步步高高中数学 步步高选修2-1 第三章 章末复习课

学习目标 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量 积的运算及其应用,会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理,掌握空 间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题. 知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 α,β 的法向量分别为 μ,v,则 线线平行 l∥m?a∥b?a=kb ,k∈R 线面平行 l∥α?a⊥μ?a·μ=0 面面平行 α∥β?μ∥v?μ=kv,k∈R 线线垂直 l⊥m?a⊥b?a·b=0 线面垂直 l⊥α?a∥μ?a=kμ,k∈R 面面垂直 α⊥β?μ⊥v?μ·v=0 线线夹角 l,m 的夹角为 θ(0≤θ≤π2),cos θ=||aa|·|bb|| 线面夹角 l,α 的夹角为 θ(0≤θ≤2π),sin θ=||aa|·|μμ|| 面面夹角 α,β 的夹角为 θ(0≤θ≤π2),cos θ=||μμ|·|vv|| 知识点二 用坐标法解决立体几何问题的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)写出相关点的坐标及向量的坐标; (3)进行相关坐标的运算; (4)写出几何意义下的结论. 关键点如下: (1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要,恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标 1 易求且简单,简化运算过程. (2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题,必须确定点的坐标、直线 的方向向量、平面的法向量,这是最核心的问题. (3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决,如何转 化也是这类问题解决的关键. 类型一 空间向量及其运算 例 1 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,S 到 A、B、C、D 的距离都等于 2.给出以下结论:①S→A+S→B+S→C+S→D=0; ②S→A+S→B-S→C-S→D=0; ③S→A-S→B+S→C-S→D=0; ④S→A·S→B=S→C·S→D; ⑤S→A·S→C=0,其中正确结论的序号是________. 答案 ③④ 解析 容易推出:S→A-S→B+S→C-S→D=B→A+D→C=0,所以③正确;又因为底面 ABCD 是边长 为 1 的正方形,SA=SB=SC=SD=2,所以S→A·S→B=2·2·cos∠ASB,S→C·S→D=2·2·cos∠CSD, 而∠ASB=∠CSD,于是S→A·S→B=S→C·S→D,因此④正确,其余三个都不正确,故正确结论的序 号是③④. 反思与感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形 法则及各运算公式,理解向量运算法则运算律及其几何意义. 跟踪训练 1 平行六面体 A1B1C1D1-ABCD,M 分A→C成的比为12,N 分A→1D 成的比为 2,设A→B=a,A→D=b,A→A1=c,试用 a、b、c 表示M→N. 解 如题图,连接 AN,则M→N=M→A+A→N, 由已知 ABCD 是平行四边形, 故A→C=A→B+A→D=a+b, 又M→A=-13A→C=-13(a+b). 由已知,N 分A→1D成的比为 2,故A→N=A→D+D→N=A→D-N→D=A→D-13A→1D=13(c+2b). 2 于是M→N=M→A+A→N=-13(a+b)+13(c+2b) =13(-a+b+c). 类型二 利用空间向量证明空间中的位置关系 例 2 如图,已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,D 为 AB 的中点, AC=BC=BB1. 求证:(1)BC1⊥AB1; (2)BC1∥平面 CA1D. 证明 如图,以 C1 为原点,分别以 C1A1,C1B1,C1C 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系.设 AC=BC=BB1=2,则 A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0), B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2). (1)由于B→C1=(0,-2,-2), A→B1=(-2,2,-2), 因此B→C1·A→B1=0-4+4=0, 因此B→C1⊥A→B1,故 BC1⊥AB1. (2)取 A1C 的中点 E,连接 DE, 由于 E(1,0,1),所以E→D=(0,1,1), 又B→C1=(0,-2,-2), 所以E→D=-12B→C1, 又 ED 和 BC1 不共线,所以 ED∥BC1,又 DE?平面 CA1D,BC1?平面 CA1D,故 BC1∥平面 CA1D. 反思与感悟 (1)证明线与面的平行与垂直:如果直线的方向向量与平面的一个法向量垂直, 且直线不在该平面内,那么这条直线就与该平面平行.如果直线的方向向量与平面的一个法 向量共线,则直线与平面垂直. (2)证明面与面的平行与垂直:如果两个不重合平面的法向量互相平行,那么这两个平面互相 平行,法向量互相垂直,则这两个平面互相垂直. 跟踪训练 2 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点,求证:平面 AED⊥ 平面 A1FD1. 证明 如图,建立空间直角坐标系 Dxyz.设正方体棱长为 1,则 E??1,1,12??,D1(0,0,1),A(1,0,0),F??0,12,0??. 3 ∴D→A=(1,0,0)=D→1A1,D→E=??1,1,12??,D→1F=??0,12,-1??.设 m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2, z2)分别是平面 AED 和 A1FD1 的一个法向量, ??m·D→A=0, ??x1=0, 由???m·D→E=0 得???x1+y1+12z1=0. 令 y1=1,得 m=(0,1,-2). 又由?????nn··DD→ →11AF1==00, ??x2=0, 得???12y2-

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