最新高考数学(文)第八章 立体几何 8-1-2习题及答案


1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4 答案 解析 D 由所给三视图可知,该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半, 1 1 故该几何体的表面积为 ×2π×1×2+2× ×π×12+2×2=3π+4,故选 D. 2 2 2.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) A.1+ 3 C.1+2 2 答案 解析 B B.2+ 3 D.2 2 在长、宽、高分别为 2、1、1 的长方体中,该四面体是如图所示的三 1 3 棱锥 P-ABC,表面积为 ×1×2×2+ ×( 2)2×2=2+ 3. 2 4 3.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若 三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( ) 点击观看解答视频 A.36π C.144π 答案 C B.64π D.256π 解析 如图,设点 C 到平面 OAB 的距离为 h,球 O 的半径为 R,因为∠AOB 1 1 =90°,所以 S△OAB= R2,要使 VO-ABC= ·S△OAB·h 最大,则 OA,OB,OC 应两两垂 2 3 1 1 1 直, 且(VO-ABC)max= × R2×R= R3=36, 此时 R=6, 所以球 O 的表面积为 S 球=4πR2 3 2 6 =144π.故选 C. 4.某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可 能大的长方体新工件, 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材 料的利用率为( 材料利用率= 新工件的体积 )( 原工件的体积 ) A. 8 9π 2- π A 3 B. 16 9π 2- π 3 C. 答案 解析 D. 解法一:由圆锥的对称性可知,要使其内接长方体最大,则底面为正 x 2-h 方形,令此长方体底面对角线长为 2x,高为 h,则由三角形相似可得, = , 1 2 所 以 h = 2 - 2x , x ∈ (0,1) , 长 方 体 体 积 为 V 长方体 = ( 2 x)2h = 2x2(2 - 圆锥 2 ?x+x+2-2x?3 16 ? = ,当且仅当 x=2-2x,即 x= 时取等号,V 2x)≤2? 3 27 3 ? ? 16 27 2π 8 π×12×2= ,故材料利用率为 = ,选 A. 3 2π 9π 3 = 1 3 解法二:由圆锥的对称性可知,要使其内接长方体最大,则底面为正方形, x 2-h 令此长方体底面对角线长为 2x,高为 h,则由三角形相似可得, = ,所以 1 2 h=2-2x,x∈(0,1),长方体体积为 V 长方体=( 2x)2h=2x2(2-2x)=-4x3+4x2, 2 2 令 V′长方体=-12x2+8x=0,得 x= ,故当 x= 时,(V 3 3 16 27 2π 8 π×12×2= ,故材料利用率为 = ,选 A. 3 2π 9π 3 5.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( ) 长方体 )max= 16 ,V 27 圆锥 = 1 3 点击观看解答视频 A.21+ 3 C.21 B.18+ 3 D.18 答案 解析 则 S=S 3. A 由三视图知, 该多面体是由正方体割去两个角所成的图形, 如图所示, 正方体 -2S 三棱锥侧 +2S 三棱锥底 1 3 =24-2×3× ×1×1+2× ×( 2)2=21+ 2 4 6.某几

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