2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数习题新人教A版选修2_220181015471

第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数 A 级 基础巩固 一、选择题 1.在下列结论中,正确的有( A ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数; (2)单调减函数的导数也是单调减函数; (3)单调函数的导数也是单调函数; (4)导函数是单调的,则原函数也是单调的. A.0 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 1 2 [解析] 分别举反例:(1)y=lnx,(2)y= (x>0),(3)y=2x,(4)y=x ,故选 A. x 2.函数 f(x)=ax -x 在 R 上为减函数,则( A.a≤0 C.a<2 2 3 A ) B.a<1 1 D.a≤ 3 [解析] f ′(x)=3ax -1≤0 恒成立,∴a≤0. 3.(2017·宣城高二检测)函数 f(x)=2 +x -2 在区间(0,1)内的零点个数是( B A.0 C.2 B.1 D.3 x 3 ) [解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题 的能力. ∵f(x)=2 +x -2,0<x<1,∴f ′(x)=2 ln2+3x >0 在(0,1)上恒成立,∴f(x)在(0,1) 上单调递增. 又 f(0)=2 +0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,f(0)f(1)<0,则 f(x)在(0,1)内至少 有一个零点, 又函数 y=f(x)在(0,1)上单调递增,则函数 f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点. 4.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( B ) A.y=sinx C.y=x -x 2 2 3 0 x 3 x 2 B.y=xe 2 D.y=lnx-x 2 [解析] 对于 B,y=xe ,则 y′=e ,∴y=xe 在 R 上为增函数,在(0,+∞)上也为增 函数,选 B. 5.(2018·商洛模拟)设 f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数 f′(x)的图 1 象可能是( B ) [解析] 由 f(x)的图象可得,在 y 轴的左侧,图象下降,f(x)递减, 即有导数小于 0,可排除 C,D; 再由 y 轴的右侧,图象先下降再上升,最后下降, 函数 f(x)递减,再递增,后递减, 即有导数先小于 0,再大于 0,最后小于 0, 可排除 A;则 B 正确. 故选 B. lnx 6.若 f(x)= ,e<a<b,则( A ) x A.f(a)>f(b) C.f(a)<f(b) 1-lnx [解析] 因为 f′(x)= , 2 B.f(a)=f(b) D.f(a)f(b)>1 x ∴当 x>e 时,f′(x)<0,则 f(x)在(e,+∞)上为减函数,因为 e<a<b, 所以 f(a)>f(b).选 A. 二、填空题 π 5π 7.(2018·无锡期末)函数 f(x)=x+2cosx(0≤x≤2π )的单调递减区间为( , ). 6 6 [解析] ∵函数 y=x+2cosx,∴y′=1-2sinx<0, 1 ∴sinx> , 2 π 5π π 5π 又∵x∈[0,2π ],∴x∈( , ),故答案为( , ). 6 6 6 6 1 3 2 8.(2018·沙市区校级期中)函数 y=x -x -x 的单调增区间为(-∞, ),(1,+∞). 3 1 3 2 2 [解析] 由 y=x -x -x,∴f′(x)=3x -2x-1=3(x+ )(x-1). 3 2 1 令 f′(x)=0,解得 x=- ,1. 3 列表如下: x f′(x) f(x) 1 (-∞,- ) 3 + 单调递增 1 - 3 0 极大值 1 (- ,1) 3 - 单调递减 1 0 极小值 (1,+∞) + 单调递增 1 由表格可知:函数 f(x)的单调递增是(-∞,- ),(1,+∞); 3 1 故答案为(-∞, ),(1,+∞). 3 三、解答题 9.(2018·天津理,20(1))已知函数 f(x)=a ,g(x)=logax,其中 a>1.求函数 h(x) =f(x)-xln a 的单调区间. [解析] 由已知,h(x)=a -xln a,有 h′(x)=a ln a-ln a. 令 h′(x)=0,解得 x=0. 由 a>1,可知当 x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表: x x x x h′(x) h(x) (-∞,0) - 0 0 极小值 (0,+∞) + 所以函数 h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞). 10.(2017·长沙高二检测)已知 a≥0,函数 f(x)=(x -2ax)e .设 f(x)在区间[-1,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围. [解析] ∵f(x)=(x -2ax)e , ∴f′(x)=(2x-2a)e +(x -2ax)e =e [x +2(1-a)x-2a] 令 f′(x)=0,即 x +2(1-a)x-2a=0, 解 x1=a-1- 1+a ,x2=a-1+ 1+a , 其中 x1<x2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表 2 2 2 2 2 x x x 2 x x 2 x f′(x) f(x) (-∞,x1) + x1 0 极大值 (x1,x2) - x2 0 极小值 (x2,+∞) + ∵a≥0,∴x1<-1,x2≥0.f(x)在区间(x1,x2)上单调递减, ∴x2≥1,即 a-1+ 1+a ≥1, 3 2 3 ∴a≥ . 4 B 级 素养提升 一、选择题 1.(2018·和平区二模)已知 f(x)是定义在 R 上的函数,它的图象上任意一点 P(x0,y0) 处的切线方程为 y= (x0 - x0 - 2)x +(y0 - x0 + x 0 + 2x0),那么函数 f(x) 的单调递减区间为 ( A ) A.(-1,2) C.(-∞,-1) B.(-2,1) D.(2,+∞) 2 3

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