冲刺班讲义—解析几何(教师版)


冲刺班讲义—解析几何
一、 知识总结 1. 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系:相离、相交、相切. 解决的方法是直线与圆锥曲线联立方程组,求解的个数问题。 相离,直线与圆锥曲线无公共点; 相切,直线与圆锥曲线有一个公共点; 相交,直线与椭圆有 2 个公共点,但与双曲线、抛物线的公共点可能有 2 个,也有可能只 1 个(当直线与双 曲线的渐近线平行时,直线与抛物线的对称轴平行时). 另外,还能利用数形结合的方法,迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系. 2. 弦长问题 直线与圆相交的弦长:利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,弦长 = 直线与椭圆、双曲线、抛物线:分两种情况: ①当斜率不存在时,设 x =

2 r2 - d 2

x0 ,与曲线联立解方程组;弦长 ?| y1 ? y2 |?

b2 ? 4ac |a|

②当斜率存在时,设直线为

y ? kx ? m
? |a|

,与曲线联立方程组,利用韦达定理,弦长

? 1? k2
3.

2 (x1 ? x 2 ) ? x 4x 1 ? 2

?1k 2?

弦中点问题:利用韦达定理、点差法 在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 kl ? ?

b 2 y0 ? ; a 2 x0

在双曲线

x2 y2 b 2 y0 ? ? 1 P ( x , y ) 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k ? ? ; 0 0 l a2 b2 a 2 x0

在抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 kl ?

p 。 y0

提醒:因为 ? 了检验 ? 4.

? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘

? 0!

焦点弦

2b 2 过椭圆焦点的弦中,最短的是通径长 ,最长的是长轴 2 a ; a
过双曲线焦点的弦中,若交在同一支上,最短的是通径长

2b 2 ,交在两支上,最短的是 2 a ; a

过抛物线焦点的弦中,最短的是通径长 2 p .其它弦长 ? x1 ? x2 5. 焦点三角形 椭圆焦点三角形面积: S

? p , x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 . 4

? b2 tan

? ; Smax ? bc 2
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双曲线焦点三角形面积: S 6. 圆锥曲线中对称问题

? b2 cot

? 2

曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题在椭圆、双曲线、抛物线中都曾出现过. 解决这类问题要充分运用“垂直、平分”这两个特征,由垂直关系设出方程,再得出待定系数的范围( ? 最后再由平分关系得出两个参数的关系,此外还要注意“点差法”的运用. 一般说来,导出关于待定系数的不等式的方法很多,最普遍的是利用

? 0) ,

? ? 0 .具体方法如下:设

1 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 是曲线 C 上关于直线 y ? kx ? b 对称的两点,则 PQ 的方程为 y ? ? x ? m ,代入曲线 k
C 的方程,得到关于 x (或

y )的一元二次方程,其中 P, Q 点的坐标即为方程的根,故 ? ? 0 ,从而求得 k (或

b )的范围.
在椭圆中也可以利用点差法,求出中点坐标的关系:(椭圆) kl 中点坐标,最后利用该中点在曲线内部,求出参数范围。 7. 圆锥曲线的参数方程

??

b 2 y0 ? ,再将中点代入直线,可求出 a 2 x0

(1)圆的参数方程 中心在原点,半径为 r 的圆: ?

? x ? r cos ? (θ 为参数) ? y ? r sin ?

中心在(x0,y0) ,半径等于 r 的圆: ? (2)椭圆的参数方程

? x ? x0 ? r cos ? ( ? ? ?0, 2? ? 为参数) ? y ? y0 ? r sin ?
? x ? a cos? ? x ? b cos? ( ? ??0,2? ? 为参数) (或 ? ) ? y ? b sin ? ? y ? a sin ?

中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的椭圆: ? 8. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:

(1) 给出直线的方向向量 u (2)给出 OA ? OB 与

?

? ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n? ;

AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; ? (3)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点;
AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线; ? ? ( 5 ) 给 出 以 下 情 形 之 一 : ① AB // AC ; ② 存 在 实 数 ? , 使AB ? ? AC ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A, B, C 三点共线. ,等于已知 ? , ? ,且 ? ? ?? 1 使 , OC ? ? O A ? ?O B
(4)给出 AP ? (7)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? (8)

?

?

;③若存在实数

AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形; ??? ? ???? ??? ? ???? 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形;

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二、 复习指导 高考中解析几何试题一般共有 3 题(1 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题),共计 24 分左右,考查的知识点约 为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方 程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网 络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平 面 几 何 的基本知识和向量的基本 方法 ,这一点值 . . . . ........... .. 得强化。 1. 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求曲线的方程的方法. 2. 对解答题而言,椭圆、 双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能,而且在历年的高考试题中往往是交 替出现的,以上海为例,2010 年考的是椭圆,2011 年考的是直线,2012 年考的是双曲线+圆+椭圆,2013 考 的是双曲线+直线+圆,2014 年考的是直线+双曲线. 三、 例题分析 题型一:重视圆锥定义的运用 【例1】 一动圆与已知圆 O1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 O2:(x-3)2+y2=81 内切,试求动圆圆心的轨迹方程. 解 如图所示,设动圆的圆心为 C,半径为 r.

则由圆相切的性质知,|CO1|=1+r,|CO2|=9-r, ∴|CO1|+|CO2|=10,而 |O1O2|=6, ∴点 C 的轨迹是以 O1、O2 为焦点的椭圆,其中 2a=10,2c=6,b=4. ∴动圆圆心的轨迹方程为 x2 y2 + =1. 25 16

【例2】 求过点 A(2,0)且与圆 x2+4x+y2-32=0 内切的圆的圆心的轨迹方程. 解 将圆的方程化为标准形式为:(x+2)2+y2=62,圆心 B(-2,0),r=6. 设动圆圆心 M 的坐标为(x,y),动圆与已知圆的切点为 C.

则|BC|-|MC|=|BM|,而|BC|=6, ∴|BM|+|CM|=6. 又|CM|=|AM|,∴|BM|+ |AM|=6>|AB|=4. ∴点 M 的轨迹是以点 B(-2,0)、A(2,0)为焦点、线段 AB 中点(0,0)为中心的椭圆. a=3,c=2,b= 5. x2 y2 ∴所求轨迹方程为 + =1. 9 5 【例3】 已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解:设动圆 M 的半径为 r,则由已知得,|MC1|=r+ 2,|MC2|=r- 2, 第 3 页 共 18 页

∴|MC1|-|MC2|=2 2, 又 C1(-4,0),C2(4,0),∴|C1C2|=8. ∴2 2<|C1C2|. 根据双曲线定义知,点 M 的轨迹是以 C1(-4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2,c=4,∴b2=c2-a2=14. x2 y2 ∴点 M 的轨迹方程是 - =1 (x≥ 2). 2 14 【例4】 (2012 年上海卷 14)如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,BC=2.若 AD=2c,且 AB+BD=AC+CD=2a,其中 a、c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 .

D

C A B

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题型二:重视与向量的综合 在历年全国高考卷中,有许多省市的解析几何大题与向量综合,主要涉及到向量的内积、夹角、定比分点 等,因此,与向量的综合,仍然是解析几何的热点之一。 【例5】 平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) ,B(-1,3) ,若点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB , 其中?、?∈R,且?+?=1,则点 C 的轨迹方程为 (A) (x-1)2+(y-2)2=5 (C)2x-y=0 (B)3x+2y-11=0 (D)x+2y-5=0

解:设 C ( x, y ) ,由题意得 ( x, y) = ? (3,1) + ? (- 1, 3) = (3? - ? , ? + 3? ) ,

ì 3x + y ? ? ?= ? ì x = 3 ? ? ? ? 10 , ∴镲 ? 眄 镲 y = ? + 3 ? 3 y - x ? 铒 ?= ? ? 10 ? ?
∵?+?=1, ∴

3x + y 3 y - x + = 1 ,化简得 x + 2 y - 5 = 0 ,恰好为点 A,B 所在直线方程 10 10

答案:D 【例6】 (2014 上海卷 14)已知曲线 C : x = -

4 - y2 ,直线 l : x ? 6 . 若对于点 A(m , 0) ,存在 C 上的点

P 和l

上的 Q 使得 AP + AQ = 0 ,则 m 的取值范围为____________.

??? ?

????

?

解析:曲线 C : x = -

(左半圆)∴ xP ? [ 2, 0] , 4 - y2 ,是以原点为圆心,2 为半径的圆, ??? ? ???? ? ∵ AP + AQ = 0 ,∴A 为 PQ 的中点, 由中点坐标公式得 xA =

xP + xQ 2

=

xP + 6 ? [2,3] 2

【例7】 已知动点 P(x,y)在椭圆 小值为________.

x2 y2 → → → → + =1 上,若 A 点的坐标为(3,0),|AM|=1,且PM· AM=0,则|PM|的最 25 16

→ 解:由|AM|=1,A(3,0)知点 M 在以 A(3,0)为圆心,1 为半径的圆上运动, → → ∵PM· AM=0 且 P 在椭圆上运动, ∴PM⊥AM,∴PM 为⊙A 的切线,连结 PA(如图), → 则|PM|= → → |PA|2-|AM|2= → |PA|2-1,

→ → ∴当|PA|min=a-c=5-3=2 时,|PM|min= 3.

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【例8】 已知定点 A(-1,0)和 B(1,0),P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4 上的一动点,求 PA ? PB 的最大值和最小值。 分析:因为 O 为 AB 的中点,所以 PA ? PB ? 2 PO 故可利用向量把问题转化为求向量 OP 的最值。 解:设已知圆的圆心为 C,由已知可得: OA ? (?1, 0), OB ? (1, 0)

2

2

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? OA ? OB ? 0, OA ? OB ? ?1
又由中点公式得 PA ? PB

y P C

??? ? ??? ?

??? ? ? 2 PO
2

∵ PA ? PB ? ( PA ? PB ) ? 2 PA ? PB = (2 PO) 2 ? 2(OA ? OP) ? (OB ? OP) = 4 PO ? 2OA ? OB ? 2 OP ? 2OP ? (OA ? OB ) = 2 OP ? 2 又因为 OC ? (3, 4) 点 P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4 上, 所以 OC ? 5, CP ? 2,

??? ?2

??? ?2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

A

O

B

x

???? 2 ??? ?2

??? ? ??? ?

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ?

????

????

??? ?

且 OP ? OC ? CP ,

??? ?

???? ??? ?
????

所以 OC ? CP ? OP ? OC ? CP ? OC ? CP ,即 3 ? OP ? 7 故 20 ? PA ? PB ? 2 OP ? 2 ? 100 所以 PA ? PB 的最大值为 100,最小值为 20。 点评:有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现,但如果运用向 量知识来解决,也会显得自然、 简便,而且易入手。 总结提炼 由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”, 使向量与解析几何之间有着密切联系,而新课程高考则突 出了对向量与解析 几何结合考查,这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中,应抓住时机,有效地渗透向 量有关知识,树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材,在教学中从推导有关公式、定理,从例题讲解入手, 让学生去品位、去领悟,在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性,逐渐形成应用向量的意识,在教 学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论,加以引申,使之成为解题方法,体会向量解题的优越性,在教 学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题,逐步树立运用向量知识解题 的意识。
2 2

????

??? ?

??? ?

???? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?2

??? ?2

??? ?2

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题型三:重视换元法、参数方程的运用 【例9】 椭圆 围是 解: F1 (-

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F 1 , F 2 ,点 P 为其上的动点,当∠F 1 P F 2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范 9 4


5,0), F2 ( 5,0) ,设 P(3cos ? ,2sin ? )

? ?F1 PF 2 为钝角


???? ???? ? PF1 ? PF2 ? ( ? 5 ? 3cos ? , ?2sin ? ) ? ( 5 ? 3cos ? , ?2sin ? )

= 9cos 2 ? - 5 + 4sin 2 ?
= 5cos 2 ? - 1 < 0
解得: ?
5 5 ? cos ? ? 5 5

∴点 P 横坐标的取值范围是 (?

3 5 3 5 , ). 5 5

点评:解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积 为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了。 【例10】 已知 PA ? x ? 5 , y , PB ? x ? 5 , y 且 PA ? PB ? 6, 则 2 x ? 3 y ? 12 的最大值为_____________。 解: 由 PA ? PB ? 6 知动点 P 的轨迹为以 A ? 5 ,0 , B 5 ,0 为焦点, 长轴长为 6 的椭圆, 其方程为 令x

?

?

?

?

?

? ? ?

x2 y2 ? ?1, 9 4

? 3 cos? , y ? 2 sin ? , 则 2 x ? 3 y ? 12

?? ? ? 6 2 cos?? ? ? ? 12 4? ?

?? ? 当 cos?? ? ? ? ?1 时, 2 x ? 3 y ? 12 取最大值 12 ? 6 2 。 4? ?
【例11】 试求函数

f ? x? ?

? x ? 1?

2

? ? x ? 2?
2

2

1? ? ? x ? ? x2 ? ? 的最小值。 4? ?
2

2

答案:

9 4
) D. 2 2

【例12】 (理科)实数 x, y 满足 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 4 x 2 y 2 ? 4 ,则 x ? y 的最大值是( A. 2
2 2 2 2

B. 3
2 2

C. 5

解:由 x +2xy+y +x y =1,变形为(x+y) +(xy) =1. 可设 x+y=cosθ,xy=sinθ,θ∈[0,2π). ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=cos2θ-4sinθ=1-sin2θ-4sinθ=-(sinθ+2)2+5≤5, ∴x-y≤ 5, 【例13】 已知 z1 ? x ? 5 ? yi , z2 ? x ? 5 ? yi 且 x , y 为实数, 的最大值和最小值 解:∵ | z1 |?

z1 ? z2 ? 6 。求 f ? x , y ? ? 2x ? 3y ?12

( x ? 5) 2 ? y 2 , | z2 |? ( x ? 5) 2 ? y 2 ,

∴由 | z1 | ? | z2

|? 6 知, P ( x, y ) 到点 (? 5,0),( 5,0) 的距离之和为常数 6

说明 P ( x, y ) 在以 (? 此椭圆方程为

5,0),( 5,0) 为焦点,长轴为 6 的椭圆上,即 a ? 3, c ? 5 ,

x2 y2 ? ?1 9 4
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设椭圆的参数方程为 x ? 3cos t , y ? 2sin t 则

f ( x, y) ?| 2 x ? 3 y ? 12 |?| 6cos t ? 6sin t ? 12 |

? 6 | sin t ? cos t ? 2 |? 6 | 2 sin(t ? ) ? 2 | 4
∴ 题型三 方法提炼 利用抛物线的定义可解决的常见问题: (1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线; (2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时,注意利用两者之间的转化在解题中 的应用. 【例14】 如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,B,交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|, 且|AF|=3,则此抛物线的方程为( ).

?

f ? x, y ?min ? 12 ? 6 2 ; f ? x, y ?max ? 12 ? 6 2
抛物线的定义及应用

A.y2=9x

B.y2=6x

C.y2=3x

D.y2= 3x

解析 如图,分别过 A,B 作 AA1⊥l 于 A1,BB1⊥l 于 B1, 由抛物线的定义知:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|, ∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30° , ∴∠AFx=60° ,连接 A1F,则△ AA1F 为等边三角形,过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1,则 F1 为 AA1 的中点,设 l 交 1 1 3 x 轴于 K,则|KF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即 p= , 2 2 2 ∴抛物线方程为 y2=3x,故选 C. 答案 C

【例15】 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为 - 3,那么|PF|=( A.4 3 B.8 ). C.8 3 D.16

解析:如图,由 kAF=- 3知∠AFM=60° .

又 AP∥MF,所以∠PAF=60° . 又|PA|=|PF|,所以△ APF 为等边三角形. 故|PF|=|AF|=2|MF|=2p=8.

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【例16】 已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F, 准线与 y 轴的交点为 M, N 为抛物线上的一点, 且|NF|= =________.( ) 3 3 |MN|,如图.∴cos ∠MNH= , 2 2

3 |MN|, 则∠NMF 2

解析:过 N 作准线的垂线,垂足为 H,则|NF|=|NH|=

π π ∴∠MNH= ,∴∠NMF= . 6 6 π 答案: 6 题型四:圆锥曲线的综合应用 1. 定值问题 解决定值问题的方法:将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式的值与参数无关。 【例17】 已知抛物线方程为

1 y ? ? x2 ? h ,点 A、B 及点 P(2,4)都在抛物线上,直线 PA 与 PB 的倾斜角互补。 2

(1)试证明直线 AB 的斜率为定值; (2)当直线 AB 的纵截距为 m(m>0)时,求△ PAB 的面积的最大值。 分析:这类问题一般运算量大,要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。 解析: (1)证明:把 P(2,4)代入

1 1 y ? ? x 2 ? h ,得 h=6。所以抛物线方程为: y ? ? x2 ? 6 , 2 2 ? y ? 4 ? k ( x ? 2) ? 2 设直线 PA:y-4=k(x-2),由 ? ,消去 y,得 x ? 2kx ? 4k ? 4 ? 0 。 1 2 y ? ? x ?6 ? ? 2

?4k ? 4 ? ? ?2k ? 2 ? xA ? 所以 ? , 2 ? y ? ?2k 2 ? 4k ? 4 ? A
? xB ? 2 k ? 2 , ? ?kPA ? ?k ,用-k 代 k,得 ? 2 ? y B ? ?2 k ? 4 k ? 4 8k y ? yA ?2k 2 ? 4k ? 4 ? 2。 所以 k AB ? B = ? xA ? xB 2k ? 2 ? (?2k ? 2) 4 k ? y ? 2x ? m ? 2 (2)设 AB 的方程为 y=2x+m(m>0),由 ? ,消去 y 得: x ? 4 x ? 2m ? 12 ? 0 , 1 2 y ? ? x ?6 ? ? 2
因为 PA 和 PB 的倾角互补,所以 kPB 令△ =16-4(2m-12) >0,解得 0<m<8,

| AB |2 ? 5[( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ] ? 5[42 ? 4(2m ?12)] ? 40(8 ? m) , | 2? 2 ? 4 ? m | m ? 点 P 到 AB 的距离 d= , 5 5 1 1 m2 2 2 2 ? 2m2 (8 ? m) 所以, S ? PAB ? | AB | ?d ? ? 40(8 ? m) ? 4 4 5
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1 1 8 84 64 3 m)( m)(8 ? m) ? 8 ? ( )3 ? 3 ,所以, S? PAB ? , 9 2 2 3 3 1 16 64 3 当且仅当 m ? 8 ? m ,即 m ? 时,等号成立,故△ PAB 面积最大值为 。 9 2 3 2 2 【例18】 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 B : ( x ? 1) ? y ? 16 与点 A(?1, 0) , P 为圆 B 上的动点,线段
= 8(

PA 的垂直平分线交直线 PB 于点 R ,点 R 的轨迹记为曲线 C.
(1) 求曲线 C 的方程; (2) 曲线 C 与 x 轴正半轴交点记为 Q ,过原点 O 且不与 x 轴重合的直线与曲线 C 的交点记为 M , N ,连接

QM , QN ,分别交直线 x ? t ( t 为常数,且 t ? 2 )于点 E , F ,设 E , F 的纵坐标分别为 y1 , y2 ,求 y1 ? y2
的值(用 t 表示). 解析:(1)连接 RA ,由题意得, RA ? RP , RP ? RB ? 4 , 所以 RA ? RB ? 4 ? AB ? 2 , 由椭圆定义得,点 R 的轨迹方程是 l y ·P · · R B x

x y ? ? 1. 4 3

2

2

· A O

(2)设 M ( x0 , y0 ) ,则 N (? x0 , ? y0 ) , QM , QN 的斜率分别为 kQM , kQN , 则 kQM

?

y0 y0 , k NQ ? , x0 ? 2 x0 ? 2 y? y0 y0 ( x ? 2) ,直线 QN 的方程 y ? ( x ? 2) ,…8 分 x0 ? 2 x0 ? 2

所以直线 QM 的方程为

令 x ? t (t

? 2) ,则 y1 ?

y0 y0 (t ? 2), y2 ? (t ? 2) , x0 ? 2 x0 ? 2

又因为 ( x0 , y0 ) 在椭圆

2 x0 y2 3 2 2 ? 0 ? 1 ,所以 y0 , ? 3 ? x0 4 3 4

y2 2 所以 y1 ? y2 ? 2 0 (t ? 2) ? x0 ? 4
3 小题满分 8 分.

3 2 (3 ? x0 )(t ? 2)2 3 4 ? ? (t ? 2)2 ,其中 t 为常数. 2 x0 ? 4 4

【例19】 (2012 上海卷 22)(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第

在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x

2

? y2 ? 1.

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x (3)设椭圆 C2 的距离是定值. [解](1)双曲线 C1 :
x2
1 2

2

? y 2 ? 1相切,求证:OP⊥OQ;

: 4 x2 ? y 2 ? 1.

若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到直线 MN

? y 2 ? 1,左顶点 A(?

2 2

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x .
2 2

过点 A 与渐近线

y ? 2 x 平行的直线方程为 y ? 2 ( x ?

) ,即 y ? 2 x ? 1.

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解方程组 ?

? ? y?? 2 x ?x ? ? ,得 ? 1 ? ?y ? 2 x ?1 ?y ? 2

2 4

.

……2 分

所以所求三角形的面积 1 为 S (2)设直线 PQ 的方程是 故

?1 | OA || y |? 2

2 8

.

……4 分

y ? x ? b .因直线与已知圆相切,
……6 分

|b| ? 1 ,即 b 2 ? 2 . 2

由?

? y ? x?b 2 2 ,得 x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 . 2 2 ?2 x ? y ? 1
? x1 ? x2 ? 2b . 2 ? x1 x2 ? ?b ? 1

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

所以 OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2x1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b 2

? 2(?b2 ? 1) ? b ? 2b ? b2 ? b2 ? 2 ? 0 ,
故 OP⊥OQ. (3)当直线 ON 垂直于 x 轴时,|ON|=1,|OM|= 当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 ……10 分

2 ,则 O 到直线 MN 的距离为 3 . 2 3
2 2

y ? kx (显然 | k |?

) ,则直线 OM 的方程为

y ??1 x. k

? x2 ? 1 2 ? y ? kx 4? k ? 由? 2 ,得 ? 2 2 2 ?y ? k 2 ?4 x ? y ? 1 ?
4? k
同理 | OM

,所以 | ON |

2

? 1?k 2 . 4?k
2

|2 ?

1? k2 . 2k 2 ? 1

……13 分

设 O 到直线 MN 的距离为 d, 因为 (| OM 所以
1 d2 1 1 ? |OM ? |ON ? |2 |2 3k 2 ? 3 k 2 ?1

|2 ? | ON |2 )d 2 ?| OM |2 | ON |2 ,
3 3 .

? 3 ,即 d=

综上,O 到直线 MN 的距离是定值. 2. 最值问题

……16 分

解决最值的方法:一是代数法,建立目标函数,转化为函数的最值问题,注意到自变量的范围;二是几何法, 考虑某些量的几何特征及意义,利用图形性质求解。 【例20】 定点 F (1, 0) 与椭圆

x2 2

? y 2 ? 1 上点之间的最短距离为

.【答案:

2 ?1 】

解:设 P ( x, y ) 为椭圆上任一点,则

x2 x2 1 2 2 2 2 ? ( x ? 2) 2 ,? PF ? ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? 1 ? 2 2 2 1 2 2 2 由椭圆方程知 x ?[? 2, 2] ,?当 x ? 2 时, PF min ? ( 2 ? 2) ? ( 2 ? 1) , PFmin ? 2 ? 1 . 2 y2 ? 1 ?
故最短距离为

2 ?1
第 11 页 共 18 页

【例21】 如 果 点

A 的 坐 标 为 (1,1)



F1 是 椭 圆 5x2 ? 9 y 2 ? 45 的 左 焦 点 , 点 P 是 椭 圆 上 的 动 点 , 则
.【答案: 6 ?

|PA | ? | PF1 | 的最小值为

2】

解析:? | PF1 | ? | PF2 |?| PF1 | ? | PA | ? | AF2 | ,即 6 ?| PF1 | ? | PA | ? | AF2 | ,

? | PF1 | ? | PA |? 6? | AF2 | ,而 | AF2 |? 2 ,? | PF1 | ? | PA |? 6 ? 2 .

x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到直线 L:x-2y-12=0 的最大距离和最小距离。 【例22】 求椭圆 16 12
方法 1: (求切点)设与 L 平行的直线与椭圆相切于点 P(x 0 ,y 0 ), 由椭圆方程 3x ∵k
2

? 4 y 2 ? 48 得此切线方程 3x0 x ? 4 y0 y ? 48 ,

?

1 3x0 1 ,∴ ? ? ,即 3x0 ? 2 y0 ? 0 ………………………………①, 2 4 y0 2

又 3x0

2

? 4 y02 ? 48 …………………………②,

解①②得切点的坐标为 P 1 (-2,3)P 2 (2,-3) 。 设点 P 到直线 L 的距离为 d,由点到直线的距离公式,得 dmax 方法 2: (判别式法)设与 L 平行的椭圆的切线方程为 x-2y+m=0, 代入椭圆方程,消去 x 得 16 y 由△ = (?12m) 得m
2
2

? 4 5 , d min ?

4 5。 5

? 12my ? 3m2 ? 48 ? 0 ,

2

? 4 ?16 ? (3m2 ? 48) ? 0

? 64 , m ? ?8 。
y? 12m ? 3 ,切点为 P 1 (-2,3) ; 2 ? 16
12m ? ?3 ,切点为 P 2 (2,-3) 2 ?16

当 m=8 时,切线方程 x-2y+8=0,此时

当 m=-8 时,切线方程 x-2y-8=0,此时

y?

设点 P 到直线 L 的距离为 d,由点到直线的距离公式,得 dmax 方法 3: (参数法)设椭圆上任意一点 P(4cosθ, 2 它到直线 L 的距离为 d

? 4 5 , d min ?

4 5。 5

3 sinθ),
? 8 5 ? 3 | sin( ? ? ) ? | , 5 6 2

?

| 4cos? ? 4 3 sin ? ? 12 | 5

∴当 sin(

?
6

? ? ) ? ?1 时, dmax ? 4 5 ;

当 sin(

?
6

? ? ) ? 1 时, d min ?

4 5。 5

点评:方法 1、方法 2 可以求出椭圆上的最远点和最近点的坐标,方法 3 利用椭圆的参数方程,建立目标函 数,简洁明了,但求切点的坐标较复杂。

第 12 页 共 18 页

【例23】 已知圆 C 经过点 A( ?2, 0), B(0, 2) ,且圆心在直线 y ? x 上,又直线 l : y ? kx ? 1 与圆 C 相交于 P、 Q 两点. (1)求圆 C 的方程; (2)过点 (0,1) 作直线 l1 与 l 垂直,且直线 l1 与圆 C 交于 M , N 两点,求四边形 PMQN 面积的最大值. 解: (1)设圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,则
2 2 2

?(?2 ? a) 2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 ? a 2 ? b 2 ? 4a ? 4 ? r 2 ? ? 2 ?a ? b ? 0 2 2 2 2 2 ?(0 ? a ) ? (2 ? b) ? r ? ?a ? b ? 4b ? 4 ? r ? ? 2 ?r ? 4 ?a ? b ?a ? b ? ?

?? C : x 2 ? y 2 ? 4
(2)设四边形 PMQN 的面积为 S

1 当直线 l 的斜率 k ? 0 时,直线 l1 的斜率不存在,此时 S ? ? 2 3 ? 4 ? 4 3 . 2
当直线 l 的斜率 k ? 0 时,直线 l1 的方程为 y ? ?

1 x ?1 k

? 1 ? y ? ? x ?1 k ? (1 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 ? ? x2 ? y 2 ? 4 ?

? x1 ? x 2 ?

?2k ?3 ,x x 1 ? 2 2 2 k ?1 k ?1
?2k 1? k
2

? | PQ |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 (
同理可得: k 换成 ?

)2 ? 4 ?

?3 1? k
2

? 1? k2

16k 2 ? 12 1? k2

1 k
1 k 1 k ? 1? k2
12k 2 ? 16 1? k2
2 2

1 | MN |? 1 ? 2 k

16( ? ) 2 ? 12 1 ? (? )2
2

?S ?

2 1 1 16k ? 12 12k ? 16 1 4 (4k ? 3)(3k ? 4) | PQ || MN |? 1? k2 ? 1? k2 ? ? 2 2 1? k 1? k 2 1? k
2 2 2

12k 4 ? 25k 2 ? 12 k2 1 ? 2 12 ? ? 2 12 ? 4 2 4 2 1 k ? 2k ? 1 k ? 2k ? 1 k2 ? 2 ? 2 k 1 1 1 1 ? k 2 ? 2 ? 2, ? k 2 ? 2 ? 2 ? 4, ? ? 1 k k 2 k ? 2 ?2 4 k 1 1 ? 2 12 ? ? 2 12 ? ? 7 1 4 k2 ? 2 ? 2 k ?2

由于本题是圆的特殊曲线,有如下较为简单的解法 第 13 页 共 18 页

设圆心 O 到直线 l , l1 的距离分别为 d1 , d 2 ,四边形 PMQN 的面积为 S .
2 因为 l , l1 ,都过点 (0,1) ,且 l ? l1 ,根据勾股定理,有 d12 ? d2 ? 1,

2 又 | PQ |? 2 4 ? d12 ,| MN |? 2 4 ? d2 ,

而S ?

1 1 2 2 2 | PQ | ? | MN |? ? 2 4 ? d12 ? 2 4 ? d2 ? 2 16 ? 4(d12 ? d2 ) ? d12 d2 2 2
2 d12 ? d 2 1 )2 ? 2 12 ? ? 7 2 4

2 ? 2 12 ? d12 d2 ? 2 12 ? (

当且仅当 d1 3. 定点问题

? d 2 时,等号成立,所以 S 的最大值为 7.

处理这类问题有两种方法:一是从特殊入手,求出定点,再证明这个点与变量无关;二是直接推理、计算, 并在计算过程中消去变量,从而得到定点。 【例24】 (2001 年全国高考)设抛物线

y2 ? 2 px (p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两

点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴,证明:直线 AC 经过原点。 方法 1:设直线方程为

p ?p y ? k ( x ? ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,C ( , y2 ) , 2 2
y A

p ? 2 py ? y ? k(x ? ) 2 ? p2 ? 0 , ∴? 2 ,y ? k ? y 2 ? 2 px ?


y1 y2 ? ? p2 , kOA ?

y1 y 2p , kOC ? 2 ? , p x1 y 1 ? 2
y1 ? kOA ,即 k 也是直线 OA 的斜率,所 x1

O C B F x

又∵

y12 ? 2 px1 ,∴ kOC ?

以 AC 经过原点 O。 当 k 不存在时,AB⊥x 轴,同理可证 kOC 方法 2:如图 2 过 A 作 AD⊥l,D 为垂足, 则:AD∥EF∥BC 连结 AC 与 EF 相交于点 N,

图2

? kOA 。

y D

A

O E C N B 图3 F x

| EN | | CN | | BF | | NF | | AF | ? ? ? 则 , , | AD | | AC | | AB | | BC | | AB |
由抛物线的定义知:|AF|=|AD|,|BF|=|BC|, ∴ | EN

|?

| AD | ? | BF | | AF | ? | BC | ? ?| NF | . | AB | | AB |

点评:该题的解答既可采用常规的坐标法,借助代数推理进行,又可采用圆锥曲线的几何性质,借助平面几何的 方法进行推理。解题思路宽,而且几何方法较之解析法比较快捷便当,从审题与思维深度上看,几何法的采用, 源于思维的深刻性。 第 14 页 共 18 页

【例25】 如图,椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 P(1, ) ,其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且 a ? 2c , M , N 2 a b 2 ????? ???? ? 是椭圆右准线上的两个动点,且 F 1M ? F 2N ? 0 .

(1)求椭圆的方程; (2)求 MN 的最小值; (3)以 MN 为直径的圆 C 是否过定点?请证明你的结论.

解析: (1)? a ? 2c ,且过点 P(1,

3 ), 2

9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1, ? ? x2 y2 ? a ? 2, ? 1 .……………………………………4 分 解得 ? ? ? a ? 2c, ?椭圆方程为 ? 4 3 ? ? a 2 ? b2 ? c2 , ?b ? 3, ? ? ????? ???? ? ????? ???? ? (2) 设点 M (4, y1 ), N (4, y2 ) 则 F1M ? (5, y1 ), F2 N ? (3, y2 ), F1M ? F2 N ? 15 ? y1 y2 ? 0 ,
? y1 y2 ? ?15 ,
又? MN

15 15 ? y2 ? y1 ? - ? y1 ? + y1 ≥ 2 15 , y1 y1

? MN 的最小值为 2 15 .…………………………………………………………………………10 分

(3) 圆心 C 的坐标为 (4,
整理得: x
2

y2 ? y1 y ? y2 2 ( y2 ? y1 ) 2 y1 ? y2 2 ) ? .圆 C 的方程为 ( x ? 4) ? ( y ? 1 , ) ,半径 r ? 2 4 2 2
……………………………………16 分

? y 2 ? 8x ? ( y1 ? y2 ) y ? 16 ? y1 y2 ? 0 .

? y1 y2 ? ?15 ,? x2 ? y 2 ? 8x ? ( y1 ? y2 ) y ? 1 ? 0


y ? 0 ,得 x 2 ? 8 x ? 1 ? 0 ,? x ? 4 ? 15 .

?圆 C 过定点 (4 ? 15,0) .……………………………………………………………………16 分

4. 轨迹问题、对称问题、新定义类型
2 2 【例26】 已知⊙M: x ? ( y ? 2) ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点,

第 15 页 共 18 页

(1)如果 | AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. 解:(1)由 | AB |?
4 2 | AB | 2 2 2 2 1 ,可得 | MP |? | MA | 2 ?( ) ? 12 ? ( ) ? , 3 2 3 3

由射影定理,得

| MB |2 ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3

在 Rt△ MOQ 中, | OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 , 故a

? 5或a ? ? 5 ,
5 y ? 2 5 ? 0或2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0;
y?2 2 ? , (*) ?a x

所以直线 AB 方程是 2 x ?

(2)连接 MB,MQ,设 P( x, y ), Q(a,0), 由点 M,P,Q 在一直线上,得

由射影定理得 | MB | 2 ?| MP | ? | MQ |, 即 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 4 ? 1, (**) 把(*)及(**)消去 a,
2 并注意到 y ? 2 ,可得 x ? ( y ?

7 2 1 ) ? ( y ? 2). 4 16

说明:适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在。 【例27】 已知抛物线 C : y 2 ? x 与直线 l : y ? kx ? 解:“与中点有关,可以考虑点差法” 解法一:设 C 上点 A, B 关于直线 l 对称, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,设 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,
2 ? ? y1 ? x1

3 4

,要使 C 上存在关于 l 对称的两点,求实数 k 的取值范围.

由?

? ? y ? x2
2 2

,两式相减得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? x1 ? x2 ,即

y1 ? y2 x1 ? x2

?

1 y1 ? y2

.

? k AB ?

y1 ? y2

? ? , y1 ? y2 ? 2 y0 ,? y0 ? ? , x0 ? x1 ? x2 k 2
k2 4 ?? 3 4k ? 1 2

1

k

y0 ?

3

4 ?? 3 ?1, k 4k 2
( k ? 1)( k 2 ? k ? 3) 4k ?0,

?M 点在抛物线内部,? y0 ? x0 ,即

,整理得

1 11 ? k 2 ? k ? 3 ? (k ? )2 ? ? 0,? 4k (k ? 1) ? 0 , 2 4
? k ? ( ?1, 0) .
解法二:设 A, B 关于直线 l : y ? kx ?

3 4

对称,则直线 BC 的方程为 y ? ?

1 k

x?m,

第 16 页 共 18 页

?y ? x 1 2 ? ? x ? ( m ? 1) x ? m 由? 1 k k y?? x?m ? ? k
2
2

2

2

? 0,

? AB 与抛物线交于不同两点,?? ? ( m ? 1)2 ? 4 ?
k
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点为 M ( x0 , y0 ) .

2

1 k
2

? m2 ? 0 ? k 2 ? 4km ? 0 ,

2
则 x1 ? x2 ?

k

m ?1 1 k
2

? 2km ? k 2 ,? x0 ?

x1 ? x2 2
k2 2

? km ?

k2

1 k ,? y0 ? ? x0 ? m ? ? 2 k 2
2k 3 ? 2k ? 3 4k 2 ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 0 .

又? 点 M ( x0 , y0 ) 在直线 l 上, ? 把 m 代入 k ? 4km ? 0 得
2

k 2

? k ( km ?

)?

3 4

?m??

k 3 ? 2k ? 3 ?k

? 0 ,即

( k ? 1)( k 2 ? k ? 3) k

【点评】本题应用的知识点较多,题目较综合,其中“点 M 在抛物线内部”可以建立关于 k 的不等关系,是重要 的隐含条件. 【巩固练习】 1. ( 2015 虹口二模文 理 11 )如图所示,已知 F1 , F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的两个焦点,且 a2 b2

F1 F2 ? 2 ,若以坐标原点 O 为圆心, F1 F2 为直径的圆与该双曲线的左支相交于 A, B 两点,且 ?F2 AB 为
正三角形,则双曲线的实轴长为__________.

y
A

F1

O

F2

x

B

【答案】

3- 1
y2 2 2 的直线与焦点在 x 轴上的椭圆 x ? 2 ? 1(b ? 0) 交于不同的两点 P、 b 2
.

2. (2015 闵行二模文理 11)斜率为

Q,若点 P、Q 在 x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点,则该椭圆的焦距为 【答案】

2
2 2

3. (2015 浦东新区二模文理 17)若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 3 没有公共点,设点 P 的坐标 ? a, b ? , 那么过点 P 的一条直线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的公共点的个数为 4 3
第 17 页 共 18 页

(

)

A. 0

B. 1

C. 2

D. 1 或 2

【解析】选 C ∵ d

=

3 a +b
2 2

>

3 ? a2

b 2 < 3 ,说明点 P(a, b) 的轨迹在以原点为圆心,以 3 为半

径的圆内,且在椭圆内部,∴过 P 点的直线与椭圆一定有两个交点. 4. (2015 普陀二模 10)已知 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F1 , F2 为椭圆的左、右焦点,则 a 2 b2


1 1 的最小值为 ? PF1 PF2
【答案】

2 a
, N 两点,若 MN

5. 直线 是

y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相交于 M


? 2 3 ,则 k 的取值范围

解析:圆心到直线

y ? kx ? 3 的距离为 d , d ?

3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

?

3k ? 1 k 2 ?1

,

由于 MN

2 ? 2 R2 ? d 2 ? 2 4 ? d 2 ? 2 3, 则 d ? 1,
2

所以 (3k ? 1) 6. 过 点

? k 2 ? 1 ,解得 ?

3 ? k ? 0. 4

1 2 2 P( ,1)的 直 线 l 与 圆 C : ( x ?1) ? y ? 4 交 于 A,B 两 点 , 当 ?ACB 最 小 时 , 直 线 l 的方 程 为 2

_________________. 解:欲使 ?ACB 最小,则需

AB 最短,而需 C



AB 距离最大,显然 PC ? AB ,又 kPC ? ?2 ,
.

?直线 AB 的斜率为

1 1 1 1 ,又 AB 过 P ( ,1) ,从而直线 l 方程为 y ? 1 ? ( x ? ) ,即 2 x ? 4 y ?3 ?0 2 2 2 2
???? ? ??? ? ??? ?

【点拨】注意化归与转化的思想。 7. 在平面直角坐标系中,设直线 l : kx ? y ? 2 ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? 4 相交于 A 、 B 两点, OM ? OA ? OB. 若 点 M 在圆 C 上,则实数 k

?

.

???? ? ??? ? ??? ? 解: OM ? OA ? OB ,则四边形 OAMB 是锐角为 60? 的菱形,
此时,点 O 到 AB 距离为 1. 由

2 1? k 2

? 1 ,解出 k ? ?1

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