高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列
一.等差数列知识点:
知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法:对于数列 ?an ? ,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?an ? 是等差数列 ③等差中项:对于数列 ?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 是等差数列 知识点 3、 等差数列的通项公式 :
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

④如果等差数列 ?an ? 的首项是 a 1 ,公差是 d ,则等差数列的通项为

an ? a1 ? (n ? 1)d
⑤ Sn ?
n(a1 ? a n ) 2

该公式整理后是关于 n 的一次函数 ⑥ S n ? na1 ?
n(n ? 1) d 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

知识点 4、等差数列的前 n 项和:

对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、 等差中项:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

⑥如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 即: A ?
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

a?b 或 2A ? a ? b 2

在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项 与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系:如果 an 是等差数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项, 且 m ? n ,公差为 d ,则有 an ? am ? (n ? m)d ⑧ 对于等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq 也就是: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ⑨若数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和,k ? N * ,那么 S k ,S 2k ? S k ,S 3k ? S 2 k 成 等差数列 如下图所示:
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

10 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质 : ① 若 项 数 为 2n ? n ? ? * ? , 则

S2n ? n ? an ? an?1 ? , 且

S偶 ? S奇 ? nd,

S奇 a ? n S偶 an ?1

* .②若项数为 2n ? 1 n ? ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S奇 ? S偶 ? an ,

?

?

S奇 n ? (其中 S奇 ? nan , S偶 ? ? n ?1? an ) . S偶 n ? 1

1

二、题型选析: 题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用)
1、.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,2a -5, -3a +2,则 a A . -1 A.49 B .1 C .-2 B.50 D. 2 ) C .51 D.52 ) D .45 ) 2.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值为 ( 等于( )

3.等差数列 1,-1,-3,…,-89 的项数是( A.92 B .47 C .46

4、已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是( ( A 15 B 30 C 31 ) D

64 )

5. 首项为-24 的等差数列,从第 10 A.d>

8 3

B.d<3

C.

8 ≤d<3 3

8 D. <d≤3 3

6、 .在数列 { a n } 中,a1 ? 3 , 且对任意大于 1 的正整数 n , 点 ( an , an?1 ) 在直 x ? y ? 3 ? 0 上, 则 an =_____________. 7、在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10=
8、等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( )



(A)12 (B)10 (C) 8 (D)6 9、设数列 ?a n ?的首项 a 1 ? ?7, 且满足a n ?1 ? a n ? 2 (n ? N) ,则 a 1 ? a 2 ? ? ? a 17 ? ______. 10、已知{an }为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则 a5 = __________ 11、已知数列的通项 an = -5n+2, 则其前 n 项和为 Sn = . 12、设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S4 =14, S10 ? S7 ? 30 ,则 S9 =

.

题型二、等差数列性质
1、已知{an }为等差数列,a2 +a8 =12,则 a5 等于( (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 ) )

2、设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? (

3、 若等差数列 ?a n ?中, a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4, 则 a7 ? __________ . 4、记等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4 , S 4 ? 20 ,则该数列的公差 d=(
A.7 B. 6 C. 3 D. 2 5、等差数列 {an } 中,已知 a 1 ?
(A )48 (B)49



1 , a 2 ? a 5 ? 4 , a n ? 33 ,则 n 为( 3
(D )51



(C)50

6. 、等差数列{an }中,a1 =1, a3 +a5 =14,其前 n 项和 Sn =100,则 n=( (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若

) )

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5

2

A.1

B.-1

C.2

D.

1 2

8、已知等差数列{an }满足 α1 +α2 +α3 +…+α101 =0 则有( ) A.α1 +α101 >0 B.α2 +α100 <0 C.α3 +α99 =0 D.α51 =51 9、如果 a1 , a2 ,…, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则(

)

(A) a1 a8 ? a4 a5 (B) a8 a1 ? a4 a5 (C) a1 + a8 ? a4 + a5 (D) a1 a8 = a4 a5 10、若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和 为 390,则这个数列有( ) (A)13 项 (B)12 项 (C)11 项 (D)10 项

题型三、等差数列前 n 项和 1 、等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ?
Sn ?


? a10 ? p, an?9 ? an?8 ?

? an ? q ,则其前 n 项 和

2、等差数列 ? 2,1,4,? 的前 n 项和为 ( ) 1 1 1 1 n?3n ? 7 ? n?3n ? 4 ? n?3n ? 7 ? A. n?3n ? 4 ? B. C. D. 2 2 2 2 3、已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a99 ? 0 ,则 ( ) A. a1 ? a99 ? 0 则n ? B.

a1 ? a99 ? 0


C.

a1 ? a99 ? 0

D.

a50 ? 50 [来源:学科网 ZXXK]

4、在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 15, an ? an?1 ? an?2 ? 78 , S n ? 155, 5、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S2 ? 2, S4 ? 10, 则S6等于 ( A.12 B .18 C .24 D .42 )

6、若等差数列共有 2n ? 1 项 n ? N * ,且奇数项的和为 44,偶数项的和为 33, 则项数为 A. 5 ( B. 7 ) C. 9 D. 11

?

?

7、 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? a S 7n 8、 若两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别是 Sn,Tn ,已知 n ? ,则 5 等于( b5 Tn n ? 3 2 27 21 A. 7 B. C. D. 8 4 3



题型四、等差数列综合题精选
1、等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn . 已知 a10 ? 30, a20 ? 50. (Ⅰ)求通项 an ; (Ⅱ)若 Sn =242,求 n.

2、已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值。

3

3、设 ?a n ?为等差数列, S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,已知 S 7 ? 7 ,

S15 ? 75 , Tn 为数列 ?

?Sn ? ? 的前 n 项和,求 Tn 。 ?n?

4、已知 ?an ?是等差数列, a1 ? 2 , a3 ? 18; ?bn ? 也是等差数列, a 2 ? b2 ? 4 ,

b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? a1 ? a2 ? a3 。 (1)求数列 ?bn ?的通项公式及前 n 项和 S n 的公式; (2)数列 ?an ?与 ?bn ?是否有相同的项? 若有,在 100 以内有几个相同项?若没有,请说明理由。
5、设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)若 a11 =0, S14=98, 求数列{an }的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ≥6,a11 >0,S14 ≤77,求所有可能的数列{an }的通项公式.

6、 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点, 其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 , 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列{an } 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ?

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m; 20 a n a n ?1

五、等差数列习题精选
1、等差数列 {an } 的前三项依次为 x , 2 x ? 1 , 4 x ? 2 ,则它的第 5 项为( A、 5 x ? 5 B、 2 x ? 1 C、5 D 、4 ) D 、12 2、设等差数列 {an } 中, a4 ? 5, a9 ? 17 ,则 a14 的值等于( A、11 B 、22 C 、29 )

3、设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 , 则 a11 ? a12 ? a13 ? ( A. 120 ) B.105 C. 90 D . 75

4

4、若等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,则 (A) a2 a6 ? a3 a5 (C) a2 a6 ? a3 a5 围是( A. ? ? 0 (A) 3 (B) ) B. ? ? 0 2 (C) C. ? ? 0





(B) a2 a6 ? a3 a5 (D) a2 a6 与 a3 a5 的大小不确定

5、 已知 ?an ? 满足,对一切自然数 n 均有 an?1 ? an ,且 an ? n 2 ? ? n 恒成立,则实数 ? 的取值范 D. ? ? ?3 )

6、等差数列 ?an ? 中,a1 ? 1, 公差d ? 0, 若a1 , a2 , a5成等比数列,则 d为 ( (D) 2 或 ? 2 ?2 7、在等差数列 ?an ? 中, a p ? q, aq ? p( p ? q) ,则 a p?q ? A、 p ? q A 、1 9、已知 A. -1 B、 ? ( p ? q ) B、2 C 、0 D 、 pq

8、设数列 ?an ? 是单调递增的等差数列,前三项和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是 C 、4 D 、8 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a20 等于( B. 1 C. 3 D.7 )

10、已知 ?an ? 为等差数列,且 a 7 -2 a 4 =-1, a3 =0,则公差 d=

1 1 C. D.2 2 2 11、在等差数列 ?an ? 中, a2 ? a8 ? 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 (
A.-2 B.- A.18 A.63 则n ? A. S n ? An2 ? Bn ? C C.
S n ? An2 ? Bn ? C ?a ? 0?

) )

B 27 B .45 。

C

36 C .36

D9 D .27

12、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( 13、在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 15, an ? an?1 ? an?2 ? 78 , S n ? 155, 14、数列 ?an ?是等差数列,它的前 n 项和可以表示为 B. D. ( )

S n ? An2 ? Bn S n ? An2 ? Bn ?a ? 0?

5

小结 1、等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?
a?b 2

2、为 减少运 算量 ,要 注意设 元的 技巧, 如奇 数个 数成等 差, 可设为 …,
a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d … ( 公 差 为 d ); 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 … , a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,…(公差为 2 d )

3、当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数, 且斜率为公差 d ;若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若 公差 d ? 0 ,则为常数列。 4、 当 m ?n ? p ?q 时,则有 am ? an ? a p ? aq , 特别地, 当 m ? n ? 2 p 时, 则有 am ? an ? 2a p . 5、 若 {an } 、 则 {kan } 、 {a p?nq }( p, q ? N * ) 、 {bn } 是等差数列, {kan ? pbn } ( k 、p 是非零常数)、

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…也成等差数列,而 {a an } 成等比数列;

等差数列参考答案 题型一:计算求值 题号 答案 题号 答案 1 B 8 C 2 D 9 153 3 C 10 15 4 A 11 -(5n2+n)/2 5 D 12 54 6 3n2 13 7 -49 14

题型二、等差数列的性质
6

1、C 4、C 10、A

2、D 5、C

3、12( a3+a7-a10+a11-a4=8+4=a7=12) 6、B 7、A 8、C 9、B

题型三、等差数列前 n 项和 1、 5n(p+q) 7、45 2、B 3、C 4、n=10 5、 24 6、S 奇/S 偶=n/n-1=4/3, n=4 8、 D(a5/b5=S 9/T9) 题型四:等差数列综合题精选
1、解: (Ⅰ)由 an ? a1 ? (n ? 1)d , a10 ? 30, a20 ? 50, 得方程组

n(n ? 1) d , S n ? 242 得方程 2 n(n ? 1) 12 n ? ?2 ? 242 . ……10 分 解得 n ? 11 或n ? ?22(舍去). 2 ?a1 ? d ? 1 2、解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件,得 ? , ?a1 ? 4d ? ?5 解出 a1 ? 3 , d ? ?2 .所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 . n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . (Ⅱ) S n ? na1 ? 2 所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 . 1 3、 解:设等差数列 ?a n ?的公差为 d ,则 Sn ? na1 ? n?n ? 1?d 2 ∵ S 7 ? 7 , S15 ? 75 ,
(Ⅱ)由 S n ? na1 ?

?a1 ? 9d ? 30, ? ?a1 ? 19d ? 50.

……4 分

解得 a1 ? 12, d ? 2.

所以

an ? 2n ? 10.

∴ ?

?7a1 ? 21d ? 7 , ?15a1 ? 105d ? 75 ,
a1 ? ?2 , d ? 1 。

即 ?

?a1 ? 3d ? 1 , ?a1 ? 7d ? 5 ,

解得 ∵ ∴

Sn?1 Sn 1 ? ? ,∴ n ?1 n 2 1 9 Tn ? n 2 ? n 。 4 4

Sn 1 1 ? a1 ? ?n ? 1?d ? ?2 ? ?n ? 1? , n 2 2 S ? ? 1 数列 ? n ? 是等差数列,其首项为 ? 2 ,公差为 , 2 ?n?



4、解: (1)设{an}的公差为 d1 ,{bn }的公差为 d2 由 a3 =a1 +2d1 得 所以 a n ? 2 ? 8(n ? 1) ? 8n ? 6 ,所以 a2 =10, a1 +a2+a3 =30

d1 ?

a3 ? a 1 ?8 2

7

?b1 ? d 2 ? 6 ?b1 ? 3 ? 依题意,得 ? 解得 ? ,所以 bn =3+3(n-1)=3n 4?3 d ? 3 4b ? d ? 30 2 ? 1 2 ? 2 ? n(b ? b ) 3 2 3 1 n S ? ? n ? n. n 2 2 2 3(m ? 2) (2)设 an =bm, 则 8n-6=3m, 既 n ? ①,要是①式对非零自然数 m、n 成立,只需 8 m+2=8k, k ? N ? , 所以 m=8k-2 , k ? N ? ② ②代入①得,n=3k, k ? N ? , 所以 a3k =b8k-2 =24k-6, 对一切 k ? N ? 都成立。 所以,数列 ?an ? 与 ?bn ? 有无数个相同的项。 53 令 24k-6<100, 得 k ? , 又 k ? N ? ,所以 k=1,2,3,4. 即 100 以内有 4 个相同项。 12
5、解: (Ⅰ)由 S14 =98 得 2a1+13d=14, 又 a11 =a1 +10d=0,故解得 d=-2, a1 =20. 因此,{an }的通项公式是 an =22-2n, n=1,2,3…

? S14 ? 77, ? (Ⅱ)由 ?a11 ? 0, ?a ? 6 ? 1

?2a1 ? 13d ? 11, ?2a1 ? 13d ? 11, ? ? 得 ?a1 ? 10d ? 0, 即 ?? 2a1 ? 20d ? 0, ?a ? 6 ?? 2a ? ?12 1 ? 1 ? 11 1 由①+②得-7d<11。即 d>- 。由①+③得 13d≤-1 即 d≤- 7 13 11 1 于是- <d≤- ,又 d∈Z, 故 d=-1,将④代入①②得 10<a1 ≤12. 7 13
an =12-n 和 an =13-n, n=1,2,3, …

又 a1 ∈Z, 故 a1 =11 或 a1 =12. 所以,所有可能的数列{an }的通项公式是

6、解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax2 +bx (a≠0) , 则 f`(x)=2ax+b, 由于 f`(x)=6x-2, 得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2 -2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2 -2n. 当 n≥2 时,an =Sn -Sn -1 =(3n2 -2n)- ( 3 n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) =6n-5. 当 n=1 时,a1 =S1 =3×1 -2=6×1-5,所以,an =6n-5 ( n ? N )
2

?

?

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ? 故 Tn=

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ?(1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13) ? ... ? ( 6n ? 5 ? 6n ? 1)? = 2 (1- 6n ? 1 ). ? ? i ?1 1 1 m 1 m 因此,要使 (1- )< ( n ? N ? )成立的 m, 必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10, 2 6n ? 1 20 2 20

?b = 2
i

n

所以满足要求的最小正整数 m 为 10

题型五、精选练习 题号 答案 题号 1 D 8 2 C 9 3 B 10 4 B 11 5 A 12 6 B 13 7 C 14
8

答案

B

B

B

A

B

10

B

9


相关文档

高中数学必修5数列知识点总结及题型归纳
高中数学必修5等差数列知识点总结
高中数学必修5等比数列知识点总结及题型归纳
【精选】北师大版必修5高中数学第一章《等差数列前n项和公式的应用》word典型例题素材-数学知识点总结
高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修5知识点总结归纳
高中数学必修5(北师版)第一章数列1.2 等差数列(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
高中数学必修5知识点总结归纳(最有价值的)
高中数学必修5知识点总结归纳(超越经典
电脑版