配套K12高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数余弦函数的性质成长训练新

小学+初中+高中+努力=大学

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

主动成长

夯基达标

1.下列四个函数中,既是(0, ? )上的增函数,又是以 π 为周期的偶函数的是( ) 2

A.y=|sinx|

B.y=|sin2x|

C.y=|cosx|

D.y=cos2x

解析:结合图象进行判断.

答案:A

2.若函数 f(x)=3sin(ω x+φ )对任意实数 x 都有 f( ? +x)=f( ? -x),则 f( ? )等于( )

6

6

6

A.0

B.3

C.-3

D.3 或-3

解析:由 f( ? +x)=f( ? -x)得 x= ? 为函数的对称轴,所以 y=f(x)在对称轴处取得最大值或

6

6

6

最小值.

答案:D

3.函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

图 1-4-9

解析:从 y=-xcosx 的性质考虑.

f(-x)=xcos(-x)=xcosx=-f(x).

∴y=-xcosx 为奇函数.∴排除 A,C.

当 x>0,但 x→0 时,cosx>0,

∴-xcosx<0.

∴图象应在 x 轴下方.故选 D.

答案:D

4.给定函数①y=xsinx;②y=1+sin2x;③y=cos(sinx)中,偶函数的个数是( )

A.3

B.2

C.1

D.0

解析:①f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x)为偶函数;

②f(-x)=1+sin2(-x)=1+sin2x=f(x)为偶函数;

③f(-x)=cos[sin(-x)]=cos(-sinx)=cos(sinx)为偶函数,三个都为偶函数,故选 A.

答案:A

5.函数 y= 2 ? cosx (x∈R)的最大值是( ) 2 ? cosx

A. 5

B. 5

3

2

C.3

D.5

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解析:y= 2 ? cos x ? ? (2 ? cos x) ? 4 ? ?1 ? 4 .

2 ? cos x

2 ? cos x

2 ? cos x

∵-1≤cosx≤1,∴-1≤-cosx≤1.

又 1≤2-cosx≤3,

∴ 1 ≤ 1 ≤1. 3 2 ? cosx

∴ 4 ≤ 4 ≤4,得 1 ≤-1+ 4 ≤3,即最大值是 3.

3 2 ? cosx

3

2 ? cos x

答案:C

6.关于函数 f(x)=4sin(2x+ ? )(x∈R)有下列命题:①f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必定是 π 的 3

整数倍;②y=f(x)的表达式可改写成 y=4cos(2x- ? );③y=f(x)的图象关于点(- ? ,0)对称.

6

6

其中正确命题的序号是____________.

解析:①由 f(x)=0 有 2x+ ? =kπ (k∈Z), 3

令 k=0 得 x1=- ? . 6

令 k=1 得 x2= ? - ? . 26

∴x1-x2=- ? .故①不正确. 2

②利用诱导公式知正确,f(x)=4sin(2x+ ? ) 3

=4cos( ? -2x- ? )=4cos(-2x+ ? )

23

6

=4cos(2x- ? ). 6

③令 2x+ ? =kπ (k∈Z),得 2x=kπ - ? (k∈Z).

3

3

∴x= k? - ? (k∈Z). 26

令 k=0 得 x=- ? , 6

∴y=f(x)的图象关于点(- ? ,0)对称. 6

答案:②③

7.若函数 y=acosx+b(a、b 是常数)的最大值是 1,最小值是-7,求函数 y=3+absinx 的最值.

解:∵-1≤cosx≤1,

当 a>0 时,b-a≤y≤a+b,



?b ??a

? ?

a b

? ?

?7,

?1.

?a ??b

? ?

4, ?3.

当 a<0 时,a+b≤y≤b-a,

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?b ??a

? ?

a b

? ?

1, ?7,



?a ??b

? ?

?4, ?3.

当 a=4,b=-3 时,y=3-12sinx. ∴ymax=15,ymin=-9. 当 a=-4,b=-3 时,y=3+12sinx. ∴ymax=15,ymin=-9.

8.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(x+2)= 1 ? f (x) . 1? f (x)

(1)试证 f(x)是周期函数且 8 为一个周期;

(2)若 f(3)=-1,求 f(2 003)的值.

(1)



1? 1? f (x) 明:f(x+2+2)= 1 ? f (x ? 2) = 1 ? f (x) ? 1 ? f (x) ? 1 ? f (x) ? 2 ? ? 1 ,
1 ? f (x ? 2) 1 ? 1 ? f (x) 1 ? f (x) ?1 ? f (x) ? 2 f (x) f (x) 1? f (x)

即 f(x+4)= ? 1 . f (x)

∴f(x+4+4)=- ? 1 , f (x ? 4)
即 f(x+8)=f(x). ∴f(x)是周期函数且 8 为一个周期. (2)解:f(2 003)=f(3+250×8)=f(3)=-1. 9.(2005 全国高考)设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线
x= ? . 8
(1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象.

图 1-4-10

解:(1)∵x= ? 是函数 y=f(x)的图象的对称轴,∴sin(2× ? +φ )=±1.

8

8

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∴ ? +φ =kπ + ? ,k∈Z.∵-π <φ <0,∴φ = ? 3? .

4

2

4

(2)由(1)知 φ = ? 3? ,因此 y=sin(2x- ? 3? ).

4

4

由题意,得其单调增区间为 2kπ - ? ≤2x ? 3? ≤2kπ + ? ,k∈Z.

2

4

2

∴函数 y=sin(2x ? 3? )的单调增区间为[kπ + ? ,kπ + 5? ],k∈Z.

4

8

8

(3)由 y=sin(2x ? 3? )知 4

x

0

?

3?

5?

7?

8

8

8

8

y

-2

-1

0

1

0

2

故函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象是

π
-2 2

走近高考

10.(2006 辽宁高考)函数 y=sin( 1 x+3)的最小正周期是( ) 2

A. ?

B.π

2

C.2π

D.4π

解析:T= 2? =4π . 1

2
答案:D

11.(2006 湖南高考)设点 P 是函数 f(x)=sinω x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C

的对称轴的距离的最小值是 ? ,则 f(x)的最小正周期是( ) 4

A.2π

B.π

C. ? 2

解析:T=4× ? =π . 4

答案:B

D. ? 4

12.(2006 北京高考)函数 y=1+cosx 的图象( )

A.关于 x 轴对称

B.关于 y 轴对称

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C.关于原点对称

D.关于直线 x= ? 对称 2

解析:函数 y=1+cosx 的图象可由 y=cosx 的图象向上平移一个单位得到,其图象关于 y 轴对

称.

答案:B

13.(2006 安徽高考,8)设 a>0,对于函数 f(x)= sin x ? a (0<x<π ),下列结论正确的是 sin x
()

A.有最大值而无最小值

B.有最小值而无最大值

C.有最大值且有最小值

D.既无最大值又无最小值

解析:∵f(x)= sin x ? a ? 1 ? a (a>0),且 sinx∈(0,1],

sin x

sin x

∴f(x)有最小值 1+a,无最大值.

答案:B

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