河南省许昌市三校2015-2016学年高二数学下学期第四次联考试题 文

许昌市三校联考高二下学期第四次考试 数学(文)试卷
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中.只 有一项是符合题目要求的. ) 1.若 U ? ? ) 1,4,6,8,9?, A ? ? 1,6,8?, B ? ?4,6?,则 A ? CU B 等于(

A . ?4,6?

1,8? B .?

C .? 1,4,6,8?

1,4,6,8,9? D .?

2.复数 z =

3+i + 3i 所在的象限为( 1+i



A .第一象限

3.已知平面向量 a , b 夹角为

B .第二象限 2?
3 B .2 3

C .第三象限

D .第四象限


,且 a ? (a ? b) =8, a =2,则 b 等于 (

A. 3

C .3

D.4

4. 随机采访 50 名观众对某电视节目的满意度,得到如下列联表.

参考数据和公式如下:

根据以上数据可得 ( ) A .有 95%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关 B .有 99%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关 C .有 99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关 D .有 95%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关 5.双曲线
2

x2 y 2 - 2 =1 (a ? 0, b ? 0) 的焦点 (4,0) ,且其渐近 线与圆 ( x-2)2+y 2=3 2 a b

2

相切,则双曲线的方程为(

x y - = 1 8 8 x2 y 2 C. - = 1 4 12

A.

B.

x2 y 2 - = 1 12 4 y2 D . x 2- =1 16

6.给出下列四个结论: ① 已 知 直 线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 , l2 : x ? by ? 1 ? 0 , 则 l1 ? l2 的 充 要 条 件 是

a ? ?3b ;

②若命题 p : ?x0 ? ?1,??? , x0 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? ?? ?,1? ,
2

x 2 - x -1≥0;
③函数 f ( x) = sin 2 x ? 3 cos2 x 的一条对称轴是 x =

? ? 2 ? 2.5 x ,当变量 x 增加一个单位时, ④设回归直线方程为 y
1

7? ; 12

) y 平均增加 2 个单位,其中正确结论的个数为( C .3 A .1 B .2 D .4 7.执行如右图所示的程序框图,则输出的 k 的值是( ) C .12 A .10 B .11 D .13 8. 正项等比数列{ an }中的 a1 , a4031 是函数

1 f ( x) = x3-4 x 2 +6 x -3 的极值点,则 log 6 a2016 = ( 3 C. 2 A .1 B .2 D .-1
16? 3 8? 3



9. 一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图是一个 正三角形, 则这 个几何体的外接球的表面积为( )

A.

B.

C .4 3 π

D. 3 π

10. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这 样的题目: “把 100 个面包分给 5 个人,使每个人所得面包数成等差数列,且使最大 的三份之和的

1 是较小的两份之和,求最小的一份的量. ”此题中,若要使得每个人 7
) D .122

获得的面包数都是整数个,则题中的面包总数“100”可以修改为( C .121 A .110 B .120 11.已知一动圆与直线 x =-1 相切,且过椭圆

x2 y 2 + = 1 的右焦点 F ,动圆圆心的轨 5 4


迹为曲线 C ,曲线 C 上的两点 A , B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的长度为(

13 11 8 C. B. D. 3 3 3 2 2 12.已知函数 f ( x) = 2 x ? ? 5 ln x , x ∈ ?0,1? , g ( x) = x -2 m x + 4 , x ∈ R , x 若存在平行于 x 轴的直线 l 与 f ( x) 的图象和 g ( x) 的图象均无交点,则实数 m 的取值
范围为( )

16 A. 3

A . ?0,7 ? 5 ln 2?
C . ?? ?,8 ? 5 ln 2?

11 ? 5 ln 2 ,+? ) 2 D . ?2,???
( B.

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13—21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22-24 题为 选考题.考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

? y≤x ? 13.已知点 P ( x , y )在不等式组 ? x+y≤8 ,所确定的平面区域内,则 z ? 2 x ? y 的最 ? y≥-1 ?
大值为____________. 14.函数 f ( x) ? x ln x 的图象在 M (e, f (e)) 处的切线方程是_____________. 15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2c cos B ? 2a ? b ,若 ?ABC 的面积 为S ?

3 c ,则 ab 的最小值为___ __________. 12
2 1
2

16.观察下列等式:
2 2

?1? x ? x ? =1+ x + x , ?1 ? x ? x ? =1 ? 2x ? 3x ? 2x
2

3

? x4 ,
2

?1 ? x ? x ? =1 ? 3x ? 6x ? 7 x ? 6x ? 3x ? x , ?1 ? x ? x ? =1 ? 4x ?10x ?16x ?19x ?16x ?10x
2 3
2 3 4 5 6

2 4

2

3

4

5

6

? 4 x 7 ? x8 ,

? 由以上等式推测: 对于 n ? N ,若 (1 ? x ? x2 )n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ?? a2n x2n ,则 a2 =__________.
*

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题 12 分)

1 n 3 3+ . Sn 为数列{ an }的前 n 项和,已知 Sn = · 2 2 (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式;
(Ⅱ)若数列{ bn }满足 bn ? log3 an ,求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . b b ? n n?1 ?

18. (本小题满分 12 分) 为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机抽调了 50 人, 他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表:

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表,并问是否有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二 胎放开”政策的支持度有差异;

(Ⅱ)若对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持“生育二胎放开” 的概率是多少? 参考数据:

19. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 CDEF 和梯形 ABCD 互相垂直,

?BAD ? ?ADC ? 90? , AB ? AD ?

1 CD, BE ? DF . 2 (Ⅰ)若 M 为 EA 中点,求证: AC ∥平面 MDF ; (Ⅱ)若 AB =2,求四棱锥 E ? ABCD 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C 的方程是 mx +ny = 1 (m ? 0, n ? 0) ,且曲线 C 过 A ?
2 2

? 2 ? ? 2? ? , B? 6 , 3 ? 两点, , ? ? ? 4 2 ? ? 6 3 ? ? ?

O 为坐标原点.
(Ⅱ)设 M ?x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ?是曲线 C 上两点,向量 p = (Ⅰ)求曲线 C 的方程;

?

mx1, n y1 ,

?

q=

?

? 3? ? 0 , mx2 , n y2 ,且 p ? q =0,若直线 MN 过 ? ? 2 ? ,求直线 MN 的斜率. ? ?

?

21. (本小题满分 12 分)

1 2 x ? m ln x , g ( x) = x 2 -( m ? 1 ) x , m >0. 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 m ≥1 时,讨论函数 f ( x) 与 g ( x) 图象的交点个数.
设函数 f ( x ) ?
3

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的 第一个题目计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—l:几何证明选讲 如图,?BAC 的平分线与 BC 和 ?ABC 的外接圆分别相交于 D 和 E , 延长 AC 交 过 D, E, C 三点的圆于点 F . (Ⅰ)求证: EC ? EF ; (Ⅱ)若 ED ? 2, EF ? 3, 求 AC ? AF 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C : ( x- 1)2+y 2= 1.直线 l 经过点 P (m,0) ,且倾斜角为 极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (Ⅰ)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,且 PA PB ? 1 ,求实数 m 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 6 ? m ? x (m ? R) . (Ⅰ)当 m =3 时,求不等式 f ( x) ≥5 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ≤7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

? .以 O 为 6

4

高二文科数学答案 一、选择题 1—6 BADCCB 二、填空题 7—12 BAABAA

13. 17

14.

15.

16.

17.(本题 12 分) 解: (Ⅰ)由 2Sn ? 3n ? 3 可得 a1 ? S1 ?

1 (3 ? 3) ? 3 , 2

an ? S n ? S n ?1 ?
1?1

1 n 1 (3 ? 3) ? (3n ?1 ? 3) ? 3n ?1 (n ? 2) ????3 分 2 2

而 a1 ? 3 ? 3 ,则 an ? ?

? 3, n ? 1, n ?1 ?3 , n ? 1.

????6 分

(Ⅱ)由 bn ? log3 an 及 an ? ?

?1, n ? 1 ? 3, n ? 1, 可得 bn ? ? n ?1 ?3 , n ? 1. ? n ? 1, n ? 2
????8 分

1 1 1 ? ? 当 n ? 2 时, b b n?1 n n n ?1
Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) = 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ? ??? 2 2 3 n?1 n 1? 1 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1) 1 1 ? 2? n n
????10 分

=1? 1?

当 n=1 时, T1 ?

1 ? 1 成立, b1 ? b2
????12 分

综上 Tn ? 2 ?

1 n

18. (本题 12 分) 解:(Ⅰ)2 乘 2 列联 表 年龄不低于 45 岁的人数 支持 不支持 合 计 年龄低于 45 岁的人数 合计 32 18 50 ??????2 分

a?3 b?7
10

c ? 29 d ? 11
40

K2 ?

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29)2 ? 6.27 < 6.635 ??????4 分 ? 3 ? 7 ?? 29 ? 11??3 ? 29?? 7 ? 11?

所以没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异. ??????5 分 ( Ⅱ ) 设年龄在 [5,15) 中支持“生育二胎”的 4 人分别为 a,b,c,d, 不支持“生育二胎”的人记为
5

M, ??????6 分 则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有: (a,b), (a,c), (a,d), (a, M), (b,c), (b,d),(b, M), (c, d), (c, M),(d, M).????8 分 设“恰好这两人都支持“生育二胎” ”为事件 A,??????9 分 则事件 A 所有可能的结果有: (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c, d), ∴ P ? A? ?

6 3 ? . ??????11 分 10 5

所以对年龄在 [5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时 , 恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为

3 .??????12 分 5
19(本题 12 分) ⑴证明:设 EC 与 DF 交于点 N ,连结 MN , 在矩形 CDEF 中,点 N 为 EC 中点, 因为 M 为 EA 中点,所以 MN ∥ AC , 又因为 AC ? 平面 MDF , MN ? 平面 MDF , 所以 AC ∥平面 MDF . ????????4 分 ⑵解:取 CD 中点为 G ,连结 BG, EG , 平面 CDEF ? 平面 ABCD ,平面 CDEF ? 平面 ABCD ? CD ,

AD ? 平面 ABCD , AD ? CD , 所以 AD ? 平面 CDEF ,同理 ED ? 平面 ABCD ,????????7 分 所以, ED 的长即为四棱锥 E ? ABCD 的高,????????8 分 1 在梯形 ABCD 中 AB ? CD ? DG , AB / / DG , 2 所以四边形 ABGD 是平行四边形, BG / / AD ,所以 BG ? 平面 CDEF , 又因为 DF ? 平面 CDEF ,所以 BG ? DF ,又 BE ? DF , BE ? BG ? B , 所以 DF ? 平面 BEG , DF ? EG .????????10 分
2 注意到 Rt ?DEG ? Rt ?EFD ,所以 DE ? DG ? EF ? 8 , DE ? 2 2 ,

所以 VE ? ABCD ? 20(本题 12 分)

1 S ABCD ? ED ? 4 2 . ????????12 分 3

1 ?1 m ? n ?1 ? ?8 2 解: (1)由题可得: ? ,解得 m ? 4, n ? 1. ?1 m ? 1 n ? 1 ? 3 ?6
所以曲线 C 方程为 y ? 4x ? 1.
2 2

........4 分

(2)设直线 MN 的方程为 y ? kx ?

3 ,代入椭圆方程为 y 2 ? 4 x 2 ? 1 得: 2

(k 2 ? 4) x 2 ? 3kx ?

∴ p ? q ? (2 x1 , y1 ) ? (2 x2 , y2 ) = 4 x1 x2 ? y1 y2 ? 0

u r r

1 1 ? ? 3k ? 0. ∴ x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 4 , ????6 分 4 k ?4 k ?4
????8 分
6

1 3 ? k2 k ? (? 3k ) ?1 3 ? 24 ? 2 2 ? ?0 ∴ 2 k ?4 k ?4 k ?4 4
即 k 2 ? 2 ? 0, k ? ? 2 ................12 分 21. (本题 12 分)

????10 分

⑴解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

( x ? m )( x ? m ) ,????2 分 x

当 0 ? x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 的单调递减, 当 x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 的单调递增. 综上:函数 f ( x ) 的单调增区间是 ( m, ??) ,减区间是 (0, m ) .????????5 分 ⑵解:令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?

1 2 x ? (m ? 1) x ? m ln x, x ? 0 , 2

问题等价于求函数 F ( x ) 的零点个数,????????6 分

( x ? 1)( x ? m) ,当 m ? 1 时, F ?( x) ? 0 ,函数 F ( x ) 为减函数, x 3 注意到 F (1) ? ? 0 , F (4) ? ? ln 4 ? 0 ,所以 F ( x ) 有唯一零点;??????8 分 2 F ?( x) ? ?
当 m ? 1 时, 0 ? x ? 1 或 x ? m 时 F ?( x) ? 0 , 1 ? x ? m 时 F ?( x) ? 0 , 所以函数 F ( x ) 在 (0,1) 和 (m, ??) 单调递减,在 (1, m) 单调递增, 注意到 F (1) ? m ?

1 ? 0 , F (2m ? 2) ? ?m ln(2m ? 2) ? 0 , 2
????????11 分

所以 F ( x ) 有唯一零点;

综上,函数 F ( x ) 有唯一零点,即两函数图象总有一个交点. ?????12 分 22. (本题10分) ⑴证明:因为 ?ECF ? ?CAE ? ?CEA ? ?CAE ? ?CBA , ?EFC ? ?CDA ? ?BAE ? ?CBA , AE 平分 ?BAC ,所以 ?ECF ? ?EFC ,所以 EC ? EF .---4分 ⑵解:因为 ?ECD ? ?BAE ? ?EAC , ?CEA ? ?DEC , 所以 ?CEA ? ?DEC , 即

CE DE EC 2 ? , EA ? ,---6 分 EA CE DE
9 , 2 45 . 4
2 2

由⑴知, EC ? EF ? 3 ,所以 EA ?

---8 分 ---10 分

所以 AC ? AF ? AD ? AE ? ( AE ? DE ) ? AE ? 23. (本题 10 分)

解:(1)曲线C的普通方程为: ( x ?1) ? y ? 1,即x ? y ? 2x, 即 ? ? 2? cos? ,
2 2 2

7

即曲线C的极坐标方程为: ? ? 2cos? .

????2 分

? 3 x ? m? t ? ? 2 直线l的参数方程为 ? (t为参数). ?y ? 1 t ? ? 2

????5 分

(2) 设A, B两点对应的参数分别为t1 , t2 , 将直线l的参数方程代入 x2 ? y 2 ? 2x中,

得t 2 ? ( 3m ? 3)t ? m2 ? 2m ? 0, 所以t1t2 ? m2 ? 2m , ????8 分 由题意得 | m2 ? 2m |? 1, 得m ? 1,1 ? 2或1 ? 2
24. (本题 10 分) 解: (1)当 m ? 3 时, f ( x) ? 5 即 | x ? 6 | ? | x ? 3 |? 5 , ①当 x ? ?6 时,得 ?9 ? 5 ,所以 x ? ? ; ②当 ?6 ? x ? 3 时,得 x ? 6 ? x ? 3 ? 5 ,即 x ? 1 ,所以 1 ? x ? 3 ; ③当 x ? 3 时,得 9 ? 5 ,成立,所以 x ? 3 .?????????????4 分 故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 ?x | x ? 1 ? .?????????????5 分 (Ⅱ)因为 | x ? 6 | ? | m ? x |?| x ? 6 ? m ? x | = | m ? 6 | (当且仅当 ?x ? 6? ? ?m ? x ? ? 0 取等号) 由题 意得 m ? 6 ? 7 ,则 ?7 ? m ? 6 ? 7 , 解得 ?13 ? m ? 1 , 故 m 的取值范围是 [?13,1] .?????????????????10 分 ????8 分 ????10 分

8


相关文档

河南省许昌市三校2015-2016学年高二数学下学期第二次联考试题 文
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考文数试题(原卷版)
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考数学(文)试题
【精选】河南省许昌市三校2015-2016学年高二数学下学期第二次联考试题 理-数学
河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考文数试题解析(解析版)
河南省许昌市四校2015-2016学年高二数学上学期第三次联考试题 文
河南省许昌市四校2015-2016学年高二数学上学期第三次联考试题 理
河南省许昌市三校2015-2016学年高一上学期第四次(期末)联考数学(文)试题
河南省许昌市三校2015-2016学年高二数学下学期第二次联考试题 理
电脑版