高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式1课时提升作业2新人教A版


两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.(2014·玉溪高一检测)设向量 a=(cos23°,cos97°),b=(sin97°,sin23°),则 a·b 等于 ( A.B. C. D.)

【解析】选 C.a·b=(cos23°,cos97°)·(sin97°,sin23°) =cos23°sin97°+cos97°·sin23° =sin(97°+23°)=sin120°= . ,α -β 是第一象限角,tanβ = ,β 是第三象限角,则 cos

2.(2014·南昌高一检测)已知 sin(α -β )= α 的值等于 ( A. ) B.-

C.

D.-

【解析】选 D.因为 tanβ = ,β 是第三象限角, 在角β 的终边上任取一点 P 则 tanβ = = , ,其中 a<0,b<0,

所以 sinβ =

=

=

=-



cosβ =

=

=

=-

.

因为 sin(α -β )= 所以 cos 所以 cosα =cos =cos = =. ×

,α -β 是第一象限角, = .

cosβ -sin ×

sinβ

【变式训练】(2013·中山高一检测)若 sin(α -β )cosα -cos(α -β )sinα =m,且β 为第三象限角,则 cos

β 的值为 ( A. C.

) B.D.-

【解析】选 B.由条件得,sin[(α -β )-α ]=sin(-β )=-sinβ =m,即 sinβ =-m. 又因为β 为第三象限角, 所以 cosβ ==.

3.(2014·石家庄高一检测)已知 cos(α +β )= ,cos(α -β )=- ,则 cosα cosβ 的值为 ( A.0 C.0 或 ) B. D.0 或±

【解析】选 A.因为 cos(α +β )= ,cos(α -β )=- , 所以 cosα cosβ -sinα sinβ = , cosα cosβ +sinα sinβ =- , 以上两式相加得 2cosα cosβ =0,故 cosα cosβ =0. 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)

4.计算:sin

-

cos

=

.

【解析】原式=2 =2

=-2cos

=-2cos

=-

.

答案:【一题多解】原式=2 =2

=-2sin

=-2sin

=-

.

答案:5.在△ABC 中,3sinA-4sinB=6,4cosB+3cosA=1,则 C 的大小为 .

【解题指南】根据题意,把已知的两等式两边平方后,左右相加,然后利用同角三角函数间的基本关系、 两角和的正弦公式及诱导公式化简后即可得到 sinC 的值,利用特殊角的三角函数值及角 C 的范围即可求 出 C 的度数. 【解析】因为 3sinA-4sinB=6,4cosB+3cosA=1, 两式平方相加,可得 9+16+24cos(A+B)=37, 所以 cos(A+B)= . 因为 A+B+C=π ,所以 cos(A+B)=-cosC, 则 cosC=- ,0°<C<180°,故 C=120°. 答案:120° 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

6.(2014·吉林高一检测)已知

<β <α <

,cos

=

,sin

=- ,求 sin2α 的值.

【解题指南】注意到 2α =

+

,利用两角和的正弦公式计算.

【解析】因为 cos

=

>0,

<β <α <



所以 0<α -β < 又π <α +β < sin

,所以 sin . =- ,所以 cos

=



=- ,

所以 sin2α =sin =sin =- × - × cos =. +cos sin

7.(2014·开远高一检测)已知 a=

,b=

,-

<θ <

.

(1)若θ =

,求|a-b|.

(2)若 a⊥b,求θ .

【解析】(1)当θ = 所以 a-b= 所以|a-b|= -

时,a=

,b=



= = .



(2)若 a⊥b,则 a·b= =2sinθ -2cosθ =2 =2 sin =0.

·

因为-

<θ <

,所以-

<θ -

<



所以θ -

=0,所以θ =

.

一、选择题(每小题 4 分,共 8 分) 1.(2014·绵阳高一检测)已知△ABC 中,sinA= ,cosB= ,则 cosC 的值等于 ( A. C. 【解析】选 B.因为 cosB= 所以 sinB= ,B∈ = 或 B. D., 或)

> =sinA,

所以 A 为锐角,又 sinA= , 所以 cosA= 因为 A+B+C=π , 所以 cosC=cos =-cos = .

=sinAsinB-cosAcosB = × - × = . ,且 sinAcosB=cos(120°-B)sinB,则△ABC 的形状是 ( B.等腰但非直角三角形 D.等边三角形 ,0°<C<180°, )

2.在△ABC 中,若 tanC= A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 【解析】选 D.因为 tanC=

所以 C=60°,所以 120°-B=A. 因为 sinAcosB=cos 所以 sinAcosB=cosAsinB, sinAcosB-cosAsinB=0, sin =0, sinB,

又-180°<A-B<180°, 所以 A-B=0°,所以 A=B. 所以△ABC 是等边三角形. 【误区警示】解答本题容易出现对题目条件分析不全面,误认为△ABC 只是等腰三角形,而不是等边三角 形. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2014·天津高一检测)在△ABC 中, =(2cos63°,2cos27°),则 B= 【解析】因为 =(cos18°,cos72°), .

=(cos18°,cos72°)=(cos18°,sin18°),

=(2cos63°,2cos27°)=(2sin27°,2cos27°), 所以 =(-cos18°,-sin18°), =1, =2,

·

=-2sin27°cos18°-2cos27°sin18° ,

=-2sin(27°+18°)=-2sin45°=-

所以 cosB=

=

=-

.

又 0°<B<180°,所以 B=135°. 答案:135°

【变式训练】 已知 A(3, 0), B(0, 3), C(cosα , sinα ), 若

·

=-1, 则 sin

等于

.

【解析】

=(cosα -3,sinα ),

=(cosα ,sinα -3), 所以
2

·

=(cosα -3)cosα +sinα (sinα -3)
2

=cos α -3cosα +sin α -3sinα =1-3(sinα +cosα )=-1, 所以 3(sinα +cosα )=2,所以 3 所以 sin 答案: = . sin =2,

4.定义运算 则β 等于 【解析】依题设得:

=ad-bc.若 cosα = , .

=

,0<β <α <



sinα cosβ -cosα sinβ =sin(α -β )=

.

因为 0<β <α <

,所以 cos(α -β )=

.

又因为 cosα = ,所以 sinα = sinβ =sin[α -(α -β )]

.

=sinα cos(α -β )-cosα sin(α -β ) = × - × = ,

所以β =

.

答案: 三、解答题(12 分) 5.(2014·广东高考)已知函数 f(x)=Asin (1)求 A 的值. (2)若 f(θ )-f(-θ )= ,θ ∈ ,x∈R,且 f = .

,求 f

.

【解析】(1)由 f (2)f(θ )-f(-θ )=

=Asin ,

=Asin

=

=

,可得 A=3.

则 3sin

-3sin

=



3 sinθ = 因为θ ∈ .

-3

=



,所以 cosθ =



f

=3sin

=3sin

=3cosθ =

.

【变式训练】(2014·遵义高一检测)如图 A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限.点 C 是圆 O 与 x 轴正 半轴的交点,点 A 的坐标为 ,若△AOB 为正三角形.

(1)求 sin∠COA. (2)求 cos∠COB. 【解题指南】(1)注意任意角的三角函数的定义的应用. (2)∠COB=∠COA+60°,利用两角和的余弦公式计算. 【解析】(1)因为 A 点的坐标为 ,根据三角函数定义可知 sin∠COA= .

(2)因为△AOB 为正三角形,所以∠AOB=60°,

sin∠COA= ,cos∠COA= , 所以 cos∠COB=cos =cos∠COAcos60°-sin∠COAsin60° = × - × = .


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