江苏省如东县2018届高三上学期第一次检测数学试题 Word版含答案


2018 届高三年级第一次学情检测 数 学 试 卷
注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含[填空题(第 1 题~第 14 题,共 70 分) 、解答题(第 15~20 题,共 90 分) 。 本次考试时间 120 分钟,满分 160 分、考试结束后,请将答题卡交回。理科学生完成加试,考试时 间 30 分钟。 2.答题前,请考生务必将自己的姓名、班级、学号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字笔写在答题 卡上相应的位置,并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。 3.答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作图,并请加黑加粗,描写清楚。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在 答题卡相应位置上. 1. 已知全集 U ? N (N 是自然数集) ,集合 A ? ?x x ? 2 ? 0? ,则 CU A = ▲ .

2. 函数 f ( x) ? 3.

ln ? 2 x ? x 2 ? x ?1

的定义域是 ▲





“ a 2 ? 1 ”是“ a 3 ? 1 ”的 分也不必要” )

条件. (填“充分不必要” , “必要不充分” , “充要” , “既不充

4. 已知函数 f ? x ? ?
0.3

x (1 ? x ? 3) ,则 f ( x) 的值域是 x?2
3



. ▲ ▲ ▲ . . . .

5. 若 a ? 0.3 , b ? 0.3 , c ? log0.3 3 ,则 a, b, c 的值从小到大的顺序是 6. 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? 2 是定义在 [1 ? a, 2] 上的偶函数,则 f ( x) 的值域是 7. 若命题“ ?t ? R ,t 2 ? at ? a ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是
x 8. 若函数 f ( x ) ? 2 ? 2 ? b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是



9. 已知函数 f ? x ? ? 2x ? 2? x ,若不等式 f ? x2 ? ax ? a ? ? f ?3? ? 0 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取 值范围是 ▲ .

?? x ? 2, x ? ?1 ? 10. 设函数 f ? x ? ? ? 1 2 4 , 若 f ? x ? 在区间 ? m, 4? 上的值域为 ? ?1,2? , 则实数 m 的取 2 ? x ? x ? , x ? ?1 ? 3 3 ? 3
值范围是 ▲ . ▲ .

11. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3mx2 ? nx ? m2 在 x ? ?1 时有极值 0,则 m ? n ?

12. ?x1 ? R, ?x2 ? ? 2,3? ,使得 x12 ? x1 x2 ? x22 ? 3x1 ? mx2 ? 3 成立,则实数 m 的取值范围是
?C ( A) ? C ( B), C ( A) ? C ( B) 13. 用 C ( A) 表示非空集合 A 中的元素个数,定义 A * B ? ? . ?C ( B) ? C ( A), C ( A) ? C ( B)





若 A ? ?1, 2? , B ? x ( x2 ? ax)( x2 ? ax ? 2) ? 0 ,且 A* B ? 1 ,设实数 a 的所有可能取值组成的集合 是 S ,则 C ( S ) ? ▲ .

?

?

?x-[x],x≥0, ? 14.已知函数 f(x)=? 其中[x]表示不超过 x 的最大整数.若直线 y=k(x+1)(k>0)与函 ? ?f(x+1),x<0,

数 y=f(x)的图象恰有三个不同的交点,则实数 k 的取值范围是





二、解答题: 本大题共 6 小题.共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? loga ? x ?1? ? loga ?3 ? x ? ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,且 f ?1? ? 2 . (1)求 a 的值及 f ? x ? 的定义域; (2)若不等式 f ? x ? ? c 恒成立,求实数 c 的取值范围.
[来源:gkstk.Com]

16.(本小题满分 14 分)
2 2 2 已知 p : x ? 7 x ? 10 ? 0 , q : x ? 4mx ? 3m ? 0 ,其中 m ? 0 .

(1)已知 m ? 4 ,若 p ? q 为真,求 x 的取值范围; (2)若 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:

元/千克)满足关系式 y ? f ( x) ?

a ? b( x ? 5)2 ,其中 2 ? x ? 5 , a , b 为常数,已知销售价格为 x?2

每日可销售出该商品 5 千克; 销售价格为 4.5 元/千克时, 每日可销售出该商品 2.35 4 元/千克时, 千克. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若该商品的成本为 2 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利 润 f ( x) 最大.

18.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

a 3 1 1 x ? (a ? 1) x 2 ? x ? ( a ? R ). 3 2 3

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)当 0 ? a ? 1 时,判断函数 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上零点的个数.

19. (本小题满分 16 分)

函数 f ( x) ?

2x . ln x

(1)求函数 y ? f ( x) 在区间 ? e, e2 ? ? 上的值域; (2)求 f ( x ) 的单调递减区间; (3)若存在 x0 ?[e, ??) ,使函数 g ( x) ? ae ln x ? 的取值范围.

1 2 a?e x ? ? ln x ? f ( x) ? a 成立,求实数 a 2 2

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ae x ?

a ?1 ? 2(a ? 1)(a ? 0). x

⑴当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; ⑵若对于任意的 x ? ? 0, ?? ? ,恒有 f ( x) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

2018 届高三年级第一次学情检测
数学加试试卷(物理方向考生作答)
解答题(共 4 小题,每小题 10 分共 40 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1. 求下列函数的导函数

(1) y ? (3x ? 2)3

(2) y ? log2 (2 x ? 1 )

2. 求曲线 y ? x ? 3x ? 2x 过点 ? 0, 0 ? 的切线方程.
3 2

3. 已知关于 x 的不等式 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 ( a ? R ). (1)若不等式 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 x x ? 1 或 x ? b? ,求 a , b 的值; (2)求不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? 5 ? ax ( a ? R )的解集.

?

4. 已知函数 f ? x ? ? e2 x ? ax2 ? 2x ? 1? , a ? R . (1)若函数 y ? f ? x ? 在 ? ??, ?2? 上单调递增,求实数 a 取值范围; (2)当 x≤0 时, f ? x ? ? 1≥ 0 ,求实数 a 的取值范围.

2018 届高三年级第一次学情检测
数学参考答案
一、填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在 答题卡相应位置上 1. 8.

?0,1, 2? ; ? 0, 2 ?

2.(0,1) ? (1,2); 3.必要不充分条件; 4. ( 1 , 3 ) 5 .c<b<a 6.[-10,2] 3 5 9.

7.

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?4 ? a ? 0

? ?2,6?

10.

? ?4, ?1?

11.

11

12. m≤4

13. 3

14. ? 1 , 1 ? ? ? 4 3? ?

二、解答题: 本大题共 6 小题.共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? loga ? x ?1? ? loga ?3 ? x ? ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,且 f ?1? ? 2 . (1)求 a 的值及 f ? x ? 的定义域; (2)若不等式 f ? x ? ? c 恒成立,求实数 c 的取值范围. 解: (1)因为 f ?1? ? 2 ,所以 2loga 2 ? 2 ,故 a ? 2 , 所以 f ? x ? ? log2 ?1 ? x ? ? log2 ?3 ? x ? , 由? ??????????2 分

?1 ? x ? 0 得 ?1 ? x ? 3 , ?3 ? x ? 0
??????????????7 分

所以 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,3? .

(2)由(1)知, f ? x ? ? log2 ?1 ? x ? ? log2 ?3 ? x ? ? log2 ?1 ? x ??3 ? x ? ????9 分

? log 2 ? ? x 2 ? 2 x ? 3? ? log 2 ? ? ? x ? 1? ? 4? ,
2

?

?

故当 x ? 1 时, f ? x ? 的最大值为 2, 所以 c 的取值范围是 ? 2, ??? . ??????????????14 分

2 2 2 16. 已知 p : x ? 7 x ? 10 ? 0 , q : x ? 4mx ? 3m ? 0 ,其中 m ? 0 .

(1)已知 m ? 4 ,若 p ? q 为真,求 x 的取值范围; (2)若 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.

解: (1)由 x 2 ? 7 x ? 10 ? 0 ,解得 2 ? x ? 5 ,所以 p : 2 ? x ? 5 又 x 2 ? 4m x ? 3m2 ? 0 ,
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因为 m ? 0 ,解得 m ? x ? 3m ,所以 q : m ? x ? 3m . 当 m ? 4 时, q : 4 ? x ? 12 , 又 p ? q 为真, p, q 都为真,所以 4 ? x ? 5 . ?????????????6 分 (2)由 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,即 ?q ? ?p , ?p 其逆否命题为 p ? q, q ?? p , 由(1) p : 2 ? x ? 5 , q : m ? x ? 3m ,

?? ?q ,

?????????????8 分 ?????????????10 分

?m ? 2 5 所以 ? ?3m ? 5 ,即: 3 ≤m≤2. ?m ? 0 ?

?????????????14 分

17. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位: 元/千克)满足关系式 y ? f ( x) ?

a ? b( x ? 5)2 ,其中 2 ? x ? 5 , a , b 为常数,已知销售价格为 x?2

每日可销售出该商品 5 千克; 销售价格为 4.5 元/千克时, 每日可销售出该商品 2.35 4 元/千克时, 千克. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若该商品的成本为 2 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利 润 f ( x) 最大.
a ? f (4) ? ? b ? 5, ? ? 2 解: (1)由题意, ? , ? f (4.5) ? 2a ? b ? 2.35 ? 5 4 ?

?????????????2 分

解得 a ? 4, b ? 3 , 故 f ( x) ?

?????????????4 分 ?????????????6 分

4 ? 3( x ? 5)2 ; 2 ? x ? 5 x?2

(2)商场每日销售该商品所获得的利润为 y ? ( x ? 2) f ( x)
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y ? 4 ? 3( x ? 2)( x ? 5)2 (2 ? x ? 5)
y? ? 9( x ? 3)( x ? 5)

?????????????8 分

x

(2,3)

3

(3,5)

列表:

y?

+ ↗

0 极大值16

﹣ ↘

y

由上表可得, x ? 3 是函数 f ( x) 在区间 ? 2,5? 内的极大值点,也是最大值点 所以,当 x ? 3 时,函数 f ( x) 取得最大值,且最大值等于 16 . 故销售价格为 3 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. ???14 分 18.已知函数 f ( x) ?

a 3 1 1 x ? (a ? 1) x 2 ? x ? ( a ? R ). 3 2 3

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)当 0 ? a ? 1 时,判断函数 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上零点的个数. 解:(1) f ?( x) ? ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? a ( x ? 1)( x ? ) , 因为 a ? 1 ,所以 0 ?

1 a

x
f ?( x )

1 (??, ) a

1 ? 1, a 1 a
0
极大值

?????????????4 分

1 ( ,1) a

1

(1, ??)

?
递增

?
递减

0
极小值

?
递增

f ( x)

所以 f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? (2)① 0 ? a≤ 时,

1 a

?2a 2 ? 3a ? 1 1 ,极小值为 f (1) ? ? ( a ?1) .????8 分 2 6 6a

1 ≥ 2 , f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, 2 ? 上递减 a 1 1 1 又因为 f ?1? ? ? ? a ? 1? ? 0, f ? 0 ? ? ? ? 0, f ? 2 ? ? ? 2a ? 1? ≤0 6 3 3
所以 f ? x ? 在 ? 0, 2? 上有两个零点 ?????????????11 分

1 2



1 1 ? 1? ?1 ? ? a ? 1 时,1 ? ? 2 , f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ? 上递减,在 ? , 2 ? 上递 2 a ? a? ?a ?
增, 又因为 f ?1? ? ?

1 1 ? a ? 1? ? 0, f ? 0? ? ? ? 0, 6 3

? 1 ? ? ? 2a ? 1?? a ? 1? f ? ?? ?0 6a 2 ?a?

所以 f ? x ? 在 ?0,1? 上有且只有一个零点,在 ?1, 2? 上没有零点,所以在 ? 0, 2? 上有且只有 一个零点

综上:0 ? a≤ 时, f ? x ? 在 ? 0, 2? 上有两个零点; 只有一个零点 19. 已知函数 f ( x) ?

1 2

1 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 ? 0, 2? 上有且 2

?????????????16 分

2x . ln x

(1)求函数 y ? f ( x) 在区间 ? e, e2 ? ? 上的值域; (2)求 f ( x ) 的单调递减区间; (3)若存在 x0 ?[e, ??) ,使函数 g ( x) ? ae ln x ? 取值范围. 解:(1)由已知 f ?( x ) ?
2(ln x ? 1) ,因为 x ? e, e2 ? ? ,所以 f ?( x) ? 0 , (ln x ) 2

1 2 a?e x ? ? ln x ? f ( x) ≤ a 成立,求实数的 2 2

?

2 2 所以函数 y ? f ( x) 在区间 ? e, e2 ? ? 上单调递增,又因为 f ? e? ? 2e, f ? e ? ? e ,

所以函数 y ? f ( x) 的值域为 ? 2e, e2 ? ? (2)函数 f ( x ) 的定义域为 (0,1) ? (1, ??) , f '( x) ? 解得 0 ? x ? 1或 1 ? x ? e , 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) 和 (1, e) . (3)因为 g ( x) ? ae ln x ?

?????????????4 分

2(ln x ? 1) ,由 f '( x) ? 0 , (ln x)2

?????????????8 分

1 2 x ? (a ? e) x , 2 1 2 x ? (a ? e) x ≤ a 成立, 2

由已知,若存在 x0 ?[e, ??) 使函数 g ( x) ? ae ln x ?

则只需满足当 x ? [e, ??) 时, g ( x)min ≤ a 即可. ????????????10 分 又 g ( x) ? ae ln x ? 则 g '( x) ?

1 2 x ? (a ? e) x , 2

ae x 2 ? (a ? e) x ? ae ( x ? a)( x ? e) , ?????12 分 ? x ? (a ? e) ? ? x x x

①若 a≤e ,则 g? ? x ? ≥ 0 在 x ??e, ?? ? 上恒成立,

1 e2 所以 g ? x ? 在 ?e, ?? ? 上单调递增,所以 g ? x ?min ? g ? e ? ? ae ? e2 ? e ? a ? e ? ? ? 2 2
所以 a ≥ ?

e2 e2 ,又因为 a≤e , ? ≤a≤e 2 2

????????????14 分

②若 a ? e ,则 g ? x ? 在 ? e, a ? 上单调递减,在 ? a, ?? ? 上单调递增

所以 g ? x ? 在 ?e, ?? ? 上的最小值是 g ? a ? 又因为 g ? a ? ? g ? e ? ? ?
e2 ? 0 ,而 a ? e ? 0 ,所以一定满足条件 2 e2 . 2

综上所述,的取值范围是 a ≥ ? 20. 已知函数 f ( x) ? ae x ?

????????????16 分

a ?1 ? 2(a ? 1)(a ? 0). x

⑴当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; ⑵若对于任意的 x ? ? 0, ?? ? ,恒有 f ( x) ≥ 0 成立,求实数 a 的取值范围. 解: ?1? 当 a ? 1 时, 因为f ( x) ? e x ?

2 2 ? 4 , 所以f ?( x) ? e x ? 2 , 所以f ?(1) ? e ? 2 , x x
?????4 分

所以, f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 (e ? 2) x ? y ? 0

? 2 ? 因为f ( x) ? aex ?

a ?1 ax2ex ? (a ? 1) ? 2(a ? 1)(a ? 0) . 所以 f ?( x) ? , x x2
?????8 分

令 g ( x) ? ax2e x ? (a ? 1) ,则 g ?( x) ? ax( x ? 2)e x ? 0 ,

所以g ( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,
a ?1 a ?1 2 3 ) ? a( 3 ) e a a
a ?1 a

因为g (0) ? ?(a ? 1) ? 0, g ( 3

? (a ? 1) ? a( 3

a ?1 2 3 a ?1 ) ? (a ? 1) ? 0 , a a

所以存在 x0 ? ? 0, ?? ? ,使 g ( x0 ) ? 0 ,且 f ( x) 在 ? 0, x0 ? 上单调递减, f ( x) 在 ? x0 , ??? 上单调 递增, 因为g ( x0 ) ? ax0 2 e x0 ? (a ? 1) ? 0, 所以ax0 2 e x0 =(a ? 1),即ae x0 = 因为对于任意的 x ? ? 0, ?? ? ,恒有 f ( x) ? 0 成立,
所以 f ( x)min ? f ( x0 ) ? ae x0 ?

(a ? 1) , x0 2

a ?1 ? 2(a ? 1) ? 0 , x0

????????????12 分

所以

a ?1 a ?1 1 1 ? ? 2(a ? 1) ? 0 , 所以 2 ? ? 2 ? 0 ,所以 2 x02 ? x0 ? 1 ? 0 , x0 2 x0 x0 x0

1 解得 ? ? x0 ? 1 , 2

因为 ax02ex =(a ? 1) ,∴ x02 e x =
0

0

a ?1 ? 1, a
0 0

令 h( x0 ) ? x02e x ,而 h?( x0 ) ? ( x02 ? 2x0 )ex ? x0 ( x0 ? 2)ex ,
0

? ? 当 x0 ? ? ? , 0 ? 时 , h?( x0 ) ? 0 , x0 ? ? 0,1?时 , h?( x0 ) ? 0 , 1 ? 2 ? ? ? 所以 h( x0 ) 在 ? ? , 0 ? 上为减函数 ,在 ? 0,1?上为增函数 . 2 1 ? ?

又 h(0) ? 0, h(? ) ?

1 2

1 4 e

, h(1) ? e

所以 h( x0 )的值域为?0,e? ,所以 1 ?
? 1

a ?1 1 . ? e ,解得 a ? a e ?1
?

, ?? ? 故所求实数 a 的取值范围为 ? ?e ?1 ?

??????????????16 分

数学(加试)参考答案
1.下列函数的导函数 (1) y ? (3x ? 2)
3

(2)
2

( 2 x? y?log 2

1)

解: (1) y? ? 3(3x ? 2) ? 3 ? 9(3x ? 2)
2

????????????5 分 ????????????10 分

(2) y? ?
3

2 (2 x ? 1) ln 2
2

2. 求曲线 y ? x ? 3x ? 2x 过点 ? 0, 0 ? 的切线方程. 解:设切点坐标 P ? x0 , y0 ? ,因为 y? ? 3x2 ? 6x ? 2
2 所以 f ?( x0 ) ? 3x0 ? 6x0 ? 2

曲线在 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? x03 ? 3x02 ? 2x0 ? (3x02 ? 6x0 ? 2)( x ? x0 ) 又切线过点 ? 0,0 ? , 所以 ? x03 ? 3x02 ? 2x0 ? (3x02 ? 6x0 ? 2)(? x0 )
3 即 2x03 ? 3x02 ? 0 ,解得 x0 ? 0或x0 ? . 2

????????4 分

所以 f ?( x0 ) ? 2或f ?( x0 ) ? ?

1 4

????????????8 分 ????????????10 分

1 所以, 切线方程为y ? 2 x或y ? ? x. 4

3. 已知关于 x 的不等式 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 ( a ? R ). (1)若不等式 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 x x ? 1 或 x ? b? ,求 a , b 的值; (2)求不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? 5 ? ax ( a ? R )的解集.
2 解:(1)将 x ? 1 代入 ax ? 3x ? 2 ? 0 ,则 a ? 1 2 因为,不等式为 x ? 3x ? 2 ? 0 ,即 ? x ?1?? x ? 2? ? 0

?

所以,不等式解集为 x x ? 2 或 x ? 1 ? ,所以 b ? 2 ????????????4 分 (2)不等式为 ax ? ? a ? 3? x ? 3 ? 0 ,即 ? ax ? 3?? x ?1? ? 0
2

?

当 a ? 0 时,原不等式解集为 x x ? ?1

?

?

????????????6 分

当 a ? 0 时,方程 ? ax ? 3?? x ?1? ? 0 的根为 x1 ?

3 , x2 ? ?1, a

①当 a ? 0 时,

3 3 ? ? ?1 ,∴ ? x x ? 或 a ? ?1? a a ?
3 ? 3 ? ? ?1 ,∴ ? x ? x ? ?1? a ? a ?

②当 ?3 ? a ? 0 时, ③当 a ? ?3 时, ④当 a ? ?3 时,

3 ? ?1 ,∴ ? a 3 ? ? ?1 ,∴ ? x ? 1 ? x ? a ?

3? ? a?

????????????10 分

4. 已知函数 f ? x ? ? e2 x ? ax2 ? 2x ? 1? , a ? R . (1)若函数 y ? f ? x ? 在 ? ??, ?2? 上单调递增,求实数 a 取值范围; (2)当 x≤0 时, f ? x ? ? 1≥ 0 ,求实数 a 的取值范围.
2 解: (1) f ? ? x ? ? e2 x ? ?2ax ? 2 ? a ? 2? x? ? ,因为函数 y ? f ? x ? 在 ? ??, ?2? 上单调递增

所以 f ? ? x ? ≥ 0 在 x ? ? ??, ?2? 上恒成立,即 ax2 ? ? a ? 2? x ≥ 0 在 x ? ? ??, ?2? 时恒成立 当 a ? 0 时, 2 x ≥ 0 ,不合题意, 当 a ? 0 时, a ? 0 且 ?
a?2 ≥ ?2 解得: a ≥ 2 a

所以,实数 a 取值范围为 a ≥ 2

????????????4 分

(2)因为,当 x≤0 时, f ? x ? ? 1≥ 0 ,即当 x≤0 时, e2 x ? ax2 ? 2x ? 1? ? 1≥0 所以,当 x≤0 时, ax 2 ? 2 x ? 1 ? 设 h ? x ? ? ax 2 ? 2 x ? 1 ?

1 ≥0 , e2 x

1 1 ? ? ,则 h? ? x ? ? 2ax ? 2 ? 2 ? 2 ? ax ? 1 ? 2 x ? ,????5 分 2x 2x e e e ? ? 1 2 设 m ? x ? ? ax ? 1 ? 2 x ,则 m? ? x ? ? a ? 2 x . e e 2 ①当 a ≥ ?2 时,因为 x≤0 ,所以 2 x ≥ 2 从而 m? ? x ? ≥ 0 , e
所以 m ? x ? ? ax ? 1 ?

1 在 ? ??,0? 上单调递增, e2 x

又因为 m ? 0? ? 0 ,所以当 x≤0 时, m ? x ?≤0 , 从而当 x≤0 时, h? ? x ?≤0 ,所以 h ? x ? ? ax 2 ? 2 x ? 1 ?

1 在 ? ??,0? 上单调递减 e2 x 1 又因为 h ? 0? ? 0 ,从而当 x≤0 时, h ? x ? ≥ 0 ,即 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 2 x ≥ 0 e

于是当 x≤0 时, f ? x ? ?1≥0 ②当 a ? ?2 时,令 m? ? x ? ? 0 ,得 a ?

????????????7 分

1 ? 2? 2 ? 0 ,∴ x ? 1n ? ? ? ? 0 , 2x e 2 ? a?
? 2x 2 ? ?e ? ? ? 0 , a? ?

?1 ? 2? ? a 故当 x ? ? 1n ? ? ? ,0? 时, m? ? x ? ? 2 x e 2 a ? ? ? ?
∴ m ? x ? ? ax ? 1 ?

?1 ? 2? ? 1 在 ? 1n ? ? ? ,0? 上单调递减, 2x e ?2 ? a? ?

?1 ? 2? ? 又∵ m ? 0? ? 0 ,∴当 x ? ? 1n ? ? ? ,0? 时, m ? x ? ≥ 0 , ?2 ? a? ? ?1 ? 2? ? 从而当 x ? ? 1n ? ? ? ,0? 时, h? ? x ? ≥ 0 ?2 ? a? ?
∴ h ? x ? ? ax 2 ? 2 x ? 1 ?

?1 ? 2? ? 1 在 ? 1n ? ? ? ,0? 上单调递增,又∵ h ? 0? ? 0 , 2x e ?2 ? a? ?

从而当 x ? ? 1n ? ?

?1 ?2 ?1 ?2

1 ? 2? ? 2 ? ,0 ? 时, h ? x ? ? 0 ,即 ax ? 2 x ? 1 ? e 2 x ? 0 ? a? ?

于是当 x ? ? 1n ? ?

? 2? ? ? ,0? 时, f ? x ? ? 1 ? 0 , ? a? ?

综合得 a 的取值范围为 ?2, ?? ? .
网]

?

????????????10 分

[来源:学优高考


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