2018版高考数学一轮复习教师用书:选修4-4 坐标系与参数方程


选修 4-4? 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 本节主要包括 2 个知识点:? 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换; 2.极坐标系. ? ? 突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ? x?λ>0?, ?x′=λ· 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:? 的作用下, ?y′=μ· y?μ>0? ? 点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变 换. 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 1 ? ?x′=2x, x2 2 典例] 求椭圆 +y =1,经过伸缩变换? 4 ?y′=y ? 1 ? ? ?x′=2x, ?x=2x′, 解] 由? 得到? ① ?y=y′. ? ? ?y′=y 后的曲线方程. 4x′ x2 将①代入 +y2=1,得 +y′2=1,即 x′2+y′2=1. 4 4 x2 因此椭圆 +y2=1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2+y2=1. 4 方法技巧] 应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的, 解题时一定要区分 变 换 前 的 点 P 的 坐 标 (x , y) 与 变 换 后 的 点 P′ 的 坐 标 (X , Y) , 再 利 用 伸 缩 变 换 公 式 2 ? ?X=ax?a>0?, ? 建立联系. ?Y=by?b>0? ? (2)已知变换后的曲线方程 f(x,y)=0,一般都要改写为方程 f(X,Y)=0,再利用换元法 确定伸缩变换公式. 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ?x′=3x, ? 1 ,-2?经过 φ 变 1.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换 φ:? 求点 A? 3 ? ? ? 2 y ′= y . ? 换所得的点 A′的坐标. ? ?x′=3x, ? ? ? 解:设 A′(x′,y′),由伸缩变换 φ: 得到? 1 ? ?2y′=y, ?y′= y, ? 2 1 ? 为? ?3,-2?, 1 1 于是 x′=3× =1,y′= ×(-2)=-1, 3 2 所以 A′(1,-1)为所求. x′=3x, 由于点 A 的坐标 ?x′=3x, ? 2.求直线 l:y=6x 经过 φ:? 变换后所得到的直线 l′的方程. ? ?2y′=y 解:设直线 l′上任意一点 P′(x′,y′), 1 ? ?x=3x′, 由题意,将? ? ?y=2y′ 1 ? 代入 y=6x 得 2y′=6×? ?3x′?, 所以 y′=x′,即直线 l′的方程为 y=x. ? ?x′=3x, y2 3.求双曲线 C:x2- =1 经过 φ:? 变换后所得曲线 C′的焦点坐标. 64 ?2y′=y ? 解:设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′), 1 ? ?x=3x′, y2 由题意,将? 代入 x2- =1 64 ?y=2y′ ? x′2 4y′2 得 - =1, 9 64 化简得 x′2 y′2 - =1, 9 16 x2 y2 即 - =1 为曲线 C′的方程,可见经变换后的曲线仍是双曲线, 9 16 则所求焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0). ? ?X=ax?a>0?, x2 y2 ? 4. 将圆 x2+y2=1 变换为椭圆 + =1 的一个伸缩变换公式为 φ: 求 a, 9 4 ?Y=by?b>0?, ? b 的值. ? ?X=ax, 解:由?

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