人教版高中数学必修一2.1.2《指数函数及其性质的应用》word教学素材


2.1.2 指数函数及其性质 课外拓展 复合函数的概念及其性质 一、复合函数的概念 函数 y=f(u)的定义域为集合 B,函数 u=g(x)的定义域为集合 A,值域为集合 D.如果 D? B, 那么对于 A 中每个 x 值,通过中间变量 u,y 都有唯一的值与之对应.这样,y 是 x 的函数, 记作 y=f(g(x)).这个函数是由 y=f(u),u=g(x)复合而成的函数,我们把它叫做复合函 数,其中 y=f(u)叫做外层函数,u=g(x)叫做内层函数. 例如,函数 是外层函数, 是由函数 , +2x+1 复 合而 成 的 . 其 中, +2x+1 是内层函数. 注意:1.复合函数 y=f(g(x))的第二种表示法是 y=f(u),u=g(x); 2.复合函数 y=f(g(x))的定义域是使 y=f(u)和 u=g(x)同时都有意义的 x 值组成的集合; 3.在复合函数 y=f(g(x))中,外层函数的定义域就是内层函数的值域,因为外层函数 y=f (u)中 u 的取值不仅要使 y=f(u)有意义,而且必须是内层函数 u=g(x)的函数值. 二、复合函数的定义域 例 1 已知函数 f(x)的定义域为(1,2] ,求函数 y=f(x+1)的定义域. 分析:由已知函数的定义域,求复合函数的定义域,只需将所求式中括号内的式子看成已知 式中的 x,再解不等式,求其定义域. 解:由 1<x+1≤2,得 0<x≤1. 所以函数 y=f(x+1)的定义域是{x|0<x≤1}. 例 2 已知函数 y=f(1-x)的定义域为(1,2] ,求函数 f(x)的定义域. 分析: 由复合函数的定义域求原来函数的定义域, 只要根据 x 的范围确定复合函数中间变量 的范围即可. 解:设 u=1-x,则由 1<x≤2,得-2≤-x<-1,-1≤1-x<0,即-1≤u<0, 所以函数 f(x)的定义域是[-1,0). 三、确定复合函数的值域 求解复合函数 y=f(g(x))的值域,首先要在函数的定义域上求出函数 u=g(x)的值域,以 确定函数 y=f(x)的定义域,再求出函数 y=f(x)的值域(对于两重以上的复合函数仍按此 法依次进行). 例 3 求函数 解:设 -2x,则 的值域. , -1≥-1, 所以 = , 所以函数 的值域是 . 四、复合函数的单调性 设函数 u=g(x)在区间 M 上有定义,又函数 y=f(u)在区间 N 上有定义,且 x∈M,g(x)∈ N. 1.若函数 u=g(x)在区间 M 上是增函数,函数 y=f(u)在区间 N 上是增函数,则 y=f(g(x)) 在区间 M 上是增函数; 2.若函数 u=g(x)在区间 M 上是增函数,函数 y=f(u)在区间 N 上是减函数,则 y=f(g(x)) 在区间 M 上是减函数; 3.若函数 u=g(x)在区间 M 上是减函数,函数 y=f(u)在区间 N 上是增函数,则 y=f(g(x)) 在区间 M 上是减函数; 4.若函数 u=g(x)在区间 M 上是减函数,函数 y=f(u)在区间 N 上是减函数,则 y=f(g(x)) 在区间 M 上是增函数. 规律:复合函数单调性依 y=f(u),u=g(x)的单调性决定.即“增增得增,减减得增,增减 得减”,可以简化为“同增异减”. 判断复合函数的单调性的步骤如下: (1)求复合函数的定义域; (2)将复合函数分解为若干个常用函数(一次函数、二次函数、指数函数等); (3)判断每个常用函数的单调性; (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的

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