2018版高考数学一轮复习教师用书:选修4-4 坐标系与参数方程

选修 4-4? 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 本节主要包括 2 个知识点:? 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换; 2.极坐标系. ? ? 突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ? x?λ>0?, ?x′=λ· 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:? 的作用下, ?y′=μ· y?μ>0? ? 点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变 换. 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 1 ? ?x′=2x, x2 2 典例] 求椭圆 +y =1,经过伸缩变换? 4 ?y′=y ? 1 ? ? ?x′=2x, ?x=2x′, 解] 由? 得到? ① ?y=y′. ? ? ?y′=y 后的曲线方程. 4x′ x2 将①代入 +y2=1,得 +y′2=1,即 x′2+y′2=1. 4 4 x2 因此椭圆 +y2=1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2+y2=1. 4 方法技巧] 应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的, 解题时一定要区分 变 换 前 的 点 P 的 坐 标 (x , y) 与 变 换 后 的 点 P′ 的 坐 标 (X , Y) , 再 利 用 伸 缩 变 换 公 式 2 ? ?X=ax?a>0?, ? 建立联系. ?Y=by?b>0? ? (2)已知变换后的曲线方程 f(x,y)=0,一般都要改写为方程 f(X,Y)=0,再利用换元法 确定伸缩变换公式. 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ?x′=3x, ? 1 ,-2?经过 φ 变 1.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换 φ:? 求点 A? 3 ? ? ? 2 y ′= y . ? 换所得的点 A′的坐标. ? ?x′=3x, ? ? ? 解:设 A′(x′,y′),由伸缩变换 φ: 得到? 1 ? ?2y′=y, ?y′= y, ? 2 1 ? 为? ?3,-2?, 1 1 于是 x′=3× =1,y′= ×(-2)=-1, 3 2 所以 A′(1,-1)为所求. x′=3x, 由于点 A 的坐标 ?x′=3x, ? 2.求直线 l:y=6x 经过 φ:? 变换后所得到的直线 l′的方程. ? ?2y′=y 解:设直线 l′上任意一点 P′(x′,y′), 1 ? ?x=3x′, 由题意,将? ? ?y=2y′ 1 ? 代入 y=6x 得 2y′=6×? ?3x′?, 所以 y′=x′,即直线 l′的方程为 y=x. ? ?x′=3x, y2 3.求双曲线 C:x2- =1 经过 φ:? 变换后所得曲线 C′的焦点坐标. 64 ?2y′=y ? 解:设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′), 1 ? ?x=3x′, y2 由题意,将? 代入 x2- =1 64 ?y=2y′ ? x′2 4y′2 得 - =1, 9 64 化简得 x′2 y′2 - =1, 9 16 x2 y2 即 - =1 为曲线 C′的方程,可见经变换后的曲线仍是双曲线, 9 16 则所求焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0). ? ?X=ax?a>0?, x2 y2 ? 4. 将圆 x2+y2=1 变换为椭圆 + =1 的一个伸缩变换公式为 φ: 求 a, 9 4 ?Y=by?b>0?, ? b 的值. ? ?X=ax, 解:由? 知 ?Y=by ? ?x=aX, ? 1 ?y=bY, 1 代入 x2+y2=1 中得 X 2 Y2 + =1,所以 a2=9,b2=4, a2 b2 即 a=3,b=2. 突破点(二) 极坐标系 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点 O,点 O 叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox,Ox 叫 做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标 一般地,没有特殊说明时,我们认为 ρ≥0,θ 可取任意实数. (3)点与极坐标的关系 一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点,特别地,极点 O 的坐标为(0, θ)(θ∈R),和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定 ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ) 表示; 同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的. 2.极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x,y) ? ?x=ρcos θ, ? ?y=ρsin θ ? 极坐标(ρ,θ) ρ =x +y , ? ? ? y ?tan θ=x?x≠0? ? 2 2 2 互化公式 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 极坐标与直角坐标的互化 1.极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步 判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合, 且极轴与 x 轴正半轴是否重合, 若上述两个都重合,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 通过极坐标方程的两边同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos θ,ρsin θ,ρ2 的形式,一定要 注意变形过程中方程要保持同解,不要出现增解或漏解 ? ?x=ρcos θ, 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式? 及 ρ2=x2+y2 将极坐标 ?y=ρsin θ ? 第二步 第三步 方程转化为直角坐标方程 2.直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标 (1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单, 只需将直角坐标方程中的 x, y 分别用 ρcos θ, ρsin θ 代替即可得到相应极坐标方程. (2)求直角坐标系中的点(x,y)对应的极坐标的一般步骤: 第一步,根据直角坐标

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