广东省揭阳市第三中学2017-2018学年高二下学期第一次阶段考数学(理)试题(专家解析)

揭阳第三中学 2017-2018 学年度第二学期第一次阶段考试 高二数学(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知全集 A. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据二次 的解法,先将 A 化简,求出?UA.
2 【详解】∵A={x|x ﹣2x>0}={x|x<0 或 x>2},全集 U=R

,集合 B. C.



=(

) D.

∴?UA={x|0≤x≤2}, 故选 A. 【点睛】本题考查了集合的基本的交集运算,属于基础题。 2.已知复数 A. 【答案】C 【解析】 试题分析: 考点:复数运算 B. ,那么 = C. D.

3.曲线 A. 【答案】A 【解析】 【分析】

在点 B.

处的切线方程为( C.

) D.

求导函数,可得切线的斜率,从而可得切线方程. 【详解】求导函数,可得 y′=4x ∴x=1 时,y′=4 即在此点处的斜率为 4,又已知点为 ,

1

∴曲线 y=﹣x2+3x 在点(1,2)处的切线方程为 y﹣2=4(x﹣1),即 y=4x-2 故选:A. 【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程;步骤一般为:一,对函数求导,代入已知 点得到在这一点处的斜率;二,求出这个点的横纵坐标;三,利用点斜式写出直线方程. 4.函数 的定义域为开区间 ,其导函数 在 内的图象如图所示,则函数 在开区间 内极小值

点的个数为( )

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

【答案】A 【解析】 试题分析:在极小值点处满足: 满足条件,故 A. 考点:极值点定义. 5. 是方程 表示椭圆的( B. 必要不充分条件 ) ,由图可知在 右边第二个零点处

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】B 【解析】 试题分析:若方程

D. 既不充分也不必要条件

表示椭圆,则

,解得



,所以

是方程

表示椭圆的必要不充分条件,故选 B. 考点:椭圆的标准方程;必要不充分条件的判定. 6. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 的值等于( )

2

A. 18

B. 20

C. 21

D. 40

【答案】B 【解析】 由程序框图知:算法的功能是求 的值,∵ .∴输出S=20.故选B. 7.函数 在一个周期的图象如下,此函数的解析式为( )

A. C. 【答案】A 【解析】 D.

B.

试题分析:由图象可得, A=2, T=

,所以, =2 , ,取 ,函数的解析式为

,将

代入上式,得, ,故选 A.

考点:本题主要考查三角函数的图象和性质。 点评:典型题,根据函数部分图象确定函数的解析式,一般地,观察确定 A,T,通过代人计算确定 。 8.已知 , , ,则 的取值范围是(
3

)

A. 【答案】D 【解析】 【分析】 先把

B.

C.

D.

转化成(

) (a+2b)的形式,展开后利用基本不等式求得其最小值.

【详解】∵a+2b=1, ∴ =( ) (a+2b)=3+ ≥3+2 =3+2 (当 时等号成立) .

故选:D. 【点睛】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑” 等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等 号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误. 9.若一个椭圆长轴的长度,短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A. B. C. D. )

【答案】C 【解析】 【分析】 先设长轴为 2a,短轴为 2b,焦距为 2c,由题意可知:a+c=2b,由此可以导出该椭圆的离心率. 【详解】设长轴为 2a,短轴为 2b,焦距为 2c, 2b, 则 2a+2c=2×
2 2 2 2 2 2 2 即 a+c=2b?(a+c) =4b =4(a ﹣c ) ,所以 3a ﹣5c =2ac,同除 a , 2 整理得 5e +2e﹣3=0,∴离心率是 或﹣1(舍去) ,

故选:C. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质及其应用,列出不等式并转化为关于离心率的不等式是解答的关键,求椭 圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出 到关于 的齐次式,结合 转化为 ,代入公式 ;②只需要根据一个条件得

的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以 或 转化为关于 的

方程(不等式),解方程(不等式)即可得 ( 的取值范围)。 10.若 f(x)= A. [-1,+∞] 【答案】C
4

上是减函数,则 b 的取值范围是( ) B. (-1,+∞) C. (-∞,-1] D. (-∞,-1)

【解析】 由题意可知 所以 ,在 上恒成立,即 在 上恒成立,由于 ,

,故C为正确答案。

11.如果 , ,…, 是抛物线 : 若 A. 【答案】A 【解析】 试题分析:抛物线 的焦点 ,所以 考点:抛物线的定义. 12.已知函数 A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】 满足 B. D. ,且当 B. ,则 C.

上的点,它们的横坐标依次为 , ,…, , 是抛物线 的焦点, ( ) D.

,准线方程是

,由抛物线的定义得:

, ,故选 A.





时,

,则(

)

根据函数的对称性和函数的单调性,由 f(3)=f(π﹣3) ,f(2)=f(π﹣2) ,0<π﹣3<1<π﹣2< ,f(π﹣3) <f(1)<f(π﹣2) ,即 f(3)<f(1)<f(2) . 【详解】∵f(x)=f(π﹣x) ,则 f(x)关于 x= 对称 ∴f(3)=f(π﹣3) ,f(2)=f(π﹣2) 当
x 时,y=e +y=sinx,单调递增,

∴此时函数 f(x)=ex+sinx 是增函数. ∵0<π﹣3<1<π﹣2< , ∴f(π﹣3)<f(1)<f(π﹣2) , 即 f(3)<f(1)<f(2) . 故选:D. 【点睛】本题主要考查函数对称性和函数单调性的应用,根据条件求出函数 f(x)的单调性是解决本题的关
5

键,考查函数性质的综合应用.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.对具有线性相关关系的变量 和 x 2 ,测得一组数据如下: 4 5 6 8

y

30

40

60

50

70

若已求得它们的回归方程的斜率为 6.5,则这条直线的回归方程为 【答案】 【解析】 试题分析:解:∵ 样本中心点代入回归直线方程 . 考点:线性回归方程. 14.已知变量 【答案】2 【解析】 作出不等式组 对应的平面区域如图: (阴影部分) . 满足条件 则 的最小值是__________.

.

,∴这组数据的样本中心点是 ,求得 a=17 . 5 ,∴回归直线的方程为



故答案为

6





,平移直线

,由图象可知当直线 得 ,即

经过点

时,直线



截距最小,此时 最小,代入目标函数

的最小值是 2,故答案为 2.

点睛: 本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值, 属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一 画、二移、三求”: (1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线) ; (2)找到目标函数对应的最优解对应点 (在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解) ; (3)将最优解坐标代入目标 函数求出最值. 15.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是__________.

【答案】 【解析】 试题分析:根据三视图可判断直观图为: OA⊥面 ABC,AC=AB,E 为 BC 中点, EA=2,EC=EB=1,OA=1, ∴ 可 得 AE⊥BC , BC⊥OA , 运 用 直 线 平 面 的 垂 直 得 出 : BC⊥ 面 AEO , ,

故该三棱锥的表面积是

,故选 C.

考点:由三视图求体积 16.对于函数 设 是函数 给出定义: 的导数, 是函数 的导数,若方程
7

有实数解 ,则称点

为函数

的“拐点”, 某同学经过探究发现:任何一个三次函数 对称中心,且“拐点”就是对称中心,给定函数 ____________. 【答案】2016 【解析】 【分析】 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点( ,1)对称,即 f(x)+f(1﹣x)=2,即可得到结论. 【详解】由 ∴f′(x)=x2﹣x+3, 所以 f″(x)=2x﹣1,由 f″(x)=0,得 x= . ∴f(x)的对称中心为( ,1) , ∴f(1﹣x)+f(x)=2, 故设 则 f( )+f( )+…+f( )=m, m, , 都有“拐点”:任意一个三次函数都有 ,请根据上面探究结果:计算

2016=2m, 两式相加得 2× 则 m=2016, 故答案为:2016. 【点睛】本题主要考查导数的基本运算,利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键.求和的过程中使 用了倒序相加法.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.设函数 (1)求曲线 (2)求函数 【答案】 (1) 【解析】 【分析】 (1)由导数的几何意义得到 ,又 ,由点斜式得到切线方程; (2)对函数求导研究函数的单
8

. 在点 的极值. ; (2)见解析 处的切线方程;

调性,根据极值的概念得到结果. 【详解】 (1)∵ ∴ 又 ∴曲线 , , 在点 处的切线方程是 , 或 , ,整理得: . ,∴

(2)由(1)知 令 ,解得:

当 变化时,

的变化情况如下表: 1



0

+

0





极小值



极大值



因此,当

时,

为极小值,当

时,

为极大值.

【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用,极值点即导函数的零点,但是必须是变 号零点,即在零点两侧正负相反;极值即将极值点代入原函数取得的函数值,注意分清楚这些概念,再者对 函数求导后如果出现二次,则极值点就是导函数的两个根,可以结合韦达定理应用解答。 18.在△ABC 中, (1) 求角 的大小; (2) 已知向量 求函数 的值域. , ,设 . 是角 所对的边,且满足 .

【答案】 (1) ; (2) 【解析】 【分析】 (1) 根据余弦定理得到 ,∴ 【详解】(1)∵ ∴ ,即 , 进而得到角 B; (2) 根据向量的点积运算得到 ,根据三角函数的图像的性质得到值域. ,
9



∴ 又∵ (2) ,∴ .

∵ ∴ ∴

,∴



的值域是

【点睛】本题主要考查了函数 y=Asin(ω x +φ )的图像和性质,考查了余弦定理的应用,在研究函数的单调 性和最值时,一般采用的是整体思想,将 ω x +φ 看做一个整体,地位等同于 sinx 中的 x. 19.如图,四棱锥 中点. 中, 底面 , , , , , 是 的

(1)求证: (2)求证: 面

; ;

(3)求二面角 E-AB-C 的正切值. 【答案】 (1)见解析; (2)见解析; (3) 【解析】 【分析】 (1) 根据线面垂直得到线线垂直; (2) 由等腰三角形的性质得到 , 由 (1) 推得 面 , 故 , 是二面角

进而得到结果; (3)过点 E 作 EF⊥AC,垂足为 .过点 F 作 FG⊥AB,垂足为 G.连结 EG, 的一个平面角,根据直角三角形的性质求解即可. .

10

易知

,故

面 底面 ,故 面 ,

【详解】 (1)证明:∵ 又 面 , ,故

(2)证明: 是 的中点,故 ,从而 ,故 面



,故

由(1)知 易知



,故

(3)过点 E 作 EF⊥AC,垂足为 .过点 F 作 FG⊥AB,垂足为 G.连结 EG ∵PA⊥AC, ∴PA//EF ∴EF⊥底面 ∴故 设 是二面角 且 F 是 AC 中点

的一个平面角.

,则 PA=BC= ,EF=AF= ,故 .

从而 FG=

【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系,平面和平面的夹角。

面面角一般是要么定义法,做出二面角,或者三垂线法做出二面角,利用几何关系求出二面角,要么建系来 做。求线面角,一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离,除以线段长度就是线面角的正弦值;还 可以建系,用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量,再求线面角即可。 20.设 是正项数列 (1)设数列 (2)若 【答案】 (1) 【解析】 考查数列中 之间的关系, ,可解得 的通项公式,由 得出 的前 项和,且 .

的通项公式; ,设 ,求数列 ; (2) 的前 项和 .

11

并做差,是关键;

是差比数列,其和用错误相减法,

相同次数对齐,注意最后一项的符号。 (Ⅰ)当 当 时, 得, , , , 数列 为正项数列, ,即 , ,数列 . (Ⅱ) , ,① ,② , 是公差为 的等差数列, , , ,解得 (舍去) , , .

时,由

两式作差,得 整理得

21.已知抛物线 的顶点在原点,焦点在 轴上,抛物线 上一点 (Ⅰ)求抛物线 的标准方程; (Ⅱ)若抛物线 与直线 【答案】(1) 【解析】 解: (Ⅰ)由题意设抛物线方程为 ,其准线方程为 (2)2 相交于不同的两点 、 ,且线段

到其焦点的距离为 6.

中点的横坐标为 2,求实数 的值.

, (2 分)

∵P(4,m)到焦点的距离等于 A 到其准线的距离, ∴抛物线 C 的方程为 (2 分)

12

(Ⅱ)由 ∵直线

消去 ,得

(2 分)

与抛物线相交于不同两点 A、B,则有 ,解得 , (2 分) (舍去)

又 ∴所求 k 的值为 2 22.已知函数 (1)当 (2)若函数

,解得

( 时,讨论函数 仅在

) ,其中



的单调性;

处有极值,求 的取值范围; ,不等式 ; (3) 在 上恒成立,求 的取值范围.

(3)若对于任意的 【答案】 (1)见解析; (2) 【解析】 解: 当 令 时, ,解得 , 0

. . , .当 变化时, , 的变化情况如下表: 2



0



0



0





极小值



极大值



极小值



所以





内是增函数,在 ,显然 处有极值,必须 .这时,



内是减函数. 的根. . .

(Ⅱ)解: 为使 仅在

不是方程 成立,即有

解些不等式,得

是唯一极值.因此满足条件的 的取值范围是

13

(Ⅲ)解:由条件 当 时, ;当

,可知 时, 在

,从而 .因此函数 在

恒成立. 上的最大值是 ,即 与 两者中的较大者.为使 ,在 上恒成

对任意的 立.所以

,不等式

上恒成立,当且仅当 .

,因此满足条件的 的取值范围是

14


相关文档

  • 陕西省咸阳市高二数学理下学期期末质检试题(扫描版,无答案)
  • 高中数学必修二点线面的位置关系与线面平行判定及其性质(精华试题版)
  • 高中数学知识点《数列》《数列综合应用》精选练习试题【8】(含答案考点及解析)
  • 2013届上海市八校高三下学期联合调研考试数学(理)试题 Word版含答案
  • 湖北省黄冈中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
  • 高中数学函数y=Asin(wx+φ)的图象(1)课件人教版必修三.ppt_图文
  • 2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学选修1-1《常用逻辑用语》单元测试题及答案解析
  • 2017_2018版高中数学第二章数列2.5.1等比数列的前n项和学业分层测评新人教A版必修5
  • 【名师导学】高中数学 第一章 1.3 1.3.2球的体积与表面积课件 新人教A版必修2_图文
  • 推荐精选内蒙古通辽实验中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题 理
  • 湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期11月份月考数学(理)试题(含精品解析)
  • 电脑版