数学湘教版必修1练习:第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.4.1 含解析

2.4 2.4.1 函数与方程 方程的根与函数的零点 1.知道函数零点的定义, 会求函数的零点.2.能说出函数零点的存在 [学习目标] 性定理, 会判断函数零点的存在性及存在区间.3.能利用数形结合的方法分析方程 根的个数或分布情况.4.会根据一元二次方程根的分布情况求参数范围. [知识链接] 考察下列一元二次方程与对应的二次函数: (1)方程 x2-2x-3=0 与函数 y=x2-2x-3; (2)方程 x2-2x+1=0 与函数 y=x2-2x+1; (3)方程 x2-2x+3=0 与函数 y=x2-2x+3. 你能列表表示出方程的根,函数的图象及图象与 x 轴交点的坐标吗? 答案 方程 函数 x2-2x-3=0 y=x2-2x-3 x2-2x+1=0 y=x2-2x+1 x2-2x+3=0 y=x2-2x+3 函数的图象 方程的实数 根 函数的图象 与 x 轴的交 点 x1=-1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 (-1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 [预习导引] 1.函数零点的定义 (1)对于函数 f(x),把方程 f(x)=0 的实数根叫作函数 y=f(x)的零点; (2)求方程 f(x)=0 的实数根,就是确定函数 y=f(x)的零点; (3)函数 y=f(x)的零点,也就是函数 y=f(x)图象与 x 轴交点的横坐标. 2.函数零点的存在性定理 设 f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 当 x 从 a 到 b 逐渐增加时, 如果 f(x)连续 变化而且 f(a)· f(b)<0, 则方程 f(x)=0 在(a, b)内至少有一个根, 即存在 x0∈(a, b),使 f(x0)=0. 要点一 求函数的零点 例1 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=x2+7x+6; (2)f(x)=1-log2(x+3); (3)f(x)=2x-1-3; x2+4x-12 (4)f(x)= . x-2 解 (1)解方程 f(x)=x2+7x+6=0,得 x=-1 或 x=-6, 所以函数的零点是-1,-6. (2)解方程 f(x)=1-log2(x+3)=0,得 x=-1, 所以函数的零点是-1. (3)解方程 f(x)=2x-1-3=0,得 x=log26, 所以函数的零点是 log26. x2+4x-12 (4)解方程 f(x)= =0,得 x=-6, x-2 所以函数的零点为-6. 规律方法 求函数零点的两种方法:(1)代数法:求方程 f(x)=0 的实数根;(2) 几何法: 对于不能用求根公式的方程, 可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点. 跟踪演练 1 判断下列说法是否正确: (1)函数 f(x)=x2-2x 的零点为(0,0),(0,2); (2)函数 f(x)=x-1(2≤x≤5)的零点为 x=1. 解 (1)函数的零点是使函数值为 0 的自变量的值,所以函数 f(x)=x2-2x 的零 点为 0 和 2,故(1)错. (2)虽然 f(1)=0,但 1? [2,5],即 1 不在函数 f(x)=x-1 的定义域内,所以函 数在定义域[2,5]内无零点,故(2)错. 要点二 判断函数零点所在区间 例2 在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( 1? ? B.?0, ? 4? ? ?1 3? D.? , ? ?2 4? ) ? 1 ? A.?- ,0? ? 4 ? ?1 1? C.? , ? ?4 2? 答案 C 1 ?1? 4 解析 ∵f? ?= e-2<0,f( )= e-1>0, 2 ?4? ?1? ?1? ?1 1? ∴f? ?· f? ?<0,∴零点在? , ?上. ?4? ?2? ?4 2? 规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法:一是利用零点存在定理,二是利用 函数图象. 2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用,若 f(x)图象在[a,b]上连续,且 f(a)· f(b)<0,则 f(x)在(a,b)上必有零点,若 f(a)· f(b)>0,则 f(x)在(a,b)上不一定没有零点. 跟踪演练 2 函数 f(x)=ex+x-2 零点所在的一个区间是( B.(-1,0) D.(1,2) ) A.(-2,-1) C.(0,1) 答案 C 解析 ∵f(0)=e0+0-2=-1<0, f(1)=e1+1-2=e-1>0, ∴f(0)· f(1)<0, ∴f(x)在(0,1)内有零点. 要点三 判断函数零点的个数 例3 判断函数 f(x)=lnx+x2-3 的零点的个数. 函数对应的方程为 lnx+x2-3=0, 所以原函数零点的个数即为函数 解 方法一 y=lnx 与 y=3-x2 的图象交点个数. 在同一坐标系下,作出两函数的图象(如图). 由图象知,函数 y=3-x2 与 y=lnx 的图象只有一个交点.从而 lnx+x2-3=0 有 一个根,即函数 y=lnx+x2-3 有一个零点. 方法二 由于 f(1)=ln1+12-3=-2<0, f(2)=ln2+22-3=ln2+1>0, 所以 f(1)· f(2)<0, 又 f(x)=lnx+x2-3 的图象在(1,2)上是不间断的, 所以 f(x)在(1,2)上必有零点, 又 f(x)在(0,+∞)上是递增的,所以零点只有一个. 规律方法 判断函数零点个数的方法主要有: (1)对于一般函数的零点个数的判断 问题,可以先确定零点存在,然后借助于函数的单调性判断零点的个数;(2)由 f(x)=g(x)-h(x)=0, 得 g(x)=h(x), 在同一坐标系下作出 y1=g(x)和 y2=h(x) 的图象,利用图象判定方程根的个数;(3)解方程,解得方程根的个数即为函数零 点的个数. 跟踪演练 3 A.1 答案 B 解析 将函数零点视为两个函数图象的交点横坐标,分别画出

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