人教版高中数学必修2全册导学案及答案


1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一、学习目标: 1、知识与技能: (1)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (2)会用语言概述棱柱、棱锥、棱 台的结构特征。 (3)会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。 2、过程与方法: (1)通过直观感受空间物体,概括出柱、锥、台的几何结构特征。 (2)观察、讨论、 归纳、概括所学的知识。 3、情感态度与价值观: (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性, 同时提高学生的观察能力。 (2)培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。 二、学习重点、难点: 学习重点:感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。 学习难点:柱、锥、台的结构特征的概括。 三、使用说明及学法指导: 1、先浏览教材,再逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、要求小班、重点班学生全部完成,平行班学生完成 A、B 类问题。 3、A 类是自主探究,B 类是合作交流。 四、知识链接: 平行四边形: 矩形: 正方体: 五、学习过程: A 问题 1:什么是多面体、多面体的面、棱、顶点?

A 问题 2:什么是旋转体、旋转体的轴?

B 问题 3:什么是棱柱、锥、台?有何特征?如何表示?如何分类?

C 问题 4;探究一下各种四棱柱之间有何关系?

C 问题 5:质疑答辩,排难解惑 1. 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱?(举反例说明)

1

2. 棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗? A 例 1:如图,截面 BCEF 把长方体分割成两部分,这两部分是否是棱柱?
D1
A1

E B1

C1

F D

C

A

B

B 例 2:一个三棱柱可以分成几个三棱锥?

六、达标测试 A1、下面没有对角线的一种几何体是 ( ) A.三棱柱 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 ( ) A.正方体 B.正四棱锥 C.长方体 D.直平行六面体 B3、棱长都是 1 的三棱锥的表面积为 ( ) A. 3 B.2 3 C.3 3 D.4 3 B4、正六棱台的两底边长分别为 1cm,2cm,高是 1cm,它的侧面积为 ( A. )
2

9 7 2 cm 2

B. 9 7 cm

2

C.

2 3

3 cm2

D.3 2 cm

B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为 2,4,8,则它的体积为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.12 C6、一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面 ( ) A.必须都是直角三角形 B.至多只能有一个直角三角形 C.至多只能有两个直角三角形 D.可能都是直角三角形 A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3,5,15,则它的体积为_______________.

七、小结与反思: 【励志良言】不为失败找理由,只为成功找方法。

2

1.1.2 圆柱、锥、台、球、组合体的结构特征
一、学习目标: 1、知识与技能:能根据几何结构特征对空间物体进行分类。会用语言概述圆柱、锥、台、组合体的 结构特征。会表示圆柱、锥、台的分类。 2、过程与方法:通过直观感受空间物体,概括出柱、锥、台的几何结构特征。观察、讨论、归纳、 概括所学的知识。 3、情感态度与价值观:感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学习的积极性,同时提高观察能 力。培养空间想象能力和抽象概括能力。 二、学习重点、难点: 学习重点:感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、锥、台的结构特征。 学习难点:圆柱、锥、台的结构特征的概括。 三、使用说明及学法指导: 1、先浏览教材,再逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、要求小班、重点班学生全部完成,平行班学生完成 A、B 类问题。 3、A 类是自主探究,B 类是合作交流。 四、知识链接: 棱柱: 棱锥: 棱台: 五、学习过程: A 问题 1:观察下列图形探究各自的特点及共同点

A 问题 2:什么是圆柱、锥、台?有何特征?如何表示?

A 问题 3:什么是球?有何特征?如何表示?

A 问题 4:什么叫简单组合体?简单组合体构成的两种基本形式是一: 二: 。



A 例 1:底面半径为 1,高为 2 的圆柱,在 A 点有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点,问蚂蚁爬行的最短距离是多少? A

3

B A 例 2: 已知球的半径为 10cm, 一个截面圆的面积是 36? cm , 则球心到截面圆圆心的距离是 六、达标测试
2

.

A1、图(1)是由哪个平面图形旋转得到的





A B C D A2、下列说法正确的是 ( ) A.圆锥的母线长等于底面圆直径 B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心 A3、下列说法正确的个数为 ( ) ① 经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形 ② 连接圆柱上、下底面圆周上的两点的线段是圆柱的母线 ③ 圆柱的任意两条母线互相平行 A.0 B.1 C.2 D.3 A4、下列几何体的轴截面一定是圆面的是 ( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台 B5、如果两个球的体积之比为 8:27,那么两个球的表面积之比为 ( ) A.8:27 B.2:3 C.4:9 D.2:9 B6、A、B 为球面上不同两点,则通过 A、B 所有大圆的个数 ( ) A.1 个 B.无数个 C. 一个也没有 D.1 个或无数个 B7、球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.

七、小结与反思:

【励志良言】 “三心二意”另解:信心、恒心、决心;创意、乐意。

1.2.1 空间几何体的三视图
4

一、学习目标: 知识与技能: (1)掌握画三视图的基本技能;(2)丰富空间想象力 过程与方法:主要通过亲身实践,动手作图,体会三视图的作用 情感态度与价值观: (1)提高空间想象力(2)体会三视图的作用 二、学习重点、难点: 学习重点:画出简单组合体的三视图 学习难点:识别三视图所表示的空间几何体 三、 使用说明及学法指导: 1、先浏览教材,再逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、要求小班、重点班学生全部完成,平行班学生完成 A、B 类问题。 3、A 类是自主探究,B 类是合作交流。 四、知识链接: 圆柱: 圆锥: 圆台: 五、学习过程: A 问题1:什么是投影、投影线、投影面?

投射线可自一点发出,也可是一束与投影面成一定角度的平行线,这样就使投影法分为中心投影和平 行投影 A 问题 2:什么是中心投影、平行投影?

物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的, 则为平行投影, 如果聚于一点, 则为中心投影. A 问题 3. (1).光线 (2).光线 (3).光线 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 叫做几何体的正视图. 叫做几何体侧视图. 叫做几何体的俯视图.

A 例1.根据长方体的模型,请您画出它们的三视图,并观察三种图形之间的关系.

三视图的画法规则:




5



A 例2.请您画出圆柱、圆锥、圆台、球的三视图

六、达标测试 A1、两条相交直线的平行投影是 ( ) A.两条相交直线 B.一条直线 C.两条平行线 D.两条相交直线或一条直线 A2、如果一个几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个圆及其圆心,那么这个 几何体为 ( ) A.棱柱 B.棱锥 C.圆锥 D.圆柱 B3、课本 15 页 1.、2、3、4 题

七、小结与反思:

【励志良言】当你感到悲哀痛苦时,最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。

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高一数学必修 2 导学案

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1.2.2 空间几何体的直观图
一、学习目标: 知识与技能: (1)掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。 (2)采用对比的方法了解在平行 投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。 过程与方法:通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。 情感态度与价值观: (1)提高空间想象力与直观感受。 (2)体会对比在学习中的作用。 (3)感受几何 作图在生产活动中的应用。 二、学习重点、难点: 学习重点:用斜二测画法画空间几何体的直观图。 学习难点:用斜二测画法画空间几何体的直观图。 三、 使用说明及学法指导: 1、先浏览教材,再逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、要求小班、重点班学生全部完成,平行班学生完成 A、B 类问题。 3、A 类是自主探究,B 类是合作交流。 四、知识链接: 正视图: 侧视图: 俯视图: 五、学习过程: A 例 1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点的位置一旦确定,依 次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法可以归结为确定点的 位置的画法。强调斜二测画法的步骤。 B 例 2.用斜二测画法画长、宽、高分别是 4cm、3cm、2cm 的长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的直观图。

7

B 例 3.课本 P18图 1.2-13,请说出三视图表示的几何体?并用斜二测画法画出它的直观图。

六、达标测试 A1、利用斜二测画法得到的下列结论正确的是 ( ) ①三角形的直观图是三角形 ②平行四边形的直观图是平行四边形 ③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形 A.①② B.① C.③④ D.①②③④ B2、已知正三角形 ABC 的边长为 a ,那么它的平面直观图的面积为

七、小结与反思:

【励志良言】生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

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高一数学必修 2 导学案

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空间几何体结构 周测试
一、选择题: (50 分) 1、在棱柱中 ( ) A.只有两个面平行 B.所有的棱都平行 C.所有的面都是平行四边形 D.两底面平行,且各侧棱也互相平行 2、下列说法错误的是 ( ) A:由两个棱锥可以拼成一个新的棱锥 B:由两个棱台可以拼成一个新的棱台 C:由两个圆锥可以拼成一个新的圆锥 D:由两个圆台可以拼成一个新的圆台 3、下列说法正确的是 ( ) A:以直角三角形的一边为轴旋转而成几何体是圆锥 B:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 C:以直角梯形的一腰为轴旋转成的是圆台 D:圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在的圆的半径等于圆锥底面圆的半径 4、下列关于长方体的叙述不正确的是 ( ) A:长方体的表面共有 24 个直角 B:长方体中相对的面都互相平行 C:长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离: D;两底面间的棱互相平行且相等的六面体是长方体 5、将图 1 所示的三角形线直线 l 旋转一周,可以得到如图 2 所示的几何体的是哪一个三角形(



6、如图一个封闭的立方体,它 6 个表面各标出 1、2、3、4、5、6 这 6 个数字,现放成下面 3 个不同 的位置,则数字 l、2、3 对面的数字是 ( )

A.4、5、6 B.6、4、5 C.5、4、6 D.5、6、4 7、如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是 ( ) A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 B.A1Bl=1,AB=2,BlCl=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3 C.AlBl=1,AB=2,B1Cl=1.5,BC=3,AlCl=2,AC=4 D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1
9

8、有下列命题(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; (2)圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线; (3)在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; (4)圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的; 其中正确的是( ) A. (1) (2) B. (2) (3) C. (1) (3) D. (2) (4) 9、下列命题中错误的是( ) A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 10、图 1 是由图 2 中的哪个平面图旋转而得到的( )

二、填空题(20 分) 11、如图,长方体 ABCD—A1BlClD1 中,AD=3,AAl=4,AB=5,则从 A 点沿表面到 Cl 的最短距离为___ ___. 12、在三棱锥 S—ABC 中,SA=SB=SC=1,∠ASB=∠ASC=∠BSC=30°,如图,一只蚂蚁从点 A 出 发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到 A 点,则蚂蚁爬过的最短路程为___ __.

13、高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示,那么水瓶 的形状是__ ____.

10

14 如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,有下列命题: ①点 H 与点 C 重合; ②点 D 与点 M 与点 R 重合; ③点 B 与点 Q 重合; ④点 A 与点 S 重合. 其中正确命题的序号是__ __. (注:把你认为正确的命题的序号 都填上)

三、解答题(30 分) 15、 (15 分)长方体的全面积是 11,十二条棱长度之和为 24,求这个长方体的一条对角线长?

16、 (15 分)一个圆锥的底面半径为 2cm,高为 6cm,在其中有一个高为 xcm 的内接圆柱。 (1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S; (2)当 x 为何值时,S 最大?

【励志金语】在学业的峰峦上,有汗水的溪流飞淌;在智慧的珍珠里,有勤奋的心血闪光。

11

高一数学必修 2 导学案

主备人:

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1.3.1 空间几何体的表面积和体积
一、学习目标: 知识与技能:通过学习掌握柱、锥、台表面积、体积的计算公式并会灵活运用,会求简单组合体的表 面积和体积。 过程与方法:通过对柱、锥、台表面积和体积的公式的探究学习,体会观察、类比、归纳的推理方法。 情感态度与价值观:培养学生从量的角度认识几何体,培养学生的空间想象能力和思维能力。 二、学习重点、难点: 学习重点:柱、锥、台表面积、体积的计算公式。 学习难点:利用相应公式求柱、锥、台表面积、体积。 三、 使用说明及学法指导: 掌握并理解公式,熟练运用公式,培养空间想象能力。 四、知识链接: 柱、锥、台体的基本特征:

五、学习过程: A 问题 1:棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,它们的侧面展开图是什么?如何计 算它们的表面积?

例 1:已知棱长为 a ,各面都是等边三角形的四面体 S—ABC,求它的表面积?

A 问题 2:圆柱、圆锥、圆台都是旋转体,它们的侧面展开图是什么?如何计算它们的表面积?

例 2:如图,一个圆台形花盆盆口直径 20 cm,盆底直径为 15cm,底部渗水圆孔直径为 1.5 cm,盆壁 长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到 1 )? 20cm

15 cm
15 cm

12

A 问题 3:柱体、锥体、台体的体积如何计算?(分别写出计算公式)

例 3:有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g/ cm )六角螺帽共重 5.8kg,已知底面是正六边 形,边长为 12mm,内孔直径为 10mm,高为 10mm,问这堆螺帽大约有多少个( ? 取 3.14)?
3

A 问题 4:组合体的表面积和体积如何计算? 六、达标测试 A1、正方体的全面积为 24 cm2,则它的体积是 ( ) 3 3 3 A.4cm B.16cm C.64cm D.8cm3 A2、已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为 V1 和 V2,则 V1:V2=( A.1:3 B.1:1 C.2:1 D.3:1 A3、用长为 4,宽为 2 的矩形做面围成一个圆柱,则此圆柱的侧面积为 ( ) A.



2

?

B.

8

?

C.

4

?

D.8

A4、 在棱长为 1 的正方体上, 分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形, 则截去 8 个三棱锥后 , 剩下的几何体的体积是 ( ) A.

2 3

B.

7 6

C.

4 5

D.

5 6


A5、有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体表面积及体积为: (

5

6
3 A 24? cm , 12? cm B 15? cm , 12? cm C 24? cm , 36? cm D 都不正确
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2

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2

3

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2

3

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B6、 Rt ?ABC 中, AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5 ,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成的几何体的体积 为____________
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B7、已知棱台的上下底面面积分别为 4,16 ,高为 3 ,则该棱台的体积为___________

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七、小结与反思:
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【励志良言】当你只有一个目标时,全世界都会给你让路。 高一数学必修 2 导学案 主备人: 一、学习目标:

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1.3.2 球的体积和表面积
知识与技能:⑴通过对球的体积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法,知道祖暅原 理。⑵能运用球的公式灵活解决实际问题。培养空间想象能力。 过程与方法:通过球的体积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式的方法, 情感与价值观:通过学习,使我们对球的表面积、体积公式的推导方法有了一定的了解,提高空间思 维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。 二、学习重难点: 学习重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 学习难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三、使用说明及学法指导: 1、限定 45 分钟完成,认真阅读教材内容,注意逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会 的先绕过,做好记号。2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时 整理在解题本,多复习记忆。3、小班完成 A,B,C 全部内容;实验班完成 B 级以上;平行班完成 A~B. (其中 A、B 级问题自主完成;C 级问题可由合作探究方式完成) 四、知识链接: 什么是球? 球的半径? 球的直观图怎样画? 球的半径,截面圆的半径,球心与截面圆心的距离间有何关系? 五、学习过程: B 问题 1:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表 面积与体积呢?球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积? (阅读 32 页了解球的体积的推导即可,球的表面积的推导不要求了解)

B 问题 2:球的表面积的公式怎样?球的体积怎样?

A 例 1:圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求证: (1)球的体积等于圆柱的体积的

2 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积; 3

14

A 例 2:已知:钢球直径是 5cm,求它的体积.

B (变式 1)一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5cm,求它的内径.(钢的密度是 7.9g/cm2)

六、达标训练 一、选择题 A1 一个正方体的顶点都在球面上,此球与正方体的表面积之比是( A.



D. ? 2 3 4 B2.在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触,过棱锥的 一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是 ( ) B. C.

?

?

?

A B C D B3 正方体的全面积为 a ,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是: ( A.



?a
3

;

B.

?a
2

;

C. 2?a ;

D. 3?a . )

B4 已知正方体外接球的体积是

32 ? ,那么正方体的棱长等于 ( 3
(C)

(A) 2 2

(B)

2 3 3

4 2 3
倍.

(D)

4 3 3

二、填空题 A5、球的直径伸长为原来的 2 倍,体积变为原来的

B6、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,这个球的体积为
15

cm3.

B7、长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表

面积是



B8、 有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的 体积之比_________. B9、正方体的内切球和外接球的体积的比为 ,表面积比为 。 B10、一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高 9 厘米则此球 的半径为_________厘米 三、解答题 2 2 B11、 在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面, 它们的面积分别为 49π cm 和 400π cm , 求球的表面积。
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七、小结与反思

【心灵鸡汤】行动和不满足是进步的第一必需品!

16

高一数学必修 2 导学案

主备人:

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空间几何体习题课
一、学习目标 知识与技能:了解柱体,锥体,台体,球体的几何特征,会画三视图、直观图,能求表面积、体积。 过程与方法:通过旋转体的形成,掌握利用轴截面化空间问题为平面问题处理的方法。 会画图、识图、 用图。 情感态度与价值观:培养动手能力,空间想象能力,由欣赏图形的美到去发现美,创造美。 二、学习重、难点 学习重点:各空间几何体的特征,计算公式,空间图形的画法。 学习难点:空间想象能力的建立,空间图形的识别与应用。 三、使用说明及学法指导:结合空间几何体的定义,观察空间几何体的图形培养空间想象能力,熟记 公式,灵活运用. 四、知识链接 1.回忆柱体、锥体、台体、球体的几何特征。2.熟记表面积及体积的公式。 五、学习过程 题型一:基本概念问题 A 例 1: (1)下列说法不正确的是( ) A:圆柱的侧面展开图是一个矩形 B:圆锥的轴截面是一个等腰三角形 C: 直角三角形绕着它的一 边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D:圆台平行于底面的截面是圆面 (2)下列说法正确的是( )A:棱柱的底面一定是平行四边形 B:棱锥的底面一定是三角形 C: 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D:棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 题型二:三视图与直观图的问题 B 例 2:有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( ) A 棱台 B 棱锥 C 棱柱 D 都不对
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主视图

左视图

俯视图

B 例 3:一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 正三角形,原三角形的面积为 ( A.



6 4

B.

3 4

C.

3 2

D.

6 2


题型三:有关表面积、体积的运算问题 B 例 4:已知各顶点都在一个球面上的正四柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是 ( 6? A B 20? C 24 ? D 32 ? C 例 5:若正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积 (



(A)

2 6

(B)

2 3

(C)

3 3
17

(D)

2 3

题型四:有关组合体问题

18

例 6:已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积 是( )

10 20 10 20 正视图 A. 20 侧视图 B. 20 俯视图 C. 2000cm
3

4000 3 cm 3

8000 3 cm 3

D. 4000cm

3

六、达标训练 1、若一个几何体的三视图都是等腰三角形,则这个几何体可能是 ( ) A.圆锥 B.正四棱锥 C.正三棱锥 D.正三棱台 2、一个梯形采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原来梯形面积的( A.



2 倍 4

B.

1 倍 2

C.

2 倍 2

D.

2倍

3、将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形,其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧 面,则两圆锥体积之比为 ( ) A.3∶4 B.9∶16 C.27∶64 D.都不对 4、利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 ( A.①② B. ① C.③④ D. ①②③④ 5、有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( )



A 棱台 B 棱锥 C 棱柱 D 都不对 6、 如果一个几何体的三视图如图所示, 主视图与左视图是边长为 2 的正三角形、 俯视图轮廓为正方形, (单位长度:cm) ,则此几何体的侧面积是( )
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主视 图

左 视 图

A. 2 3 cm C. 12 cm
2

2

B. 4 3 cm D. 14 cm2

2

俯视 图

7、若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为
19

8、将圆心角为 120 ,面积为 3? 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积
0

0 0 9、 如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 90 , ?ADC ? 135 , AB ? 5 , CD ? 2 2 , AD ? 2 , 求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积

10、 (如图)在底半径为 2 母线长为 4 的 圆锥中内接一个高为 3 的圆柱,求圆柱的表面积

七、小结与反思

【至理名言】没有学不会的知识,只有不会学的学生。

20

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编号

2.1.1 平面
一、学习目标: 知识与技能:利用生活中的实物对平面进行描述;掌握平面的表示法及水平放置的直观图;掌握平面 的基本性质及作用;培养学生的空间想象能力。 过程与方法:通过共同讨论,增强对平面的感性认识;归纳整理本节所学知识 情感态度与价值观:认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣。 二、学习重、难点 学习重点: 1、平面的概念及表示;2、平面的基本性质,注意它们的条件、结论、作用、图形语言及 符号语言。 学习难点:平面基本性质的掌握与运用。 三、使用说明及学法指导:通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,从而较好地完成本节课的学 习目标。 四、知识链接:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象, 你们能举出更多例子吗?

五、学习过程: A 问题 1、平面含义

A 问题 2、平面的画法

A 问题 3、平面的表示 平面通常用希腊字母( )等表示,如( )等,也可以用表示平面的平行 四边形的( ) 来表示,如 ( )等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成( ) A 问题4、点与平面的关系:平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。 点 A 在平面α 内,记作: 点 B 在平面α 外,记作: A 例 1、判断下列各题的说法正确与否,在正确的说法的题号后打 √ ,否则打 ? : 1) 、一个平面长 4 米,宽 2 米; ( ) 2) 、平面有边界; ( ) 2 3) 、一个平面的面积是 25 cm ; ( ) 2 4) 、菱形的面积是 4 cm ; ( ) 5) 、一个平面可以把空间分成两部分. ( ) A 问题 5 如果直线 l 与平面α 有一个公共点, 直线 l 是否在平面α 内?如果直线 l 与平面α 有两个公 共点呢?
21

A 问题 6 公理 1: 符号表示为

公理 1 作用:判断直线是否在平面内 B 问题 7 公理 2: 符号表示为: 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 注意: (1)公理中“有且只有一个”的含义是: “有” ,是说图形存在, “只有一个” ,是说图形惟一, “有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的,而且只有一个” , 也即不共线的三点确定一个平面. “有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面. B 问题 8 公理 3: β 符号表示为: 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 B 例题教材 P43 例 1 α
P

α ?

A

?

C

?

B

?

L

六、达标训练 B 课本 P43 练习 1、2、3、4 ①为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚? ②三角形、梯形是否一定是平面图形?为什么? ③四条线段顺次首尾连接,所得的图形一定是平面图形吗? 为什么? ④用符号表示下列语句,并画出图形: ⑴点 A 在平面α 内,点 B 在平面α 外; ⑵直线 L 在平面α 内,直线 m 不在平面α 内; ⑶平面α 和β 相交于直线 L ⑷直线 L 经过平面α 外一点 P 和平面α 内一点 Q ; ⑸直线 L 是平面α 和β 的交线,直线 m 在平面α 内, 和 m 相交于点 P. 七、小结与反思 1.平面的概念,画法及表示方法.2.平面的性质及其作用 3.符号表示

22

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2.1.2 空间直线与直线的位置关系 1
一、学习目标: 知识与技能:1.掌握空间两条直线的位置关系,理解异面直线的概念 。2.理解并掌握公理 4,并 能运用它解决一些简单的几何问题。 过程与方法:培养空间想象力。 情感态度与价值观:通过对空间直线间不同位置关系的理解、运用和展示,体会数学世界的美妙,培 养学生的美学意识。 二、学习重、难点 学习重点:异面直线的概念、公理 4 学习难点:异面直线的概念 三、使用说明及学法指导:通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,从而较好地完成本节课的教 学目标。 四、知识链接:平面的基本性质及其简单的应用——共面问题、点共线问题、线共点问题的证明,同 一平面内两条直线有几种位置关系?相交直线——有且仅有一个公共点平行直线——在同一平面内, 没有公共点 五、学习过程: A 问题 1 空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢? 观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线 ;天安门广场上旗杆所在的直线与长安 街所在的直线,南京万泉河立交桥的两条公路所在的直线,它们的共同特征是什么? 思考:如下图,长方体 ABCD-A′B′C′D′中,线段 AB′所在直线与线段 CC′所在直线的 位置关系如何? D C ’ B’ ’ A ’


D ′

C B

A A 问题 2:归纳总结 ,形成概念 异面直线:

′ ′

A 问题 3:空间中两条直线的位置关系有三种:

23

B 问题 4 判断:下列各图中直线 l 与 m 是异面直线吗?
m
?

m

l

?

l
?
l

m
?

1
?
?

2
m
m

3
?
m

?

l
?

l

?

l

4

5

6

B 问题 5 辨析 ①、空间中没有公共点的两条直线是异面直线 ②、分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线 ③、不同在某一平面内的两条直线是异面直线 ④、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线 ⑤、既不相交,又不平行的两条直线是异面直线 A 例 1:如图 2.1.2-1,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 哪 些 棱 所 在 的 直 线 与 BA1 成 异 面 直 线 ?

D1 A1 D A B B1

C1

C

图 2.1.2-1

B

问题 6 如右图所示是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方

C G

A

体,那么 AB、CD、EF、GH 这四条线段所在的直线是异面直线的 有几对?

D H E F

B

A 问题 7.思考:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线平行。空间中,如果两条直线都与第三条 直线平行,是否也有类似的规律? 观察:如图 2.1.2-2,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA1∥ BB1 , AA1∥ DD1 ,那么 BB1 与 DD1 平行吗?

D1 A1 D B B1

C1

C

A 问题 8.公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 A 符号表示为:设 a 、b、c 是三条直线 a ∥b => a ∥c b∥c 注:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间此性质都适用; 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 A 例 2:如图在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。
24

求证:四边形 EFGH 是平行四边形。

B 变式练习: (1)在例 2 中, 如果再加上条件 AC ? BD ,那么四边形 EFGH 是什么图形? CF CG 3 = , (2) 把条件改为: E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 CB、CD 上的点,且 = CB CD 4 则四边形 EFGH 是什么图形?为什么? 六、达标训练 A1.设直线 a 、b 分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线,则 a 、b 的位置关系是 B2.如图 2.1.2-3,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, (1)若 E、F 分别是 AB、BC 的中点,则 EF 和 A1C1 的位置关系是 (2)若 E 是 AB 的三等分点,F 是 AB、BC 的中点,则 EF 和 A1C1 的位置关系是
D1 A1 B1 C1

D1 A1 B1

C1

D A F E B

C

D A E F B

C

(1)

图 2.1.2-3

(2)

A3 P51 习题 2.1A 组第 6 题 B4.一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条之间的位置关系是( ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.可能相交、可能平行、可能异面 B5.已知 a 、b 是异面直线,c∥ a ,那么 c 与 b( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 七、小结与反思: (1)空间中两直线有何位置关系?(平行、相交、异面) (2)怎样判断两直线是异面直线?(判断关键:既不平行又不相交) (3)什么是平行公理?它的作用是什么? (平行同一条直线的两条直线互相平行作用: 判断两直线平行它将空间平行问题转化为平面内的平行 问题)

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2.1.3 空间直线与直线的位置关系 2
一、学习目标 知识与技能:1.异面直线所成的角的定义 2.等角定理,3 会用异面直线所成的角的定义找出或作出异 面直线所成的角,会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 过程与方法:培养空间想象力。 情感态度与价值观:1.提高空间想象能力和作图能力。 、2.增强动态意识,培养观察、对比、分析的 思维,通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。3.通过探究增强学生的合作意识、动脑 意识和动手能力。 二、学习重、难点 学习重点:异面直线所成的角 学习难点:找出或作出异面直线所成的角 三、学法指导:通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,从而较好地完成本节课的教学目标。 四、知识链接: 1.异面直线: 2.空间中两条直线的位置关系有三种: 3 公理 4: 五、学习过程 A 问题 1 在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相 等或互补 ”.空间中这一结论是否仍然成立呢?
D A
1 1

C B
1

观察:如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ∠ADC 与∠A1D1C1 ,∠ADC 与 ∠A1B1C1 两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? A 问题 2: (等角定理) :空间中,如果两个角的两边分别对应平行, ( A 问题 3:异面直线所成的角的定义:

D A

1

C B



异面直线所成的角的范围: 注:如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直 , 记为 a ⊥ b B 问题 4: 这个角的大小与 O 点的位置有关吗 ? 即 O 点位置不同时, 这一角的大小是否改变?

注:在求作异面直线所成的角时,O 点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) B 例 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)哪些棱所在的直线与直线 BA1 成异面直线?(2)求直线 BA1 和 CC1 所成的角的大小。 (3)哪些棱所在的直线与直线 A1B 垂直?

26

B 例 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,1。A1B1 与 C1C 所成的角 2。AD 与 B1B 所成的角 3.A1D 与 BC1 所成的角 4.D1C 与 A1A 所成的角 5.A1D 与 AC 所成的角

C 例 3 在四面体 ABCD 中,E,F 分别是棱 AD,BC 上的点,且 已知 AB=CD=3, EF ? 3 ,求异面直线 AB 和 CD 所成的角.

AE BF 1 ? ? ED FC 2

B 问题 5 求异面直线所成的角的一般步骤是:①作辅助线找角;②指出角(或其补角) ; ③求角(解三角形) ;④结论。 六、达标训练 B1. 判断:(1)平行于同一直线的两条直线平行.( ) (2)垂直于同一直线的两条直线平行.( ) (3)过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行 . ( ) (4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. ( ) (5)若一个角的两边分别与另一个角的两边平行,那么这两个角相等( ) ( 6 )若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相 等. ( ) B2.选择题 (1)两条直线 a ,b 分别和异面直线 c,d 都相交,则直线 a ,b 的位置关系是( ) (A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线 (C)可能是平行直线 (D)可能是异面直线,也可能是相交直线 (2)一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)相交或异面 B3.正四面体 A-BCD 中 , E、F 分别是边 AD、BC 的中点,求异面直线 EF 与 AC 所成的角?

七、小结与反思: 异面直线所成的角:平移,转化为相交直线所成的角 等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 异面直线所成角的求法: 一作(找)二证三求
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2.1.4 直线与平面、平面与平面的位置关系
一、学习目标: 知识与技能:掌握直线与平面的三种位置关系,会判断直线与平面、平面与平面的位置关系 过程与方法:学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系 情感态度与价值观:进一步培养学生的空间想象和全面思考问题的能力 二、学习重、难点 学习重点: 直线与平面的三种位置关系及其作用、平面与平面的位置关系及画法 学习难点: 直线与平面、平面与平面的位置关系的判断 三、学法指导: 通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,从而较好地完成本节课的教学目标。 小班实验班完成全部,平行班 80%以上 四、知识链接:1、空间两直线的位置关系(1)相交; (2)平行; (3)异面 2.公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行.推理模式: a // b, b // c ? a // c . 3.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角) 相等. 5..异面直线:我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。
王新敞
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6..异面直线所成的角:已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a '// a , b '// b , a ', b '所成 的角的大小与点 O 的选择无关,把 a ', b '所成的锐角(或直角)叫异面直线 a , b 所成的角 7.异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两条异面直线 a , b 垂 直,记作 a ? b 五、学习过程:问题 1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面, 可能有几种位置关系? 问题 2:如图,线段 A′B 所在直线与长方体的六个面 所在平面有几种位置关系? 结论:直线与平面的位置关系有且只有三种:

问题 3:如何用图形语言表示直线与平面的三种位置关系?

问题 4:如何用符号语言表示直线与平面的三种位置关系? 问题 5:围成长方体的六个面,两两之间的位置关系有几种?

28

问题 6:平面与平面的位置有几种?分别用文字、图形、符号语言表示? 例 1(见 P49)下列命题中正确的个数是( ) ⑴若直线 L 上有无数个点不在平面?内,则 L∥? (2)若直线 L 与平面?平行,则 L 与平面? 内的任意一条直线都平行 (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 (4)若直线 L 与平面?平行,则 L 与平面?内任意一条直线都没有公共点 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 例 2 已知直线 a 在平面 α 外,则 ( ) (A) a ∥α (B)直线 a 与平面 α 至少有一个公共点
王新敞
奎屯 新疆

(C) a ? ? ? A

(D)直线 a 与平面 α 至多有一个公共点

六、达标检测: A1..以下命题(其中 a ,b 表示直线,?表示平面) ①若 a ∥b,b??,则 a ∥? ②若 a ∥?,b∥?,则 a ∥b ③若 a ∥b,b∥?,则 a ∥? ④若 a ∥?,b??,则 a ∥b 其中正确命题的个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 A2.已知 a ∥?,b∥?,则直线 a ,b 的位置关系 ①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交;⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 ( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 B3.如果平面?外有两点 A、B,它们到平面?的距离都是 a ,则直线 AB 和平面?的位置关系一定是 ( ) (A)平行 (B)相交 (C)平行或相交 (D)AB?? B4.已知 m,n 为异面直线,m∥平面?,n∥平面?,?∩?=l,则 l ( ) (A)与 m,n 都相交 (B)与 m,n 中至少一条相交 (C)与 m,n 都不相交 (D)与 m,n 中一条相交 B5..下列说法正确的是 ( ) A.直线 a 平行于平面 M,则 a 平行于 M 内的任意一条直线 B.直线 a 与平面 M 相交,则 a 不平行于 M 内的任意一条直线 C.直线 a 不垂直于平面 M,则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线 D.直线 a 不垂直于平面 M,则过 a 的平面不垂直于 M B6.平面 ? , ? 的公共点多于 2 个,则 A. ? , ? 可能只有 3 个公共点 B. ? , ? 可能有无数个公共点,但这无数个公共点有可能不在一条直线上 C. ? , ? 一定有无数个公共点 D.除选项 A,B,C 外还有其他可能 七、小结与反思:
29





教师寄语 :一切伟大的行动和思想,都有一个微不足道的开始。 高一数学必修 2 导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:

2.2.1 直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定
一、学习目标: 知识与技能: 理解并掌握直线与平面平行的判定定理及平面与平面平行的判定定理. 过程与方法:掌握由“线线平行”证得“线面平行”的数学证明思想。进一步熟悉反证法;进一步培 养观察能力、空间想象力和类比、转化能力,提高逻辑推理能力。 情感态度价值观: 培养认真、仔细、严谨的学习态度。建立“实践―理论―再实践”的科学研究方法。 二、学习重、难点 学习重点:掌握直线与平面平行的判定定理. 掌握平面与平面平行的判定定理. 学习难点:理解直线与平面平行的判定定理. 理解平面与平面平行的判定定理. 三、使用说明及学法指导: 1、限定 45 分钟完成,注意逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习 记忆。 3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成 80%以上,平行班完成 60%以上. 4、A 级是自主学习,B 级是合作探究,C 级是提升 四、知识链接 1、直线与平面有哪几种位置关系? (1)直线与平面平行;(2)直线与平面相交;(3)直线在平面内。 2、判断两条直线平行有几种方法? (1)三角形中位线定理;(2)平行四边形的两边;(3)平行公理;(4)成比例线段。 3、平面与平面之间的位置关系: (1) 两个平面平行------没有公共点 (2) 两个平面相交------有一条公共直线 若α 、β 平行,记作β ∥α 五、学习过程: 一、直线与平面平行的判定 实例探究: 1.门扇的两边是平行的,当门扇绕着一边转动时,另一边与门框所在平面具有什么样的位置关系? 2.课本的对边是平行的,将课本的一边紧贴桌面,沿着这条边转动课本,课本的上边缘与桌面所在 平面具有什么样的位置关系? 学习过程 自主探究 a A 问题 1:如图,1 .直线 a 与直线 b 共面吗?

b
2.直线 a 与平面 ? 相交吗? A 问题 2: 直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 判定定理告诉我们,判定直线与平面平行的条件有三个分别是
30

?

(1) a 在平面 ? 外,即 a ? ?(面外) (2) b 在平面 ? 内,即 b ? ?(面内) (3) a 与 b 平行,即 a ∥b(平行)

31

符号语言:

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

思 想: 线线平行 ? 线面平行 A判断对错:直线 a 与平面α不平行,即 a 与平面α相交. ( ) 直线 a ∥b,直线b 平面α,则直线 a ∥平面α. ( ) 直线 a ∥平面α,直线b 平面α,则直线 a ∥b. ( ) A 例 1、求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。 已知:空间四边形ABCD,E、F分别是AB、AD的中点。 求证:EF∥平面 BCD E

A

F D

B

C

要证 EF∥平面 BCD,关键是在平面 BCD 中找到和 EF 平行的直线,将证明线面平行的问题转化为证明 直线的平行 B 练习 1:如图, 三棱柱 ABC- A1B1C1 中, M、 N 分别是 BC 和 A1B1 的中点, 求证:MN∥平面 AAC 1 1C
A

B

M

C

A1 N B1 C1

要证明直线与平面平行, 只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行, 把证明线面问题转化为证 明线线问题. 二、平面与平面平行的判定 A自主探究问题3:(1)平面β 内有一条直线与平面α 平行,α 、β 平行吗? (2)平面β 内有两条直线与平面α 平行,α 、β 平行吗? A 问题 4: 平面与平面平行的判定定理
32

一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示:若 a ? ? , b ? ? , a ? b ? P,且a//? ,b//? , 则? // ? 。 利用判定定理证明两个平面平行,必须具备两个条件: (1)有两条直线平行于另一个平面, (2)这两条直线必须相交。 思想:线线相交,线面平行 ? 面面平行。 A 判断对错: (1)、如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) (2)、如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) (3)、如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) A 例 2、 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 ,求证:平面 AB1D1 //平面 C1BD 。

证题思路:要证明两平面平行,关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面. B 练习 2:如图:B 为 ? ACD 所在平面外一点,M、N、G 分别为 ? ABC、 ? ABD、 ? BCD 的重心, (1)求证:平面 MNG//平面 ACD; (2)求 S?MNG : S?ADC B N G D F H C

A

M P

六、达标训练 A1.直线 a ∥平面α ,平面α 内有无数条直线交于一点,那么这无数条直线中与直线 a 平行的( (A)至少有一条 (B)至多有一条 (C)有且只有一条 (D)不可能有 A2. 已 知 三 条 互 相 平 行 的 直 线 a, b, c中,a ? ? , b ? ? , c ? ? ,, 则 两 个 平 面 . A3.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是
33



? , ? 的位置关系是

B4、正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E 为 DD 1 与平面 AEC 的位置关系,并给出证 1 的中点,判断 BD 明。
D1 E B1 D C C1

A1

七、小结与反思: 线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 线线平行 线面平行 平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

A

B

【金玉良言】在学业的峰峦上,有汗水的溪流飞淌;在智慧的珍珠里,有勤奋的心血闪光.

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2.2.2 直线与平面、平面与平面平行的性质
一、学习目标: 知识与技能:理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义, 并会应用性质解决问题 过程与方法:能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面、平面与平面的性质定理 情感态度与价值观:通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程,激发学生学习数学的自信心和 积极性,培养学生良好的思维习惯,渗透化归与转化的数学思想,体会事物之间相互转化和理论联系 实际的辩证唯物主义思想方法 二、学习重、难点 学习重点: 直线与平面、平面与平面平行的性质及其应用 学习难点: 将空间问题转化为平面问题的方法, 三、学法指导及要求: 1、限定 45 分钟完成,注意逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习 记忆。3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部,平行班完成 A.B 类题 四、知识链接: 1.空间直线与直线的位置关系 2.直线与平面的位置关系 3.平面与平面的位置关系 4.直线与平面平行的判定定理的符号表示 5.平面与平面平行的判定定理的符号表示 五、学习过程: A 问题 1: 1)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系? (观察长方体) 2)如果一条直线和一个平面平行,如何在这个平面内做一条直线与已知直线平行? (可观察教室内灯管和地面) A 问题 2: 一条直线与平面平行,这条直线和这个平面内直线的位置关系有几种可能? A 问题 3:如果一条直线 a 与平面α 平行,在什么条件下直线 a 与平面α 内的直线平行呢? 由于直线 a 与平面α 内的任何直线无公共点,所以过直线 a 的某一平面,若与平面α 相交,则直线 a 就平行于这条交线 B 自主探究 1:已知: a ∥α , a ? β ,α ∩β =b。求证: a ∥b。

直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行 符号语言:
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线面平行性质定理作用:证明两直线平行 思想:线面平行 ? 线线平行 例 1:有一块木料如图,已知棱 BC 平行于面 A′C′(1)要经过木料表面 A′B′C′D′ 内的一点 P 和 棱 BC 将木料锯开,应怎样画线?(2)所画的线和面 AC 有什么关系?
D'

A' P C' B' C A

D

B

例 2:已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面。

问题 5:两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一平面有什么样的关系?两个平面平行,那 么其中一个平面内的直线与另一平面内的直线有何关系? 自主探究 2:如图,平面α ,β ,γ 满足α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,求证:a∥b

平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 符号语言: 面面平行性质定理作用:证明两直线平行 思想:面面平行 ? 线线平行 例 3 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等 已 知 : ? // ? , AB∥CD , A ?? , D ?? , B ? ? , C ? ? , 求 证 : A B ? C D。

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六、达标检测: A1.61 页练习 A2.下列判断正确的是( ) A. a ∥α , b ? ? ,则 a ∥b B. a ∩α =P,b α ,则 a 与 b 不平行 C. a ? ? ,则 a∥α D. a ∥α ,b∥α ,则 a ∥b B3.直线 a ∥平面 α ,P∈α ,过点 P 平行于 a 的直线( ) A.只有一条,不在平面 α 内 B.有无数条,不一定在 α 内 C.只有一条,且在平面 α 内 D.有无数条,一定在 α 内 B4.下列命题错误的是 ( ) A. 平行于同一条直线的两个平面平行或相交 B. 平行于同一个平面的两个平面平行 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 平行于同一个平面的两条直线平行或相交 B5. 平行四边形 EFGH 的四个顶点 E、F、G、H、分别在空间四边形 ABCD 的四条边 AB、BC、CD、AD、 上,又 EF∥BD,则 ( ) A. EH∥BD,BD 不平行与 FG B. FG∥BD,EH 不平行于 BD C. EH∥BD,FG∥BD D. 以上都不对 B6.若直线 a ∥b, a ∥平面 α ,则直线 b 与平面 α 的位置关系是 B7 一个平面上有两点到另一个平面的距离相等,则这两个平面

七、小结与反思:

金玉良言:世界上最残忍的不是野兽,不是刽子手,而是时间;因为时间不等人,时间不留情。

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2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、学习目标: 知识与技能:理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理,并能运用判定定理证明 一些空间位置关系的简单命题. 理解直线与平面所成的角的定义及求法; 过程与方法:培养几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 情感态度与价值观: 亲身经历数学研究的过程, 体验探索的乐趣, 增强学习数学的兴趣,同时培养从“感 性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。 二、学习重、难点 学习重点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 学习难点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用 三、使用说明及学法指导: 1、限定 45 分钟完成,注意逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习 记忆。3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成 80%以上,平行班完成 60%以上.4、A 级是自主学 习,B 级是合作探究,C 级是提升 四、知识链接: 直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行 平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 五、学习过程:自主探究 一、直线与平面垂直的判定 1、线面垂直的定义 A 问题 1、结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义. (1)阳光下,直立于地面的旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 所成的角度是多少? (2)随着太阳的移动,影子 BC 的位置也会移动,而旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度是否会发生改变? (3)旗杆 AB 与地面上任意一条不过点 B 的直线 B1C1 的位置关系如何?依据是什么? A 问题 2、直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面α 互相垂直, 记作: l⊥α . 直 线 l 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点 P 叫做 垂足。 符号语言:

l
a是平面?内任一直线? ??l ?? l?a ?
图形语言:

α
38

P

思想: 直线与平面垂直 ? 直线与平面垂直 A 思考: (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?

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( 2 )如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线?即若

l ? ? , a ? ? ,则 l ? a
2、直线与平面垂直的判定定理 A 问题 3、请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一个试验:过三角形的顶点 A 翻折纸片,得到 折痕 AD(如图 1) ,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) A B B D (图 1) C C (图 2) D A

(1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直? A 问题 4、直线与平面垂直的判定定理。 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 符号语言: m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? l ? m, l ? n ? 图形语言: α m p n l

思想: 直线与直线垂直 ? 直线与平面垂直 例 1 有一根旗杆 AB 高 8m ,它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的 两点(和旗杆脚不在同一直线上) C , D ,如果这两点都和旗杆脚 B 的距离是 6 m ,那么旗杆就和地 面垂直,为什么?

A 问题 5、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,请列举与平面 ABCD 垂直的直线。并说明这些直线有怎样 的位置关系? A1 D A B D1 B1 C1

a
C

b

?

40

A 例 2:如图 5,已知 a // b, a ? ? ,则 b ? ? 吗?请说明理由。

小结:判断直线与平面垂直的方法 (1)定义法:(2)直接法:线面垂直的判定定理(3)间接法: 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个 平面,那么另一条直线也垂直于这个平面即 a // b, a ? ? ,则 b ? ? 3、直线与平面所成的角 问题 6: 斜线: 斜足: 斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角: 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;(判断直线与平面垂直的方法 4) 一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是 0°的角. 例 3: 在正方体 ABCD _ A 1B 1C1 D 1 中,求: (1)直线 A 1B 和平面 ABCD 所成的角 (2)直线 A 1B 和平面 A 1B 1C D 所成的角
A A1 D1 B1 C1

D B

C

▲ 小结:直线和平面所成角的步骤 ①作图—找出或作出直线在平面上的射影 ②证明—证明所找或所作角即为所求角 ③计算—通常在三角形中计算角 六、达标检测: 1 直线 l 与平面?内的两条直线都垂直,则直线 l 与平面?的位置关系是 (A)平行 (B)垂直 (C)在平面?内 (D)无法确定 2 对于已知直线 a,如果直线 b 同时满足下列三个条件: ①与 a 是异面直线;②与 a 所成的角为定值θ ;③与 a 距离为定值 d 那么这样的直线 b 有( (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)无数条
王新敞
奎屯 新疆



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3.如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,EF 交 AC 于 M,GC 垂直于 ABCD 所在平面. 求证:EF⊥平面 GMC.
G D E M A F B

C

4.已知:空间四边形 ABCD , AB ? AC , DB ? DC , 求证: BC ? AD

A

B E C

D

七、总结评价: 直线与平面垂直的判定方法 1.定义:如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线,则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么此直线垂直于这个平面。 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面。 4.如果直线和平面所成的角等于 90°,则这条直线和平面垂直 学后反思、自查自纠: 要求: 1、静心思考,查缺补漏,找出在基础、能力方面的漏洞。 2、不讨论,独立思考,将错题重新做一遍。可查阅课本和相关资料。 【金玉良言】快乐心中徜徉,自由随风飘扬,身体力行健康,奋进热情高涨,拼搏成就梦想.

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2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、学习目标: 知识与技能:正确理解和掌握“二面角” 、 “二面角的平面角”及“直二面角” 、 “两个平面互相垂直” 的概念;掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用; 过程与方法:培养几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 情感态度与价值观: 亲身经历数学研究的过程, 体验探索的乐趣, 增强学习数学的兴趣,同时培养从“感 性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。 二、学习重、难点 学习重点: 平面与平面垂直的判定; 学习难点: 如何度量二面角的大小。 三、使用说明及学法指导: 1、限定 45 分钟完成,注意逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习 记忆。3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成 80%以上,平行班完成 60%以上.4、A 级是自主学 习,B 级是合作探究,C 级是提升 四、知识链接: 直线与平面垂直的定义: 直线与平面垂直的判定定理: 直线与平面所成的角: 五、学习过程:自主探究 一、二面角的定义 问题 1: 半平面: 二面角: 二面角的表示: 二面角的平面角: 二面角的平面角∠AOB 的特点: (1)角的顶点在棱上;(2)角的两边分别在二面角的两个面上;(3)角的两边分别和棱垂直。 特别指出: ①二面角的大小是用平面角来度量的,其范围是[0, 1800 ) ;
43

②二面角的平面角的大小与棱上点(角的顶点)的选择无关,是有二面角的两个面的位置惟一确定; ③二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的

44

直二面角: 规律:求异面直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面所成的角最终都转化为线与线相交构 成的角。 例 1:如图四面体 ABCD 的棱 BD 长为 2,其余各棱长均为 2 ,求二面角 A-BD-C 的大小。

二、两个平面互相垂直 两个平面互相垂直:

两个互相垂直的平面画法:

平面 ? 与β 垂直,记作:

定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号语言: AB ? ?,AB ? ? =B,AB ? ? ? ? ? ?

图形语言:

思想:线面垂直 ? 面面垂直 判断对错: 1.如果平面 ? 内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线,则 ? ⊥β .( ) 2.如果平面 ? 内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线,则 ? ⊥β .( ) 3.如果平面 ? 内的一条直线垂直于平面β 内的两条相交直线, 则 ? ⊥β .( ) 例 2、已知直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面,A 为垂足,AB 为圆 O 的直径,C 是圆周上异于 A、B 的一点。 探究 1、四面体 P-ABC 的四个面的形状是怎样的? 探究 2、有哪些直线和平面垂直? 探究 3、有哪些平面相互垂直? 求证:平面 PAC?平面 PBC

关键:找与平面垂直的线.
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例 3:如图 P 为Δ ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,∠ABC =90°,AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F,求证:⑴平面 PAB⊥平面 PBC; ⑵平面 AEF⊥平面 PBC;⑶平面 AEF⊥平面 PAC。

六、达标检测 1.过平面 ? 外两点且垂直于平面 ? 的平面 ( A) 有且只有一个 ( )

( B ) 不是一个便是两个 (C ) 有且仅有两个 ( D) 一个或无数个 2.若平面 ? ? 平面 ? ,直线 n ? ? , m ? ? , m ? n ,则 ( ) ( A) n ? ? (B) n ? ? 且 m ? ? (C ) m ? ? ( D) n ? ? 与 m ? ? 中至少有一个成立 3.对于直线 m, n 和平面 ? , ? , ? ? ? 的一个充分条件是 ( ) ( A) m ? n , m // ? , n // ? ( B ) m ? n, ? ? ? m, n ? ? (C ) m // n, n ? ? , m ? ? ( D) m ? n, m ? ? , n ? ? 4.设 l , m, n 表示三条直线, ? , ? , ? 表示三个平面,给出下列四个命题: ①若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m ;②若 m ? ? , n 是 l 在 ? 内的射影, m ? l ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , m // n ,则 n // ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? . 其中真命题是( ) ( A) ①② ( B ) ②③ (C ) ①③ ( D) ③④ 5:已知平面α ∩平面β =直线 a ,α 、β 垂直于平面γ ,又平行于直线 b,求证:(1) a ⊥γ ;(2)b
⊥γ .

七、总结评价: 本节课我们讲了二面角的概念, 二面角平面角的定义。 两个平面垂直的定义、 画法及判定方法. 判 定方法有两种,一是利用定义二是利用判定定理,如何应用两个平面垂直的判定定理,把面面垂直的 问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键。 学后反思、自查自纠: 要求:1、静心思考,查缺补漏,找出在基础、能力方面的漏洞。 2、不讨论,独立思考,将错题重新做一遍。可查阅课本和相关资料。 【金玉良言】快乐心中徜徉,自由随风飘扬,身体力行健康,奋进热情高涨,拼搏成就梦想.

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2.3.3 直线与平面垂直的性质
一、学习目标: 1.知识与技能 (1)培养学生的几何直观能力和知识的应用能力,使他们在直观感知的基础上进一步学会证明. (2)掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。 (3)掌握等价转化思想在解决问题中的运用. 2.情感态度与价值观 (1)发展学生的合情推理能力和空间想象力 ,培养学生的质疑思辨、创新的精神. (2)让学生亲自从问题解决过程中认识事物发展、变化的规律. 二学习重、难点 1.重点:直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。 2.难点:直线和平面垂直的性质定理和推论的证明,等价转化思想的渗透。 三、学法指导及要求: 1、限定 45 分钟完成,注意逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习 记忆。 3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部,平行班完成 A.B 类题。平行班的 A 级学生完成 80%以上 B 完成 70%~ 80%C 完成 60%以上。 四、知识链接: 直线与平面垂直的判定定理符号语言:

平面与平面垂直的判定定理符号语言:

线面角: 二面角: 五、学习过程: 问题 1:如图, 长方体 ABCD—A′B′C′D′中,棱 A A′、 B B′、 C C′、 D D′所在直线都垂直于平面 ABCD,它们之间具有什么位置关系?

a
问题 2:已知: a ? ? ,b ? ? 。求证:b∥ a
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b

直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号语言

作用:线面垂直 ? 线线平行 合作探究: 设直线 a ,b 分别在正方体 ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,欲使 b∥ a , a 、b 应 满足什么条件?

问题 3:黑板所在平面与地面所在平面垂直,你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢?

问题 4:如图,长方体 ABCD-A'B'C'D’中,平面 A'ADD’与平面 ABCD 垂直, 直线 A'A 垂直于其交线 AD, 平面 A'ADD’ 内的直线 A'A 与平面 ABCD 垂直吗?

问题 5:设 α ⊥β ,α ∩β =CD,AB ? α ,AB⊥CD,AB∩CD=B,研究直线 AB 与平面 β 的位置关系。

六、达标训练: A1. 71 页练习 1.2

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A2. 73 页练习 1.2

A3. 直线 b ? 直线 a ,直线 b ? 平面 ? ,则直线 a 与平面 ? 的关系是( A.



a ∥?

B a ??

C a ?? 或 a ∥ ?

D a ?? P F H E

B4.已知 PH⊥Rt△HEF 所在的平面,且 HE⊥EF,连结 PE、PF, 则图中直角三角形的个数是 ( ) A 1 B2 C 3 D4 B5.已知直线 a 、b 和平面 M、N,且 a ? M ,那么 (A)b∥M ? b⊥ a (B)b⊥ a ? b∥M (C)N⊥M ? a ∥N (D) a ? N ? M ? N ? ? ( )

B6.下列命题中,正确的是( ) A、过平面外一点,可作无数条直线和这个平面垂直 B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 C、若 a ,b 异面,过 a 一定可作一个平面与 b 垂直 D、 a ,b 异面,过不在 a ,b 上的点 M,一定可以作一个平面和 a ,b 都垂直. 七、小结与反思 直线与平面、平面与平面垂直的性质定理 线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。 【励志良言】世界上不可能的事情,是想出来的;世界上可能的事情,是做出来的。

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2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、学习目标: 知识与技能:使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理;能运用性质定理解决一些简 单问题;了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。 过程与方法:让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;性质 定理的推理论证。 情感态度与价值观:通过“直观感知、操作确认,推理证明” ,培养学生空间概念、空间想象能力以及 逻辑推理能力。 二、学习重、难点 重点:平面与平面垂直的性质及其应用。 难点:掌握两个平面垂直的性质及应用. 三、学法指导及要求: 1、限定 45 分钟完成,注意逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习 记忆。3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部,平行班完成 A.B 类题。 平行班的 A 级学生完成 80%以上 B 完成 70%~80%C 完成 60%以上。 四、知识链接: 直线和平面垂直的性质定理:

两个平面垂直的判定定理: 二面角的定义: 五、学习过程: 问题 1:黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?

问题 2:如图,长方体 ABCD-A'B'C'D'中,平面 A'ADD'与平面 ABCD 垂直, 直线 A'A 垂直于其交线 AD,平面 A'ADD’内的直线 A'A 与平面 ABCD 垂直 吗?

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探究 1:如图,设 α ⊥β ,α ∩β =CD,AB?α ,AB⊥CD,且 AB∩CD=B,我们看直线 AB 与平面 β 的 位置关系。

归纳得到平面与平面垂直的性质定理: 定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

想一想:用符号语言如何表述这个定理?

可以通过直线与平面垂直判定平面与平面垂直,平面与平面垂直性质定理说明,由平面与平面垂 直可以得到直线与平面垂直,这种直线与平面的的位置关系同平面与平面的位置关系的相互转化,是 解决空间图形的重要思想方法。

探究 2: 1.若两个平面垂直, 过其中一个平面内一点能否作另一个平面的垂线?这条直线与这个平面有何关系? 可作多少条这样的垂线?

2.练习:两个平面互相垂直,下列命题正确的是( ) A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面 D、过一个平面内任意点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 问题 3:思考:设平面α ⊥平面β ,点 P 在平面α 内,过点 P 作平面β 的垂线 a,直线 a 与平面α 具 有什么位置关系?

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例 1:如图,已知平面 α,β 满足 α⊥β,直线 a 满足 a ⊥β, a ?α,试判断直线 a 与平面α 的位置关系。

探究 3:已知平面 α,β,直线 a ,且 α⊥β,α∩β=AB, a ∥α, a ⊥AB,试判断直线 a 与平面β 的 位置关系?

六、达标检测: A1.P73 练习 1,2 题 A2.下列命题中,正确的是( ) A、过平面外一点,可作无数条直线和这个平面垂直 B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 C、若 a ,b 异面,过 a 一定可作一个平面与 b 垂直 D、 a ,b 异面,过不在 a ,b 上的点 M,一定可以作一个平面和 a ,b 都垂直. B3.空间四边形 ABCD 中,Δ ABD 与Δ BCD 都为正三角形,面 ABD⊥面 BCD,试在平面 BCD 内找一点,使 AE⊥面 BCD,请说明理由

七、小结与反思 请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容是什么? 类比这两节课学过的两个性质定理,你发现它们之间有何联系?

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《空间线面、面面关系》习题课 1
一、学习目标: 知识与技能:掌握线线、线面、面面关系的判断和性质; 过程与方法:应用线线、线面、面面关系的判断和性质关系来进行判断、证明和计算;提高解决问题 的能力。 情感态度与价值观:通过对线线、线面、面面关系的观察与理解培养空间想象力,提高思维的严密性 与完整性。 二、学习重、难点 学习重点: 空间线线、线面、面面关系。 学习难点: 空间线线、线面、面面关系的应用,线面角,二面角的计算平行、垂直的证明。 三、使用说明及学法指导: 1、先认真梳理空间线线、线面、面面关系等知识点,巩固线面角,二面角的计算方法和步骤,熟悉 平行、垂直的证明,注意逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法,及时整理在解题本上,多复习强 化记忆。 四、知识链接:1.空间线线关系:平行,相交,异面。2.线面关系:线在面内 ,线面相交,线面平行。 3.面面关系:平行,相交。2.线面平行的判定、性质;面面平行的判定、性质;线面、面面垂直的判 定、性质等定理。3.各种角如何计算。 五、学习过程:自主探究:题型一:有关线线、线面、面面关系的概念问题 例 1:A1 给出下列四个命题: ①如果 a,b 是两条直线,且 a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何平面; ②如果直线 a 和平面α 满足 a∥α ,那么 a 与平面α 内的直线不是平行就是异面, ③如果直线 a∥α ,b∥α ,则 a∥b ④如果平面α ∩平面β =a,若 b∥α ,b∥β ,则 a∥b 其中为真命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D .4 个 A2 平面α ∥平面β ,直线 a?α ,P∈β ,则过点 P 的直线中( ) A.不存在与α 平行的直线 B.不一定存在与α 平行的直线 C.有且只有—条直线与 a 平行 D.有无数条与 a 平行的直线 3 下列命题中为真命题的是( ) A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.垂直于同一条直线的两个平面平行 C.若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等,则这两个平面平行. D.若三直线 a、b、c 两两平行,则在过直线 a 的平面中,有且只有—个平面与 b,c 均平行. 题型二:有关线面、面面关系的判定与性质问题 E B 例 2 如图 6-79,△ABC 是正三角形,EA 和 DC 都垂直于平面 ABC,且 EA =AB=2a,DC=a, F,G 分别是 EB 和 AB 的中点。 求证:FG ? 平面 ABC;FD//平面 ABC。
D F A G

C

53

图 6- 79

B

B 例 3 如图, PA ? ABCD ,的中点.M、N 分别为 AB、PC 的中点 (1)求证: MN // 平面PAD ; (2)求证: MN ? CD ;

P

N

D

C

A

M

B

题型三:异面直线角、线面角、二面角的问题 A 例 4:正方体 ABCD ? A' B' C ' D' 中, AB 的中点为 M , DD ' 的中点为 N ,异面直线 B ' M 与 CN 所成的角是???????????????????( ) A. 0
?

B. 45

?

C. 60

?

D. 90

?

B 例 5:如图长方体中,AB=AD=2 3 ,CC1= 2 ,则二面 C1—BD—C 的大小为( 0 0 0 0 D1 (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 A1 D

) C1 B1

C A B C 例 6:四面体 ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45° , ∠SBC=60° , M 为 AB 的中点,求(1) BC 与平面 SAB 所成的角。 (2)SC 与平面 ABC 所成角的正切值。

六、达标检测 A1,给出以下命题: ①夹在两个平行平面间的线段,较长的与平面所成的角较小; ②夹在两个平行平面间的线段,如果它们的长度相等,则它们必平行; ③夹在两个平行平面间的线段,如果它的长度相等,则它们与平面所成的角也相等; ④在过定点 P 的直线中,被两平行平面所截得的线段长为 d 的直线有且只有一条,则两平行平面 间的距离也为 d 其中假命题共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 A2,经过平面 ? 外一点,作与 ? 平行的平面,则这样的平面可作( ) 50
-54-

A 1 个 或 2 个 B 0 个或 1 个 C 1个 D 0个 B3,经过平面 ? 外一点和平面 ? 内一点与平面 ? 垂直的平面有( ) A 0个 B 1个 C 无数个 D 1 个或无数个 B4,已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 B5,已知平面α ∥平面β ,且α 、β 间的距离为 d,l?α ,l′?β ,则 l 与 l′之间的距离的取值范围为 ( ) A. (d,∞) B. (d,+∞) C.{d} D. (0,∞) A6,在△ABC 中,AB=5,AC=7,∠A=60°,G 是重心,过 G 的平面α 与 BC 平行,AB∩α =M, AC∩α =N,则 MN___________ A7 过两平行平面α 、β 外的点 P 两条直线 AB 与 CD,它们分别交α 于 A、C 两点,交β 于 B、D 两 点,若 PA=6,AC=9,PB=8,则BD 的长为__________. B8,已知α ∥β 且α 与β 间的距离为 d,直线 a 与α 相交于点 A 与β 相交于 B,若 a 与α 所成的角=___________. B9, 已知点 A、B 到平面α 的距离分别为 d 与 3d,则 A、B 的中点到平面α 的距离为________. B10,已知长方体 ABCD ? A' B' C ' D' 中, AB ? 2 3 , AD ? 2 3 , AA' ? 2 , 求: (1) BC 与 A' C ' 所成的角是多少? (2) AA' 与 BC ' 所成的角是多少?
AB ? 2 3 d 3 ,则直线

B11,P 为 ?ABC 所在平面外一点,AP=AC,BP=BC,D 为 PC 的中点, 证明:直线 PC 与平面 ABD 垂直

C12,如图,PA⊥平面 ABC,AE⊥PB,AB⊥BC,AF⊥PC,PA=AB=BC=2(1)求证:平面 AEF⊥平面 PBC; (2)求二面角 P—BC—A 的大小; P F E A B 七、小结与反思 C

51
-55-

高一数学必修 2 导学案

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《空间线面、面面关系》习题课 2
一、学习目标: 知识与技能:掌握线线、线面、面面关系的判断和性质; 过程与方法:应用线线、线面、面面关系的判断和性质关系来进行判断、证明和计算; 情感态度与价值观:通过对线线、线面、面面关系的观察与理解培养空间想象力,提高思维的严密性 与完整性。提高解决问题的能力。 二、学习重、难点 学习重点: 空间线线、线面、面面关系。 学习难点: 空间线线、线面、面面关系的应用,线面角,二面角的计算平行、垂直的证明。 三、使用说明及学法指导: 1、先认真梳理空间线线、线面、面面关系等知识点,巩固线面角,二面角的计算方法和步骤,熟悉 平行、垂直的证明,注意逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习 记忆。3、对各类学生提出明明确要求 四、知识链接: 1.空间线线关系:平行,相交,异面。 线面关系:线在面内 ,线面相交,线面平行。 面面关系:平行,相交。 2.线面平行的判定、性质;面面平行的判定、性质;线面、面面垂直的判定、性质等定理。 3.各种角如何计算。 五、学习过程:自主探究:题型一:有关线线、线面、面面关系的概念问题 例 1:A1,若直线 l // 平面 ? ,直线 a ? ? ,则 l 与 a 的位置关系是 ( A. l // ? B. l 与 a 异面 ) C. l 与 a 相交 )

D. l 与 a 没有公共点

A2,下列命题正确的是( A.

a // b ? a ? ?? a ? ?? ? ? b // ? ; B. ? ? a // b ; C. ? ? b // ? ; a // ? ? b ??? a ? b?
D A
1 1

a // ? ? D. ? ? b ?? a ? b?
题型二:有关线面、面面关系的判定与性质问题 B 例 2: 如图 4,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的 中点. (1) 求证: EF∥平面 CB1D1; (2) 求证: 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1

C B
1 1

E A

D F 图4 B

C

-56-

题型三:异面直线角、线面角、二面角的问题 B 例 3:已知:平面α ∥平面β ,A、C∈α ,B、D∈β ,AC 与BD 为异面直线,AC=6,BD=8,A B=CD=10,AB与 CD 成 60°的角,求 AC 与BD 所成的角.

B 例 4:已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. (1)求证: C1O // 平面 AB1D1 ; (2 )求证: A1C ? 面 AB1D1 ; (3)求二面角 B-AB1-C 的正切值。

D1 A1 D O A
图5 六、达标检测 A1.下列命题中,正确的是( )

C1 B1

C B

A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 A2.给出四个命题:①线段 AB 在平面 ? 内,则直线 AB 不在 ? 内;②两平面有一个公共点,则一定 有无数个公共点;③三条平行直线共面;④有三个公共点的两平面重合 . 其中正确命题的个数为 ( )A、1 B、 2 C 、3 D、4 ) A3.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,则直线 AB1 与平面 ABC1D 所成的角是 ( C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行

A.90° B.60° C.45° D.30° A4. a ,b,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若 a ∥M,b∥M,则 a ∥b;②若 b ? M, a ∥b,则 a ∥M;③若 a ⊥c,b⊥c,则 a ∥b;④若 a ⊥M,b⊥M,则 a ∥b.其中正确命题的个数有 ( )A.0 个 B.1 个 C .2 个 D.3 个 B5.在四棱锥 A-BCDE 中,AB⊥底面 BCDE,且 BCDE 为正方形,则此四棱锥侧面与底面中互相垂直 的面有( ) A.6 对 B.5 对 C.4 对 D.3 对 )

B6.点 p 在平面 ABC 上的射影为 O,且 PA、PB、PC 两两垂直,那么 O 是△ABC 的 ( (A) 内心 (B) 外心 (C) 垂心
-57-

(D) 重心

B7. 已 知 PA 垂 直 平 行 四 边 形 ABCD 所 在 平 面 , 若 PC ? BD , 平 行 则 四 边 形 ABCD 一 定 是 . ;直线 AD1

B8.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,平面 AB1D1 和平面 BC1D 的位置关系为 与直线 BD 所成角的大小是 ;

C9.?、?是两个不同的平面,m、n 是平面?及?之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②? ⊥?;③n⊥?;④m⊥?以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一 个命题: . B10,如图: 平行四边形 ABCD 和平行四边形 CDEF有一条公共边CD , M 为 FC 的中点 , 证明: AF // 平面 MBD. A B

D

E

C B11.如图,正三棱柱 ABC-- A1 B1C1 中,D 是 BC 的中点,AB = a . (1) 求证: A1 D ? B1C1 (2) 判断 A 1 B 与平面 ADC 1 的位置关系,并证明你的结论 M C1

F A1 B1

C

D A

B

C12.如图,正三棱锥 A-BCD,底面边长为 a ,则侧棱长为 2 a ,E,F 分别为 AC,AD 上的动点,求截面 ?BEF 周长的最小值和这时 E,F 的位置.
A F E

D B

七、总结评价: 【金玉良言】勤学如春起之苗,不见其增,日有所长。

C

-58-

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3.1.1 直线的倾斜角与斜率
一、学习目标: 知识与技能:正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角 与斜率的关系. 过程与方法:理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 情感态度与价值观:通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观 察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.通过斜率概念的建立和斜率公式的推 导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态 度和求简的数学精神. 二、学习重、难点 学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围. 三、学法指导及要求: 1、认真研读教材 82---85 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题, 不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及 时整理在解题本,多复习记忆.(尤其是正切的三角函数值,斜率的计算公式必须牢记)3、A:自主学 习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部,平行班至少完成 A.B 类题.平行班的 A 级 学生完成 80%以上 B 完成 70%~80%C 力争完成 60%以上. 四、知识链接: 1:一次函数的图象的形状是---(一条直线) 2:确定一次函数的图象的条件是---(两个点) 3:锐角正切函数的定义--- (对边比邻边) 五、学习过程:问题的导入: 大家想一下当一高一矮两人抬一根圆木,会出现什么现象?(倾斜)本节课我们就重点研究有关直线 的倾斜问题. A 问题 1:对平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由那些条件确定?(两点) B 问题 2:一点能确定一条直线吗?经过一点的直线的位置能够确定吗?它的位置会怎样? (观察可以发现过一点有无数条直线并且它们发生了不同程度的倾斜) 直线在倾斜时与那个量有关? 怎样描述直线的倾斜程度呢? A 问题 3:什么是直线的倾斜角?它的范围怎样?写出并背熟,记牢倾斜角及范围! 当直线 L 与 x 轴垂直时, ? ?

A 问题 4:除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗?什么是直线的斜率?只有倾斜角或斜率能 确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件?

B 问题 5:直线的倾斜角和斜率有什么关系?它们是一一对应的吗?(牢记公式)
-59-

【温馨提示】 (1)

当? ? ( 0, 当? ? (

?
2

) 时,k ? 0, k随?的增大而增大, k也随?的增大而增大;

?
2

,? )时,k ? 0, k随?的增大而增大,但 k随?的增大而减小;

当? ? 0 时,k ? 0;当? ?

?
2

时,斜率不存在。

(2)平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角,但不是每一条直线都有,倾斜角为 90°的直线没有斜 率,在使用斜率来研究直线时,经常要对直线是否有斜率分情形讨论. (3)倾斜角和斜率都是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度的,倾斜角是直接反映这种倾斜程度 的,斜率等于倾斜角的正切值,在以后的学习中将体会到,研究直线时,使用斜率常常比使用倾斜角 更方便. B 问题 6:阅读教材 83---84 页探究如何由直线上的两点求直线的斜率呢?计算公式如何?(牢记公 式) 典型例题: A 例 1:已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB、BC、CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝 角还是锐角.

B 例 2:在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1、 -1、2 及-3 的直线 L1、L2、L3、L4

六、达标训练: A1.如图,图中的直线 l1、l 2、l3 、的斜率分别为 k1, k2 ,k3,则( )

y

l2 l3 x

l1 A. k1< k2 <k3 B. k3< k1 <k2 C. k3< k2 <k1 D. k1< k3 <k2 A2、若经过 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率为 1,则 m=( ) A、1 B、4 C、1 或 3 D、1 或 4 A3、若 A(3,-2) ,B(-9,4) ,C(x,0)三点共线,则 x=( ) A、1 B、-1 C、0 D、7 ? B4、直线 经过原点和(-1,1) ,则它的倾斜角为( ) A、45° B、135° C、45°或 135° D、-45° C5、△ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠BAC 的平分线在 x 轴上,求边 AB 与 AC 所在直线的斜率. C6、若经过点 P(1- a ,1+ a )和 Q(3,2 a )的直线的倾斜角为钝角,求实数 a 的取值范围.

七、小结与反思 1,掌握直线的倾斜角、斜率及二者关系,会进行倾斜角、斜率的有关运算. 【励志良言】日出唤醒大地,读书唤醒头脑
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直线的倾斜角与斜率习题课
一、学习目标: 知识与技能:理解直线的倾斜角和斜率的概念.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,能用直线的 倾斜角与斜率的关系来判定两条直线平行与垂直。 过程与方法:通过两条直线的位置去研究它们的倾斜角与斜率的关系,实现用代数方法解决几何问题 情感态度与价值观:(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学 生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.(2) 通过斜率概念的建立和斜率 公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨 的科学态度和求简的数学精神. 二、学习重、难点 学习重点:两条直线平行和垂直的判定,要求学生能熟练掌握,并灵活运用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围 三、学法指导及要求: 1、认真研读教材 82---85 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题, 不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及 时整理在解题本,多复习记忆.(尤其是正切的三角函数值,斜率的计算公式必须牢记)3、A:自主学 习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部,平行班至少完成 A.B 类题.平行班的 A 级 学生完成 80%以上 B 完成 70%~80%C 力争完成 60%以上. 四、知识链接: 1.直线的倾斜角的范围: 2. 直线的斜率: 3. 过 P( x1 , y1 )和 Q( x2 , y2 )的直线的斜率公式: 当 x1 = x2 时,直线斜率 4.k=0 时,直线 x 轴或与 x 轴 ;k>0 时,直线的倾斜角为 ,k 增大,直线的倾斜 角也 ;k<0 时,直线的倾斜角为 ,k 值增大,直线的倾斜角也 。 5. l1∥l2 ? ,;l1⊥l2 ? 五、学习过程: 题型一:已知两点坐标求直线斜率 经过下列两点直线的斜率是否存在,若存在,求其斜率 (1) (1,1),(-1,-2) (2) (1,-1),(-2,4) (3) (-2,-3),(-2,3) 题型二:求直线的倾斜角 设直线 L 过坐标原点,它的倾斜角为 ? ,如果将 L 绕坐标远点按逆时针方向旋转 45 ? ,得到直线 L1 那么 L1 的倾斜角为 ( ) A. ? ? 45? B. ? ? 135 ? C. 135 ? ? ? D. 当? ? ?0, ?)时,为? ? 45?;当? ? ?

3 4

?3 ?,?) ,为? ? 135? ?4

变式:已知直线 L1 的倾斜角为 ? ,则 L1 关于 x 轴对称的直线 L1 的倾斜角 ? = 题型三:斜率与倾斜角关系 当斜率 k 的范围如下时,求倾斜角 ? 的变化范围:

(1)k ? ?1

(2)k ? 1

(3) ? 3 ? k ? 3

题型四:利用斜率判定三点共线
-61-

已知三点 A(a,2) ,B(5,1) ,C(-4,2a)在同一条直线上,求 a 的值。

题型五:平行于垂直的判定 已知 A(1,-1) ,B(2,2) ,C(3,0)三点,求点 D 的坐标,使直线 CD ? AB, 且 CB//AD.

题型六:综合应用 已知两点 A(-3,4) ,B(3,2) ,过点 P(2,-1)的直线 L 与线段 AB 有公共点,求直线 L 的斜率 k 的 取值范围

变式:若三点 A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能够成三角形,求实数 k 的取值范围。

六、达标训练: A1.下列命题正确的个数是 ( ) 1) 若 a 是直线 L 的倾斜角,则 0? ? a ? 180 ? 2)若 k 是直线的斜率,则 k ? R 3)任一直线都有倾斜角,但不一定有斜率 4)任一直线都有斜率,但不一定有倾斜角 A.1 B.2 C.3 D.4 A2.直线 L 过 ( a, b) , (b, a ) 两点,其中 a ? b, ab ? 0 则 A.L 与 x 轴垂直 B. L 与 y 轴垂直 ( ) D.L 的倾斜角为 135 ?

C.L 过原点和一,三象限
-62-

B3.已知点 A(1,1 ? 2 3), B(?1,1) ,直线 L 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半, 则 L 的斜率为 (



A.1

B.

3 3

C. 3

D.不存在 ( )

B4.直线 L 经过二、三、四象限,L 的倾斜角为 a,斜率为 k,则

B..k cos a ? 0 C.k sin a ? 0 12 A5.已知直线 L 的倾斜角为 a , cos a ? ,则此直线的斜率为 13
B6.若 A(1 ? a,?5), B(a,2a),C (0,?a) 三点共线,则 a=

A.k sin a ? 0

D.k cos a ? 0


C7.已知四边形 ABCD 的顶点为 A(m, n), B(6,1),C (3,3), D(2,5) ,求 m 和 n 的值,使四边形 ABCD 为直角 梯形。

七、小结与反思

【励志良言】成功的人找方法,失败的人找借口;要成功就没有借口,要借口就不可能会成功。

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3.2.1 直线的点斜式方程
一、学习目标 1、知识与技能: (1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围; (2)能正确利用直线 的点斜式、斜截式公式求直线方程。 (3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2、过程与方法:在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角的 基础上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。 3、 情感态度与价值观:通过让体会直线的斜截式方程与一次函数的关系, 进一步培养数形结合的思想, 渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题。 二、学习重点、难点: (1)重点:直线的点斜式方程和斜截式方程。 (2)难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。 三、 使用说明及学法指导: 1、先浏览教材,再逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。 2、牢记直线的点斜式方程形式,注意适用条件。 3、要求小班、重点班学生全部完成,平行班学生完成 A、B 类问题。 四、知识链接: 1.直线倾斜角的概念 2. 直线的斜率 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为 90°, 它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 90°,另一条直线的倾斜角为 0°,两直线互相垂直. 五、学习过程: A 问题 1、在直角坐标系内确定一条直线,应知道哪些条件?

y P P0

O

x

B 问题 2、 直线 l 经过点 P , 且斜率为 k 。 设点 P( x, y) 是直线 l 上的任意一点, 请建立 x, y 0 ( x0 , y0 ) 与 k , x0 , y0 之间的关系。 A 问题 3、 (1)过点 P ,斜率是 k 的直线 l 上的点,其坐标都满足方程(1) 0 ( x0 , y0 ) (2)坐标满足方程(1)的点都在经过 P ,斜率为 k 的直线 l 上吗? 0 ( x0 , y0 )
-64-

B 问题 4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?

y

B 问题 5、 (1) x 轴所在直线的方程是什么? y 轴所在直线的方程是什么? (2)经过点 P 且平行于 x 轴(即垂直于 y 轴)的直线方程是什么? 0 ( x0 , y0 )

P0

y
(3) 经过点 P 且平行于 y 轴 (即垂直于 x 轴) 的直线方程是什么? 0 ( x0 , y0 )

O

x

P0

O

x

A例1直线 . l经过点P(-3,2),且倾斜角为? =45?,求直线l的点斜式方程,并画出直线l

A 问题 7、已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b) ,求直线 l 的方程。

B 问题 8、观察方程 y ? kx ? b ,它的形式具有什么特点?

B 问题 9、直线 y ? kx ? b 在 x 轴上的截距是什么?

B 问题 10、你如何从直线方程的角度认识一次函数 y ? kx ? b ? 一次函数中 k 和 b 的几何意义是什么?你能说出一次函数 y ? 2 x ? 1, y ? 3x, y ? ? x ? 3 图 象的特点吗?

B 例 2.直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 。试讨论: (1) l1l2 平行的条件是什么? (2) l1l2 垂直的条件是什么?

-65-

六、达标测试

A1.写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(3,-1)斜率是 2 ;(2)经过点B(- 2 ,2),倾斜角是30?; (3)经过点C(0,3),倾角是0 ?; (4)经过点D(-4,-2),倾角是120? A2.填空题 (1)已知直线的点斜式方程是y ? 2 ? x ? 1, 那么此直线的斜率是   ,倾斜角是 (2)已知直线的点斜式方程是y +2 ? 3 (x +1)那么此直线的斜率是   ,倾斜角是 , A3写出下列直线的斜截式方程: . 3 ,在y轴上的截距是-2;(2)斜率是-2,在y轴上的截距是4 2 A4.判断下列各对直线是否平行或垂直: 1 1 5 3 (1)l1 : y ? x ? 3, l2 : y ? x ? 2;(2)l1 : y ? x, l2 : y ? ? x 2 2 3 5 (1)斜率是

B5.过点(5,2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是____.(易错题) C6.经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求出这些直线的方程。

七、小结与反思

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3.2.2 直线的两点式方程
一、学习目标: 知识与技能: (1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点 及适用范围。 过程与方法:让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应 用获得新知识的特点。 情感态度与价值观: (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)培养学生用联系的观点看问题。 二、学习重点、难点: 1、 重点:直线方程两点式。2、难点:两点式推导过程的理解。 三、使用说明及学法指导: 注意逐字逐句仔细审题,认真思考阅读教材、独立规范作答。牢记直线方程的表达形式及解题方 法规律。平行班完成学案 AB 类问题. 四、知识链接: 过点 P ,斜率是 k 的直线 l 上的点,其坐标都满足方程 y ? 0 ( x0 , y0 ) 它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式。 斜截式方程: y ? kx ? b 理解“截距”与“距离”两个概念的区别.

y0 ? k ( x ? x0 )

五、学习过程: A 问题 1、利用点斜式解答如下问题: (1)已知直线 l 经过两点 P 1,2), P2 (3,5) ,求直线 l 的方程. 1( (2)已知两点 P 其中 ( x1 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 )

? x2 , y1 ? y2 ) ,求通过这两点的直线方程。

由于这个直线方程由两点确定,所以我们把它叫直线的两点式方程. B 问题 2、若点 P 中有 x1 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 )

? x2 ,或 y1 ? y2 ,此时这两点的直线方程是什么?

例 1 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与 y 轴的交点为 B (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 ,求直线 l 的 方程。

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B 例 2 已知三角形的三个顶点 A(-5,0) ,B(3,-3) ,C(0,2) ,求 BC 边所在直线的方程,以及 该边上中线所在直线的方程。

六、达标检测:

A1求过下列两点的直线的两点式方程 . ; (1)A(2,1),B(0,-3); (2)A(0,5),B(5,0)

A2.根据下列条件求直线的方程,并画出图形: (1)在x轴上的截距是2,在y轴上的截距是3; (2)在x轴上的截距是-5,在y轴上的截距是6.

B3.根据下列条件,求直线的方程: (1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2 (2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2

B4一条直线经过点(-2,2),并且与两坐标轴围成 . 的三角形的面积是1,求此直线的方程。

C5已知直线 . l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的 截距相等,求直线l的方程。

小结(1)到目前为止,我们所学过的直线方程的表达形式有多少种?它们之间有什么关系? (2)要求一条直线的方程,必须知道多少个条件? 七、小结与反思

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3.2.3 直线的一般式方程
一、学习目标: 1、知识与技能: (1)明确直线方程一般式的形式特征; (2)会把直线方程的一般式化为斜截式,进 而求斜率和截距; (3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。 2、过程与方法: 学会用分类讨论的思想方法解决问题。 3、情感态度与价值观: (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)用联系的观点看问题。 二、学习重点、难点: 1、重点:直线方程的一般式。 2、难点:对直线方程一般式的理解与应用。 三、使用说明及学法指导: 注意逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答。牢记直线方程常见的几种形式,比较各种直线方 程的形式特点和适用范围,多复习记忆。平行班完成学案的 AB 类题目. 四、知识链接:点斜式方程: y ?

y0 ? k ( x ? x0 )
y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1

斜截式方程: y ? kx ? b 两点式: 五、学习过程:

B 问题1(1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x, y 的二元一次方程表示吗? (2)每一个关于 x, y 的二元一次方程 Ax

? By ? C ? 0(A,B 不同时为 0)都表示一条直线吗?

我们把关于关于 x, y 的二元一次方程 Ax

? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)叫做直线的一般式方

程,简称一般式 B 问题 2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比,它有什么优点? C 问题 3、在方程 Ax

? By ? C ? 0 中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线
y 轴; (3)与 x 轴重合; (4)与 y 重合。

(1)平行于 x 轴; (2)平行于

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A 例 1 已知直线经过点 A(6,-4) ,斜率为 ?

4 ,求直线的点斜式和一般式方程。 3

A 例 2 把直线 l 的一般式方程 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率以及它在 x 轴与 y 轴 上的截距,并画出图形。

C 问题4、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系?直线与二元一次方程的解之间有 什么关系?

六、达标检测: 第99页 A 练习第1,2,3 习题3.2A 组1,10.

小结 (1)请学生写出直线方程常见的几种形式,并说明它们之间的关系。 (2)比较各种直线方程的形式特点和适用范围。 (3)求直线方程应具有多少个条件? (4)学习本节用到了哪些数学思想方法?

七、小结与反思
70

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3.3.1 两条直线的交点坐标
一、学习目标: 知识与技能:会求两直线的交点坐标,会判断两直线的位置关系。 过程与方法:通过两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法。掌握数形结合的方法。 情感态度与价值观:通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的内在的联系。能 够用辩证的观点看问题。 二、学习重点、难点: 学习重点: 判断两直线是否相交,求交点坐标。 学习难点: 两直线相交与二元一次方程的关系。 三、使用说明及学法指导: 1、先阅读教材 102—103 页,然后仔细审题,认真思考、独立规范作答。2、 、把学案中自己易忘、易 出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆。 (会解二元一次方程 组)3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部,平行班至少完成 A.B 类 题。平行班的 A 级学生完成 80%以上 B 完成 70%~80%C 力争完成 60%以上。 四、知识链接:1.直线方程有哪几种形式? 2.平面内两条直线有什么位置关系?空间里呢? 五、学习过程:自主探究 (一) 交点坐标: A 问题 1 已知两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 如何求它们的交点坐标呢?

A 例 1、求下列两条直线的交点坐标:l1:3x+4y-2=0

l2:2x+y+2=0

A 例 2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: l1:x-2y+2=0, l2:2x-y-2=0.

合作交流:C 例 3:求直线 3x+2y-1=0 和 2x-3y-5=0 的交点 M 的坐标,并证明方程 3x+2y-1+λ (2x-3y-5)=0(λ 为任意常数)表示过 M 点的所有直线(不包括直线 2x-3y-5=0) 。

71

A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2) =0 是过直 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 交点的直线系方程。 (二)利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系 B 问题 2 已知方程组 A1x+B1y+C1=0 (1) A2x+B2y+C2= 0 (2) 当 A1,A2,B1,B2 全不为零时,方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的什么位置关系?

B 例 4、判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点坐标: (1)l1:x-y=0, l2:3x+3y-10=0

(2)l1:3x-y+4=0, (3)l1:3x+4y-5=0,

l2:6x-2y=0 l2:6x+8y-10=0

六、达标检测 A1.教材 109 页习题 3.3A 组 1,2,3

B 2. 光线从 M(-2,3)射到 x 轴上的一点 P(1,0)后被 x 轴反射,求反射光线所在的直线方程。

B3 求经过两条直线 x+2y-1=0 和 2x-y-7=0 的交点,且垂直于直线 x+3y-5=0 的直线方程

七、小结与反思:会求两直线的交点坐标,会判断两直线的位置关系 【金玉良言】临渊羡鱼不如退而结网。

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3.3.2 点到直线的距离
一、学习目标: 知识与技能:让学生理解点到直线距离公式的推导,掌握点到直线距离公式及其应用,会用点到直线 距离求两平行线间的距离; 过程与方法:培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力,数形结合、转化(或化归)、等数学思 想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力; 情感态度与价值观:引导学生用联系与转化的观点看问题,了解和感受探索问题的方式方法,在探索 问题的过程中获得成功的体验 二、学习重点、难点: 学习重点: 点到直线距离公式及其应用. 学习难点: 发现点到直线距离公式的推导方法. 三、使用说明及学法指导: 1、先阅读教材 106—108 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,不会的 先绕过,做好记号。2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整 理在解题本,多复习记忆。 (尤其两点间的距离公式及点到直线的距离公式牢记)3、A:自主学习;B: 合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部,平行班至少完成 A.B 类题。平行班的 A 级学生 完成 80%以上 B 完成 70%~80%C 力争完成 60%以上。 四、知识链接:1.两点间的距离公式 特别的:原点 O 与任一点 P(x,y)的距离 OP ? x 2 ? y 2 2.平面内点与直线的位置关系有几种? 五、学习过程:自主探究 A 问题 1:已知点 P(x0,y0),直线 l:Ax+C=0,求点 P 到直线 的距离.

A 问题 2:已知点 P(x0,y0),直线 l:By+C=0,求点 P 到直线 的距离.

B 问题 3:已知点 P(x0,y0),直线 l:Ax+By+C=0,求点 P 到直线 的距离.

A 例 1 求点 P(-1,2)到直线①2x+y-10=0; ②3x=2; ③2y+3=0 的距离。

A 问题 4:两条平行直线间的距离的定义 A 问题 5:设直线 l1∥l2,如何求 l1 与 l2 之间的距离?

73

B 例 2 已知直线,l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-l=0,ll 与 l2 是否平行?若平行求 ll 与 l2 间的距离。 由上面的例题可知,两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离,取点时可考虑取 x 轴上的点 或 y 轴上的点,运算可以简便点。 B 问题 6:求 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 两平行线间距离公式 B 例 3 已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,C(-1,0) ,求△ABC 的面积

六、达标检测:A1.点 P(3,-2)到直线 l : 3x ? 4 y

? 25 ? 0

的距离为

B2.两条平行线

6 x ? 4 y ? ?5 与 y ?

3 x 2

间的距离是

B3.求平行线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离.

B4.直线经过原点,且点 M(5,0)到直线 l 的距离等于 3,求 l 的方程

B5.直线 l 过点(1,2)且两点(2,-3),(4,-5)到 l 的距离相等,求 l 的方程

C6△ABC 的一个顶点是 A(3,-1), ∠B, ∠C 的内角平分线所在的直线方程分别为 x=0 和 y=x,求 顶点 B、C 坐标· 。

七、小结与反思 掌握点到直线距离公式;会用点到直线距离求两平行线间的距离; 教师寄语 :一切伟大的行动和思想,都有一个微不足道的开始。

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直线的交点坐标与距离公式

习题课

知识与技能:掌握解方程组的方法,求两条相交直线的交点坐标。掌握两点间距离公式,点到直线距离公式,会求两 条平行直线间的距离。 过程与方法:利用数形结合,结合思维变式对学生培养方法选择能力 情感态度与价值观:(1)培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. (2)进一步理解数形结合思想,培养树立辩证统一的观点,培养形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 学习重点:直线的交点求法及距离公式的应用 学习难点:综合应用以及思想渗透 学法指导及要求: 1、重审教材,形成知识脉络。2、将直线的交点坐标与距离公式习部分曾做过的学案自己易忘、易出错的知识点 和疑难问题以及解题方法规律,按照本习题课的要求进行重整。3、加强自主学习、审慎合作探究、着重能力提升。 知识链接: 1、如果已知平面上两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2), P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 2、两相交直线的交点的坐标 3、点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)的距离为 d ?

Ax0 ? By0 ? C

A2 ? B 2 4、已知两条平行线 l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0(C1=C2).则 l1 与 l2 之间的距离为:d ?

C 2 ? C1 A2 ? B 2

基本类型问题概要
题型一:两点间距离公式的运用 已知三角形的顶点 A(-1,5)B(-2,-1)C(4,7)求 BC 边上的中线长。

题型二:点到直线距离的应用 求过点 P(-1,2)且与点 A(2,3)和 B(-4,5)距离相等的直线 l 的方程。

题型三:对称问题 求直线 y=-4x+1 关于点 M(2,3)对称的直线方程。

题型四:直线方程的应用 求经过直线 l?:3x+2y-1=0 和 l?:5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直线 l?:3x-5y+6=0 的直线 l 的方程

75

题型五:直线过定点问题及应用 1 由“y-y0=k(x-x0)”求定点 把含有参数的直线方程改写成 y-y0=k(x-x0)的形式,这样就证明了它所表示的所有直线必过定 点(x0,y0) 2 由“l1+λl2=0”求定点 在平面上如果已知两条相交直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0,则过 l1、l2 交点的直线系 方程是:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 其中 λ 为参数,并简写为 l1+λl2=0. 根据这一道理,可知如果能把含有参数的直线方程改写成 l1+λl2=0 的形式,这就证明了它表示的 直线必过定点,其定点的求法可由 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 解得。 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
达标训练



)A 1. 已知直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 和 6 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,则它们之间的距离是:

A.4 (

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 13 26

)B 2. 入射光线线在直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 上,经过 x 轴反射到直线 l2 上,再经过 y 轴反射 到直线 l3 上,则直线 l3 的方程为: A. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 6 ? 0



)A 3. 若直线 5x ? 4 y ? 2m ? 1 与直线 2 x ? 3 y ? m 的交点在第四象限,则 m 的取值范围是: A. m ? 2 B. m ?

3 2

C. m ? ?

3 2

D. ?

3 ?m?2 2



)B 4. 直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 经过一定点,则该定点的坐标为:

1) A. (?2,

1) B. (2,

, ? 2) C. (1

, 2) D. (1

A 5. 设点 P 在直线 x ? 3 y ? 0 上,且 P 到原点的距离与 P 到直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离相等, 则点 P 坐标是 .

2) , B(?1, 5) , C 点在直线 3x ? y ? 3 ? 0 上,若 △ ABC 的面积为10 , B 6. 已知 △ ABC 中, A(3,
则点 C 坐标为 .

3) 到直线 l 的距离为 3 2 ,求直线 l 的方程. B 7. 直线 l 在两坐标轴上的截距相等,且 P(4,

7676

B 8. 一直线过点 P(2, 0) ,且点 Q(?2,

4 3 ) 到该直线距离等于 4 ,求该直线倾斜角. 3

A 9. 求经过两直线 l1 :x ? 2 y ? 4 ? 0 和 l2 :x ? y ? 2 ? 0 的交点 P , 且与直线 l3 :3x ? 4 y ? 5 ? 0 垂 直的直线 l 的方程.

B 10. 试求直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 ,关于直线 l2 : 3x ? y ? 3 ? 0 对称的直线 l 的方程.

1) ,求 B 11. 直线 l 与直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 , 2 x ? y ? 8 ? 0 分别交于点 M , N ,若 MN 的中点是 (0,
直线 l 的方程.

4) , B(2,3) ,在 x 轴上找一点 P ,使 PA ? PB ,并求 PA 的值; B12.已知 A(?3,

小结与反思:

7777

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直线的方程习题课
一、学习目标

1、知识与技能: (1)掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式,
并能根据条件熟练地求出直线的方程. (2) 理解直线方程几种形式之间的内在联系, 能在整体上把握直线的方程. (3) 掌握直线方程各种形式之间的互化.

2、过程与方法:在应用旧知识的探究过程中获得新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情感态度与价值观; (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)培养用联系的观点看问题。 二、学习重点、难点:

(1)重点:直线方程的点斜式、两点式、一般式,以及根据具体条件求出直线的方程. (2)难点:直线方程特殊形式的限制条件,直线方程的整体结构,直线与二元一次方程的关系证明. 三、 使用说明及学法指导:
1、先浏览教材,再逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。2、把学案中自己易忘、 易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律, 及时整理在解题本, 多复习记忆。3、 要求小班、 重点班学生全部完成, 平行班学生完成 A、B 类问题。4、A 类是自主探究,B 类是合作交流。

四、知识链接: 1、求直线斜率的方法 ①定义法:已知直线的倾斜角为α ,且α ≠90°,则斜率 k=tanα . ②公式法:已知直线过两点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,且 x1≠x2,则斜率 k= 2. 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式及适用范围。

y 2 ? y1 . x 2 ? x1

3、两条直线的位置关系

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注:与直线 Ax+By+C=0 平行的直线的方程是 Ax+By+m=0 与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线的方程是 Bx-Ay+n=0 五、学习过程: A 例 1.(点斜式) 直线 l 在 y 轴上的截距为 3,且倾斜角 ? 的正弦值为

4 ,求直线 l 的方程。 5

注:1.求解本例时不要混淆概念,倾斜角应在 [0 , ? ) 内,从而 cos ? 有两个解。 2.在求直线方程时,不论选取何种方法,最后为统一形式,均化为直线方程的一般式. A 例 2(截距式. 斜截式. 两点式)已知△ABC 的三个顶点是 A(3,-4) 、B(0,3) 、C(-6,0) ,求 它的三条边所在的直线方程.

A 例 3. (注意直线方程的设法) 求经过两条直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点,且分 别与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 (1)平行, (2)垂直的直线方程。

C 例 4.(对称问题)已知点 A 的坐标为(-4,4) ,直线 l 的方程为 3 x + y -2=0,求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 l 关于点 A 的对称直线 l ? 的方程.

练习:一条光线从点 P(6,4)射出,与 X 轴相交于点 Q(2,0),经 X 轴反射,求入射光线和反射光线所在的 直线方程.(书 101 页 11)

-79-

六、达标测试 A1.下面命题中正确的是??????( ) A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示. B.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示 C.不经过原点的直线都可以用方程

x y ? ? 1 表示 a b
) D.-2,-3

D.经过点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 A2.直线 x+6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是( A. 2 ,

1 3

B. ?2 ,?

1 3

C. ?

1 ,? 3 2

A3.直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为( ) (A)2x-3y=0; (B)x+y+5=0; (C)2x-3y=0 或 x+y+5=0 (D)x+y+5 或 x-y+5=0 A4.与直线 l:3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为( ) (A)3x+4y-5=0 (B)3x+4y+5=0 (C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0 A5.点 ( a, b) 关于直线 x+y=0 对称的点是( A、 (?a, ?b) B 、 (a, ?b) ) C、 (b, a ) D、 (?b, ?a)

A6.直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平 1 个单位后,又回到原来位置,那么 l 的 斜率为( )

(A)- ;

1 3

(B)-3;

(C) ;

1 3

(D)3 ( )

B7.方程( a -1)x-y+2 a +1=0( a ∈R)所表示的直线 A.恒过定点(-2,3) B.恒过定点(2,3) C.恒过点(-2,3)和点(2,3) D.都是平行直线 A8.以 A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(




3x-y-8=0 3x-y+6=0

B 3x+y+4=0 D 3x+y+2=0 。

C

A9.已知 P(3,m )在过 M(2,-1)和 N(-3,4)的直线上,则 m 的值是
A10. ??? C 的三个顶点分别为 ?

? ?3,0? , ? ? 2,1? , C ?1,6? .求 ?C 边上中线 ?D 所在的直线方程

总结评价 学后反思、自查自纠: 【励志良言】当你感到悲哀痛苦时,最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。

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4.1.1 圆的标准方程
一、学习目标 知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆 的标准方程。 过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方 程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 二、学习重点、难点: 学习重点: 圆的标准方程 学习难点: 会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 三、使用说明及学法指导: 1、先阅读教材 118—120 页,然后仔细审题,认真思考、独立规范作答。2、不会的,模棱两可的问 题标记好。3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成 90℅以上,平行班完成 80℅以上 四、知识链接: 1.两点间的距离公式? 2.具有什么性质的点的轨迹称为圆?圆的定义? 平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径. 五、学习过程:(自主探究) A 问题 1 阅读教材 118 页内容,回答问题 已知在平面直角坐标系中,圆心 A 的坐标用(a,b)来表示,半径用 r 来表示,则我们如何写出圆的 方程?

问题 2 圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么? 例 1:1 写出下列各圆的方程: (1)圆心在原点,半径是 3; (2) 圆心在 C(3,4),半径是 5

(3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3); 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径: 2 2 2 2 (1) (x-1) + y = 6 (2) (x+1) +(y-2) = 9 (3) ( x ? a) ? ( y) ? a
2 2 2

例 2: 写出圆心为 A(2, ?3) 半径长等于 5 的圆的方程, 判断 M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否在这个圆上。

-81-

问题 3 点 M0(x0,y0)在圆(x-a) +(y-b) =r 上、内、外的条件是什么? 例 3 △ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8), 求它的外接圆的方程

2

2

2

例 4 已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为 C 的圆的标 准方程.

注:比较例 3、例 4 可得出 △ABC 外接圆的标准方程的两种求法: 1.根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的标准方程. 2.根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测 1、已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3),求以 P1P2 为直径的圆的方程,试判断点 M(6,9)、N(3,3)、 Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外?

2、求圆心 C 在直线 x+2y+4=0 上,且过两定点 A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。

3、从圆 x +y =9 外一点 P(3,2)向该圆引切线,求切线方程。

2

2

4、求以 C(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的方程.

C5. 求过点 A(3,2),圆心在直线 y=2x 上,且与直线 y=2x+5 相切的圆的方程:

七、小结与反思 ①圆的方程的推导步骤:建系设点→写条件→列方程→化简→说明 ②圆的方程的特点:点(a,b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径; ③求圆的方程的两种方法: (1)待定系数法;确定 a,b,r; 【金玉良言】临渊羡鱼不如退而结网。
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4.1.2 圆的一般方程
一、学习目标: 知识与技能:(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方 2 2 程确定圆的圆心半径.掌握方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件.(2)能通过配方等手段,把圆的 一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程。(3)培养学生探索发现及分析解决问题的 实际能力。 2 2 过程与方法:通过对方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析解决 问题的实际能力。 情感态度与价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生勇 于创新,勇于探索。 二、学习重点、难点: 学习重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定 方程中的系数 D、E、F. 学习难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用. 三、学法指导及要求: 1、认真研读教材 121---123 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,不 会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时 整理在解题本,多复习记忆. 3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部, 平行班至少完成 A.B 类题.平行班的 A 级学生完成 80%以上 B 完成 70%~80%C 力争完成 60%以上. 四、知识链接:圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 圆心 ( a, b) ;半径:r. 五、学习过程:问题的导入: 2 2 2 2 问题 1: 方程 x +y -2x+4y+1=0 表示什么图形?方程 x +y -2x-4y+6=0 表示什么图形? 问题 2:方程 x +y +Dx+Ey+F=0 在什么条件下表示圆? 问题 3:什么是圆的一般方程? 问题 4:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 典型例题: 例 1:求过三点 O(0,0)M1(1,1)M2(4,2)的圆的方程
2 2

例 2:已知:线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在(x+1) +y =4 上运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

2

2

变式:已知一曲线是与两个定点 O(0,0) ,A(3,0)距离比为 线。 六、达标检测
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1 的点的轨迹,求此曲线的方程并画出曲 2

1,已知方程 x +y +kx+(1-k)y+ A k>3 B
k ? ?2

2

2

13 =0 表示圆,则 k 的取值范围 ( 4 C -2<k<3 D k>3 或 k<-2
) D.半圆

)

2,方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1)2 表示的曲线是( A.一个圆 B.两个半圆

C.两个圆

3,动圆 x2 ? y 2 ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m2 ? 4m ? 1 ? 0 的圆心的轨迹方程是 4,如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么 5,求下列各题的圆心坐标、半径长 2 2 (1)x +y -6x=0 (2) x +y +2by=0 (3) x +y -2 a x-2 3 y+3 a =0
2 2 2 2 2

.

y 的最大值是________。 x

6,下列各方程各表示什么图形? 2 2 (1)x +y =0 (2)x +y -2x+4y-6=0 (3) x +y +2 a x-b =0
2 2 2 2 2

7,已知圆 C:x?+y?-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1)求直线 AB 的方程

七、小结与反思 掌握圆的一般方程的形式,理解其特点,能确定出圆心坐标和半径。 【励志良言】知识改变命运,勤奋造就人生!

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4.2.1 直线与圆的位置关系
一、学习目标: 1、知识与技能:(1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式 求圆心到直线的距离; (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 2、过程与方法:通过学习直线与圆的位置关系,掌握解决问题的方法――代数法、几何法。 3、情感态度与价值观:让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学生数形结合的 思想. 二、学习重、难点: 重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 三、学法指导及要求 1、认真研读教材 126---128 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,研究 最佳答案准备展示,不会的先绕过,做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习 记忆。 (尤其是直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法必需牢记) 3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升 4、 小班、重点班完成全部,平行班完成 A.B 类题。 平行班的 A 级学生完成 80%以上 B 级完成 70%~ 80%C 级力争完成 60%以上。 四、知识链接 1、点和圆的位置关系有几种? 设点 P(x0,y0),圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到 P(x0,y0) 的距离为 d,则 点在圆内 (x0 -a)2+(y0 -b)2<r2 点在圆上 (x0 -a)2+(y0 -b)2 =r2 点在圆外 (x0 -a)2+(y0 -b)2>r2 d<r, d=r, d>r. 轮船 港口

问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西 70KM 处,受 影响的范围是半径为 30KM 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 40KM 处,如果轮船不改变航线, 那么这艘轮船是否会受到台风的影响? 五、学习过程 A 问题 1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类? A 问题 2.直线与圆的位置关系有哪几种呢? A 问题 3.在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?

例1 已知直线l : 3x ? y ? 6 ? 0和圆心为C的圆x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0, 试判断直线l与圆的位置 关系; 如果相交, 求它们交点的坐标.

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B 问题 4.你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗?

例2已知过点M (?3, ?3)的直线l被圆x2 ? y2 ? 4 y ? 21 ? 0所截得的弦长为4 5, 求直线l的方程.

C例3 .已知圆C : x 2 ? y 2 ? 4和直线l : y ? x ? b ,b为何值时, 直线l与圆C

?1? 相交,? 2? 相切, ? 3? 相离.

六、达标检测 A1. 1、从点 P(x.3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1 作切线,则切线长度的最小值是( A. 4 B. 2 6 C.5 D. 5.5 ) )

A2、M(3.0)是圆 x2+y2-8x-2y+10=0 内一点,则过点 M 最长的弦所在的直线方程是( A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0 )

B3、直线 l: x sin ? ? y cos ? ? 1 与圆 x2+y2=1 的关系是( A.相交 B.相切 C. 相离 D.不能确定

B4、设点 P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4 内部一点,则以 P 为中点的弦所在的直线方程是_______ B5.已知直线 y=x+1 与圆 x ? y ? 4 相交于 A,B 两点,求弦长|AB|的值
2 2

七、小结与反思 【教师寄语】长风破浪会有时,直挂云帆济沧海 !

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4.2.2 圆与圆的位置关系
一、学习目标: 知识与技能:(1)理解圆与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的 连心线长; (3)会用连心线长判断两圆的位置关系. 过程与方法:用类比的思想研究圆与圆的位置关系,进一步将这些直观的事实转化为数学语言。 情感态度与价值观:通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养数形结合的思想. 二、学习重点、难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系. 三、学法指导及要求: 1、认真研读教材 129---130 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,研究 最佳答案准备展示,不会的先绕过,做好记号。2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以 及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆。 (尤其是:圆与圆的位置关系的几何图形及其判 断方法必需牢记)3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部,平行班完 成 A.B 类题。平行班的 A 级学生完成 80%以上 B 级完成 70%~80%C 级力争完成 60%以上。 四、知识链接 1.直线与圆的位置关系: 相离、相交、相切 2.判断直线与圆的位置关系有哪些方法? (1)根据圆心到直线的距离; (2)根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数; 3.圆与圆的位置关系有哪几种?(作图说明)

如何根据圆的方程判断圆与圆的位置关系,我们将进一步探究. 五、学习过程 A 问题 1:圆与圆的位置关系 两个大小不等的圆,其位置关系有内含、内切、相交、外切、外离等五种,在平面几何中,这些位置 关系是如何判定的?

B 问题 2:判断圆和圆的位置关系的方法 (1)几何法

(2)代数法 B 问题 3:已知两圆 C1:x +y +D1x+E1y+F1=0 和 C2:x +y +D2x+E2y+F2=0,用上述方法判断两个 圆位置关系的操作步骤如何?
2 2 2 2

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B 例 1、已知圆 C1 : x +y +2x+8y-8=0 和 圆 C2 :x +y -4x-4y-2=0,试判断圆 C1 与圆 C2 的位置 关系.

2

2

2

2

六、达标测试 A1、判断下列两圆的位置关系:

(1)(x+2)2+(y-2)2=1 与(x-2)2+(y-5)2=16 (2)x2+y2+6x-7=0 与 x2+y2+6y-27=0

B2、x +y =m 与圆 x +y +6x-8y-11=0 相交,求实数 m 的范围 2 2 A3、已知以(-4,3)为圆心的圆与 x +y =1 相切,求圆 C 的方程.

2

2

2

2

C4、求过点 A(0,6)且与圆 x +y +10x+10y=0 切于原点的圆的方程。

2

2

C5、求与点 A(1,2)的距离为 1,且与点 B(3,1)的距离为 2 的直线共有

条。

七、小结与反思 【励志金语】不经一番风霜苦,哪得梅花放清香!

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4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、学习目标: 知识与技能:(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质; (2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位 置关系; (3)会用“数形结合”的数学思想解决问题. 过程与方法:用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表 示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第 三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 情感态度与价值观:让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与 解决问题的能力. 二、学习重点、难点: 学习重点:直线与圆的方程的应用. 学习难点:直线与圆的方程的应用时,坐标系的建立、方程的确定。 三、学法指导及要求: 1、认真研读教材 130---132 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题, 不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及 时整理在解题本,便于复习记忆. 3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成 全部, 平行班至少完成 A.B 类题.平行班的 A 级学生完成 80%以上 B 完成 70%~80%C 力争完成 60% 以上. 四、知识链接: 1,回忆各种直线方程的形式,说清其特点及不足。 2 2 2 2,圆的标准方程是:(x-a) +(y-b) =r 圆心(a,b);半径:r. 3,你能说出直线与圆的位置关系吗? 五、学习过程 问题的导入: 问题 1: 你能举几个关于直线与圆的方程的应用的例子吗? 直线与圆的方程的应用是非常广泛的,下面我们看几个例子 典型例题 1.标准方程问题: 2 2 例 1:圆(x-2) +(y+3) =4 上的点到 x-y+2=0 的最远距离 最近的距离 。 2 2 2.轨迹问题:例 2:过点 A(4,0)作直线 L 交圆 O:x +y =4 于 B,C 两点,求线段 BC 的中点 P 的轨迹方程

3.弦长问题:例 3: 直线 L 经过点(5,5),且和圆 x +y =25 相交,截得的弦长为 4 5 , 求直线 L 的方
2 2

程。

4.对称问题:例 4:求圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 关于点 ? 2, 2 ? 对称的圆的方程.
2 2

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5.实际应用问题 例 5:下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度 AB=20cm,拱高 OP=4m,建造时每间 隔 4m 需要用一根支柱支撑,求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01m).

P2 P
4m

A
6.用代数法证明几何问题

A1

A2 O A3

A4

B

例 6. 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直, 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.

B C O A

D

六、达标检测 2 2 A1,求直线 l :2x-y-2=0 被圆 C:(x-3) +y =9 所截得的弦长 2 2 B2,圆(x-1) +(y-1) =4 关于直线 L:x-2y-2=0 对称的圆的方程 B3,赵州桥的跨度是 37.4m,圆拱高约 7.2m,求拱圆的方程 B4, 某圆拱桥的水面跨度 20m, 拱高 4m。 现有一船, 宽 10m, 水面以上高 3m, 这条船能否从桥下通过?

C4,等边△ABC 中,D,E 分别在边 BC,AC 上,且∣BD∣= P,求证:AP⊥CP

1 1 ∣BC∣,∣CE∣= ∣CA∣,AD,BE 相交于点 3 3

七、小结与反思 利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题;用坐标法解决平面几何问题. 【励志金语】我的未来我把握,我的人生我设计!

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圆的习题课
一、学习目标: 1、知识与技能:使学生掌握圆的各种方程的特点,能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程, 能 运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,熟悉直线与圆,圆与圆的关系并能应用。 2、过程与方法:能根据不同的条件,利用待定系数法、定义法求圆的标准方程,用转化法求轨迹 。 3、情感态度与价值观:能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题,培养学生的应用意识。 二、学习重点、难点: 学习重点:圆的各种方程、直线与圆,圆与圆的关系及应用。 学习难点:圆的方程的应用。 三、使用说明及学法指导: 认真复习总结、积累圆的各种方程、直线与圆,圆与圆的关系等重要知识点,数形结合、分类讨论, 待定系数法等思想方法。要通过解题积累经验,总结方法,融会贯通。 四、知识链接: 1、圆的标准方程 : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 2、圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0 3、点和圆的位置关系: 设圆 C∶ ( x ? a) 2 ? ( x ? b) 2 ? r 2 ,点 M 到圆心的距离为 d,则有: (1)d>r 点 M 在圆外;(2)d=r 点 M 在圆上;(3)d<r 点 M 在圆内. 4、直线和圆的位置关系:如果⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,则有 (1)直线 l 与⊙O 相交 <=>d<r(2)直线 l 与⊙O 相切 <=>d=r(3)直线 l 与⊙O 相离 <=>d>r。 五、学习过程 典型题精炼:1. 如何判断点与圆的位置关系? 例题 1:已知点 P(-2, 4)和圆 C x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 9 ? 0 , 试判断点 P 和圆 C 的位置关系.

练习:点 P(-4, 3)和圆 x ? y ? 24 的位置关系是(
2 2



A. P 在圆内 B. P 在圆外 C. P 在圆上 D. 以上都不对 2. 如何判断直线与圆的位置关系? 例题 2:当 a(a >0)取何值时,直线 x+y-2a+1=0 与圆 x2+y2- 2ax+2y+a2-a+1=0 相切,相离,相交?

? x ? 2 cos ? , 练习:圆 ? 和 3x-4y=9 的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
A. 相切 B. 相离 C. 直线过圆心



D. 相交但直线不过圆心
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3、直线与圆的交点弦长: 例题 3:已知圆的方程是 x2+y2 =2,它截直线 y= x+1 所得的弦长是 4、如何判断圆与圆的位置关系? 例题 4:圆 C1: x2+y2- 6y=0 和圆 C2: x2+y2- 8x+12=0 的位置关系如何?

5、求圆的方程的常用方法: 例 5:(1). 一个圆经过点 P( 2,-1 ), 和直线 x- y =1 相切,并且圆心在直线 y=- 2x 上,求这个圆的方程. (2). 已知两点 A( 4 , 9 ) 和 B( 6 , 3 )两点, 求以 AB 为直径的圆的方程. 练习: (1). 圆 C 的圆心为 ( 2 , -1 ) ,且截直线 y = x- 1 所得弦长为 2 2 , 求圆 C 的方程.

6、求圆的切线的常见形式: 例 6: (1). 求过点 P( -3 , 2 ),与圆 x2+y2=13 相切的直线方程. (2). 求过点 P( -5 , 9 ),与圆(x+1)2+ (y-2) 2=13 相切的直线方程. (3). 设圆的方程 x2+y2=13,它与斜率为 ? 2 的直线 l 相切 , 求直线 l 的方程.
3

7、求最值问题:已知实数 x , y 满足方程 x2+y2-4x+1=0. (1) 求

y 的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最小值; (3)求 x2+y2 的最大值和最小值. x

【课后反思】 【教师寄语】宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来。

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高一数学必修 2 导学案答案
【答案 01】棱柱、棱锥、棱台的结构特征
问题 1 :若干个平面多变性能够围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 问题 2:一个平面图形绕它旋转所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这 条定直线叫做旋转体的轴。 问题 3:两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这 些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称底;其余各面叫做棱柱的侧 面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与地面的公共顶点叫做棱柱的顶点。四棱柱表示为棱柱 AC′,按边分三、四、五棱柱。按侧棱分直棱柱、斜棱柱、正棱柱。 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这 个多边形面叫做棱锥的底面;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱 锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。四棱锥表示为棱锥 S-ABCD 按边分三、四、五棱锥, 按底面多边形分正棱锥,一般棱锥。 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。 四棱台表示为棱台 ABCD-A′B′C′D′按边分三、四、五棱台,按底面多边形分正棱台,一般棱台。 问题 4:四棱柱(底面变成平行四边形)→平行六面体(侧棱与底面垂直)→直平行六面体(底面为 矩形)→长方体(底面为正方形)→正四棱柱(侧棱与底面边长相等)→正方形。 问题 5: (1)不一定是,例: (2)不是,如五棱柱等 例 1:是 例 2:3 个 达标检测:1.A 2.A 3.A 4.A 5.C 6.D 7.

【答案 02】圆柱、锥、台、球、组合体的结构特征
问题 1:它们都是旋转体 问题 2:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做 圆柱的轴,垂直与轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面,平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 侧面,不垂直与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。表示圆柱 OO′。 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。表 示为圆锥 SO。 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台。表示为 OO′。 问题 3:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体。半圆的圆心叫 做球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。表示为球 O。 问题 4:由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体;一种是由简单几何体拼接而成;一种是由 简单几何体截去或挖去一部分而形成。 例 1 解:把圆柱的侧面沿 AB 剪开,然后展开成平面图形(矩形),连接 AB′ 则 AB′即为蚂蚁爬行的最短距离
-93-

AB′= 2 1 ? ? 2 例 2:8cm B B′ 达标训练: 1.A 2.D 3.C 4.C 5.C 6.D 7.8 倍

【答案 03】空间几何体的三视图
问题 1:由于光的照射,在不透明的物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影。 光线叫做投影线,留下物体影子的屏幕叫做投影面。 问题 2:光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影;在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投 影。 问题 3:光线从几何体的前面向后面的正投影等到的投影图叫做几何体的正视图;光线从几何体的左 面向右面的正投影等到的投影图叫做几何体的侧视图; 光线从几何体的上面向下面的正投影等到的投 影图叫做几何体的俯视图。 例 1:见教材 12 页 长对正,高平齐,宽相等。 例 2:见教材 13 页 达标训练: 1.D 2.C

【答案 04】空间几何体的直观图
例 1:见教材 16 页 例 2:见教材 17 页 例 3:见教材 18 页 达标训练:1.A 2.

6a 2 16

【答案 05】空间几何体结构 周测试
1.D 2.C 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.D 9.B 10.A11. 74 12. 2 13.B 14. ②④

15.解:设长方体的长、宽 、高分别为: a、b、c. 由已知得: 2ab ? 2bc ? 2ac ? 11,4a ? 4b ? 4c ? 24 l ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 ? (2ab ? 2bc ? 2ac) ? 5
16. (1)解:设所求圆柱的底面半径为 r,则

r 6? x x ? , 即r ? 2 ? 2 6 3 2 ? S ? 2r ? x ? ? x 2 ? 4 x 3
(2)当 x=3 时, S max ? 6

【答案 06】空间几何体的表面积和体积
问题 1: 棱柱的侧面展开图是由多个长方形组成的平面图形. 棱锥的侧面展开图是由多个三角形组成 的平面图形. 棱台的侧面展开图是由多个梯形组成的平面图形.所以棱柱、棱锥、棱台都是由多个
-94-

平面图形围成的几何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面积就是计算它的各个侧面 面积和底面面积之和。 例 1 :分析:我们知道四面体的展开图是由四个全等的正三角形所组成的;那么我们就解:

先求?ABC 的面积,易求 S?ABC ?

3a 2 3a 2 ?四面体S - ABC 的表面积 S ? 4? ? 3a 2 问 题 4 4

圆柱的侧面展开图是矩 形S表 ? 2?r 2 ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2: 圆锥的侧面展开图是扇 形S表 ? ?r 2 ? ?rl ? ?r (r ? l )

圆台的侧面展开图是扇 环S表 ? ? (r ' 2 ? r 2 ? r ' l ? rl )
例 2:解:由圆台的表面积公式得花盆外壁的表面积

S ? ? ? [(

15 2 15 20 1.5 ) ? ? 15 ? ? 15] ? ? ? ( ) 2 ? 1000 (cm 2 ) ? 0.1(m 2 ) 2 2 2 2

柱体体积:V ? Sh
问题 3: 椎体体积:V ?

1 Sh 3 1 台体体积:V ? ( S ? SS ' ? S ' )h 3

例 3:解:六角螺帽的体积是六棱住体积与圆柱体积的差,即

V?

3 10 2 ? 122 ? 6 ? 10 ? 3.14 ? ( ) ? 10 ? 2.956(cm3 ) 4 2

? 螺帽的个数为 5.8 ? 1000? (7.8 ? 2.956) ? 252
达标训练:1.D 2.D 3.D 4.D 5.A 6. 16? 7.28

【答案 07】球的体积和表面积
知识链接:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球. 半圆的半径在球体中分别叫做球的半径.设球的半径为 R,截面圆半径为 r,球心与截面圆圆心的距离 为 d,则 R、r、d 三者之间的关系 r 问题 1:答案见教材 32 页 问题 2: V ?

? R2 ? d 2

4 ? R 3 , S ? 4? R 2 3

例 1:见教材 27 页 例 2: V ?

4 4 5 125 ? R 3 ? ? ? ( )3 ? ? cm3 3 3 2 6

变式 1: 解:设空心钢球的内径为 2xcm,则钢球的质量是
-95-

4 5 4 7.9 ? [ ? ? ( )3 ? ? x3 ] ? 142 3 2 3 ? 2 x ? 4.5
达标测试: 1----4 10. 12 CBBD5. 8 11. 2500? 6. 32 3? 7. 50? 8. 1 : 2 2 : 3 3 9.

3 :9

1:3

【答案 08】空间几何体习题课
例 1. (1)C (2)D 例 2. A 例 3. D 例 4. C 例 5. B 例 6. B

达标测试: 1---6 CADBA

a 7. 2 3?
【答案 09】平面

S ? 4?
8.

2 2? V? 3

9.

148 ? 3

10. 2? ( 3 ? 1)

问题 1. 生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面,黑板面,海面都给我们以平面的印象,几何里所说 的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的。 0 问题 2. 水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) D C α A B 问题 3. 平面的表示平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平 面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画 β β

α

α

A ??
问题 4. A ? ? 例 1、? ?

B ??
? ? √

问题 5. 不一定 一定 问题 6.公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L A α ?
-96-

L

B∈L => L α A∈α B∈α A B 问题 7.公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 α ? C ? 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , ? 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 问题 8.公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L β 达标:

A ? ? ,根据公理 2③不一定 ①三点确定一个平面②是
⑴ A ?? ⑵ l ?? ⑶? ? ? ? l

B ??

α

P

?

L

m??

P ??


P ?l Q ?l Q ??

? ?? ?l (5) m ? ?
l ?m ? P

【答案 10】空间直线与直线的位置关系 1
问题 1.共同特征是:既不相交,也不共面,即不在同一个平面内。 思考. 通过观察思考后发现:直线 AB′与直线 CC′既不平行也不相交,还不共面。即不在同一平面 内。 问题 2. 我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。 问题 3: 共面直线: 相交:同一平面内,有且只有一个公共点 平行:同一平面内,没有公共点 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点 问题 4. 问题 5. 例1. 1 . 2. 3. 5.是异面直线

A

1和5对 AD、DC、 CC1 、 DD1 、 D1C1 、 B1C1

H
问题 6.AB 与 GH AB 与 CD EF 与 GH 问题 7.有 平行 例 2. (考虑到学生第一次接触空间四边形,先结自制模 型简单介绍什么叫空间四边形,再分析如何证明) 分析:如何判定一个四边形是平行四边形? 怎样证明 EH∥ FG?证明关键是什么? 证明:如图,连结 BD. ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点
-97-

E D G B C F

∴EH 是△ABD 的中位线 EH ? ∴ EH∥ BD, 同理, FG∥ BD, FG ? ∴ EH∥ FG,且 EH=FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 变式练习:菱形 达标:1.相交或异面 梯形

1 BD 2

1 BD 2

2(1)平行(2)异面 4.

D

5.

C

【答案 11】空间直线与直线的位置关系 2
知识链接 1: 我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。 2.平行,相交,异面 3.平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b

=>a∥c

b∥c 问题 1.从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1 问题 2.那么这两个角相等或互补 问题 3.在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于 90 度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的 错开程度, 如图. H G
E O D A B C F

∠ADC +∠A1B1C1=180O

在空间,如图所示, 正方体 ABCD-EFGH 中, 异面直线 AB 与 HF 的错开程度可以怎样来刻画 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 O 作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
b

b′ a′
O

a

异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 问题 4. 这个角的大小与 O 点的位置无关. 例 1. 解: (1)与直线 BA1 成异面直线有 AD、CD、 B1C1 、 C1D1 、 C1C 、 D1D
-98-

(2)∵ B1B ∥ C1C ∴ ?A 1B 1B 是异面直线 BA 1 和 C1C 所成的角易求得所成的角为 45 例 2. 90? 、 90? 、 90? 、 45? 、 60? 例 3. 60? 达标:1.(1)(3)(6)对(2)(4)(5)错 2.A 3.D 4. 45?

【答案 12】直线与平面、平面与平面的位置关系
问题 1.问题 2.结论. 直线与平面的位置关系有且只有三种: (1)直线在平面内――有无数个公共点; ) (2)直线与平面相交――有且只有一个公共点; (3)直线与平面平行――没有公共点; 问题 3.4. 见教材 49 页 问题 5.6 见教材 50 页 例1 B 例 2. D 达标 1---6ADCCBC

【答案 13】直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定
实例探究:平行 问题 1.(1) a 与 b 共面于 ? (因为 a∥b) (2) 不可能相交 判断对错: ??? 例1. 证明:连接BD

因为AE=EB,AF=FD, 所以EF//BD EF ? 平面BCD, BD ? 平面BCD

由直线与平面平行的判定定理得 EF//平面BCD
练习 1. 证明:设 AC 1 1 中点为 F,连结 NF,FC ∵N 为 A1B1 中点∴NF∥ C1B1 又∵BC∥ C1B1 ,M 是 BC 的中点, ∴MC∥ C1B1 ∴NFCM 为平行四边形∴ MN∥平面 AAC 1 1C 问题 3.不一定平行 判断对错: ??√ 例 2. 证明:因为 ABCD- A1B1C1D1 为正方体, 所以 AB ? A 1B 1, D 1C1 ? A 1B 1, 1C1 // A 1B 1 D
-99-

又 AB // A 1B 1 , 所以 D 1B 1 , AB ? A 1C1 // AB ,

D1C1 ? AB ,所以 D1C1BA 为平行四边形。
所以 C1B ? 平面C1BD, D1 A // C1B 。又 D1 A ? 平面C1BD , C1B ? 平面C1BD , 由直线与平面的判定定理得 D 1 A // 平面C1BD ,同理 D 1 B1 // 平面C1BD ,又

D1 A ? D1B1 ? D1 ,所以平面 AB1D1 // 平面C1BD 。
练习 2: 证明:连结 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别于 P、F、H。 ∵M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心, 则有:

BM BN BG ? ? ?2 MP NF GH

连结 PF、FH、PH 有 MN∥PF,又 PF ? 平面 ACD,∴MN∥平面 ACD。 同理:MG∥平面 ACD,MG∩MN=M, ∴平面 MNG∥平面 ACD (2)分析:因为△MNG 所在的平面与△ACD 所在的平面相互平行,因此,求两三角形的面积之比,实 则求这两个三角形的对应边之比。

MG BG 2 ? ? , PH BH 3 2 1 1 ∴MG= PH,又 PH= AD,∴MG= AD 3 2 3 1 1 同理:NG= AC,MN= CD, 3 3
解:由(1)可知 ∴ ? MNG∽ ? ACD,其相似比为 1:3, ∴ S?MNG : S?ADC =1:9 达标 1.C 2.平行或相交 3.平行 4.平行.证明略

【答案 14】直线与平面、平面与平面平行的性质
A 问题 1:1)平行或异面 2)过这条直线做一个平面与原平面相交,交线即是。 A 问题 2: 异面或平行 A 问题 3: 由于直线 a 与平面α 内的任何直线无公共点, 所以过直线 a 的某一平面, 若与平面α 相交, 则直线 a 就平行于这条交线 B 自主探究 1:已知:a∥α ,a ? β ,α ∩β =b。求证:a∥b。 证明:由 a∥α ,知 a 与α 无公共点,又因为 a 与 b 在同一平面β 内,
-100-

则 a∥b 例 1: (1)过 p 画一条直线与 B′C′平行,即可 (2)l∥B′C′,B′C′∥面 AC,则 l 平行于面 AC 例 2: 如图:已知 a∥b,且 a∥α ,过 a 做β 与α 交于 c,则 a∥c,又有 a∥b,则 b∥c,由直线与 平面平行的判定定理知 b∥α 自主探究 2:由α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b 知 a,b 无公共点,又 a,b 在同一平面γ 内,则 a∥b 例 3 :略 达标检测: 1:略 2:B 3:C 4:C 5:C 6:平行或在内 7:平行或相交

【答案 15】直线与平面垂直的判定 例 1:解:在 ?ABC 和 ?ABD 中,
∵ AB ? 8m, BC ? BD ? 6m, AC ? AD ? 10m ∴ AB ? BC ? 6 ? 8 ? 10 ? AC
2 2 2 2 2 2

A ? C B D

AB2 ? BD2 ? 62 ? 82 ? 102 ? AD2
∴ ?ABC ? ?ABD ? 90 即 AB ? BC, AB ? BD 又∵ B, C, D 不共线 ∴ AB ? 平面 BCD ,即旗杆和地面垂直; 例 2:已知 a // b, a ? ? ,则 b ? ? 吗? 已知:a//b,a ? ? . 求证;b ? ? 证明:设 m 是 ? 内的任意一条直线

a
? m

b

a ?? ? ? ?a?m ? ? ? m ?? ? ? b ? m? ? ? a // b? ? b ?? ? m ?? ? ?
例 3:1)45°,2)30° 达标检测: 1) D;2)D 3)解:连结 BD 交 AC 于 O, ∵E,F 是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,AC⊥BD, ∴EF⊥AC.

G D

C B

-101-

E M A F

∵AC∩GC=C, ∴EF⊥平面 GMC.

【答案 16】平面与平面垂直的判定
例 1:取 BD 中点 O,连 OA,OC,则∠AOC 为二面角 A-BD-C 的平面角。 由勾股定理知 AO=OC=1,再由余弦定理(或勾股定理)知∠AOC=90° 判断对错: ??√ 例 2:证明:设在⊙ O 所在平面为 ? ,由已知条件, PA ? ? , BC 在 ? 中,所以 PA ? BC . 因为 C 是圆周上不同于 A , B 的任意一点, AB 是⊙ O 的直径, 所以 ?BCA 是直角,即 BC ? AC . 又因为 PA 与 AC 是△ PAC 所在平面内的两条相交直线, 所以, BC ? 平面 PAC , 又因为 BC 在平面 PBC 内, 所以, 平面 PAC ? 平面 PBC . 例 3:证明:⑴∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC,又∠ABC=90°,即 BC⊥AB,∴BC⊥平面 PAB,∴平 面 PAB⊥平面 PBC。 ⑵由⑴知 BC⊥平面 PAB,∴BC⊥AE,又,AE⊥PB,∴AE⊥平面 PBC,∴平面 AEF⊥平面 PBC。 ⑶由⑵知 AE⊥平面 PBC,∴AE⊥PC,又 AF⊥PC,∴PC⊥平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 PAC。 达标检测:
1)D 2)D 3)D 4)A

【答案 17】直线与面垂直的性质 问题 2:证明:假定 b 不平行于 a,设 ? ? b ? O , b′是经过点 O 的两直线 a 平行的直线.

? a ∥b’, a ? ? ,? b′ ? ? 即经过同一点 O 的两直线 b ,b′都与 ? 垂直,这是不可能的,因此 b∥a.
达标检测: 1)2)略 3)C 4) D 5)A 6)B

【答案 18】平面与面垂直的性质
探究 1: 在 β 内作直线 BE⊥CD, 垂足为 B, 则∠ABE 是二面角 α -CD-β 的二面角, 由 α⊥β 知, AB⊥BE, 又 AB⊥CD,BE 与 CD 是 β 内的两条相交直线,所以 AB⊥β。 探究 2:2)D 问题 3:如右图,设 α∩β=c,过点 P 在平面 α 内作直 线 b⊥c,根据平面平面垂直的性质定理有 b⊥β。 因为过一点有且只有一条直线与平面 β 垂直,所以直 线 a 与直线 b 重合,因此,有 a?α。 例 1:解:在 α 内作垂直于 α 与 β 交线的直线 b, 因为 α⊥β,所以 b⊥β, 因为 a⊥β,所以 a∥b, 又因为 a?α,所以 a∥α , 即直线 a 与平面 α 平行。 探究 3:垂直
-102-

达标检测: 1)略 2)B 3)解:在Δ ABD 中,∵AB=AD,取 BD 的中点 E, 连结 AE,则 AE 为 BD 的中线∴AE⊥BD 又∵面 BCD∩面 ABD=BD, 面 ABD⊥面 BCD ∴AE⊥面 BCD

【答案 19】 《空间线面、面面关系》习题课 1
例 1:1.B.2.C.3.B 题型二: B 例 2 如图 6-79,△ABC 是正三角形,EA 和 DC 都垂直于平面 ABC,且 EA=AB=2a,DC=a, F,G 分 别是 EB 和 AB 的中点。 E ? 求证:FG 平面 ABC;FD//平面 ABC。 证明:连 CG D 由于 F,G 分别是 EB 和 AB 的中点,则 FG//EA. F 又 EA 垂直于平面 ABC,则 FG ? 平面 ABC. 由于 DC 垂直于平面 ABC,则 DC//FG A C 而 DC=FG=a. G B 所以四边形 FGCD 为平行四边形. 图 6- 79 所以 FD//GC 又 GC ? ABC, FD ? ABC , 所以 FD//平面 ABC B 例 3 如图, PA ? 矩形ABCD所在的平面 的中点.
D P N

C

(1)求证: MN // 平面PAD ; (2)求证: MN ? CD ; (1)证明:过点 N 作 NF//CD 交 PD 于 F,连 AF 根据题意可知 NF=AM,NF//AM 则四边形 AMNF 为平行四边形. 所以 AF//NM 又 AF ? PAD, NM ? PAD 则 MN // 平面PAD (2)由于 PA ? 矩形ABCD所在的平面 ,所以 PA ? AB 又由于 AD ? AB, AD ? PA ? A 所以 AB ? PAD ,而 AB//CD 则 CD ? PAD ,又 AF ? PAD ,则 CD ? AF 又 AF//NM,则 MN ? CD . 题型三:一面直线角、线面角、二面角的问题
-103A M B

例4 D 例5 A 例 6:四面体 ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45° , ∠SBC=60° , M 为 AB 的中点,求(1) BC 与平面 SAB 所成的角。 (2)SC 与平面 ABC 所成角的正切值。 答(1) 60 ;(2) 【达标检测】 1. A ;2 C.3 ;D. 4 . D; 5.
0 0 0

6 6

B

6.

2 39 0 .7.12;8. 60 ;9,d 或 2d.10. 3

P D

(1) 45 (2) 60

11.P 为 ?ABC 所在平面外一点,AP=AC,BP=BC,D 为 PC 的中点, 证明:直线 PC 与平面 ABD 垂直 证明:由于 AP=AC,BP=BC,D 为 PC 的中点, 则 AD ? PC, BD ? PC ,又 AD ? BD ? D

C A

B

则直线 PC 与平面 ABD 垂直 12.如图,PA⊥平面 ABC,AE⊥PB,AB⊥BC,AF⊥PC,PA=AB=BC=2(1)求证:平面 AEF⊥平面 PBC; (2)求二面角 P—BC—A 的大小;

由于PA ? 面ABC,则PA ? BC 又BC ? AB,则BC ? 面PAB,
(1)证明: P F E A B C

而AE ? 面PAB,BC ? AE, 又AE ? PB,则AE ? 面PBC 又AE ? 面AEF 则面AEF ? 面PBC

(2) 45

0

【答案 20】空间线面、面面关系习题课 2
例 1: (1) D 例 2:证明: (1)连接 EF ,BD (2) B 因为 ABCD-A1B1C1D1 是正方体

?BB1 //DD1,BB1 ? DD1
则四边形 BDD1B1 为平行四边形 ,所以 BD//B1D1 又因为 E,F 为 AB,AD 的中点

-104-

? EF//BD ? EF//B1D1 EF ? CB1D1 ,B1D1 ? CB1D1 ? EF//CB1D1
(2)因为 ABCD-A1B1C1D1 是正方体

? AA1 ? A1D1, AA1 ? A1B1

? AA1 ? A1B1C1D1 ,B1D1 ? A1B1C1D1 ? AA1 ? B1D1
又因为 A1B1C1D1 是正方形

? A1C1 ? B1D1 ,AA1 ? A1C1 ? A1 ? B1D1 ? AA1C1C,B1D1 ? CB1D1 ? AA1C1C ? CB1D1
例 3: 解:过B点作BE平行且等于AC,连接CE, ED

? BE平行且等于AC ?四边形ABEC为平行四边形 ? ?EBD为异面直线AC与BD所成的角或其补角 ? CE ? AB ? CD ? 10, ? BD ? 8, BE ? 6 ? ?EBD ? 90? ? AC与BD所成的角为 90?
例 4: ( 1 )证明:连结A1C1交B1D1于点E,连接AE

? ABCD - A1B1C1D1是正方体 ? AA1//CC1且AA1 ? CC1 ?四边形AA1C1C为平行四边形 ? AC//A1C1且AC ? A1C1 ? ABCD为正方形,O为AC中点 同理:E为A1C1 ? AO//EC1且AO ? EC1 ?四边形AOC1E为平行四边形 ? AE//C1O, 又 ? C1O ? 面AB1D1 , AE ? 面AB1D1 ? C1O//面AB1D1

(2) ? ABCD - A1B1C1D1是正方体 ? AA1 ? 面A1B1C1D1, ? B1D1 ? 面A1B1C1D1 ? AA1 ? B1D1, ? A1B1C1D1是正方形 ? A1C1 ? B1D1 , AA1 ? A1C1 ? A1 ? B1D1 ? 面AA1C1C, ? A1C ? 面AA1C1C ? B1D1 ? A1C
-105-



(3)连结AB1交A1B与点F,连接BF, CF, B1C, AC ? F为AB1的中点,设正方体棱长 为2 AB ? BB1 ? 2, AC ? B1C ? 2 2 ? BF ? AB1 , CF ? AB1 ? ?CFB为二面角B - AB1 - C的平面角 又 ? CB ? 面ABB1A1 ? ?CBF为90?,CB ? 2, BF ? 2 ? tan?CFB ? 2
达标训练:1~6: C A D B B C 7. 平行 菱形 8.60° 9. ①③④ ? ② 或②③④ ?



10证明:连接AC交BD与点O,连接MO ?四边形ABCD为平行四边形 ? O为AC中点,M为P C中点 ? MO//AF, ? AF ? 面MBD,MO ? 面MBD ? AF//面MBD

(2)平行 连接AC1交A1C与点O O为A1C的中点,D为BC中点 DO // A1B, A1B ? 面ADC1,DO ? 面ADC1 ? A1B // 面ADC1
12.L?BEF ? 11a 4

【答案 21】直线的倾斜角与斜率
问题 3 定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.[0。,180。) 规定 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 0 0 它的倾斜角为 0 .当直线 L 与 x 轴垂直时, . 倾斜角为 90
-106-

问题 4

坡度(比) ?

升高量 前进量

1 一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. k ? tan a ? 2 x2 ? x1 问题 5

y ?y

例 1:解:直线 AB 的斜率 k AB ?

1? 2 1 ? ?4 ? 3 7

直线 BC 的斜率 k BC ?

?1 ? 1 1 ?? 4 2 ?1 ? 2 ?1 0?3

直线 CA 的斜率 kCA ?

由 k AB ? 0 及 kCA ? 0 知,直线 AB 与 CA 的倾斜角均为锐角;由 kBC ? 0 知,直线 BC 的倾斜角 为钝角. 例 2 解:取直线上某一点为 A 1 的坐标是 ( x1 , y1 ) ,根据斜率公式有: x1 ? y1 设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A .过原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 1 的坐标是(1,1)

l2 是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线, l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 ) 的直线, l4 过原点及 A4 ( x4 , y4 )
的直线. 达标训练:1,D 2, A 3, B 4, B 5,KAB=

3 3

KAC= ?

3 3

6, (-2,1)

【答案 22】直线的倾斜角与斜率习题课
题型一

(1) k ?

3 2

5 3 (3)不存在 ( 2) k ? ?
题型二 变式: (D)

当? ? (0,?),? ? ? ? ?, 当? ? 0,? ? 0

题型三

? 3? (1)? ? [0, ) ? [ , ? ) 2 4
(2)? ? [0, ] ? ( , ? ) 4 2 ? 2? (3)? ? [0, ] ? ( , ? ) 3 3

?

?

-107-

题型四

a ? 2或a ?

7 2

题型五 解:设D点坐标为(x, y )

k AB ? 3, kCD ? k AD ?

y , k AB ? kCD ? ?1 x ?3

y ?1 , k BC ? ?2, k AD ? k BC x ?1 ?x ? 3 y ? 3 得? ?2 x ? y ? 1 D(0,1)
题型六 k ? ?1或k ? 3 变式 k ? 1 达标训练: 5 1.C 2.D 3.B 4.B 5. 12 7. A(

6.2

86 25 18 29 , ), A( , ) 13 13 5 5 【答案 23】直线的点斜式方程
问题 1、 学生回顾,并回答。然后教师指出,直线的方程,就是直线上任意一点的坐标 ( x, y) 满足的关系式。 问题 2、 学生根据斜率公式, 可以得到, 当x?

x0 时,k ?

y ? y0 x ? x0

, 即y?

y0 ? k ( x ? x0 )

(1)

问题 3、学生验证,教师引导。然后教师指出方程(1)由直线上一定点及其斜率确定,所以叫做直 y 线的点斜式方程,简称点斜式(point slope form). 问题 4、 学生分组互相讨论,然后说明理由。
P0

问题 5、 (1) x 轴所在直线的方程是什么? y 轴所在直线的方程是什么? (2) 经过点 P 且平行于 x 轴 (即垂直于 y 轴) 的直线方程是什么? 0 ( x0 , y0 ) (3)经过点 P 且平行于 y 轴(即垂直于 x 轴)的直线方程是什 0 ( x0 , y0 ) 教师学生引导通过画图分析,求得问题的解决。
O x

y P0

么?

O

x

-108-

A例1直线 . l经过点P(-3,2),且倾斜角为? =45?,求直线l的点斜式方程,并画出直线l 学会运
用点斜式方程解决问题,清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件: (1)一个定点; (2)有 斜率。同时掌握已知直线方程画直线的方法。 教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件?题目那些条件已经直接给予, 那些条件还 有待已去求。在坐标平面内,要画一条直线可以怎样去画。 问题 7、 引入斜截式方程,让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程,是点斜式方程的一种特 殊情 形。学生独立求出直线 l 的方程: y ? kx ? b (2)

再此基础上,教师给出截距的概念,引导学生分析方程(2)由哪两个条件确定,让学生理解斜截式 方程概念的内涵。 问题 8、深入理解和掌握斜截式方程的特点 问题 9、使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别。 问题 10、体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.学生思考、讨论,教师评价、归纳概括。

B例2直线 . l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , 试讨论:(1)l1 l2的条件是什么? (2)l1 ? l2的条件是什么?
掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行,或相互垂直;进一步理解斜截式方程中 k , b 的几何意 义。 教师引导学生分析:用斜率判断两条直线平行、垂直结论。思考(1) l1 // l2 时, 关系?(2) l1

k1 , k2 ; b1 , b2 有何

? l2 时, k1 , k2 ; b1 , b2 有何关系?在此由学生得出结论:

l1 // l2 ? k1 ? k2 , 且 b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1
达标测试

1.(1)y+1= 2( x ? 3)(2) y ? 2 ? (3)y-3=0
3.(1) y ?

3 ( x ? 2) 3 (4)y+2=- 3( x ? 4)

2. (1)1, 45?(2) 3,60?

3 x ? 2(2) y ? ?2 x ? 4 2 4.(1)l1 / / l2 (2)l1 ? l2
5. 2x-5y=0 或 y-2=-(x-5)

6. y ?

9 ? ?2( x ? 19 13 ) 13

【答案 24】直线的两点式方程
问题 1: (1) y

y ? y1 3 ( x ? x1 ) ? 2 ? ( x ? 1) (2) y ? y1 ? 2 x2 ? x1 2
-109-

问题 2:当 x1

? x2 时,直线与 x 轴垂直,所以直线方程为: x ? x1 ;当 y1 ? y2 时,直线与 y 轴垂
? y1

直,直线方程为: y

例1

x y ? ? 1例 2 5x ? 3 y ? 6 ? 0, x ? 13y ? 5 ? 0 a b

达标检测:

1 (1)

y ?1 x ? 2 y ?5 x ?0 x y x y ? , (2) ? ? ?1 2 (1) ? ? 1, (2) ? 3 ?1 0 ? 2 0?5 5?0 2 3 ?5 6 x y x y x y 3(1) ? ? 1, (2) ? ? 1或 ? ? 1 ?3 5 5 3 5 7

x y x y ? ? 1或 ? ? 1 ?1 ? 2 2 1 5.x ? y ? 1或2 x ? 3 y ? 0 4..

【答案 25】直线的一般式方程
问题1任何一条直线都可以用一个关于 x, y 的二元一次方程表示;同时,任何一个关于 x, y 的二元 一次方程都表示一条直线。 问题 2:直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式方程,都不能表 示与 x 轴垂直的直线。 问题 3(1)A=0 且 B≠0 且 C≠0(2)B=0 且 A≠0 且 C≠0 (3)A=0 且 B≠0 且 C=0(4)B=0 且 A≠0 且 C=0 例 1 y ? 4 ? ? ( x ? 6), 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 例2y? 检测:

4 3

1 1 x ? 3; k ? ; a ? ?6; b ? 3 2 2

1 1.(1) y ? 2 ? ? ( x ? 8),化成一般式x ? 2 y ? 4 ? 0 2 (2) y ? 2 ? 0 (3) x ? y ? 1 ? 0 (4)2 x ? y ? 3 ? 0
5 1 7 2 ,?5; (3) ? ,0; (4) , 4 2 6 3
-110-

2. (1)-3,5; (2)

3(1)当 B≠0 时,直线 l 的斜率是 ?

A ;当 B=0 时,直线 l 的斜率不存在。 B

(2)当 C=0 进,A,B 不全是零时,方程 Ax+By+C=0 表示通过原点的直线。 习题 3。2

1.(1) 3 x ? 3 y ? 6 ? 8 3 ? 0 (2) x ? 2 ? 0 (3)4 x ? y ? 7 ? 0 (4)2 x ? y ? 6 ? 0 (5) y ? 2 ? 0 (6)3x ? 4 y ? 12 ? 0
10(1)4x+y-14=0 (2)7x-2y-20=0 (3)x-2y-3=0

【答案 26】两条直线的交点坐标
知识链接: 1. 点斜式,斜截式,两点式,截距式,一般式; 2. 相交和平行,相交,平行和异面 学习过程: 问题 1:如果两条直线 A1x+B1y+C1=0,和 A2x+B2y+C2=0 相交,由于交点同时在两条直线上, 交点坐标一定是它们的方程组成的方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2= 0 的解; 反之,如果方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2= 0 只有一个解,那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 的交点

例1

解:解方程组:

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? x ? ?2 ,解得: ? ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 2
所以两条直线的交点是 M(-2,2) 。 例2解:解方程组

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0

得?

?x ? 2 ?y ? 2

∴l1与l2的交点是(2,2)设经过原点的直线方程为y=k x 把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为y= x

-111-

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?x ? 1 例3证明:联立方程 ? 即M(1,- 1) 得? ?2 x ? 3 y ? 5 ? 0 ? y ? ?1
代入:x+2y-1+λ (2x-3y-5)= 0得 0+λ · 0=0 ∴M点在直线上 问题2(1)?B2-(2)?B1得(A1B2-A2B1)x=B1C2-B2C1 讨论:⒈当A1B2-A2B≠0时,方程组有唯一解 ⒉当A1B2-A2B=0,B1C2-B2C1≠0 时,方程组无解 ⒊当A1B2-A2B=0,B1C2-B2C1=0时,方程组有无穷多解。
例4 解: (1)相交交点坐标 ? , ? ; (2)平行,无交点(3)同一条直线,无穷多解 达标检测

?5 5? ?3 3?

1习题3。3 1(1)直线l1与l2相交,交点坐标为(-2,3)
(2)两条直线平行 (3)两方程表示同一条直线 2(1)A=3,C≠-2; (2)A≠3; (3)A= ?

4 3 13 3

3(1) m ? ?7, 且m ? ?1; (2)m ? ?7; (3)m ? ? 2 x+y-1=0

3 解法一:解方程组 ?

?2 x ? y ? 7 ? 0 ? x ? 3 得? ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ? y ? ?1

∴这两条直线的交点坐标为(3,-1)又∵直线 x+2y-5=0 的斜率是-1/3 ∴所求直线的斜率是 3,所求直线方程为 y+1=3(x-3)即 3x-y-10=0 解法二:所求直线在直线系 2x-y-7+λ (x+2y-1)=0 中 经整理,可得(2+λ )x+(2λ -1)y-λ -7=0

??

2?? ? 3 解得 2? ? 1

λ = 1/7 因此,所求直线方程为 3x-y-10=0

【答案 27】点到直线的距离
学习过程: A 问题 1 x0 ? (?

C ) A

-112-

问题 2 y 0 ? (? 问题 3

d?

C ) B Ax0 ? By0 ? C

A2 ? B 2 d?

2 ? ?? 1? ? 1? 2 ? 10

例 1 解: ①根据点到直线的距离公式,得 ②直线 3x=2 平行于 y 轴,

22 ? 12 2 5 ? d ? ? (?1) ? 3 3

?2 5

③直线 2y+3=0 平行于 x 轴,

3 7 ? d ? 2 ? (? ) ? 2 2

问题 4 夹在两条平行直线间公垂线段的长。

问题 5 可转化为点到直线的距离。
例 2 解:将两条直线化为斜截式可求得两直线的斜率: l1 的斜率 k1=

2 2 ,l2 的斜率 k2= , 7 7

因为 k1=k2,所以 l1∥l2 先求 l1 与轴的交点 A 的坐标,容易知道点 A 的坐标为(4,0) 点 A 到直线 l2 的距离为:d=

6 ? 4 ? 21? 0 ? 1 6 2 ? 212



23 3 53

?

23 53 159

所以,ll 与 l2 间的距离为

23 53 。 159

问题 6 任意两条平行直线都可以写成如下形式 l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0 (C1 ? C2 ) C ? C1 d ? PQ ? 2 则两平行线 l1 与 l2 间的距离为: 2 2

A ?B

例 3 解:设 AB 边上的高为 h,则 S△ABC ? AB h

AB ? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2 , AB边上的高h就是C到AB的距离。 y ? 3 x ?1 AB边所在直线的方程为 ? 1? 3 3 ?1
达标训练 1.

24 5 13 2. 5 26

3 解:在直线 2x-7y-6=0 上任取点 P(x0,y0),则 2 x0-7 y0-6=0,点 P(x0,y0)到直线 2x-7y+8=0

-113-

的距离是 4.3x±4y=0 5.x+y-3=0 或 3x+y-5=0 6.A 点关于 x=0 的对称点为(-3,-1), A 点关于 y=x 的对称点为(-1,3)都在 BC 上 BC 的方程为 x-2y+1=0 所以 B(0,0.5)C(1,1)

【答案 28】直线的交点坐标与距离公式
例 1 解:BC 的中点 D(1,3)AD=2 2

习题课

例 2 解:分两种当与 AB 平行时, x ? 3 y ? 5 ? 0 当过 AB 中点时,x=-1 例 3 解:4x+y-11=0 例 4 解:交点(-1,2)方程为 5 x ? 3 y ? 1 ? 0 达标训练 A(-1,5)

? ) 或 (? , ) , 1D,2B,3D,4A,5 ( ,
6 解:由题得: AB ?

3 5

1 5

3 1 5 5

?3 ? (?1)?

2

? (2 ? 5)2 ? 5 .

∵ S△ ABC ?

1 AB h ? 10 ,∴ h ? 4 ( h 为点 C 到直线 AB 的距离) . 2 3 设点 C 坐标为 ( x0,y0 ) , AB 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 3) ,即 3x ? 4 y ? 17 ? 0 . 4

?3x0 ? y0 ? 3 ? 0 ? 由 ? 3x ? 4 y ? 17 , 0 0 ?4 ? 5 ?
5 ? ? x0 ? ?1 ? x0 ? 解得 ? 或? 3. ? y0 ? 2 ? ? y0 ? 8
5 ∴ C 点坐标为 (?1, 8) . 0) 或 ( , 3
7 解:由题,若截距为 0 ,则设所求 l 的直线方程为 y ? kx .



4k ? 3 k ?1
2

?3 2 ,k ?

?12 ? 3 14 . 2

若截距不为 0 ,则设所求直线方程为 x ? y ? a ? 0 .
-114-



4 ?3? a 2

? 3 2 ,∴ a ? 1 或 a ? 13 ,
?12 ? 3 14 x , x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 13 ? 0 . 2
? , 2

∴ 所求直线为 y ?

8 解:当过 P 点的直线垂直于 x 轴时, Q 点到直线的距离等于 4 ,此时直线的倾斜角为 当过 P 点的直线不垂直于 x 轴时,直线斜率存在, 设过 P 点的直线为 y ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 0 .

?2 k ?
由d ?

4 3 ? 2k 3 k ?1
2

? 4 ,解得 k ?

3 . 3

∴ 直线倾斜角为

? . 6 ? ? 或 6 2

综上,该直线的倾斜面角为

9. 求经过两直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 和 l2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,且与直线 l3 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 垂 直的直线 l 的方程. 解法一:解方程组 ?

?x ? 2 y ? 4 ? 0 的交点 P (0,2). ?x ? y ? 2 ? 0

4 3 ,∴ 直线 l 的斜率为 ? . 3 4 4 ∴ 直线 l 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 0) ,即 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 . 3
∵ 直线 l3 的斜率为
解法二:设所求直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? ? ( x ? y ? 2) ? 0 . 由该直线的斜率为 ?

4 ,求得 ? 的值 11,即可以得到 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 . 3

10 试求直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 ,关于直线 l2 : 3x ? y ? 3 ? 0 对称的直线 l 的方程.

5 ? x?? ? x ? y ? 2 ? 0 ? ? 2 答案:解法一:由方程组 ? 得? ?3x ? y ? 3 ? 0 ? y ? ? 9 ? ? 2
∴ 直线 l1 、 l2 的交点为 A ( ?

5 9 , ? ). 2 2
-115-

9 5 ? k ( x ? ) ,即 2kx ? 2 y ? 5k ? 9 ? 0 . 2 2 3 ?1 k ?3 ? 由题意知: l1 到 l2 与 l2 到 l 的角相等,则 ,∴ k ? ?7 . 1 ? 3 ? 1 1 ? 3k
设所求直线 l 的方程为 y ? 即所求直线 l 的方程为 7 x ? y ? 22 ? 0 . 解法二:在 l1 上任取点 P ( x1 , y1 )( P ? l2 ) , 设点 P 关于 l2 的对称点为 Q ( x ' , y ' ).

? x1 ? x' y1 ? y' ?4 x' ? 3 y' ? 9 ? 3 ? ?3? 0 x1 ? ? ? 2 2 ? ? 5 则? 解得 ? y ' ? y 3 x ' ? 4 y' ? 9 1 ?y ? ? 3 ? ?1 1 ? ? 5 ? ? x' ? x1
又点 P 在 l1 上运动,∴ x1 ? y1 ? 2 ? 0 .



?4 x' ? 3 y' ? 9 3 x' ? 4 y' ? 3 ? ? 2 ? 0. 5 5

即 7 x' ? y' ? 22 ? 0 ,也就是 7 x ? y ? 22 ? 0 . 11. 直线 l 与直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 , 2 x ? y ? 8 ? 0 分别交于点 M , N ,若 MN 的中点是 (0, 1) ,求直 线 l 的方程. 答案:解:设直线 l 的方程为 y ? 1 ? kx 或 x ? 0 ,

? y ? kx ? 1 7 ; ?x? ? 3k ? 1 ? x ? 3 y ? 10 ? 0 ? y ? kx ? 1 7 , ?x? ? k ?2 ?2 x ? y ? 8 ? 0


1 7 7 ? ? 0 ,得 k ? ? ,又直线 x ? 0 不合题意. 4 3k ? 1 k ? 2

∴ 所求直线方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0 .

4) , B(2,3) ,在 x 轴上找一点 P ,使 PA ? PB ,并求 PA 的值; 12.已知 A(?3, 0) ,则有 答案:设点 P 为 ( x,
PA ? ( x ? 3) 2 ? (0 ? 4) 2 ? x 2 ? 6 x ? 25 ,
-116-

PB ? ( x ? 2)2 ? (0 ? 3) 2 ? x 2 ? 4 x ? 7 .
2 2 由 PA ? PB 得 x ? 6 x ? 25 ? x ? 4 x ? 7 ,解得 x ? ?

9 . 5

0) 且 PA ? (? 即所求点 P 为 ( ? ,

9 5

9 2 109 ? 3)2 ? (0 ? 4)2 ? 5 5

【答案 29】直线的方程习题课 4 3 sin ? ? , cos ? ? ? 例 1 解: 5 5 4 4 ∴直线的斜率 k ? ? 故所求直线 的方程为 y ? ? x ? 3 即 4 x ? 3 y ? 9 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 9 ? 0 3 3
A 例 2. 解:如下图,因△ABC 的顶点 B 与 C 的坐标分别为(0,3)和(-6,0) ,故 B 点在 y 轴上,C 点 在 x 轴上,即直线 BC 在 x 轴上的截距为-6,在 y 轴上的截距为 3,利用截距式,直线 BC 的方程为

y x + =1, ?6 3
y B(0,3) C (-6,0) O x A(3,-4)

化为一般式为 x-2y+6=0. 由于 B 点的坐标为 (0, 3) , 故直线 AB 在 y 轴上的截距为 3, 利用斜截式, 得直线 AB 的方程为 y=kx+3. 又由顶点 A(3,-4)在其上,所以-4=3k+3.故 k=- 于是直线 AB 的方程为 y=-

7 . 3

7 x+3,化为一般式为 7x+3y-9=0. 3

由 A(3,-4) 、C(-6,0) , 得直线 AC 的斜率 kAC=

?4?0 4 =- . 3 ? (?6) 9

利用点斜式得直线 AC 的方程为

4 y-0=- (x+6) , 9 化为一般式为 4x+9y+24=0. 也可用两点式,得直线 AC 的方程为
y ? 0 x ? (?6) = , ? 4 ? 0 3 ? (?6)
再化简即可.

-117-

A 例 3.解:由 ?

?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 1 ,得 ? ;?????????????????.?.2′ ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 3

∴ l1 与 l 2 的交点为(1,3) 。????????????????????.3′ (1) 设与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行的直线为 2 x ? y ? c ? 0 ??????4′ 则 2 ? 3 ? c ? 0 ,∴c=1。???????????????????..6′ ∴所求直线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 。????????????????7′ 方法 2:∵所求直线的斜率 k ? 2 ,且经过点(1,3) ,???????..5′ ∴求直线的方程为 y ? 3 ? 2( x ? 1) ,?????????.. ????..?6′ 即 2 x ? y ? 1 ? 0 。????????????????.?.. ?????7′ (2) 设与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线为 x ? 2 y ? c ? 0 ??????8′ 则 1 ? 2 ? 3 ? c ? 0 ,∴c=-7。?????????????????.9′ ∴所求直线方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 。??????????????..?10′ 方法 2:∵所求直线的斜率 k ? ? ∴求直线的方程为 y ? 3 ? ? 即 x ? 2y ? 7 ? 0

1 ,且经过点(1,3) ,??????..8′ 2

1 ( x ? 1) ,?????????.. ????.9′ 2

。????????????????.?.. ???.10′

例 4.解:(1)设点 A′的坐标为( x ′, y ′). 因为点 A 与 A′关于直线 l 对称, 所以 AA′⊥ l , 且 AA′中点在 l 上, 直线 l 斜率是-3, 所以 k AA? = 又因为 k AA? =
新疆

y? ? 4 y? ? 4 1 , 所以 ? 再因为直线 l 的方程为 3 x + y -2=0,AA′的中点坐标是 x? ? 4 x? ? 4 3 x? ? 4 y? ? 4 x? ? 4 y? ? 4 , ? ( ),所以 3? -2=0 2 2 2 2 由①和②,解得 x ′=2, y ′=6.所以 A′点的坐标为(2,6)
王新敞
学案 新疆

1 . 3

王新敞
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新疆

王新敞
学案

(2)关于点 A 对称的两直线 l 与 l ? 互相平行, 于是可设 l ? 的方程为 3 x + y +c=0.在直线 l 上任取一点

M(0,2) ,其关于点 A 对称的点为 M′( x ′, y ′) ,于是 M′点在 l ? 上,且 MM′的中点为点 A,由

x? ? 0 y? ? 2 ? ?4, ? 4 ,即: x ′=-8, y ′=6. 2 2 于是有 M′(-8,6).因为 M′点在 l ? 上,所以 3 ? (-8)+6+ c =0,∴ c =18
此得 故直线 l ? 的方程为 3 x + y +18=0
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-118-

练习:入射光线和反射光线所在直线方程分别是:x-y-2=0,x+y-2=0 达标训练 1D,2B,3C,4B,5D,6A,7A,8B 9 -2 10 7x-9y+21=0

【答案 30】圆的标准方程
例 1: 1, (1) x +y =9 (2) (x-3) +(y-4) =5 (3) (x-8) +(y+3) =25 2, (1)
2 2 2 2 2 2 2

(1,0)
2

6

(2) (-1,2)

3 (3) (-a,0)

a

例 2: (x-2) + (y+3) =25 M1 在 M2 不在。 2 2 2 例 3:设所求外接圆的方程为 (x-a) +(y-b) =r 因为 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上, 则有: A(5, 所

?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?

?a ? 2 ? ?b ? ?3 ?r ? 5 ?

所以所 求外接圆的方程为 (x-2) +(y+3) =25 ?3 1? 例 4:解:因为 A(1,1)和 B(2,-2),所以线段 AB 的中点的坐标为 ? , ? ? ,直线 AB 的斜率

2

2

k AB

?2 ? 1 ? ? ?3 2 ?1

?2

2?

因此线段 AB 的垂直平分线 l′的方程是: 圆心 C 的坐标是方程组

1 1? 3? x ? 3y ? 3 ? 0 即 ? ?x? ? 2 3? 2? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? x ? ?3 的解;解得: ? 即 C(-3,-2) ? x ? y ? 1 ? 0 y ? ? 2 ? ? y?

圆心为 C 的圆的半径长:

r ? AC ?

?1 ? 3? ? ?1 ? 2?
2

2

? 5 所以,圆心为 C 的圆的标准方程是:

? x ? 3?

2

? ? y ? 2 ? ? 25
2

【达标检测】1,因为以 P1P2 为直径的圆的方程为 ( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 10 所以点 M 在圆上;点 N 在
2 2

圆外;点 Q 在圆内。 2, ( x ?

4, ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 196

4 2 4 50 ) ? ( y ? )2 ? 3 3 9

3,

x=3 或 5x+12y-39=0

25

5, ( x ? ) ? ( y ? ) ? 5或( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 5
2 2 2 2

4 5

8 5

【答案 31】圆的一般方程
例 1 解:设所求的圆的方程为: ,B(1,1) ,C(4,2)在 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 因为 A(0,0)
?F ? 0 ? ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0
-119-

圆上

D ? ?8, E ? 6, F ? 0 x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 所以 例 2 解;设点 M(x,y),点 A 的坐标是(x0,y0),由于点 B 的坐标是(4,3)且点 M 是线段 AB 的中点 ,
所以 x= y= 2 2 2 2 所以 x0=2x-4,y0=2y-3;因为点 A 在圆(x+1) +y =4 上运动,所以点 A 的坐标满足方程(x+1) +y =4;即 2 2 2 2 (x0+1) +y0 =4 即:(2x-4+1) +(2y-3) =4;整理得

x0 ? 4 2

y0 ? 3 2

3 3 3 3 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1;所以点 M的轨迹是以( , )为圆心, 1为半径的圆 2 2 2 2
变式:解:设 P(x,y)是曲线上任意点,则 【达标检测】 1,已知方程 x +y +kx+(1-k)y+ A k>3 B
2 2

x2 ? y2 ( x ? 3) 2 ? y 2

?

1 2 2 整理得:3x +3y +6x-9=0 2

k ? ?2

13 =0 表示圆,则 k 的取值范围 ( D ) 4
C -2<k<3 D k>3 或 k<-2 ) D.半圆 .

2,方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 2 表示的曲线是( A A.一个圆
2 2

B.两个半圆

C.两个圆
2

3,动圆 x ? y ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m ? 4m ? 1 ? 0 的圆心的轨迹方程是 x-2y-1=0 4,如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么 5, 求下列各题的圆心坐标、半径长 (1)x +y -6x=0 (3,0); r=3
2 2 2 2 2

y 的最大值是__ 3 ______。 x
(0,-b) ; r= b

(2) x +y +2by=0

2

2

(3) x +y -2ax-2 3 y+3a =0 (a, 3 ); r= 3 ? 2a 2 6,下列各方程各表示什么图形? (1)x +y =0
2 2 2 2 2

(0,0)

(2)x +y -2x+4y-6=0 以 (1,-2)为圆心, 11 为半径圆 以(-a,0)为圆心, a 2 ? b 2 为半径圆

2

2

(3) x +y +2ax-b =0

7,已知圆 C:x?+y?-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1)求直线 AB 的方程 解:点差(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)-4(x1-x2)=0 即 6+2?k-4=0 k=-1 直线 AB 的方程为 x+y-4=0

【答案 32】直线与圆的位置关系
例 1:解:因已知圆的圆心到直线的距离为 10 ? r ? 2 解得其交点为(1,3) ; (2,0)
-120-

5 所以直线与圆相交。

例 3:解法一(利用△):解方程组 消去 y 得: 2x2+2bx+b2-4=0 ①

方程①的判别式 ⊿=(2b)2-4?2(b2-4)=4(2 +b)(2 - b). 当-2 <b<2 时,⊿>0, 当 b=2 当 b>2 直线与圆相交; 时, ⊿=0, 直线与圆相切; 时,⊿<0,直线与圆相离。

或 b=-2 或 b<-2

解法二(利用 d 与 r 的关系):圆 x2+y2=4 的圆心为(0,0),半径为 r=2 圆心到直线的距离为

d?

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