辽宁省2012届高三高考极限压轴卷 数学理试题

绝密★启用前

2012 年辽宁省高考压轴卷数学理 年辽宁省高考压轴卷数学理 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合U = {1,2,3,4} , M = {x | x ? 5 x + p = 0} ,若 CU M = {2,3} ,则实数 p 的值为
2

A. ? 6 2.若复数

B. ? 4

C. 4

D. 6

a + 3i ( a ∈ R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 + 2i B. ? 2 C. 4 D. 6 A. ? 6

3.已知 {a n } 为等差数列,若 a1 + a5 + a 9 = π ,则 cos(a 2 + a8 ) 的值为 A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

? 1 ?x 2 , x > 0 4.已知函数 f ( x) = ? , 则 f [ f (?4)] = 1 x ?( ) , x ≤ 0 ? 2
A. ? 4 B. ?

1 4

C. 4

D. 6

5.下列命题错误的是 A. 命题“若 x 2 + y 2 = 0 ,则 x = y = 0 ”的逆否命题为“若 x, y 中至少有一个不为

0 ,则 x 2 + y 2 ≠ 0 ”;
B. 若命题 p : ?x 0 ∈ R, x 0 ? x 0 + 1 ≤ 0 ,则 ?p : ?x ∈ R, x 2 ? x + 1 > 0 ;
2

C. ?ABC 中, sin A > sin B 是 A > B 的充要条件; D. 若 向 量 a, b 满 足 a ? b < 0 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 . 6. 执行下面的程序框图,如果输入 m = 72, n = 30 ,则输出的 n 是 A. 12 B. 6 C. 3 D. 0 开始

输入 m,n

7. 从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数, 事件 A =“第一次取到的是奇数” B =“第二次取到的是奇数” , , 则 P ( B | A) = A.
1 5

求 m 除以 n 的余数 r B.
3 10

n=r

C.

2 5

D.

1 2

8. 函数 f ( x ) = sin(ωx + ? ) (其中 | ? |<

π
2

m=n

y = f ( x) 的图象上所有点
A. 向右平移

)的图象如图所示,为了得到 yr=0? ωx 的图象,只需把 = sin 否

π
6

个单位长度 B. 向右平移

π
12

是 个单位长度 输出 n 结束
第1页

C. 向左平移
2

π
6

个单位长度 D. 向左平移

π
12

个单位长度

9. 曲线 y = x + bx + c 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处切线的倾斜角的取值范围为 [0, 距离的取值范围为 A. [0,1]
2

π
4

] ,则点 P 到该曲线对称轴

B. [0, ]
2 2

1 2

C. [0,

|b| ] 2
2

D. [0,
2

| b ?1| ] 2
2

10. 若圆 C1 : x + y + 2ax + a ? 4 = 0, ( a ∈ R ) 与 C2 : x + y ? 2by ? 1 + b = 0, (b ∈ R ) 外切,则 a + b 的最大值为 A. ? 3 2 B. ? 3 C. 3 D. 3 2

11.若不重合的四点 P, A, B, C ,满足 PA + PB + PC = 0 , AB + AC = m AP ,则实数 m 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 函数 y = f ( x ) 的最小正周期为 2 ,且 f ( ? x ) = f ( x ) .当 x ∈ [0,1] 时, f ( x ) = ? x + 1 ,那么在区间

uuu uuu uuu r r r

uuu uuur r

uuu r

1 [?3,4] 上,函数 y = f ( x) 的图像与函数 y = ( ) | x| 的图像的交点个数是 2 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知双曲线

x2 y2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 与抛物线 y 2 = 8 x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线的一个交点 2 a b


为 P ,若 | PF |= 5 ,则双曲线方程为

14.设等比数列 {a n } 的前 n 项之和为 S n ,已知 a1 = 2011 , 且 a n + 2a n +1 + a n + 2 = 0( n ∈ N ) ,则 S 2012 =
?



? y≤x ? 15.已知不等式组 ? y ≥ ? x 表示的平面区域 S 的面积为 4 ,点 P ( x, y ) ∈ S ,则 z = 2 x + y 的最大值 ? x≤a ?
为 .

16. 一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几 何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表 面积是 .

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 如图, AB 是底部 B 不可到达的一个塔型建筑物, A 为塔的最高点.现需在对岸测出塔高 AB ,甲、 乙两同学各提出了一种测量方法,甲同学的方法是:选与塔底 B 在同一水平面内的一条基线 CD ,使
第2页

C , D, B 三点不在同一
条直线上,测出 ∠DCB 及 ∠CDB 的大小(分别 用 α , β 表示测得的数据)以及 C , D 间的距离(用

s 表示测得的数据) ,另外需在点 C 测得塔顶 A 的
仰角(用 θ 表示测量的数据) ,就可以求得塔高

AB .乙同学的方法是:选一条水平基线 EF ,使 E , F , B 三点在同一条直线上.在 E , F 处分别测得
塔顶 A 的仰角(分别用 α , β 表示测得的数据)以 及 E , F 间的距离(用 s 表示测得的数据) ,就可以求得塔高 AB . 请从甲或乙的想法中选出一种测量方法,写出你的选择并按如下要求完成测量计算:①画出测量示意 图;②用所叙述的相应字母表示测量数据,画图时 C , D, B 按顺时针方向标注, E,F 按从左到右的方向 标注;③求塔高 AB . 18. (本小题满分 12 分)如图,四边形 DCBE 为直角梯形, ∠DCB = 90 ,
o

DE // CB , DE = 1, BC = 2 ,又 AC = 1 , ∠ACB = 120 o , CD ⊥ AB ,直线 AE 与直线 CD 所成角为 60 . (Ⅰ)求证:平面 ACD ⊥ 平面 ABC ; (Ⅱ)求 BE 与平面 ACE 所成角的正弦值.
o

D

E

C

B

19. (本小题满分 12 分) 现有 A, B 两个项目,投资 A 项目 100 万元,一年后获得 据市场分析, X 1 的分布列为: X1 P 12
1 6

A

的利润为随机变量 X 1 (万元) ,根

11.8
1 2

11.7
1 3

投资 B 项目 100 万元,一年后获得的利润 X 2 (万元)与 B 项目产品价格的调整(价格上调或下调)有关, 已知 B 项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,且在每次调整中价格下调的概率都是 p (0 ≤ p < 1) . 经专家测算评估 B 项目产品价格的下调与一年后获得相应利润的关系如下表:

B 项目产品价格一年内下调次数 X (次) 投资 100 万元一年后获得的利润 X 2 (万元)
(Ⅰ)求 X 1 的方差 D ( X 1 ) ; (Ⅱ)求 X 2 的分布列;

0 13

1 12.5

2 2

(Ⅲ)若 p = 0.3 ,根据投资获得利润的差异,你愿意选择投资哪个项目? (参考数据: 1.2 × 0.49 + 0.7 × 0.42 + 9.8 × 0.09 = 9.555 ) .
2 2 2

20. (本小题满分 12 分) 如图椭圆 C :

x2 y2 + = 1 的右顶点是 A ,上下两个顶点分别为 B, D ,四边形 OANB 是矩形( O 为原 4 3
第3页

点) ,点 E, M 分别为线段 OA, AN 的中点. (Ⅰ)证明:直线 DE 与直线 BM 的交点 在椭圆 C 上; (Ⅱ)若过点 E 的直线交椭圆于 R, S 两点, K 为 R 关于 x 轴的对称点( R, K , E 不共线) , 问:直线 KS 是否经过 x 轴上一定点,如果是, 求这个定点的坐标,如果不是,说明理由.

y B N M O A x

E

D

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) = ln( x + 1) + ae ? x ? a , a ∈ R . (Ⅰ)当 a = 1 时,证明 f ( x) 在 (0,+∞) 是增函数; (Ⅱ)若 x ∈ [0,+∞) , f ( x) ≥ 0 ,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲.F 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,
A

BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延长线上. EC 1 ED 1 DC (Ⅰ)若 = , = ,求 的值; EB 3 EA 2 AB
(Ⅱ)若 EF 2 = FA ? FB ,证明: EF // CD .

D

B

E

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程.

? x = a cos ? 在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? ( a > b > 0 ,? 为参数) 在以 O 为极点, , ? y = b sin ?

x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线 C1 上的点
M (1, 3 π π π ) 对应的参数 ? = ,射线 θ = 与曲线 C 2 交于点 D(1, ) . 2 3 3 3 (I)求曲线 C1 , C 2 的方程;

(II)若点 A( ρ1 , θ ) , B ( ρ 2 , θ +

π
2

) 在曲线 C1 上,求

1

ρ

2 1

+

1
2 ρ2

的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设不等式 | 2 x ? 1 |< 1 的解集是 M , a, b ∈ M . (I)试比较 ab + 1 与 a + b 的大小;
第4页

(II)设 max 表示数集 A 的最大数. h = max ?

? 2 a 2 + b2 2 ? , , ? a ab b ?

? ? ,求证: h ≥ 2 . ?

第5页

参考答案
一、选择题 1、C 2、A 3、A 4、C 5、D 6、B 7、D 8、A 9、B 10、D 11、B 12、C 二、填空题
y2 13.x - 3 =1
2

14.

0

15.

6

16.

16π

三、解答题:解答应写成文字说明。证明过程或演算步骤 17.(本题满分 12 分) 解:选甲:示意图 1

图1 在 △BCD 中, ∠CBD = π ? α ? β .由正弦定理得 所以 BC =

----------4 分

BC CD . = sin ∠BDC sin ∠CBD

CD sin ∠BDC s sin β · = . sin ∠CBD sin(α + β ) s ? tan θ sin β .---------12 分 sin(α + β )

在 Rt?ABC 中, AB = BC tan ∠ACB = 选乙:图 2

图 2----------4 分 在 ?AEF 中, ∠EAF = β ? α ,由正弦定理得

EF AF = , sin( β ? α ) sin α

第6页

所以 AF =

EF ? sin α s ? sin α = . sin( β ? α ) sin( β ? α ) s ? sin α ? sin β .---------12 分 sin( β ? α )

在 Rt?ABF 中, AB = AF ? sin β =

由直线 AE 与直线 CD 所成角为 60 ,得

o

AE ? CD =| AE || CD | cos 60 o ,即 a 2 =
∴ CE = (0,1,1) , CA = (
3 1 ,? ,0) , BE 2 2

a a 2 + 3 ,解得 a = 1 . 2

= (0,?1,1) ,
?n ? CA = 0 ? , ?n ? CE = 0 ?

设平面 ACE 的一个法向量为 n = ( x, y , z ) ,则 ?
? 3 ? ? 1

? 即 ? 2 x ? 2 y = 0 ,取 x = y+z = 0

3 , 则 y = 3, z = ?3 ,得 n = ( 3 ,3,?3) ,
| BE ? n | | BE || n | 42 ,于是 BE 与平面 7

设 BE 与平面 ACE 所成角为 θ ,则 sin θ =
42 .---------12 分 7

=

ACE 所成角的正弦值为

19. (本小题满分 12 分) 【 解 析 】 Ⅰ ) X1 的 概 率 分 布 为 则 (

X1
P

12

11.8
1 2

11.7
1 3

1 6

E ( X 1 ) = 12 ×

1 1 1 + 11.8 × + 11.7 × = 11.8 . 6 2 3
第7页

D ( X 1 ) = (12 ? 11.8) 2 ×
---------4 分

1 1 1 + (11.8 ? 11.8) 2 × + (11.7 ? 11.8) 2 × = 0.01 . 6 2 3

(Ⅱ)解法 1: 由题设得 X ~ B ( 2, p ) ,则 X 的概率分布为

X P
故 X 2 的概率分布为

0
(1 ? p ) 2

1

2

2 p (1 ? p )

p2

X2
P

13
(1 ? p ) 2

12.5
2 p (1 ? p )

2

p2
---------8 分

解法 2: 设 Ai 表示事件”第 i 次调整,价格下调”( i = 1,2) ,则

P ( X = 0) = P ( A1 ) P ( A2 ) = (1 ? p ) 2 ;

P ( X = 1) = P ( A1 ) P ( A2 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) = 2 p (1 ? p ) ; P ( X = 2) = P ( A1 ) P ( A2 ) = p 2
故 X 2 的概率分布为

X2
P

13
(1 ? p ) 2

12.5
2 p (1 ? p )

2

p2

(Ⅲ)当 p = 0.3 时. E ( X 2 ) = E ( X 1 ) = 11.8 , 由于 D ( X 1 ) = 0.01 .

D( X 2 ) = 9.555 .

所以 D( X 2 ) > D( X 1 ) ,当投资两个项目的利润均值相同的情况下,投资 B 项目的风险高于 A 项目.从获得稳 定收益考虑, 当 p = 0.3 时应投资 A 项目. ---------12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意,得 A( 2,0), B (0, 3 ), D (0,? 3 ), E (1,0), M ( 2, 所以直线 DE 的方程 y =

3 ), 2 3 x + 3 ,------2 分 4

3 x ? 3 ,直线 BM 的方程为 y = ?

8 ? ? y = 3x ? 3 ? x=5 ? ? 由? ,得 ? , 3 ?y = 3 3 ?y = ? 4 x + 3 ? ? 5 ?
所以直线 DE 与直线 BM 的交点坐标为 ( ,

8 3 3 ) ,---------------4 分 5 5

第8页

8 3 3 2 ( )2 ( ) x2 y2 8 3 3 因为 5 + 5 = 1 ,所以点 ( , + = 1 上.---------6 分 ) 在椭圆 C : 4 3 5 5 4 3
(2)设 RS 的方程为 y = k ( x ? 1) ,代入 C : 得 (3 + 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x + 4k 2 ? 12 = 0 , 设 R( x1 , y1 ), S ( x 2 , y 2 ) ,则 K ( x1 ,? y1 ) ,

x2 y2 + = 1, 4 3

x1 + x 2 =

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x 2 = , 3 + 4k 2 3 + 4k 2

直线 SK 的方程为 y ? y 2 = 令 y = 0, 得 x =

y 2 + y1 ( x ? x2 ) , x 2 ? x1

y1 x 2 + y 2 x1 , y 2 + y1

将 y1 = k ( x1 ? 1) , y 2 = k ( x 2 ? 1) 代入上式得 (9 设 x =

2 x1 x 2 ? ( x1 + x 2 ) = 4, x1 + x 2 ? 2

所以直线 SK 经过 x 轴上的点 ( 4,0) .---------12 分

21. (本小题满分 12 分)

解: (1) f ( x) =
'

1 a e x ? a (1 + x) ? x = , 1+ x e e x (1 + x)
'

当 a = 1 时, f ( x) =

e x ? (1 + x) , e x (1 + x)

---------2 分

令 g ( x) = e x ? 1 ? x ,则 g ' ( x) = e x ? 1 , 当 x ∈ (0,+∞ ) 时, g ' ( x) = e x ? 1 > 0 ,所以 g (x ) 在 (0,+∞ ) 为增函数, 因此 x ∈ (0,+∞ ) 时, g ( x ) > g (0) = 0 ,所以当 x ∈ (0,+∞ ) 时, f ' ( x) > 0 , 则 f (x ) 在 (0,+∞ ) 是增函数. ---------6 分

e x ? a (1 + x) (2)由 f ( x) = , e x (1 + x)
'

由(1)知, e x ≥ 1 + x, 当且仅当 x = 0 等号成立. 故 f ' ( x) ≥

1 + x ? a (1 + x ) (1 ? a )(1 + x ) , = e x (1 + x ) e x (1 + x )

从而当 1 ? a ≥ 0 ,即 a ≤ 1 时,
' 对 x ∈ [0,+∞ ) , f ( x) ≥ 0 ,

于是对 ?x ∈ [0,+∞ ) f ( x ) ≥ f (0) = 0 .
第9页

由 e x > 1 + x( x ≠ 0), 得 e ? x > 1 ? x( x ≠ 0) , 从而当 a > 1 时,

f ' ( x) < =

e x ? a + ae ? x ? a e 2 x ? 2ae x + a = e x (1 + x) e 2 x (1 + x)

(e x ? a + a 2 ? a )(e x ? a ? a 2 ? a ) e 2 x (1 + x)
a 2 ? a )) 时, f ' ( x) < 0 ,

故当 x ∈ (0, ln(a + 于是当 x ∈ (0, ln(a +

a 2 ? a )) 时, f ( x ) < f (0) = 0 ,

综上, a 的取值范围是 (?∞,1] .---------12 分

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 、 、 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲.
F A

D

B

E

C

证明: (1)Q A, B , C , D 四点共圆,

∴ ∠EDC = ∠EBF ,
又Q ∠CED = ∠AEB ,

∴ ?CED ∽ ?AEB ,


Q

EC ED DC , = = EA EB AB EC 1 ED 1 = , = , EB 3 EA 2



DC 6 . = AB 6

(2)Q EF 2 = FA ? FB ,



EF FB , = FA FE
∴ ?FAE ∽ ?FEB ,

又Q ∠EFA = ∠BFE ,

∴ ∠FEA = ∠EBF ,
第 10 页

又Q A, B , C , D 四点共圆,

∴ ∠EDC = ∠EBF , ∴ ∠FEA = ∠EDC ,
∴ EF // CD .
23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程.

π ? ? 1 = a cos 3 3 π ? x = a cos ? ? 解: (I)将 M (1, ,得 ? , ) 及对应的参数 ? = ,代入 ? y = b sin ? π 3 2 3 ? ? = b sin ? 2 3 ?
即?

?a = 2 , ?b = 1 ? x = 2 cos ? x2 ( ? 为参数) ,或 + y2 = 1. 4 ? y = sin ?

所以曲线 C1 的方程为 ?

设圆 C2 的半径为 R ,由题意,圆 C2 的方程为 ρ = 2R cos θ ,(或 ( x ? R ) 2 + y 2 = R 2 ). 将点 D (1,

π ) 代入 ρ = 2R cos θ , 3 π ,即 R = 1 . 3

得 1 = 2 R cos

(或由 D (1,

π 1 3 ) ,得 D ( , ) ,代入 ( x ? R ) 2 + y 2 = R 2 ,得 R = 1 ), 3 2 2 π ) 在在曲线 C1 上, 2
2 ρ 2 sin 2 θ

所以曲线 C2 的方程为 ρ = 2 cos θ ,或 ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 . (II)因为点 A( ρ1 ,θ ) , B ( ρ 2 , θ + 所以

ρ12 cos 2 θ
4 1 + 1
2 ρ2

+ ρ12 sin 2 θ = 1 ,

4

2 + ρ 2 cos 2 θ = 1 ,

所以

ρ12

=(

cos 2 θ sin 2 θ 5 + sin 2 θ ) + ( + cos 2 θ ) = . 4 4 4

第 11 页

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