宁夏银川一中2015届高三第三次月考数学(理)试题(解析版)


银川一中 2015 届高三年级第三次月考

数 学 试 卷(理)
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识为载体,以基本能力测试为主导,重视学 生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、数列、复数、导 数、函数的性质、线性规划等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份比较好的试卷. 【题文】一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 【题文】1.集合 M ? { x | 2 x ? 4}, N ? { x | x(1 ? x ) ? 0} ,则 C M N = A. (??, 0) ? [1, ??] C. (??, 0] ? [1, 2] B. (??, 0) ? [1, 2] D. (??, 0] ? [1, ??]

【知识点】集合及其运算 A1 【答案解析】C 由 M 中不等式变形得:2x≤4=22,即 x≤2,∴M=(-∞,2], 由 B 中不等式变形得:x(x-1)<0,解得:0<x<1,即 N=(0,1) , 则?MN=(-∞,0]∪[1,2].故选:C. 【思路点拨】求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N,根据全集 M 求出 N 的补集即可. 【题文】2.已知复数 z ? 1 ? i ? i 2 ? i 3 ? ... ? i 2015 ,则化简得 z = A.0 B. ?1 C.1 D. 1 ? i

【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案解析】A ∵i =1,∴复数 z=1+i+i +i +…+i
4 2 3 2015

1 ? i 2016 1 ? 1 ? = =0.故选:A. 1? i 1? i

【思路点拨】利用复数的周期性、等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【题文】3. S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, a 2 ? a8 ? 6 ,则 S 9 ? A.

27 2

B. 27

C. 54

D. 108

【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案解析】B :∵数列{an}是等差数列,∴a 5 = ∴S 9 =

9(a1 ? a9 ) =9a 5 =9×3=27 .故选 A. 2

a2 ? a8 6 = =3 . 2 2

【思路点拨】由等差数列的性质结合 a2+a8=6 求出 a5,代入前 9 项和公式即可求得答案. a 【题文】4. 已知关于 x 的不等式 x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),则 x1+x2+ 的 x1x2 最小值是 A. 6 3 B. 2 3 3 C. 2 3 6 D. 4 3 3

【知识点】基本不等式 ab ?

a?b E6 2

【答案解析】D ∵关于 x 的不等式 x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2), ∴△=16a2-12a2=4a2>0,又 a>0,可得 a>0.∴x1+x2=4a,x 1 x 2 =3a 2 , ∴x 1 +x 2 +

a 1 a =4a+ 2 =4a+ ≥2 x1x2 3a 3a

4a ?

1 4 3 3 = ,当且仅当 a= 时取等号. 3 6 3a

∴x 1 +x 2 +

4 3 a 的最小值是 .故选:D. x1x2 3

【思路点拨】由不等式 x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2) ,利用根与系数的关系可 得 x1+x2,x1x2,再利用基本不等式即可得出. 【题文】5.在 ?ABC 中,C ? 90 ,且 CA ? CB ? 3 ,点 M 满足 BM ? 2 MA, 则CM ? CB 等于 A.3 B.2 C.4 D.6

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】 A 由题意得 AB=3 2 , △ABC 是等腰直角三角形, ( CA ? CM ? CB = = CB ? CA +

1 AB ) 3

1 1 1 2 AB ? CB =0+ | AB |?| CB |cos45° = ×3 2 ×3× =3,故选 A. 3 3 3 2 1 AB ),再利用向量 AB 和 CB 的夹角等于 45° ,两个 3

【思路点拨】由 CM ? CB =( CA ?

向量的数量积的定义,求出 CM ? CB 的值. 【题文】6. 下列说法正确 的是 .. A.命题“ ?x ? R , e x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , e x ? 0 ” B.命题 “已知 x, y ? R ,若 x ? y ? 3 ,则 x ? 2 或 y ? 1 ”是真命题 C.“ x 2 ? 2 x ? ax 在 x ? ?1, 2? 上恒成立” ? “ ( x 2 ? 2 x) min ? (ax) max 在 x ? ?1, 2? 上恒成立” D.命题“若 a ? ?1 ,则函数 f ? x ? ? ax ? 2 x ? 1 只有一个零点”的逆命题为真命题
2

【知识点】命题及其关系 A2 【答案解析】A、“?x∈R,ex>0”的否定是“?x0∈R,ex≤0”;∴命题错误; B、∵x=2 且 y=1 时,x+y=3 是真命题;∴若 x+y≠3,则 x≠2 或 y≠1”是真命题; C、“x2+2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”?“(

x2 ? 2 x )min≥amax 在 x∈[1,2]上恒成立”,命 x

题错误; D、“若 a=-1,则函数 f(x)=ax2+2x-1 只有一个零点”的逆命题是:“f(x)=ax2+2x-1 有一 个零点时, a=-1”,∵f(x)有一个零点时,a=-1 或 a=0;∴命题错误.故选:B. 【思路点拨】B. A 中全称命题的否定是特称命题,并且一真一假; B 中原命题与逆否命题是同真同假,写出它的逆否命题再判定真假;

C、“x2+2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”转化为“( D、写出原命题的逆命题再判定真假.

x2 ? 2 x )min≥amax 在 x∈[1,2]上恒成立”; x

【题文】 7. 能够把圆 O : x 2 ? y 2 ? 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和谐函数”,下列函数不是 圆 O 的“和谐函数”的是 .. A. f ( x) ? 4 x ? x
3

B. f ( x) ? 1n

5? x 5? x

C. f ( x) ? tan

x 2

D. f ( x) ? e ? e
x

?x

【知识点】函数及其表示 B1 【答案解析】D 由“和谐函数”的定义知,若函数为“和谐函数”,则该函数为过原点的奇函 数. A 中,f(0)=0,且 f(x)为奇函数,故 f(x)=4x3+x 为“和谐函数”;

5?0 5? x 5 ? x -1 5? x =ln1=0,且 f(-x)=ln =ln( ) =-ln =-f(x), 5?0 5? x 5? x 5? x 5? x 所以 f(x)为奇函数,所以 f(x)=ln 为“和谐函数”; 5? x ?x x C 中,f(0)=tan0=0,且 f(-x)=tan =-tan =-f(x),所以 f(x)为奇函数, 2 2 x 故 f(x)=tan 为“和谐函数”;D 中,f(0)=e0+e-0=2,所以 f(x)=ex+e-x 的图象不过原 2
B 中,f(0)=ln 点,故 f(x))=ex+e-x 不为“和谐函数”;故选 D. 【思路点拨】由“和谐函数”的定义及选项知,该函数若为“和谐函数”,其函数须为过原点的 奇函数,由此逐项判断即可得到答案. 【题文】8. 已知 sin 2? ? A.

1 2

2 ? ,则 cos 2 (? ? ) ? 3 4 1 1 B. C. 3 6

D.

2 3

【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5

? 1 ? cos(2? ? 2 ) 1 ? sin 2? 1 【答案解析】C cos 2 (? ? ) ? = = 故选 C. 2 6 4 2 2 【思路点拨】先化简 再代入 sin 2? ? 求值。 3 b 【题文】9.已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 1, an ?1 ? an ? n ?1 ? 2, n ? N ? , ,则数列 ban bn
的前 10 项和为 A.

?

? ?
?

1 10 4 ?1 3

?

?

B.

4 9 4 ?1 3

?

?
bn?1 =2 , bn

C.

1 9 4 ?1 3

?

?

D.

4 10 4 ?1 3

?

【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案解析】D 由题意可得 a n+ 1 -a n =

所以数列{an}是等差数列,且公差是 2,{bn}是等比数列,且公比是 2. 又因为 a1=1,所以 an=a1+(n-1)d=2n-1.所以 b a n =b 2 n - 1 =b1?22n-2=22n-2. 设 cn=b a n ,所以 cn=22n-2,所以

cn =4 ,所以数列{cn}是等比数列,且公比为 4,首项为 1. cn?1
1 10 (4 -1) .故选 D. 3

由等比数列的前 n 项和的公式得:其前 10 项的和为

【思路点拨】根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{an}与{bn}的通项公 式,进而表达出{b a n } 的通项公式并且可以证明此数列为等比数列,再利用等比数列前 n 项 和的公式计算出答案即可. 【题文】10.函数 y ? sin x ? cos x 是
4 4

A.最小正周期为

?
2

,值域为 ?

? 2 ? ,1? 的函数 ? 2 ?

B.最小正周期为

?
4

,值域为 ?

? 2 ? ,1? 的函数 2 ? ?
?1 ? ?2 ?

C.最小正周期为 D.最小正周期为

?
2
4

,值域为 ? ,1? 的函数 ,值域为 ? ,1? 的函数

?

?1 ? ?2 ?

【知识点】三角函数的图象与性质 C3
2 【答案解析】 ∵y=sin4x+cos4x= (sin2x+cos2x) -2sin2xcos2x=1-

=

3 1 2? ? 1 ? ,其值域为[ ,1]故选:C. + ×cos4x∴其周期 T= 4 4 4 2 2

1 1 1 ? cos 4 x ×sin22x=1- × 2 2 2

【思路点拨】利用平方关系与二倍角的正弦将 y=sin4x+cos4x 化为 y=1降幂公式可求得 y=

1 ×sin22x,再利用 2

3 1 + ×cos4x,从而可求其周期和值域. 4 4
1 ( x ? 0) 的图象上.若点 Bn 的坐标 x

【 题 文 】 11.如图,矩形 An B n C n D n 的一边 An B n 在 x 轴上,另外两个顶点

Cn,Dn 在函数 f ( x ) ? x ?

y Dn Cn

( n,0)( n ? 2, n ? N ? ) ,记矩形 An B n C n D n 的周长为 an,

则 a2+a3+…+a10= A.208 B.216 C.212 D.220 【知识点】函数及其表示 B1

x O An Bn 1 (x>0)的图象上. x 1 1 若点 Bn 的坐标为(n,0)(n≥2,n∈N+),∴Cn 的纵坐标为 n+ ,Dn 的横坐标为 n n
【答案解析】B 由题意,∵Cn,Dn 在函数 f(x)=x+

1 1 ,另一条边长为 nn n 1 1 ∴矩形 AnBnCnDn 的周长为 an=2(n+ +n- )=4n n n 9 ? (2 ? 10) ∴a2+a3+…+a10=4(2+3+…+10)=4× =216 故选 B. 2
∴矩形 AnBnCnDn 的一条边长为 n+ 【思路点拨】先确定 Cn 的纵坐标,Dn 的横坐标,进而可得矩形 AnBnCnDn 的周长,利用等 差数列的求和公式,即可求得结论. 【题文】12.若直角坐标平面内 A、B 两点满足①点 A、B 都在函数 f ( x) 的图象上;②点 A、B 关于原点对称,则点(A,B)是函数 f ( x) 的一个“姊妹点对”。点对(A,B)与(B,A)
? x 2 ? 2 x ( x ? 0) ? 可看作是同一个“姊妹点对”,已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则 f ( x) 的“姊妹点对”有 ( x ? 0) ? x ?e

A.

2个

B. 1 个

C.

0个

D.

3个

【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】A 设 P(x,y) (x<0),则点 P 关于原点的对称点为 P′(-x,-y), 于是

2 =-(x 2 +2x) ,化为 2ex+x2+2x=0, e2 2 >0(x≥0),∴只要考虑 x∈[-2,0]即可. e2

令 φ(x)=2ex+x2+2x,下面证明方程 φ(x)=0 有两解. 由 x2+2x≤0,解得-2≤x≤0,而

求导 φ′(x)=2ex+2x+2, 令 g(x)=2ex+2x+2,则 g′(x)=2ex+2>0, ∴φ′(x)在区间[-2,0]上单调递增, 而 φ′(-2)=2e-2-4+2<0,φ′(-1)=2e-1>0, ∴φ(x)在区间(-2,0)上只存在一个极值点 x0. 而 φ(-2)=2e-2>0,φ(-1)=2e-1-1<0,φ(0)=2>0, ∴函数 φ(x)在区间(-2,-1),(-1,0)分别各有一个零点. 也就是说 f(x)的“姊妹点对”有两个.故选 A. 【思路点拨】首先弄清关于原点对称的点的特点,进而把问题转化为求方程 的根的个数,再转化为求函数 φ(x)=2ex+x2+2x 零点的个数即可.

2 =-(x 2 +2x) 2 e

第Ⅱ卷
【题文】本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 【题文】二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ?x+y-7≤0, 【题文】13.设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0,则 z=2x-y 的最大值为

?

? ?3x-y-5≥0,

.

【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案解析】作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC).由 z=2x-y 得 y=2x-z,平移直线 y=2x-z, 由图象可知当直线 y=2x-z 经过点 A 时,直线 y=2x-z 的截距最

小,此时 z 最大.由 ?

? x? y?7 ? 0 ?x ? 5 ,解得 ? , ?x ? 3y ?1 ? 0 ?y ? 2

即 A(5,2)将 A 的坐标代入目标函数 z=2x-y, 得 z=2×5-2=8.即 z=2x-y 的最大值为 8.故答案为:8 【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值. 【题文】14.在 ?ABC 中,已知内角 A ? 值为 . 【知识点】解三角形 C8 【答案解析】3 3 由余弦定理,得 12=b2+c2-bc.又 S=

?
3

,边 BC ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积 S 的最大

1 bcsinA= 2

3 bc; 3

而 b2+c2≥2bc?bc+12≥2bc?bc≤12,(当且仅当 b=c 时等号成立) 所以 S=

1 3 bcsinA= bc≤3 3 .即△ABC 的面积 S 的最大值为:3 3 . 2 4

故答案为:3 3 . 【思路点拨】根据余弦定理结合三角形的面积公式以及基本不等式,即可求出结论. 【题文】15. 已知 an ?

?

n

0

?1? (2 x ? 1)dx ,数列 ? ? 的前项和为 S n ,数列 ?bn ? 的通项公式为 ? an ?
.

bn ? n ? 8 ,则 bn S n 的最小值为

【知识点】数列求和 D4 【答案解析】-4 由 an=

? 0 (2x+1)dx =(x +x)
2

n

n 2 =n +n, 0



1 1 1 1 = = , n n ?1 n(n ? 1) an 1 1 1 1 1 1 n 1 } 的前项和为 Sn=(1- )+( - )+…+( )=1= . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 an

∴数列{

又 bn=n-8,∴bnSn=(n- 8)?

n (n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 9 = n ?1 n ?1 9

=(n+1)+

9 9 9 - 10≥2 (n ? 1) ? -10 =-4.当且仅当 n+1= ,即 n=2 时等号成立. n ?1 n ?1 n ?1

故答案为-4.

【思路点拨】求定积分得到 an,则

1 1 的通项可求,由裂项相消法求数列{ } 的前项和 an an
e x ? e?x 和双曲余弦函数 2

为 Sn,代入 bnSn 中配方,然后利用基本不等式求最值 【题文】16.在技术工程中,经常用到双曲正弦函数 shx ?
chx ?

e x ? e?x .其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类 2 似,比如关于正、余函数有 cos( x ? y ) ? cos x cos y ? sin x sin y 成立,而关于双曲正、余弦函

数满足 ch( x ? y ) ? chxchy ? shxshy .请你类比正弦函数和余弦函数关系式,写出关于双曲正 弦、双曲余弦函数的一个新关系式 . 【知识点】函数及其表示 B1 【答案解析】sh2x-ch2=-1,ch2x-sh2x=1 sh2x=

1 1 1 1 (e2x+ 2 x -2)ch2x= (e2x+ 2 x +2)∴sh2x-ch2=-1 4 e 4 e

∴ch2x-sh2x=1 故答案为:sh2x-ch2=-1,ch2x-sh2x=1 【思路点拨】注意到双曲正弦函数和双曲余弦函数平方后的相同项,即可得到新的关系式. 【题文】三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演 算步骤 【题文】17. (本小题满分 12 分) 在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 , 公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (1)求 a n 与 bn ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ? bn ? a5 ,求 ?c n ? 的前 n 项和 Tn . 【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和等比数列及等比数列前 n 项和 D2 D3

S2 . b2

? 3n 1 ? ? 15n ? (n ? 3) ? ? 2 2 【答案解析】 (1) an ? 3n , bn ? 3n ?1 (2) Tn ? ? n ? 3 ? 15n ? 127 (n ? 4) ? ?2 2 ?b2 ? s2 ? 12 ?q ? 6 ? d ? 12 ? ? (1)因为 ? ,所以 ? ,得 q ? 3, q ? ?4(舍),d ? 3 , s2 6?d q ? q ? ? ? b2 q ? ?
an ? 3n , bn ? 3n ?1
(2)因为 cn ? bn ? a5 , 所以 cn ? 3
n ?1 n ?1 ? ?15 ? 3 (n ? 3) ? 15 ? ? n ?1 ? ?3 ? 15(n ? 4)

? 3n 1 ? ? 15n ? (n ? 3) ? ? 2 2 得 Tn ? ? n ? 3 ? 15n ? 127 (n ? 4) ? ?2 2
【思路点拨】根据等差数列等比数列公式求出通项公式,再根据等比数列求和求出结果。

【题文】18. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ?

3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin 2

?x ? ?
2

(? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

) . 其图象的最高

点与相邻对称中心的两点间 距离为 1 ? ... (1)求函数 f ( x) 的周期及其表达式;

?2
16

,且过点 (

?
3

,1) .

(2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 5 , CA ? CB ? 10 ,角 C 为 锐角且满足 2a ? 4a sin C ? c sin A ,求 c 的值. 【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8 【答案解析】(Ⅰ ) T ? ? , f ( x) ? sin( 2 x ?
2 2

?
6

)?

1 (Ⅱ ) c ? 21 2
6 2

(Ⅰ ) f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) ? 1 [1 ? cos(?x ? ? )] ? sin(?x ? ? ? ? ) ? 1 . 的距离为 1?

∵最高点与相邻对称中心

2? T ? ? ? ,∵? ? 0 ,∴? ? 2 , 又 f ( x) 过 点 ? ,即 T ? ? , ∴ 16 4 4 |? | ? 2? ? 1 ( ,1) ,∴sin( ? ? ? ) ? ? 1, 3 3 6 2 ? 1 1 ? ? ? 1 即 sin( ? ? ) ? ,∴cos ? ? .∵0 ? ? ? ,∴? ? ,∴ f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . 2 2 2 2 3 6 2 5 2 ? (Ⅱ ) 2a ? 4a sin C ? c sin A ,由正弦定理可得 sin C ? , ∵0 ? C ? ,∴cos C ? , 3 3 2
,则 又a ?

?2

5 , CA ? CB ? ab cos C ? 10 ,∴b ? 6 ,由余弦定理得

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 21 ,∴c ? 21 .
【思路点拨】根据三角函数的中心距离求出解析式,利用正弦定理余弦定理求出边长。 【题文】19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? (1)证明:数列 { (2)求数列 {

2an 2 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3,...... . 3 an ? 1

1 ? 1} 是等比数列; an

n } 的前 n 项和 S n . an

【知识点】等比数列数列求和 D3 D4

n?2 2n 2an a ?1 1 1 1 1 (Ⅰ)∵ an ?1 ? ,? ? n ? ? ? , an ? 1 an ?1 2an 2 2 an 2 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , 3 an ?1 2 an a1 2 1 1 1 ? 数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列. 2 2 an
【答案解析】 (Ⅰ)略(Ⅱ) sn ?

1 1 1 1 1 1 n n ? 1 ? ? n ?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? n ? n . an ?1 2 2 2 an 2 an 2 1 2 3 n 1 1 2 n ?1 n 设 Tn ? ? 2 ? 3 ? … ? n , ①则 Tn ? 2 ? 3 ? … ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 n 1 1 1 2 ? n ? 1? 1 ? n , 由① ? ②得 Tn ? ? 2 ? … ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 2 2 2 1? 2 1 n n(n ? 1) . ? Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ? 2 2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 数列 {

2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n ? ? n } 的前 n 项和 S n ? 2 ? n ? 2 2 2 2 an

【思路点拨】构造新数列证明等比数列,利用错位相减求和。 【题文】20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x ? x 在 x ? 0 处取得极值.
2

(1)求实数 a 的值; (2)关于 x 的方程 f ? x ? ? ? 范围; 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】(1)1 (2) ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? (1) f ' ? x ? ?

5 x ? b 在区间 ? 0, 2? 上有两个不同的实数根,求实数 b 的取值 2

1 . 2

1 x ? 0 时, f ? x ? 取得极值, ? 2 x ? 1, x?a 1 ? f ' ? 0 ? ? 0, 故 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0, 解得 a ? 1. 经检验 a ? 1 符合题意. 0?a 5 2 (2)由 a ? 1 知 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x, 由 f ? x ? ? ? x ? b ,得 2 3 3 5 ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? b ? 0, 令 ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? b, 则 f ? x ? ? ? x ? b 2 2 2 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同的实数根等价于 ? ? x ? ? 0 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同
的实数根.

? ' ? x? ?
'

当 x ? ? 0,1? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增;
'

1 3 ? ? 4 x ? 5 ?? x ? 1? ? 2x ? ? , x ?1 2 2 ? x ? 1?

当 x ? ?1, 2? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递减.

?? ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 3 1 ? 依题意有 ?? ?1? ? ln ?1 ? 1? ? 1 ? ? b ? 0 , 解得, ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . 2 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? b ? 0
【思路点拨】求导数确定 a 值,根据单调性根的情况求出 b 的范围。 【题文】21. (本小题满分 12 分)

1 3 1 x ? (a ? 2) x 2 , h( x) ? 2a ln x, f ( x) ? g ?( x) ? h( x) 。 6 2 (1)当 a∈R 时,讨论函数 f ( x) 的单调性.
已知函数 g ( x) ? (2)是否存在实数 a,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有 若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,请说明理由. 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】(1) ①当 a>0 时,f(x)在(0,2)上是减函数,在在 (2,??) 上是增函数。 ②当-2<a≤0 时,f(x)在(0,-a)上是增函数;在(-a,2)是是减函数;在 (2,??) 上 是增函数。 ③当 a=-2 时,f(x)在(0,+ ?) 上是增函数。 ④当 a<-2 时,f(x)在(0,2)上是增函数;在(2,-a)上是减函数;在 (? a,??) 上是 增函数。 (2)不存在实数 a
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?a. x1 ? x 2

①当 a>0 时,f(x)在(0,2)上是减函数,在在 (2,??) 上是增函数。 ②当-2<a≤0 时,f(x)在(0,-a)上是增函数;在(-a,2)是是减函数;在 (2,??) 上 是增函数。 ③当 a=-2 时,f(x)在(0,+ ?) 上是增函数。 ④当 a<-2 时,f(x)在(0,2)上是增函数;在(2,-a)上是减函数;在 (? a,??) 上是 增函数。 (2)假设存在实数 a,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有 成立,当 x1

1 2 x ? (a ? 2) x ? 2a ln x, ( x 0) 2 2a ( x ? 2)( x ? a ) f ?( x) ? x ? a ? 2 ? ? , ( x 0) , x x
(1) f ( x) ?

x2 时,等价于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 立.令 g(x)=f(x)+ax= x 2 ? 2a ln x ? 2 x ? 2ax ,只要 g(x)在(0,+ ?) 上恒为增函 2 2a x 2 ? (2a ? 2) x ? 2a 数 , 所以 g ?( x) ? 0 恒成立即可 . 又 g ?( x) ? x ? ,只要 ? 2 ? 2a ? x x x 2 ? (2a ? 2) x ? 2a ? 0 在 ( 0 , + ?) 恒 成 立 即 可 . 设 h( x) ? x 2 ? (2a ? 2) x ? 2a , 则 由 ?h(0) ? ?2a 0 ?a 0 ? 2 2 得? , a ?? ? ? 4(a ? 1) ? 8a ? 4a ? 4 0 及 ? 2a ? 2 ? ?0 ?a ? 1 ? ? 2 f ( x1 ) ? ax1 恒成立 . g 当 x1 x2 时,等价于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) a ( x1 ? x2 ) 即 f ( x2 ) ? ax2 (x)在(0,+ ?) 上恒为增函数,所以 g ?( x) ? 0 恒成立即可. a ??
综上所述, 不存在实数 a, 对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) , 且 x1 ? x2 时, 都有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) a恒 x1 ? x2 a ( x1 ? x2 ) 即 f ( x2 ) ? ax2 f ( x1 ) ? ax1 恒成

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x1 ? x2

a.

【思路点拨】求出导数讨论参数确定单调区间,根据单调性假设 a 值确定 a 不存在。 【题文】请考生在第 22、23、24 三题中任选一题 做答,如果多做,则按所做的第一题记分. .... 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 【题文】22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 A E O M

如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? , 以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; (2)求证: 2 DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB 【知识点】选修 4-1 几何证明选讲 N1 【答案解析】 (1)略(2)略 证明: (1)连接 BE 、 OE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD 又 OE ? OB , OD ? OD 所以 ?ODE ? ?ODB 所以 ?OED ? ?OBD ? 90? 所以 O 、 B 、 D 、 E 四点共圆 (2)延长 DO 交圆 O 于点 H . 因为 DE ? DM ? DH ? DM ? ( DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH .
2

所以 DE 2 ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB ) 所以 2 DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB 【思路点拨】根据全等证明四点共圆,根据线段的关系证明结论。 【题文】23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

1 2

1 2

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极 ? y ? 3sin?

轴建立坐标系,曲线 C 2 的极坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。 【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3 【答案解析】 (1)(1, 3 ),(2 2 2 2

?
3

)

3 ,1),(-1,-

3 ),( 3 -1)(2)[32,52]
( 3 -1), 3 ),

(1)点 A,B,C,D 的直角坐标为(1, 3 ), ((2)设 P(x0,y0),则 ?

(-1,3 ,1),

? x0 ? 2cos ? (φ 为参数) ? y0 ? 3sin ?

t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x02+4y02+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0,1]∴t∈[32,52]. 【思路点拨】确定点 A,B,C,D 的直角坐标,利用参数方程设出 P 的坐标,借助于三角 函数,即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. 【题文】24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? 2 x ? 1 ? ax ? 5 (a 是常数,a∈R) (1)当 a=1 时求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)如果函数 y ? f ( x) 恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围. 【知识点】选修 4-5 不等式选讲 N4

【答案解析】 (1){x|x≥2 或 x≤-4}.(2)(-2,2)

1 ? 3x ? 6( x ? ) ? ? 2 ①当 a=1 时,f(x)=|2x-1|+x-5= ? . ?? x ? 4( x ? 1 ) ? ? 2
1 1 ? ? ? x? ? x? 由? 2 解得 x≥2; 由 ? 2 解得 x≤-4.∴f(x)≥0 的解为{x|x≥2 或 x≤-4}. ? ? ?3x ? 6 ? 0 ?? x ? 4 ? 0
②由 f(x)=0 得|2x-1|=-ax+5.作出 y=|2x-1|和 y=-ax+5 的图象,观察可以知道,当-2<a <2 时,这两个函数的图象有两个不同的交点,函数 y=f(x)有两个不同的零点.故 a 的取 值范围是(-2,2).

1 ? 1 3x ? 6( x ? ) ? ? ? ? x? 2 【思路点拨】①当 a=1 时,f(x)= ? ,把 ? 2 和 ?? x ? 4( x ? 1 ) ? ?3x ? 6 ? 0 ? ? 2

1 ? ? x? 2 的 ? ? ?? x ? 4 ? 0

解集取并集,即得所求.②由 f(x)=0 得|2x-1|=-ax+5,作出 y=|2x-1|和 y=-ax+5 的图象, 观察可以知道,当-2<a<2 时,这两个函数的图象有两个不同的交点,由此得到 a 的取值 范围.


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