2015高中数学 模块综合测试题新人教A版选修2-3


模块综合测试题

一、 选择题(本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 每小题中只有一项符合题目要求) 1.某校教学大楼共有 5 层,每层均有 2 个楼梯,则由一楼至五楼的不同走法共有( A.2 种 C.10 种 答案 A 解析因为每层均有 2 个楼梯,所以每层有两种不同的走法,由分步计数原理可知:从一 楼至五楼共有 2 种不同走法. 2.从 3 名男生和 3 名女生中,选出 3 名分别担任语文、数学、英语的课代表,要求至少 有 1 名女生,则选派方案共有( A.19 种 C.114 种 答案 C 解析 A6-A3=120-6=114. 3.若(3 x- A.-540 C.162 答案 D 解析由题意,不妨令 x=1,则(3-1) =64,解得 n=8. 展开式中第 r+1 项为 Tr+1=C8·(3 x) 时,T5=(-1) ·C8·3 =5 670. 4.已知随机变量 ξ 只能取三个值 x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则该等差数列 公差的范围为( ) 1 A.[0, ] 3 C.[-3,3] 答案 B 解析不妨设 x1,x2,x3 发生的概率分别为 a,a+d,a+2d,则 a+(a+d)+(a+2d)=1. 1 1 可得 a+d= ,即 d= -a. 3 3
1
4 4 4 3 3 4 4

)

B.5 种 D.7 种

2

) B.54 种 D.120 种

1

x

) 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为( B.-162 D.5 670

n

)

n

r

8-r

·(-

1

x

) =(-1) ·C8·3

r

r

r

8-r

·x

4-r

,当 r=4

1 1 B.[- , ] 3 3 D.[0,1]

1 2 1 ∵a∈[0,1],∴ -a∈[- , ]. 3 3 3 2 1 ∴- ≤d≤ .① 3 3 1 ? ?3≥0, ∴? 1 ? ?d+3≥0.

? ?a+d≥0, 又∵? ?a+2d≥0, ?

1 ∴d≥- .② 3 1 1 由①②可得:- ≤d≤ . 3 3 1 1 1 5.已知随机变量 ξ 的分布列为 ξ =-1,0,1,对应 P= , , ,且设 η =2ξ +1,则 2 6 3 η 的期望为( ) 1 A.- 6 C. 29 36 B. 2 3

D.1

答案 B 1 1 1 1 1 解析 E(ξ )=-1× +0× +1× =- , ∴E(η )=E(2ξ +1)=2E(ξ )+1=- ×2+1 2 6 3 6 6 2 = . 3 6.(x+ ) (x∈R)展开式中 x 的系数为 10,则实数 a 等于( A.-1 C.1 答案 D 解析展开式中第 r+1 项为 Tr+1=C5·x 所以 x 的系数为 aC5=10,解得 a=2. 7.某校 1 000 名学生的某次数学考试成绩 X 服从正态分布,其密度函数曲线如图所示, 则成绩 X 位于区间(52,68]的人数大约是( )
3 1

a x

5

3

)

B.

1 2

D.2

r

5-r

·( ) =a ·C5·x

a x

r

r

r

5-2r

,当 5-2r=3 时,r=1,

2

A.997 C.682 答案 C

B.954 D.341

解析由题图知 X~N(μ ,σ ),其中 μ =60,σ =8, ∴P(μ -σ <X≤μ +σ )=P(52<X≤68)=0.682 6. ∴人数为 0.682 6×1 000≈682. 8.某商场开展促销抽奖活动,摇奖摇出的一组中奖号码是 8,2,5,3,7,1,参加抽奖的每 位顾客从 0,1,2,?,9 这 10 个号码中任意抽出 6 个组成一组,如果顾客抽出 6 个号码中至 少有 5 个与中奖号码相同(不计顺序)就可以得奖,那么得奖的概率为( A. C. 1 7 4 34 B. D. 1 32 5 42 )

2

答案 D 解析设 A 表示“至少有 5 个与摇出的号码相同”,A1 表示“恰有 5 个与摇出的号码相 同”,A2 表示“恰有 6 个与摇出的号码相同”,得 A=A1+A2,且 A1,A2 互斥,P(A)=P(A1) C6·C4 1 5 +P(A2)= 6 + 6 = . C10 C10 42 9.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为
5 1

f(x)=

·e- 2π ·10

1

x-
200

2

(x∈R),则下列命题中不正确的是(

)

A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同

3

C.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学成绩标准差为 10 答案 C 解析 由题意可得:μ =80,σ =10,因此数学平均值 μ =80,分数在 110 分以上的人 数与分数在 50 分以下的人数相同,且标准差为 10. 10.(2011·山东烟台一模、江西吉安质检)下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产

A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据: x y
3 2.5 4 5 4 6 4.5

t

^ 根据上表提供的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程为y=0.7x+0.35, 那么表中 t 的值 为( ) A.3 C.3.5 答案 A 11.考查正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个 点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( A. C. 1 75 3 75 B. D. 2 75 4 75 ) B.3.15 D.4.5

答案 D 解析

如图,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直 线,共有 C6·C6=15×15=225 种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有 AC∥
2 2

4

DB,AD∥CB,AE∥BF,AF∥BE,CE∥FD,CF∥ED 共 12 对,所以所求概率为 p=
D.

12 4 = ,选 225 75

12.考查黄烟经过培养液处理是否跟发生青花病有关系,调查了 457 株黄烟,得到下表 中数据: 培养液处理 青花病 无青花病 合计 根据表中数据 K =( A.40.682 C.45.331 答案 D 解析代入 K 公式得:K =41.61. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.小明和小勇在五种课外读物中各自选购两种,则他们两人所选购的课外读物中至少 有一种不相同的选法种数为________. 答案 90 解析小明和小勇都有 C5种选购方法,根据乘法原理,选购方法总数是 C5C5=100 种.选 购的两本读物都相同的方法数是 C5=10 种.故所求的选法种数为 100-10=90. 14.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ 7 8 0.1 9 0.3 10
2 2 2 2 2 2 2

未处理 210 142 352

合计 235 222 457

25 80 105 )

B.31.64 D.41.61

P

x

y

已知 ξ 的期望 E(ξ )=8.9,则 y 的值为________. 答案 0.4 解析由表格可知:x+0.1+0.3+y=1,7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9,联合解得 y =0.4. 15.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中 目标相互之间没有影响,有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.9 ×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1-0.1 . 其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号). 答案①③
5
4 3

解析①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响,所以第 3 次击中目标的概率是 0.9,正确; ②恰好击中目标 3 次的概率应为 C4×0.9 ×0.1; ③4 次射击都未击中的概率为 0.1 ; 所以至少击中目标 1 次的概率为 1-0.1 . 16.某厂生产的零件尺寸服从正态分布 N(25,0.03 ),为使该厂生产的产品有 95%以上 的合格率,则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________. 答案(24.94,25.06) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知 f(x)=(1+x) +(1+x) (m,n∈N )展开式中 x 的系数为 19,求 f(x) 的展开式中 x 的系数的最小值. 解析 f(x)=1+Cmx+Cmx +?+Cmx +1+Cnx+Cnx +?+Cnx , 由题意知 m+n=19,m,n∈N , ∴x 项的系数为 Cm+Cn=
2 2 2 * 1 2 2 2 2 4 4 3 3

m

n

*

m m

1

2 2

n n

m m-
2
*



n n-
2

19 2 19×17 =(m- ) + . 2 4

∵m,n∈N ,∴根据二次函数的知识知, 当 m=9 或 10 时,上式有最小值, 也就是当 m=9,n=10 或 m=10,n=9 时,x 项的系数取得最小值,最小值为 81. 18.(12 分)五位师傅和五名徒弟站一排, (1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法? (2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法? (3)师傅和徒弟相间共有多少种排法? 解析(1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有 A6种排法,五名徒弟再内部全排列有 A5种,据乘法原理共有 A6A5=86 400 种排法. (2)先将五位师傅全排列有 A5种排法,再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有 A6种排法,据乘法原则,共计 A5A6=86 400 种排法. (3)先将五位师傅排列有 A5种排法,再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五 位或后五位上有 2A5种排法,据乘法原理共有 2A5A5=28 800 种排法. 19.(12 分)某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A、B 两项技术指标需要 3 检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若 A 项技术指标达标的概率为 ,有且仅有一项技 4 5 术指标达标的概率为 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. 12 (1)求一个零件经过检测为合格品的概率;
6
5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 5 6 2

(2)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率; (3)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ξ 表示其中合格品的个数,求 E(ξ )与 D(ξ ). 解析(1)设 A、B 两项技术指标达标的概率分别为 P1、P2. 3 ? ?P =4, 由题意得:? ? ?P -P
1 1

2



-P1 P2=

5 , 12

2 解得 P2= . 3 3 2 1 ∴一个零件经过检测为合格品的概率 P=P1P2= × = . 4 3 2 (2)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为 13 4 1 5 5 1 5 1-C5( ) -C5( ) = . 2 2 16 1 1 1 1 (3)依题意知 ξ ~B(4, ),E(ξ )=4× =2,D(ξ )=4× × =1. 2 2 2 2 20.(12 分)某市去年高考考生成绩服从正态分布 N(500,50 ),现有 25 000 名考生,试 确定考生成绩在 550~600 分的人数. 解析∵考生成绩 X~N(500,50 ), ∴μ =500,σ =50. 1 1 ∴P=(550<x≤600)= [P(500-2×50<x≤500+2×50)-P(500-50<x≤500+50)]= 2 2 (0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 故考生成绩在 550~600 分的人数约为 25 000×0.135 9=3 397 人. 21.(12 分)某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据:
2 2

x y
(1)求出散点图; (2)求回归直线方程;

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(3)试预测广告费支出为 10 百万元时,销售额多大? (参考数据: x =5, y =50, ?xi=145, ?yi=13 500, ?xiyi=1 380)
2 2 5 5 5

i=1

i=1

i=1

解析(1)根据表中所列数据可得散点图如下图:

7

(2)由题目所提供数据可得: x =5, y =50, ?xi=145,
2

5

i=1

i=13 500, ?xiyi=1 380. ?y2 i=1 i=1

5

5

?xiyi-5 x y
i=1

5

于是可得 b=
i-5 x ?x2 i=1
5 2



1 380-5×5×50 =6.5, 2 145-5×5

a= y -b x =50-6.5×5=17.5.


因此,所求回归直线方程是y=6.5x+17.5. (3)据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 百万元时.


y=6.5×10+17.5=82.5(百万元),
即这种产品的销售收入大约为 82.5 百万元. 22.(12 分)在一次物理与化学两门功课的联考中,备有 6 道物理题,4 道化学题,共 10 道题可供选择.要求学生从中任意选取 5 道作答,答对 4 道或 5 道即为良好成绩.设随机变 量 ξ 为所选 5 道题中化学题的题数. (1)求 ξ 的分布列及数学期望与方差; (2)若学生甲随机选定了 5 道题,且答对任意一道题的概率均为 0.6,求甲没有取得良好 成绩的概率.(精确到小数点后两位) 解析 (1)依题意,得 ξ =0,1,2,3,4, C6·C4 1 则 P(ξ =0)= 5 = , C10 42
5 0

P(ξ =1)= P(ξ =2)=

C6·C4 5 = , 5 C10 21 C6·C4 10 = , 5 C10 21
3 2

4

1

8

P(ξ =3)= P(ξ =4)=

C6·C4 5 = , 5 C10 21 C6·C4 1 = . 5 C10 42
1 4

2

3

1 5 10 5 1 ∴E(ξ )=0× +1× +2× +3× +4× =2. 42 21 21 21 42 1 5 10 5 1 2 2 2 2 2 2 ∴D(ξ )=(0-2) × +(1-2) × +(2-2) × +(3-2) × +(4-2) × = + 42 21 21 21 42 21 5 5 2 2 + + = . 21 21 21 3 (2)“甲没有取得良好成绩”的对立事件是“甲取得良好成绩”, 即甲答对 4 道或 5 道. 甲 答对 4 道题的概率为
4 P1=C4 5×0.6 ×(1-0.6)=0.259 20;

甲答对 5 道题的概率为
5 0 P2=C5 5×0.6 ×(1-0.6) =0.077 76,

故甲没有取得良好成绩的概率是

P=1-(P1+P2)=1-(0.259 20+0.077 76)≈0.66.

9


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