数学湘教版必修1练习:第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.4.1 含解析


2.4 2.4.1 函数与方程 方程的根与函数的零点 1.知道函数零点的定义, 会求函数的零点.2.能说出函数零点的存在 [学习目标] 性定理, 会判断函数零点的存在性及存在区间.3.能利用数形结合的方法分析方程 根的个数或分布情况.4.会根据一元二次方程根的分布情况求参数范围. [知识链接] 考察下列一元二次方程与对应的二次函数: (1)方程 x2-2x-3=0 与函数 y=x2-2x-3; (2)方程 x2-2x+1=0 与函数 y=x2-2x+1; (3)方程 x2-2x+3=0 与函数 y=x2-2x+3. 你能列表表示出方程的根,函数的图象及图象与 x 轴交点的坐标吗? 答案 方程 函数 x2-2x-3=0 y=x2-2x-3 x2-2x+1=0 y=x2-2x+1 x2-2x+3=0 y=x2-2x+3 函数的图象 方程的实数 根 函数的图象 与 x 轴的交 点 x1=-1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 (-1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 [预习导引] 1.函数零点的定义 (1)对于函数 f(x),把方程 f(x)=0 的实数根叫作函数 y=f(x)的零点; (2)求方程 f(x)=0 的实数根,就是确定函数 y=f(x)的零点; (3)函数 y=f(x)的零点,也就是函数 y=f(x)图象与 x 轴交点的横坐标. 2.函数零点的存在性定理 设 f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 当 x 从 a 到 b 逐渐增加时, 如果 f(x)连续 变化而且 f(a)· f(b)<0, 则方程 f(x)=0 在(a, b)内至少有一个根, 即存在 x0∈(a, b),使 f(x0)=0. 要点一 求函数的零点 例1 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=x2+7x+6; (2)f(x)=1-log2(x+3); (3)f(x)=2x-1-3; x2+4x-12 (4)f(x)= . x-2 解 (1)解方程 f(x)=x2+7x+6=0,得 x=-1 或 x=-6, 所以函数的零点是-1,-6. (2)解方程 f(x)=1-log2(x+3)=0,得 x=-1, 所以函数的零点是-1. (3)解方程 f(x)=2x-1-3=0,得 x=log26, 所以函数的零点是 log26. x2+4x-12 (4)解方程 f(x)= =0,得 x=-6, x-2 所以函数的零点为-6. 规律方法 求函数零点的两种方法:(1)代数法:求方程 f(x)=0 的实数根;(2) 几何法: 对于不能用求根公式的方程, 可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点. 跟踪演练 1 判断下列说法是否正确: (1)函数 f(x)=x2-2x 的零点为(0,0),(0,2); (2)函数 f(x)=x-1(2≤x≤5)的零点为 x=1. 解 (1)函数的零点是使函数值为 0 的自变量的值,所以函数 f(x)=x2-2x 的零 点为 0 和 2,故(1)错. (2)虽然 f(1)=0,但 1? [2,5],即 1 不在函数 f(x)=x-1 的定义域内,所以函 数在定义域[2,5]内无零点,故(2)错. 要点二 判断函数零点所在区间 例2 在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( 1? ? B.?0, ? 4? ? ?1 3? D.? , ? ?2 4? ) ? 1 ? A.?- ,0? ? 4 ? ?1 1? C.? , ? ?4 2? 答

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