【课堂新坐标】高中数学苏教版必修4练习:2.1向量的概念及表示

学业分层测评(十四) 向量的概念及表示 (建议用时:45 分钟) 学业达标] 一、填空题 1.已知非零向量 a∥b,若非零向量 c∥a,则 c 与 b 必定________. 【解析】 平行向量主要考虑方向相同或相反,依题意可知,c,b 同向或者反向,所 以 c 与 b 必定平行(或共线). 【答案】 平行(或共线) 2.如图(1),某人想要从点 A 出发绕阴影部分走一圈,他可按图(2)中提供的向量行走, 则这些向量的排列顺序为________. 图 217 【答案】 a e d c b 3.已知 a,b 为两个向量,给出以下 4 个条件: ①|a|=|b|;②a 与 b 的方向相反;③|a|=0 或|b|=0;④a 与 b 都是单位向量. 由条件________一定可以得到 a 与 b 平行. 【解析】 长度相等或都是单位向量不能得到 a∥b,但方向相反或其中一个为零向量 可以说明 a∥b.故填②③. 【答案】 ②③ → → 4.已知 A,B,C 是不共线的三点,向量 m 与向量AB是平行向量,与BC是共线向量, 则 m=________. → → → → 【解析】 ∵AB与BC不共线,且 m∥AB,m∥BC, ∴m=0. 【答案】 0 5.如图 218 所示,已知 AD=3,B,C 是线段 AD 的两个三等分点,分别以图中各点 为起点和终点,模长度大于 1 的向量有________. 图 218 【解析】 满足条件的向量有以下几类: → → → → 模长为 2 的向量有:AC,CA,BD,DB; → → 模长为 3 的向量有:AD,DA. → → → → → → 【答案】 AC,CA,BD,DB,AD,DA 6.给出以下 5 个条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a 与 b 的方向相反; ④|a|=0 或|b|=0; ⑤a 与 b 都是单位向量. 其中能使 a 与 b 共线的是________.(填所有正确的序号) 【解析】 根据相等向量一定是共线向量知①正确; |a|=|b|但方向可以任意,∴②不成立; a 与 b 反向必平行或重合,∴③成立; 由|a|=0 或|b|=0,得 a=0 或 b=0.根据 0 与任何向量共线,得④成立;两单位向量的模 相等但方向不定,∴⑤不成立. 【答案】 ①③④ 7.如图 219,四边形 ABCD 是平行四边形,E,F 分别是 AD 与 BC 的中点,则在以 A, → B , C , D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中,与向量 EF 方向相反的向量为 ________. 图 219 【解析】 ∵AB∥EF,CD∥EF, → → → ∴与EF方向相反的向量为CD,BA. → → 【答案】 CD,BA 8.如图 2110 所示,四边形 ABCD 和四边形 ABDE 都是平行四边形. 图 2110 → (1)与向量ED相等的向量有________; → → (2)若|AB|=3,则向量EC的模等于________. → → → 【解析】 相等向量既模相等,又方向相同,所以与ED相等的向量有AB,DC. → 若|AB|=3, → → 则|ED|=|DC|=3, → 所以,|EC|=2× 3=6. → → 【答案】 (1)AB,DC (2)6 二、解答题 9. 一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务, 先从 A 地向北偏东 30° 方向行驶 2 千米到 D 地, 然后从 D 地沿北偏东 60° 方向行驶 6 千米到达 C 地, 从 C 地又向南偏西 30° 方向行驶 2 千米 才到达 B 地. 图 2111 → → → → (1)在如图 2111 所示的坐标系中画出AD,DC,CB,AB; (2)求 B 地相对于 A 地的方位. 【导学号:06460041】 → → → → 【解】 (1)向量AD,DC,CB,AB如图所示. → → (2)由题意知AD=BC, ∴AD 綊 BC,则四边形 ABCD 为平行四边形, → → ∴AB=DC,则 B 地相对于 A 地的方位是“北偏东 60° ,6 千米”. 10.如图 2112 所示,O 为正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正 方形. 图 2112 → (1)写出与AO相等的向量; → (2)写出与AO共线的向量; → → (3)向量AO与CO是否相等? → → → → 【解】 (1)与AO相等的向量有:OC,BF,ED. → → → → → → → → → → (2)与AO共线的向量有:OA,OC,CO,AC,CA,ED,DE,BF,FB. → → → → (3)向量AO与CO不相等,因为AO与CO的方向相反,所以它们不相等. 能力提升] → 1.已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60° ,则|BD|=________ . → 【解析】 结合菱形的性质可知|BD|= 3× 2=2 3. 【答案】 2 3 2.如图 2113 所示,四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,把各边三等分后,连结相应 → 分点,共有 16 个交点,从中选取 2 个交点组成向量,则与AC平行且长度为 2 2的向量个数 有________. 图 2113 【解析】 图中共有 4 个边长为 2 的正方形,每个正方形中有符合条件的向量 2 个(它 们分别是连接左下和右上顶点的向量,方向相反),故满足条件的向量共有 8 个. 【答案】 8 个 3.如图 2114 所示,已知四边形 ABCD 是矩形,O 为对角线 AC 与 BD 的交点,设点 → 集 M={O,A,B,C,D},向量的集合 T={PQ|P,Q∈M,且 P,Q 不相等},则集合 T 有 ________个元素. 图 2114 【解析】 以矩形 ABCD 的四个顶点及它的对角线交点 O 五点中的任一点为起点,其 余四点中的一个点为终点的向量共有 5× 4=20(个). 但这 20 个向量不是各不相等的,它们有 →

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