题意. 故 m=2. 答案:2

13.(2018·佳木斯市一中测试)若幂函数 f(x)=(m2-3m+3)

函数,则 m=

.

解析:由题意得 m2-3m+3=1,解得 m=1 或 m=2.

若 m=1,则 f(x)=x0,不合题意;

若 m=2,则 f(x)=x,符合题意,

于是,m=2.

答案:2

在区间(0,+∞)上是增

14.已知幂函数 f(x)=

(m∈N*).

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, ),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值 范围. 解:(1)m2+m=m(m+1),m∈N*, 而 m 与 m+1 中必有一个为偶数, 所以 m(m+1)为偶数. 令 m2+m=2k,k∈N*,则 f(x)= .

所以函数 f(x)=

(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.

(2)因为函数 f(x)经过点(2, ),

所以 =

,即 =

.

所以 m2+m=2.解得 m=1 或 m=-2.

又因为 m∈N*,所以 m=1.

由 f(2-a)>f(a-1)得

解得 1≤a< .所以 a 的取值范围为[1, ).

4

15. 给 出 幂 函 数 ① f(x)=x; ② f(x)=x2; ③ f(x)=x3; ④ f(x)= ; ⑤ f(x)= . 其 中 满 足 条 件

f(

)>

(x1>x2>0)的函数的个数是( A )

(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

名师点拨:由于本题所给函数均为幂函数,且待满足条件为 f(

)与

的关系,所以可借助幂函数图象求解.

解析:①函数 f(x)=x 的图象是一条直线,故当 x1>x2>0 时,f(

)=

之间

;

②函数 f(x)=x2 的图象是凹形曲线,故当 x1>x2>0 时,f(

)<

;

③在第一象限,函数 f(x)=x3 的图象是凹形曲线,故当 x1>x2>0 时,

f(

)<

;

④函数 f(x)= 的图象是凸形曲线,故当 x1>x2>0 时,f(

)>

;

⑤在第一象限,函数 f(x)= 的图象是一条凹形曲线,

故当 x1>x2>0 时,f(

)<

.

故仅有函数 f(x)= 满足,当 x1>x2>0 时,f(

)>

.

故选 A.

5


相关文档

2019学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数练习 新人教A版必修1
2019学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数练习新人教A版必修1(1)
2019学年度高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数练习新人教A版必修1
2018_2019学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2-3幂函数练习新人教A版必修1
2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数练习 新人教A版必修1
2019学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数练习 新人教A版必修1
最新2019学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数练习 新人教A版必修1
2019-2020学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数练习 新人教A版必修1
2019年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数练习 新人教A版必修1
2018-2019学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数练习 新人教A版必修1
电脑版