高二数学月月考试卷及答案

洪翔中学 2007 级高二年级第三次月考
数 学 试 题(理)
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。只要求写出结果,不必写出计算和推理过程) 1. 已知 An2 ? 56 ,则 n=__________.8

2. (2 ? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? a5 x5 ,则 a1?a3 ? a5 =_________.-121 3.抛掷两颗质量均匀的骰子各一次,记向上的点数和为随机变量 X ,则 P( X =7)的值是
____________. 1 6
4. 已知复数 z 满足 z ?1 ? z ?1 ? 2,则复数 z 在复平面上对应点所表示的图形



线段

5.以下结论正.确.的是

(1)(2)(3)

(1)根据 2×2 列联表中的数据计算得出 ? 2≥6.635, 而 P( ? 2≥6.635)≈0.01,则有

99% 的把握认为两个分类变量有关系

(2)在线性回归分析中,相关系数为 r,|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越小,相关

程度越小

(3)在回归分析中,回归直线方程 y? ? bx ? a 过点 A(x, y)

(4)在回归直线 y ? 0.5x ? 85 中,变量 x=200 时,变量 y 的值一定是 15

6.C

1 33

+C

2 33

+C

3 33

+…+C

33 33

除以

5

的余数是

3

7 . 用 反 证 法 证 明 命 题 :“ 三 角 形 的 内 角 中 至 少 有 一 个 不 大 于 60 度 ” 时 , 反 设



. 假设三内角都大于 60 度

8.用数学归纳法证明等式1? 2 ? 3 ?L ? (n ? 3) ? (n ? 3)(n ? 4) (n ?N?) 时,第一步验证 n ?1 2

时,左边应取的项是

.1? 2?3? 4

9.计算: (? 1 ? 3 i)4 ? (1? i )4 =__________. 1 ? 3 i

22

2

22

10.在等差数列 ?an ? 中,若 a10 ? 0 ,则有等式 a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a19?n

(n ? 19, n ? N * ) 成 立 , 类 比 上 述 性 质 , 在 等 比 数 列 ?bn ? 中 , 若 b9 ? 1 , 则 有 等



. b1b2 ? bn ? b1b2 ? b17?n

11. 从编号为 1,2,3,…,10,11 的 11 个球中,取出 5 个球,使这 5 个球的编号之和为奇数,其取法

总数为

236

12.观察下列各式:1 ?12 ,2 ? 3 ? 4 ? 32 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 ,4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ?10 ? 72 ,

L ,可以得出的一般结论是

n ? (n ?1) ? (n ? 2) ? L ? (3n ? 2) ? (2n ?1)2

13.某种元件用满 6000 小时未坏的概率是 3 ,用满 10000 小时未坏的概率是 1 ,现有一个

4

2

此种元件,已经用过 6000 小时未坏,则它能用到 10000 小时的概率是

.2

3

14.观察下面的数阵, 第 20 行第 20 个数是 . 381

1

234

56789

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25

… ……………………

二.解答题(本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15. (本题满分 14 分)

如果

??

x

?

1

2n
? ?

展开式中第

4

项与第

6

项的系数相等,求

n

及展开式中的常数项.

? x?

.解: 由已知可得 C23n ? C25n ,

所以 3 ? 5 ? 2n ,即 n ? 4 . 所以展开式中的通项为 Tr?1 ? C8r x8?2r , 若它为常数项,则 r ? 4 ,所以 T5 ? C84 ? 70 . 即常数项为 70. 16.(本题满分 14 分)
已知 z ? 1? i .(1)设 w ? z 2 ? 3z ? 4, 求 w ;

(2)如果

z 2 ? az ? b z2 ? z ?1

?1?

i, 求实数 a, b 的值.

(1) ?1? i ,(2) a ? ?1,b ? 2 .

17. (本题满分 14 分) 在一次运动会上,某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补队员组成的代表队参加比赛.
如果随机抽派 5 名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为 X,求随机变量 X 的概率 分布以及随机变量 X 数学期望;(本题结果用分数表示即可)

解:依题意知,抽取

r

个主力队员的概率为 P(X

? r) ?

C

r 6

C

5?r 5

,r=0,1,2,3,4,5.

C151

随机变量 X 的分布列为

X

0

1

2

3

4

5

∵X 服从超几何分布 H ?5, 6,11? ∴随机变量 X 的数学期望 E(X)= 6 ? 5 = 30
11 11

18.(本题满分 16 分)

求 3 名男生和 4 名女生按下列要求排成一排的排法总数(结果用数字表示)

(1)男生甲只排中间或两头;

(2)所有女生排在一起

(3)男生不相邻

(4)男生甲在女生乙的左边(可以不相邻)

解(1)C

1 3

A66

=2160

(2)A44 A44 = 576

(3)A44 A53 = 1440

(4)A77 ? 2520 A22

19. (本题满分 16 分)

已知某射手射击一次,击中目标的概率是 2 .(1)求连续射击 5 次,恰有 3 次击中 3
目标的概率;

(2)求连续射击 5 次,击中目标的次数 X 的数学期望和方差. (3)假设连续 2 次未.击.中.目标,则中止其射击,求恰好射击 5 次后,被中止射击的概率.(本 题结果用分数表示即可).
解 :( 1 ) 设 “ 甲 射 击 5 次 , 恰 有 3 次 击 中 目 标 ” 为 事 件 A , 则

P?

A?

?

C35

? ??

2 3

?3 ??

?

? ??

1 ?2 3 ??

?

80 243



答:甲射击 5 次,恰有 3 次击中目标的概率为 80 . 243

(2) X ~ B(5, 2) E( X ) ? 10 ;V (X ) ? 10

3

3

9

(3)方法 1:设“甲恰好射击 5 次后,被中止射击”为事件 C,由于甲恰好射击 5 次

后被中止射击,所以必然是最后两次未击中目标,第三次击中目标,第一次与第二次至

少有一次击中目标,则

P?C?

?

? ?C22 ??

? ??

2 3

2
? ??

?

C12

2 3

?

1? 3 ???

?

2 3

?

? ??

1 3

2
? ??

?

16 243



答:甲恰好射击 5 次后,被中止射击的概率为 16 . 243
方法 2:设“甲恰好射击 5 次后,被中止射击”为事件 C,由于甲恰好射击 5 次后被中 止射击,所以必然是最后两次未击中目标,第三次击中目标,第一次与第二次至少有一

次击中目标,则

P?C?

?

? ?1 ? ??

C22

? ??

1 3

2
? ??

? ? ??

?

2 3

?

? ??

1 3

2
? ??

?

16 243



答:甲恰好射击 5 次后,被中止射击的概率为 16 . 243
20. (本题满分 16 分)

数列{an}中, Sn

?

4 ? an

?

1 2n?2

.(Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 , a4 ;

(Ⅱ)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法加以证明.

解:(Ⅰ)∵ Sn

?

4-a


n

2

1
n-2

,∴ a1

?

4-a


1

1 21-2

,即 a1=1,

∵ S2

?

4-a

2-

1 2 2-2

,即 a1+a2=4―a2―1,∴a2=1,

∵ S3

?

4-a

3-

1 23-2

,即 a1+a2+a3=4―a3― 1 2

,∴a3= 3 4



∵ S4

?

4-a


4

1 2 4-2

,即 a1+a2+a3+a4=4―a4― 1 4

,∴a3= 1 2



(Ⅱ)猜想 a n

?

n 2 n-1

证明如下:①当 n=1 时,a1=1,此时结论成立;

②假设当

n=k(k∈N*)结论成立,即 a k

?

k 2 k-1



那么当

n=k+1

时,有 Sk

?

4-a

k-

2

1
k-2

=4- 2k - 4 2k 2k

=4- 2k ? 4 2k

即a k+1

?

k ?1 2k

,这就是说 n=k+1 时结论也成立.

根据①和②,可知对任何

n∈N*时 a n

?

n 2 n-1

.

注:其它解法参照给分.


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