高一数学基础知识巩固及能力提高训练(1)


高一数学基础知识巩固及能力提高训练(一) 集合部分
一、重要知识点梳理
1. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性:如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性:如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 集合的表示:{ ? } 如:{现在教室里的学员},{北京大学,清华大学,哈佛大学}} 注: (1)集合用大写字母表示:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}若有小写字母只能 表示集合中元素 (2)集合的表示方法:列举法如{a,b,c??},描述法:如{x?R| x-3>2},和 Venn 图法: 2、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 ? 常用数集及其记法: 自然数集 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 3、集合间的基本关系 (1) “包含”关系—子集 一般的如果对于集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集合有包 含关系,称集合 A 是集合 B 的子集,记作: A ? B 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。 ;

? ? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A “相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例:设 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非 空集合的真子集。 4、集合的运算 类型 交集 由所有属于 A 且 属于 B 的元素所 组成的集合,叫做 定 义 A,B 的交集.记作 A ? B(读作‘A 交 B ’ , 即 A ? B= ) { x|x ? A , 且 x ? B} . 并集 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合,叫做 A,B 的并集.记作:A ? B (读作‘A 并 B’,即 ) A ? B ={x|x ? A , 或 x ? B}). 补集 设 S 是一个集合,A 是 S 的一 个子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中 子集 A 的补集(或余集) 记作 C S A ,即 CSA= {x | x ? S , 且x ? A}

1

韦 恩 图 示 性 质

A

B

A

B

S A

图1

图2

A ? A=A A ? Φ =Φ

A ? A=A A ? Φ =A

(CuA) ? (CuB)= Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB)= Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ

二、典型例题及解题方法点拨 例 1、用符号“ ? ”或“ ? ”填空
-9___ Q , 例 2、满足 ?

2 ___ Z ,

9 __ N ? ,

-

1 2

R,

? Q.

A ? {1,2,3}的集合 A 的个数是_______.

例 3、已知集合 A= {x 4 ? x ? 6},B= {x 1 ? x ? 8} ,C= {x x ? c} (1)求 A ? B (2)求 CR A) B ( ? (3)若 A ? C ? A 求 c 的取值范围

三、课堂闯关训练
0, 1, 1、若集合 M ? {?2, 2},N ? {0,2} 则 M ? N ?
A.{0,1} B.{0,2} 2.下列四个集合中,是空集的是( A. {x | x ? 3 ? 3} C. {x | x ? 0}
2

( ) D.{-2,0,1,2}

C.{-2 } )

B. {( x, y) | y 2 ? ? x 2 , x, y ? R} D. {x | x 2 ? x ? 1 ? 0, x ? R} )

3、 .集合 {x ? N (3x ?1)(x ? 4) ? 0} 可化简为( A. ? ?

?1 ? ?3?

B. ?4?

C. ? , 4 ?

?1 ?3

? ?

D. ?? , ?4 ?

? 1 ? 3

? ?

4、下面有四个命题: (1)集合 Z 中最小的数是 0; (3)若 a ? b ? Z 则 a ? N , b ? N , ;

(2)若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ;

1 (4) x ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ? ,1? ;
2

其中正确命题的个数为( )A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 5、 (成都七中期中题)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,3,5},N={2,5}, 则 Venn 图中阴影部分表示的集合是 ( ) A.{5} B.{1,3} C.{2,4} D.{2,3,4}
2

6、集合 A ? ?1,3,5,7, ???? 用描述法可表示为( A. ?x | x ? n, n ? N? C. ?x | x ? 2n ? 1, n ? N?

) B. ?x | x ? 2n ?1, n ? N? D.

?x | x ? n ? 2, n ? N?


7、若集合 A、B、C 满足: A ? B ? A, B ? C ? C ,则 A 与 C 的关系是( A. A ? C B. C ? A C.A

? ?C

D. C

? ?A

8、若以集合 S ? ?a, b, c? 中的三个元素为边长可构成一个三角形,则这个三角形 一定不是 A.锐角三角形 ( B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 )

9、已知 x, y, z 为非零实数,代数式

x y z | xyz | ? ? ? 的值所组成的集合是 M ,则下 | x | | y | | z | xyz
( D. 4 ? M ( ) )

列判断正确的是 A. 0 ? M B. 2 ? M C. ?4 ? M a ? 0 ,则不等式 ax ? 1 ? 0 的解集为 10、设 A. ? x | x ?

? ?

1? ? a?

B. ? x | x ? ? ?

? ?

1? a?

C. ? x | x ?

? ?

1? ? a?

D. ? x | x ? ? ?

? ?

1? a?

11 、 设 为

19 1 ? 5 ? ? ? ? ? x | x 2 ? ax ? ? 0? , 则 集 合 ? x | x 2 ? x ? a ? 0 ? 中 所 有 元 素 之 积 2 2 ? 2 ? ? ?
.

12、方程组 ?

? x ? y ? 2, 的解集 用列举法表示为 ?x ? y ? 0

.

2 2 13、已知 U=R, A ? {x x ? 2 x ? 3 ? 0}, B ? {x x ? 2 x ? 24 ? 0} 则 A ? (CU B) =

14、已知集合 A ? ? x ? N |

? ?

8 ? ? N ? ,试用列举法表示集合 A . 6? x ?

15、已知集合 A ={x ? R | ax ? 2 x ? 1 ? 0 , a ? R },若 A 中元素至多只有一个,求实数 a
2

的取值范围.

3

四、创新题型应用训练 1、 设 a, b, c 为实数, f ( x) ? ( x ? a)( x2 ? bx ? c), g ( x) ? (ax ? 1)(ax2 ? bx ? 1) .记集合

S ? ?x | f ( x) ? 0, x ? R?, T ? ?x | g ( x) ? 0, x ? R? .若| S |、 | T | 分别为集合 S , T 的元素
个数,则下列结论不可能的是( A. | S |? 1 且 | T |? 0 ) D. | S |? 2 且 | T |? 3 B. | S |? 1 且 | T |? 1 C. | S |? 2 且 | T |? 2

2 2 2、 .设集合 M ? a | a ? x ? y , x, y ? z .

?

?

求证: (1)一切奇数属于集合 M ;

(2)偶数 4k ? 2(k ? z ) 不属于 M ;

(3)属于 M 的两个整数,其乘积仍属于 M .

自我归纳整理:

4


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