山东省淄博市2014届高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案

高三教学质量抽测试题 文科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟.答题前, 考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在试卷和 答题卡规定的位置。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(共 60 分) 注意事项: I.第Ⅰ卷共 12 小题。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上,只答在试卷上不得分。 一、选择题(本大题共 l2 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每小题只有一项是符合题目 要求的. ) 1.设集合 A ? {x | x ? 1},集合 B ? {x | y ? A. [0,??) B. (??,1) C. [1,??)

3 ? x } ,则 A ? B ?
D. (1,3]

2.复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 7 ? i ,则复数 z ? A.1+3i B. l-3i C.3+ i D.3-i

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? x ? x
3

B. y ? 3

x

C. y ? log 2 x

D. y ? ?

1 x

4.执行如图所示的程序框图,若输出结果为 3,则可输入的实数 x 的个数为

A.1

B.2

C.3
2

D.4
2

5.已知实数 a、b,则“a>b”是“ a ? b ”的(

)

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

6.已知,等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 a9 ? 2a5 , a 2 ? 2 ,则 a1 ? A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

7.如图所示的三棱柱,其正视图是一个边长为 2 的正方形,其俯视图是一个正三角形, 该三棱柱侧视图的面积为

A. 2 3

B. 3

C. 2 2

D.4

8.已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是 A.两个函数的图象均关于点 ( ?

π , 0) 成中心对称 4 ? 对称 4

B.两个函数的图象均关于直线 x ? ? C.两个函数在区间 (?

? ?

, ) 上都是单调递增函数 4 4 ? 个单位得到函数①的图像 4

D.可以将函数②的图像向左平移 9.函数 y ? ln

1 的图象大致为 1? x

10.若 O 为△ ABC 所在平面内任一点,且满足 (OB ? OC ) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则 △ ABC 的形状为 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

11.已知 a、b 是正常数,a≠b, x、y ? (0,??) ,不等式 x ? y ?

a2

b2

( a ? b) 2 x? y (*式)

恒 成 立 ( 等 号 成 立 的 条 件 是 ay ? bx ) , 利 用 ( * 式 ) 的 结 果 求 函 数

f ( x) ?

2 9 1 ? ( x ? (0, )) 的最小值 x 1 ? 2x 2
B.169 C.25 D.11+6 2

A.121

12.已知 A、B、P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的不同三点,且 A、B 关于坐标原点对称, a 2 b2
2 ,则该双曲线的离心率等于 3
C. 2 第Ⅱ卷(共 90 分) D.

若直线 PA、PB 的斜率乘积 k PA ? k PB ?

A.

5 2

B.

6 2

15 3

注意事项: 1.第Ⅱ卷共 10 道题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案,考生须用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内, 在试卷上答题不得分 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分. 将答案填在答题卷相应位置上. ) 13. tan120 ? e
0 ln 3

? log3 3 3 ? 3 lg 10 ? _________

14.已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) ? 1 ,函数零点的个数是________

?x ? 2 y ? 0 ? 15.设 z=x+y,其中 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 2014,则 k 的值为_______. ?0? y?k ?
16.给出下列命题: ①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度; ②某只股票经历 10 个跌停(下跌 10%)后需再经过 10 个涨停(上涨 10%)就可以回到原 来的净值; ③在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越差。 ④某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健 康检查,现将 800 名学生从 l 到 800 进行编号.已知从 497~513 这 16 个数中取得的学生编 号是 503,则初始在第 1 小组 1~l6 中随机抽到的学生编号是 7. 上述四个命题中,你认为正确的命题是___________. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. )

17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 a ? b ? c ? bc .
2 2 2

(I)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B+sin C =1,试求内角 B、C 的大小. 18. (本小题满分 12 分) 如图所示,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点, 且△PMB 为正三角形.

(I)求证:DM∥平面 APC; (Ⅱ)求证:平面 ABC⊥平面 APC.

19.(本小题满分 12 分) 编号分别为 A1,A2,?,A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 得分 运动员编号 得分 A1 15 A9 17 A2 35 A10 26 A3 21 All 25 A4 28 A12 33 A5 25 A13 22 A6 36 A14 12 A7 18 Al5 31 A8 34 A16 38

(I)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格: 区间 人数 [10,20) [20,30) [30,40]

(II)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人: ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 人得分之和大于 50 的概率.

20. (本小题满分 12 分) 等差数列 {a n } 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 中各项均为正数,b1 =1, 且 b2 ? S 2 ? 12 ,数列{bn}的公比 q ?

S2 . b2

(I)求数列 {a n } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 1 1 1 2 ? ? ??? ? . 3 S1 S 2 Sn 3

21. (本小题满分 13 分) 已知动圆 C 与圆 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1 相外切,与圆 C2 : ( x ? 1) ? y ? 9 相内切,设动
2 2 2 2

圆圆心 C 的轨迹为 T,且轨迹 T 与 x 轴右半轴的交点为 A. (I)求轨迹 T 的方程; (Ⅱ)已知直线 l:y=kx+m 与轨迹为 T 相交于 M、N 两点(M、N 不在 x 轴上) .若以 MN 为直径的圆过点 A,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ,g ( x) ? (? x ? ax ? 3)e (a 为实数) .
2 x

(I))当 a=5 时,求函数 y ? g ( x) 在 x ? 1处的切线方程; (lI)求 f ( x) 在区间[t,t+2](t >0)上的最小值; (III)若存在两不等实根 .......x1, x2 ? [ ,e ] ,使方程 g ( x) ? 2e f ( x) 成立,求实数 a 的
x

1 e

取值范围.

2014 届高三上学期期末考试数学试题 答案(文理) (阅卷)
一、选择题 1.D 理)C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.D 10.C B 11. (文

12. D

二、填空题:

13. (理)

2 , (文)0;14. 2;15. 1007;16. (理) 2 ? log 2 3 , (文)①④. 3

17. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 故 cos A ? ?

2 1 π? , A ? 120 3 2

??????6 分

(Ⅱ)∵ sin B ? sin C ? 1 ,∴ sin B ? sin( ∴ sin B ? sin

?
3

? B) ? 1 ,

?

1 3 ? cos B ? 1 ,??????8 分 cos B ? cos sin B ? 1 , sin B ? 2 2 3 3

cos B ? cos sin B ? 1 ,∴ sin(B ? ) ? 1 , ??????10 分 3 3 3 π π 2 又∵ B 为三角形内角, ? B ? ? π , 3 3 3 π π π 故 B ? ? ,从而 B ? C ? . ??????12 分 3 2 6
方法一:∴ sin 方法 2: ?

?

?

?

?sin B ? 3 cos B ? 2 ?
2 2 ? ?sin B ? cos B ? 1

,解得 cos B ?

3 2

??????10 分

又∵ B 为三角形内角,故 B ? C ? (注:处理角 C 同等对待! ) 18. (本小题满分 12 分) (理)

π . 6

?????12 分

解析: (Ⅰ)如图,连接 AC 交 BD 于 F,再连接 EF; ????????1 分 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 F 为 AC 中点; ????????3 分 又因为 E 为 PC 中点,所以 EF//PA; ????????5 分 因为 EF ? 平面 BDE,PA ? 平面 BDE,且 EF//PA, 所以 PA //平面 BDE; ????????6 分 (Ⅱ) 方法一:如图所示,以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DP 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.

设 PD=DC=2,则 A(2,0,0) ,P(0,0,2) ,E(0,1,1) ,B(2,2,0) . ??? ? ???? ??? ? PA ? (2,0, ?2), DE ? (0,1,1), DB ? (2, 2,0) . (只建系无坐标不得分) ??????7 分 设 n ? ( x, y,1) 是平面 BDE 的一个法向量,

?

? ???? ? ? ? y ?1 ? 0 ?n?DE ? 0 则由 ? ? ??? ,得 ? ,即 n ? (1, ?1,1) ? ?2 x ? 2 y ? 0 ? ?n?DB ? 0
又 n ? DA ? (2,0,0) 是平面 DEC 的一个法向量.
2

??????9 分

?

??? ?

?????10 分

设二面角 B―DE―C 的平面角为 ? ,
? ? ? ? n1 ? n 2 2 3 ? ? ? ? ∴ cos ? ? cos ? n1 , n 2 ?? | n 3 . | ? | n2 | 3?2 1

故二面角 B―DE―C 平面角的余弦值为

3 . 3

?????12 分

方法二:因为 BC ? CD , BC ? PD ,所以 BC ? 平面 CDP, DE ? BC ; 又因为△CDP 为等腰直角三角形,E 为 CP 的中点,所以 DE ? PC ; 因为 DE ? PC , DE ? BC ,所以 DE ? 平面 BCP, DE ? BE ; 由于 DE ? BE , DE ? PC ,故二面角 B―DE―C 的平面角为 ?BEC ;?????? 8分 在△BCE 中, ?BCE ? 90 , CE ?
o

1 2 CP ? BC , 2 2

BE ? BC 2 ? CE 2 ? BC 2 ? (

2 6 BC )2 ? BC , 2 2
?????10 分

所以 tan ?BEC ?

CE 3 ? , BE 3 3 . 3

故二面角 B―DE―C 平面角的余弦值为

?????12 分

(文) 证明:(Ⅰ)由已知,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点, 所以 MD 是△ ABP 的中位线,所以 MD∥AP. ?????????3 分 又 MD ? 平面 APC,AP ? 平面 APC,故 MD∥平面 APC. ?????????6 分 (Ⅱ)因为△ PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点,所以 MD⊥PB. 又因为 MD∥AP,所以 AP⊥PB. ?????????7 分 又 AP⊥PC,AP⊥PB,PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC. ?????????8 分 因为 BC? 平面 PBC,所以 AP⊥BC. ?????????9 分 又 BC⊥AC,且 BC⊥AP,AC∩AP=A,所以 BC⊥平面 APC. ?????????11 分 因为 BC? 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 APC. ??????????12 分 19. (本小题满分 12 分) (理) 解析:设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) , 由已知得: a ?

? 2 (30 ? x),0 ? x ? 30. 2 (Ⅰ) S ? 4ah ? 8 x(30 ? x) ? ?8( x ? 15) 2 ? 1800 ,
所以当 x ? 15 时,S 取得最大值. (Ⅱ) V ? a h ? ?2 2 x ? 60 2 x . 由 a 2 h ? 2 2 ? ( x 2 ? 30 x 2 ), V ? ? 6 2 x(20 ? x). 由 V ? ? 0 得: x ? 0 (舍)或 x=20.
2 3 2

2 x, h ?

60 ? 2 x

????2 分 ????4 分 ????6 分 ????8 分

当 x ? (0, 20) 时, V ? ? 0 ; 当 x ? (20,30) 时, V ? ? 0 ; 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最小值. ????10 分 ????12 分 ????4 分

1 . h 1 1 此时 ? 即 ,装盒的高与底面边长的比值为 2 a 2 2
(文) 解析: (Ⅰ)4,6,6;

(Ⅱ)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为 A3,A4,A5,A10,A11,A13. 从中随机抽取 2 人,所有可能的抽取结果有:{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3, A11},{A3,A13},{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},{A5,A11}, {A5,A13},{A10,A11},{A10,A13},{A11,A13},共 15 种. ????8 分

②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50” (记为 事件 B)的所有可能结果有:{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11},共 5 种. 5 1 所以 P(B)=15=3. 20. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)由于 S2 ? 12 ? b2 ? 12 ? q ,可得 q ? 解得: q ? 3 或 q ? ?4 (舍去) , ????12 分

12 ? q ,??????2 分 q

?????????3 分

S2 ? 9 , d ? a2 ? a1 ? S2 ? 2a1 ? 3 , ? an ? 3 ? (n ? 1)3 ? 3n
bn ? 3n ?1
(Ⅱ)证明:由 an ? 3n ,得 ? Sn ?

?????????4 分 ?????????5 分 ?????????6 分

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 分 ? ????????? ? ? ( 7? ) 2 Sn n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

? Sn ?

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 ? ? ? ( ? ) 2 Sn n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

?

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ? ?…? ? (1 ? ? ? ? ? ? … ? ? ) ? (1 ? ) S1 S2 Sn 3 2 2 3 3 4 n n ?1 3 n ?1
????9 分

? n ? 1 ?0 ?

1 1 1 2 1 2 ? ? ? (1 ? )? n ?1 2 3 3 n ?1 3 1 1 1 1 2 ? ?…? ? 故 ? 3 S1 S2 Sn 3

????11 分 ????12 分

21. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ) CC1 ? r ? 1 , CC2 ? 3 ? r ,∴ CC1 + CC 2 分 ∴点 C 的轨迹是以 C1 、 C 2 为焦点(c=1) ,长轴长 2a= 4 的椭圆 分
]

=4

???2

??????4

∴点 C 的轨迹 T 的方程是 分

x2 y2 ? ?1 4 3

??????????????6

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得: (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 .
2 2 2

? x1 ? x2 ?

?8km 4m2 ? 12 , x x ? . (*式) 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

???????????8 分

, ? MN 为直径的圆过点 A , A 点的坐标为(2,0) ???? ? ???? ? AM ? AN ? 0 ,即 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 . ???????????10 分

? y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ,代入(*式)

得: 7m ? 16km ? 4k ? 0 ,
2 2

?

m 2 m ? ? 或 ? ?2 都满足 ? ? 0 , k 7 k
m , ,0 ) k

????????12 分

由于直线 l : y ? kx ? m 与 x 轴的交点为( ? 当

m ? ?2 时,直线 l 恒过定点 (2, 0) ,不合题意舍去, k m 2 2 2 ? ? ? ,直线 l : y ? k(x ? ) 恒过定点 ( ,0) .?????????13 分 k 7 7 7
22. (本小题满分 13 分) (理) 解析 :(Ⅰ ) 由点 (e, f (e)) 处的切线方程与直线 2 x ? y ? 0 平行,得该切线斜率为 2,即

f ' (e) ? 2.
且 f ?e ? f ?( x) ? k (ln x ? 1) , () k ? n l( e) 12 ? ? ? 1 k? 1分 , 所以 f ( x) ? x ln x , ????

f ?( x) ? ln x ? 1 ,

x
f ?( x) f ( x)

(

1 e
?

1 e

(

1 ?? e

0

0
极小值(最小值)

?
单调递增

单调递减

?????????2 分 ①0?t ? ②

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ;?????????3 分 e e e e 1 1 时 , f ( x) 在 [t , t ? 2] 上 单 调 ?t ?t?2 , 即 t ? e e



增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ;?????4 分 ( Ⅱ ) 立;

2 x ln x ? ? x2 ? ax ? 3 恒 成 立 等 价 于

a?2 l x n?

3 x?恒 成 x

?????????5 分

( x ? 3)( x ? 1) 3 设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h '( x) ? ; x2 x 当 x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x ) 单调递减; 当 x ? (1, ??) , h '( x) ? 0 , h( x ) 单调递增;
所 以

h( x)min ? h(1) ? 4 .
分 因 为 对 一 切

?????????6

x ?(

, 0 ?, ?

) 2 f ( x) ? g ( x)













a ? h( x)min ? 4 .?????????8 分

1 2 x 2 ? 恒成立等价于 x ln x ? x ? ( x ? (0, ??)) 恒成立; x e ex e e 1 1 由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? (当且仅当 x ? 取等号) ?10 e e 分 1? x x 2 设 m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '( x) ? x ; e e e 1 易得 m( x) max ? m(1) ? ? (当且仅当 x ? 1 取等号). ?????12 e 分 1 1 2 由于 ? 1 ,从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立. ????? e ex e 13 分 (文)
(Ⅲ) ln x ? 解析:(Ⅰ)当 a ? 5 时 g( x ) ? ( ? x ? 5 x ? 3) ? e , g (1) ? e .
2 x

??? 1



g?( x ) ? ( ? x 2 ? 3 x ? 2) ? e x ,故切线的斜率为 g?(1) ? 4e .
所以切线方程为: y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 y ? 4ex ? 3e . (Ⅱ) f ?( x ) ? ln x ? 1 ,

???2 分 ???4 分

x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) e
?

1 e

1 ( , ??) e

0
极小值(最小值)

?
单调递增
???6 分

单调递减

①当 t ?

1 时,在区间 ( t , t ? 2) 上 f ( x ) 为增函数, e
???7 分

所以 f ( x )min ? f ( t ) ? t ln t ②当 0 ? t ?

1 1 1 时,在区间 ( t , ) 上 f ( x ) 为减函数,在区间 ( , e ) 上 f ( x ) 为增函数, e e e

所以 f ( x )min ? f ( ) ? ?

1 e

1 e
2

???8 分

(Ⅲ) 由 g( x ) ? 2e x f ( x ) ,可得: 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,

???9 分

a ? x ? 2 ln x ?

3 , x

令h ( x) ? x ? 2 ln x ?

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) 3 , h?( x) ? 1 ? ? 2 ? . x x x x2

x
h?( x) h( x )

1 ( ,1) e
?

1
0
极小值(最小值)

(1,e)

?
单调递增
???11 分

单调递减

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 , h(1) ? 4 , h(e) ? ? e ? 2 . e e e 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0. e e
???12 分

?实数 a 的取值范围为 4 ? a ? e ? 2 ?

3 . e

???13 分


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